2026年浙江省人教版高二数学选修四第二章函数性质习题集

2026年浙江省人教版高二数学选修四第二章函数性质习题集一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+1在区间[-2,2]上的最大值和最小值分别为（）A.最大值8，最小值-8B.最大值4，最小值-4C.最大值4，最小值-8D.最大值8，最小值-4解析：首先对函数f(x)求导，f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。当x∈[-2,-1)时，f'(x)>0，函数单调递增；当x∈(-1,1)时，f'(x)<0，函数单调递减；当x∈(1,2]时，f'(x)>0，函数单调递增。因此f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=3，在x=1处取得极小值f(1)=-1。又f(-2)=-1，f(2)=5，故最大值为5，最小值为-8，选C。2.函数g(x)=|x-1|+|x+2|的图像关于（）对称A.直线x=1B.直线x=-2C.直线x=-0.5D.直线x=0.5解析：函数g(x)可化为分段函数：g(x)={3-x,x<-2{1+x,-2≤x≤1{3-x,x>1图像为折线段，由三段直线组成，其中x=-0.5为三段直线的交点，且关于x=-0.5对称，选C。3.若函数h(x)=sin(ωx+φ)的图像向左平移π/3个单位后与原图像重合，则ω的可能取值为（）A.2kB.4kC.6kD.8k解析：平移π/3个单位后函数仍为h(x)，即sin[ω(x+π/3)+φ]=sin(ωx+φ)，化简得ωπ/3=kπ，k∈Z，即ω=3k。又ω≠0，故ω=3k，选C。4.函数m(x)=ln(x²-2x+3)在区间[1,3]上的最小值是（）A.0B.ln2C.ln3D.ln4解析：令t=x²-2x+3=(x-1)²+2，则t∈[2,3]。函数m(x)=ln(t)在[2,3]上单调递增，故最小值为ln2，选B。5.函数n(x)=x/(x²-1)在区间(-2,-1)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.无法确定解析：n(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)，在(-2,-1)上，n'(x)=[(x²-1)-2x²]/(x²-1)³=-x²/(x²-1)³<0，故n(x)在(-2,-1)上单调递减，选B。6.函数p(x)=√(x²+1)-x在区间[0,+∞)上的值域为（）A.[0,1)B.(0,1]C.[1,+∞)D.(0,+∞)解析：令t=√(x²+1)-x，则t+x=√(x²+1)，平方得2xt+x²=1，即x(2t+x)=1，故x=1/(2t+t²)。当x≥0时，t≥0，函数x=1/(2t+t²)在t∈[0,+∞)上单调递减，故x∈(0,1]，即t∈(0,1]，选B。7.函数q(x)=2cos²x-sin(2x)-1在[0,2π]上的零点个数为（）A.2B.3C.4D.5解析：原式=-sin²x-sin(2x)=sin(2x)+sin²x，令sin(2x)+sin²x=0，即sin(2x)=-sin²x=-cos(2x)sin(2x)，当sin(2x)=0时，x=kπ/2，k∈Z，在[0,2π]上得x=0,π/2,π,3π/2,2π，共5个解；当sin(2x)≠0时，cos(2x)=-1，得x=3π/4,7π/4，共2个解。故共有7个零点，选D。8.函数r(x)=3^x+3^-x的值域为（）A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.[2,4]D.(2,4]解析：令t=3^x，则t>0，原式=3^x+1/3^x=t+1/t≥2√(t•1/t)=2，当且仅当t=1即x=0时取等号，又t→+∞时原式→+∞，故值域为[2,+∞)，选A。9.函数s(x)=tan(x+π/4)-1在(0,π/2)上的值域为（）A.(-∞,1)B.(-1,+∞)C.(-∞,0)D.(0,+∞)解析：令t=x+π/4，则t∈(π/4,3π/4)，tan(t)-1的值域为(-∞,tan(3π/4)-1)=(-∞,-1)，故s(x)的值域为(-∞,-1)，选C。10.函数u(x)=x³-3x²+2在(-1,1)上的最大值是（）A.0B.1C.2D.3解析：u'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，在(-1,1)上u'(x)≠0，故u(x)在(-1,1)上单调递减，最大值为u(-1)=0，选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数v(x)=|x-2|+|x+1|的最小值为_________参考答案：3解析：v(x)={3-2x,x<-1{1+x,-1≤x≤2{2x-3,x>2当x=-1/2时，v(x)取得最小值3，填3。2.函数w(x)=sin(2x+π/3)的图像关于点_________对称参考答案：(π/6,0)解析：令2x+π/3=kπ+π/2，得x=kπ/2+π/12，当k=0时，对称中心为(π/6,0)，填(π/6,0)。3.函数z(x)=ln(x²-3x+2)的定义域为_________参考答案：(-∞,1)∪(2,+∞)解析：x²-3x+2>0，解得x<1或x>2，填(-∞,1)∪(2,+∞)。4.函数y(x)=2cos(x+π/4)-1的振幅为_________参考答案：2解析：振幅为|2|=2，填2。5.函数a(x)=x³-6x²+9x+1在[0,4]上的最大值为_________参考答案：25解析：a'(x)=3x²-12x+9=3(x-1)²，a(0)=1，a(1)=5，a(4)=25，故最大值为25，填25。6.函数b(x)=√(x²+4)-2x在(-∞,0)上的单调性为_________参考答案：单调递增解析：b'(x)=[(x²+4)-4x²]/(x²+4)√(x²+4)=(-3x²)/(x²+4)√(x²+4)>0，故在(-∞,0)上单调递增，填单调递增。7.函数c(x)=2^x+2^-x的值域为_________参考答案：[3,+∞)解析：≥2√(2^x•2^-x)=2，填[3,+∞)。8.函数d(x)=tan(2x-π/3)的周期为_________参考答案：π/2解析：周期为π/|2|=π/2，填π/2。9.函数e(x)=x/(x²-1)在(-1,1)上的值域为_________参考答案：(-1,0)解析：令t=x/(x²-1)，则x=t(x²-1)，x²-tx-t²=0，Δ=t²+4t>0，x=t±√(t²+4t)，故t∈(-1,0)，填(-1,0)。10.函数f(x)=cos²x-sin(2x)在[0,π]上的零点个数为_________参考答案：3解析：cos²x=sin(2x)，即cos(2x)+sin(2x)=0，sin(3x)=0，在[0,π]上得x=0,π/3,2π/3，共3个解，填3。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数g(x)=x³-3x+1在[0,2]上的最大值为3。参考答案：×解析：g'(x)=3x²-3，x=1时取得极大值g(1)=1，g(0)=1，g(2)=5，最大值为5，故错误。2.函数h(x)=|x-1|+|x+2|的图像关于x=-0.5对称。参考答案：√解析：见选择题第2题解析，正确。3.函数i(x)=sin(πx/2)的周期为2。参考答案：√解析：周期为2π/(π/2)=4，故错误。4.函数j(x)=ln(x²+1)在(-1,1)上单调递减。参考答案：√解析：j'(x)=2x/(x²+1)>0，正确。5.函数k(x)=2^x+2^-x在R上单调递增。参考答案：×解析：k'(x)=2^xln2-2^-xln2>0，当x>0时单调递增，当x<0时单调递减，故错误。6.函数l(x)=tan(x+π/4)的图像关于原点对称。参考答案：√解析：tan(x+π/4)是奇函数，正确。7.函数m(x)=x³-3x+1有三个零点。参考答案：×解析：m'(x)=3x²-3，有两个极值点，最多两个零点，故错误。8.函数n(x)=√(x²+1)-x在R上单调递减。参考答案：√解析：见选择题第6题解析，正确。9.函数o(x)=cos²x-sin(2x)在[0,π]上恒大于0。参考答案：×解析：x=π/3时f(π/3)=0，故错误。10.函数p(x)=x/(x²-1)在(-∞,-1)上单调递增。参考答案：√解析：见填空题第16题解析，正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数q(x)=sin(2x-π/4)+1的振幅、周期和初相。参考答案：振幅为√2，周期为π，初相为-π/4。解析：q(x)=√2sin(2x-π/4)+1，振幅为√2，周期为2π/2=π，初相为-π/4。2.求函数r(x)=ln(x²-4x+3)的单调区间。参考答案：在(-∞,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增。解析：定义域为(-∞,1)∪(3,+∞)，令t=x²-4x+3=(x-2)²-1，当x∈(-∞,1)时，t单调递增，r(x)单调递增；当x∈(3,+∞)时，t单调递增，r(x)单调递增；当x∈(1,3)时，t单调递减，r(x)单调递减。3.求函数s(x)=2cos(x+π/3)-1的最小正周期。参考答案：2π解析：周期为2π/1=2π。4.求函数t(x)=x³-3x²+2的极值点。参考答案：x=1处取得极大值，x=2处取得极小值。解析：t'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，x=0时t'(x)不变号，x=1时由正变负，x=2时由负变正，故x=1处极大值，x=2处极小值。5.求函数u(x)=tan(2x-π/6)的对称中心。参考答案：令2x-π/6=kπ+π/2，得x=kπ/2+π/3，当k=0时，对称中心为(π/3,0)。6.求函数v(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取值点。参考答案：最小值为3，取值点为x=-0.5。解析：见填空题第11题解析。7.求函数w(x)=ln(x²-2x+3)在[1,2]上的最大值。参考答案：ln4，取值点为x=2。解析：令t=x²-2x+3=(x-1)²+2，在[1,2]上t单调递增，tmax=4，故wmax=ln4，取值点为x=2。8.求函数x(x)=x/(x²-1)在(-2,-1)上的值域。参考答案：(-1,0)解析：见填空题第19题解析。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数y(x)=sin(ωx+φ)的图像经过点(π/3,√3/2)，且周期为π，求ω和φ的值。解：周期为π，ω=2，sin(2π/3+φ)=√3/2，2π/3+φ=2kπ+π/3，φ=2kπ-π/3，取k=0，φ=-π/3。参考答案：ω=2，φ=-π/3。2.已知函数z(x)=ln(ax+b)在[1,2]上单调递增，求a的取值范围。解：z'(x)=a/(ax+b)>0，当a>0时，需ax+b>0对x∈[1,2]恒成立，即a+b>0且2a+b>0，得a>-b且a>-b/2；当a<0时，需ax+b<0对x∈[1,2]恒成立，即a+b<0且2a+b<0，得a<-b且a<-b/2；综上，a>0且a>-b/2。参考答案：a>0且a>-b/2。3.已知函数w(x)=2cos²x-3sin(2x)+1，求其最小正周期。解：w(x)=cos(2x)-3sin(2x)+2，令f(x)=cos(2x)-3sin(2x)，f(x)的最小正周期为2π/2=π，故w(x)的最小正周期为π。参考答案：π。4.已知函数v(x)=x³-3x²+2在[0,3]上的最大值和最小值，求其值。解：v'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，v(0)=2，v(1)=-1，v(2)=-2，v(3)=2，最大值为2，最小值为-2。参考答案：最大值2，最小值-2。5.已知函数u(x)=tan(πx/4-π/4)，求其定义域。解：πx/4-π/4≠kπ+π/2，x≠4k+3，定义域为{x|x∈R且x≠4k+3，k∈Z}。参考答案：{x|x∈R且x≠4k+3，k∈Z}。6.已知函数t(x)=ln(x²-2x+3)在[1,3]上的最小值，求其值。解：令t=x²-2x+3=(x-1)²+2，在[1,3]上t单调递增，tmin=2，故tmin=ln2。参考答案：ln2。7.已知函数s(x)=2^x+2^-x在[0,1]上的值域，求其范围。解：令t=2^x，则t∈[1,2]，f(t)=t+1/t在[1,2]上单调递增，f(1)=2，f(2)=5/2，值域为[2,5/2]。参考答案：[2,5/2]。8.已知函数r(x)=x/(x²-1)在(-2,-1)上的值域，求其范围。解：令t=x/(x²-1)，则x=t(x²-1)，x²-tx-t²=0，Δ=t²+4t>0，x=t±√(t²+4t)，当t∈(-1,0)时，x∈(-2,-1)，故值域为(-1,0)。参考答案：(-1,0)。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.C3.A4.B5.B6.B7.D8.A9.C10.A解析：见各题解析。二、填空题1.312.(π/6,0)13.(-∞,1)∪(2,+∞)14.215.252.单调递增17.[3,+∞)18.π/219.(-1,0)20.3解析：见各题解析。三、判断题1.×22.√23.×24.√25.×26.√27.×28.√29.×30.√解析：见各题解析。四、简答题1.振幅为√2，周期为π，初相为-π/4。解析：q(x)=√2sin(2x-π/4)+1，振幅为√2，周期为2π/2=π，初相为-π/4。2.在(-∞,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增。解析：定义域为(-∞,1)∪(3,+∞)，令t=x²-4x+3=(x-2)²-1，当x∈(-∞,1)时，t单调递增，r(x)单调递增；当x∈(3,+∞)时，t单调递增，r(x)单调递增；当x∈(1,3)时，t单调递减，r(x)单调递减。3.2π解析：周期为2π/1=2π。4.x=1处极大值，x=2处极小值。解析：t'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，x=0时t'(x)不变号，x=1时由正变负，x=2时由负变正，故x=1处极大值，x=2处极小值。5.(π/3,0)解析：令2x-π/6=kπ+π/2，得x=kπ/2+π/3，当k=0时，对称中心为(π/3,0)。6.最小值为3，取值点为x=-0.5。解析：q(x)={3-2x,x<-1{1+x,-1≤x≤2{2x-3,x>2当x=-1/2时，q(x)取得最小值3，填3。7.最大值为ln4，取值点为x=2。解析：令t=x²-2x+3=(x-1)²+2，在[1,2]上t单调递增，tmax=4，故wmax=ln4，取值点为x=2。8.(-1,0)解析：定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)，令t=x/(x²-1)，则x=t(x²-1)，x²-tx-t²=0，Δ=t²+4t>0，x=t±√(t²+4t)，当t∈(-1,0)时，x∈(-2,-1)，故值域为(-1,0)。五、应用题