2026年小升初数学思维训练：第九章排列组合好题精练A组-夯基础

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页好题精练A组——夯基础1．现有0、1、2、3、4五张数字卡片。(1)可以组成多少个三位数？(2)可以组成多少个没有重复数字的三位数？(3)可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？(4)可以组成多少个小于1000的自然数？2．从15名同学中选5人参加数学竞赛，求分别满足下列条件的选法各有多少种？(1)某两人必须入选；(2)某两人中至少有一人入选。3．七个同学照相，分别求出在下列条件下有多少种站法？(1)七个人排成一排；(2)七个人排成一排，某两人必须有一人站在中间。4．从1到99的所有自然数中，不含数字2的自然数有多少个？5．用1、2、3、4可组成多少个没有重复数字的三位数并且是双数？6．在自然数0～9中任意选三个不同的数，使得它们的积是偶数，共有多少种不同选法？7．如下图，从A到B，要求按照从左到右，从下到上，从左下向右上的走法，有多少种不同走法？8．1、2、3、4四个数字，从小到大排成一行，在这四个数中间，任意插入乘号（最少插一个乘号），可以得到多少个不同的乘积？9．面值为1元、2元、5元、10元币各一张，从中任取其一或若干，共能凑出多少种不同面值？10．如图所示，按照向右或向上的方向，沿着方格线从A到B，共有多少种不同走法？答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《第九章排列组合好题精练A组——夯基础》参考答案：1．(1)100(2)48(3)30(4)125【难度】0.27【知识点】排列组合【分析】（1）组成三位数时，百位不能为0，有4种选择，十位、个位各有5种选择，根据分步乘法计数原理，总数为4×5×5＝100。（2）组成没有重复数字的三位数时，先从1－4中选1个排百位，再依次从剩余4个数字中选1个排十位、剩余3个数字中选1个排个位，总数为4×4×3＝48。（3）组成没有重复数字的三位偶数，需按个位数字分类讨论：个位为0时，百位从1－4中选1个、十位从剩余3个数字中选1个，数量为4×3×1＝12；个位为2或4时，个位有2种选择，百位从剩余非0数字中选1个、十位从剩余3个数字中选1个，数量3×3×2＝18，再将两类数量相加。（4）组成小于1000的自然数，包含一位数、两位数和三位数：一位数有5个，两位数为4×5＝20个，三位数按（1）的结论有100个，再根据分类加法计数原理求和。【详解】（1）此问未限制数字不可重复，视为数字组合问题。百位：不能为0，可选1、2、3、4，共4种选择。十位：可选0、1、2、3、4，共5种选择。个位：可选0、1、2、3、4，共5种选择。根据乘法原理：答：可以组成100个三位数。（2）此问限制数字不可重复。百位：不能为0，可选1、2、3、4，共4种选择。十位：不能与百位重复，可选剩余4个数字，共4种选择。个位：不能与百位、十位重复，可选剩余3个数字，共3种选择。根据乘法原理：（个）答：可以组成48个没有重复数字的三位数。（3）此问限制数字不可重复且为偶数，需根据个位数字分类讨论。情况一：个位是0个位：1种选择。百位：不能为0，可选1、2、3、4，共4种选择。十位：不能与百位、个位重复，可选剩余3个数字，共3种选择。数量：（个）情况二：个位是2或4个位：可选2、4，共2种选择。百位：不能为0且不能与个位重复，可选剩余3个数字，共3种选择。十位：不能与百位、个位重复（可以是0），可选剩余3个数字，共3种选择。数量：（个）总计：（个）答：可以组成30个没有重复数字的三位偶数。（4）此问未限制数字不可重复，包含一位数、两位数和三位数。一位数：可选0、1、2、3、4，共5个。两位数：十位：不能为0，可选1、2、3、4，共4种选择。个位：可选0、1、2、3、4，共5种选择。数量：（个）三位数：由第（1）题可知，共100个。总计：（个）答：可以组成125个小于1000的自然数。【点睛】这类数字排列问题，核心是用好乘法原理，同时注意首位不能为0、是否允许重复、偶数个位限制等这些关键条件，按要求分步确定每一位的选择数，再相乘得到结果。2．(1)286种(2)1716种【难度】0.62【知识点】排列组合【分析】（1）既然某两人必须入选，那么只需要从剩下的13名同学中再选出3人即可满足条件。（2）要求某两人中至少有一人入选，直接分类讨论较为复杂，可以采用排除法（互补法）。即用从15人中任选5人的总选法，减去某两人都不入选（即从剩下的13人中选5人）的选法，即可得到至少有一人入选的选法。【详解】（1）某两人必须入选：剩余可选人数：（人）还需选出人数：（人）选法数量为：（种）答：某两人必须入选有286种选法。（2）某两人中至少有一人入选：方法一：总选法减去两人都不入选的选法。从15人中选5人的总选法：（种）某两人都不入选，即从剩下的13人中选5人：（种）至少有一人入选的选法：（种）答：某两人中至少有一人入选有1716种选法。3．(1)5040种(2)1440种【难度】0.67【知识点】乘法原理、排列组合【分析】（1）7个人排成一排，相当于7个人全排列。（2）首先确定中间位置，某两人中必有一人站在中间，有2种选择；中间位置确定后，其余6个位置由剩下的6人进行全排列，最后将两步的结果相乘。【详解】（1）（种）答：七个人排成一排有5040种站法。（2）七个人排成一排，共有7个位置，中间位置为第4个位置。确定中间位置的人选，某两人中必须有一人站在中间，有2种选法。第二步：剩余6人全排列。（种）答：七个人排成一排，某两人必须有一人站在中间有1440种站法。4．80个【难度】0.65【知识点】乘法原理、排列组合【分析】将从1到99的自然数按照位数分为一位数和两位数两类。分别找出一位数和两位数中不含数字2的数的个数，最后将两类数的个数相加即可得到总数。【详解】从1到99的所有自然数可分为两大类，即一位数和两位数。一位数中，不含数字2的有8个，它们是1、3、4、5、6、7、8、9；两位数中，不含数字2的可以这样考虑：十位上，不含2、0的有1、3、4、5、6、7、8、9这8种情况；个位上，不含2的有0、1、3、4、5、6、7、8、9这9种情况。要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有：（个）根据加法原理，从1到99的所有自然数中，不含有数字2的自然数一共有：（个）答：不含有数字2的自然数有80个。5．12个【难度】0.65【知识点】数字中的组合问题【分析】由题意知，需要组成没有重复数字的三位数并且是双数，那就可以确定个位是2或4，然后列举所有可能的组合，数出个数即可。【详解】个位为2时，三位数有：132、312、142、412、342、432，6个数；个位为4时，三位数有：124、214、134、314、234、324，6个数；能组成没有重复数字的三位数并且是双数有：6＋6＝12（个）答：用1、2、3、4可组成12个没有重复数字的三位数并且是双数。6．110种【难度】0.65【知识点】排列组合【分析】根据奇偶数的运算性质，三个数的积是偶数，意味着这三个数中至少有一个是偶数；反之，如果三个数的积是奇数，则这三个数必须全部是奇数。直接计算积为偶数的情况较为复杂（包含1个偶数、2个偶数、3个偶数三种情况），因此采用“排除法”思考：用从10个数中任选3个数的总选法，减去三个数全是奇数的选法，就是为积是偶数的选法。计算选法数量时，需注意选取的三个数不分顺序。【详解】0～9共10个数，从10个数中任选3个不同的数，不考虑顺序。＝（10×9×8）÷（3×2×1）＝720÷6＝120（种）0～9共有5个奇数，从5个奇数中任选3个不同的数，不考虑顺序。＝（5×4×3）÷（3×2×1）＝60÷6＝10（种）积是偶数的选法：120－10＝110（种）答：共有110种不同选法。7．20种【难度】0.65【知识点】加法原理【分析】根据题意，“从左到右，从下到上，从左下向右上”的走法，表示不走回头路，所以每个点只能从它的正下方、左下方、正左方这三个方向过来。每个点的走法数＝所有能“走到它”的点的数字之和。【详解】根据分析，作图如下，从A点到B点共有20种走法。8．个【难度】0.15【知识点】加法原理【分析】4个数字，总共3个间隔，那么可以选择插入1个、2个、3个乘号，分类枚举，求出每种情况下的乘积个数，相加得到总数。【详解】（1）若插入一个乘号，4个数字之间有3个空当，选3个空当中的任一空当放乘号，所以有3种不同的插法，可以得到3个不同的乘积，枚举如下：，，。（2）若插入两个乘号，由于必有一个空当不放乘号，所以从3个空档中选2个空当插入乘号有3种不同的插法，可以得到3个不同的乘积，枚举如下：，，。（3）若插入三个乘号，则只有1个插法，可以得到l个不同的乘积，枚举如下：。所以，根据加法原理共有种不同的乘积。答：可以得到7个不同的乘积。【点睛】每个空可以放入乘号可以可以不放乘号共有两种选择，除去一个也不放的情况，总共的方法数是23－1种。9．15种【难度】0.65【知识点】排列组合【分析】按取出人民币的张数进行分类，分别列举出每类中可能组合成的币值，最后把所有币值的种数相加即可。【详解】取一张，共4种不同的币值：1元、2元、5元、10元；取两张，共6种不同的币值：3元、6元、11元、7元、12元、15元；取三张，共4种不同的币值：8元、17元、13元、16元；取四张，共1种币值：18元。一共有：4＋6＋4＋1＝15（种）答：共可以组成15种不同的币值。10．35种【难度】0.65【知识点】加法原理、排列组合【分析