余弦定理-2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

2026苏教版高中数学必修第二册

第11章解三角形

11.1余弦定理

基础过关练

题组一已知两边及其夹角解三角形

1.(2025江苏镇江实验高级中学期中)在4ABC中,BO4,AC=5)2•010,则AB=()

A.2V5B.V2IC.5D.V4I

2.(2025江苏无锡锡东高级中学阶段性考试)在平面四边形ABCD

中,ND=90o,NBAD=12(r,AD=l,AC=2,AB=3j"BC=()

A.V5B.V6C.V7D.2V2

3.(2024江苏苏州昆山中学月考)在^ABC中，角A,B,C所对的边分别为

a,b,c,a=7,b=8,b>c,sin€=—,510c=.

14-----------------

4.在△ABC中加A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2>/3,c=V6+V2,sin(B+%1,解此三角

形.

题组二己知三边(或三边关系)解三角形

5.(2025江苏无锡锡东高级中学阶段性考试)在4ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

a：b：c=2：3：4小必ABC的最小内角的余弦值为()

A.；B；C.《D-2

816244

6.(2025江苏南京六校联合体调研汝I图,在直角△ABC中,NACB=9()o,AC=l,B03^E,F

是边BC上的两个三等分点，则cosZEAF=()

A.当B.嚓C.fD.亭

101055

7.（2025江苏镇江期中）在4ABC也角A,B,C的对边分别为a,b,c,若就2=2交，则cosA

的最小值为（）

A，YB.；C.yD、

2223

8.（多选题）（2024江苏苏州昆山中学月考）已知某锐角三角形的三边长分别为2,7,m,则实数

m的可能取值是（）

A.3V5B.4V3

C.7D.3V6

9.（2024江苏宿迁宿豫中学第一次学情调研）已知△ABC的三个内角A.B,C所对的边分别

为a,b,c,且（a+b+c）（b+c-a）=3bc.

（1）求角A的大小；

（2）若b+c=2a=2,求b,c.

题组三已知两边及其一边的对角解三角形

10.（2024江苏镇江中学学情检测）在^ABC中，已知B=120°,AC=/l9,AB=2,WlJBC=（）

A.lB.A/2C.-|D.3

11.已知在^ABC中，角A,B,C所对的边分别为a.b,c,且b=g,c=3,B=3O。,解此三角形.

题组四利用余弦定理判断三角形的形状

12.（2025江苏盐城五校期中联考）在^ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若23/5=空,

2a

则该三角形一定是（）

A.正三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰（非等边）三角形

13.（2025江苏西安交通大学苏州附属中学期中）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为

a,b,c,若cosA-cosB+竺=0,贝必ABC的形状是（）

C

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

14.（2025山东烟台第三中学月考）已知a,b,c是aABC的三边，若满足a2+b2=c2,W

（；）2+Q）2=lJUABC为直角三角形.类比此结论，若满足aWb"二炉（佗3,11£2,则4ABC的

形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.以上都有可能

题组五余弦定理的实际应用

15.（2025江苏盐城东台期中）如图,两座山峰的高AM=CN=200m,为测量峰顶M刃峰顶N

之间的距离，测量队在B点［A,B,C在同一水平面上）测得M点的仰角为45。,N点的仰角为

30。,且NMBN=45。,则两座山峰峰顶之间的距离MN=（）

A.200mB.400mC.200x/2mD.400V2m

16.（2025江苏无锡怀仁中学期中）我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图（1）,伞不管是张开还是

收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角NBAC,且AB=AC,从而保证伞圈D

能够沿着伞柄滑动.如图⑵,伞完全收拢时，伞圈D滑到D的位置，且A,B,D，三点共

线,AD=60cm,B为AD，的中点.伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离

为24cm,则当伞完全张开吐NBAC的余弦值是（）

A4

D'（D）

PP

图（D图（2）

17.(2025广东东莞第H^一中学段考)如图，甲船在点M处通过雷达发现在其南偏东60。方向

相距20海里的N处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从N处

向南偏西60。的方向行驶.日船立即通知在其正西方向且相距306海里的P处的补给船,

补给船立刻以25海里/时的速度与货船在H处会合.

(1)求PN的长；

(2)问补给船应行驶儿小时，才能与货船会合.

能力提升练

题组一利用余弦定理解三角形

1.(2025江苏无锡第三高级中学期中)在4ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=；,AD

是NBAC的平分线，点D在BC上,AD=V5,b=3c,则a=()

竺74

BC4

A.--

、33

2.(2024江苏张家港阶段性调研测试)在仆ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c、且2acos

B=c-a.当中取最小值时,A=()

O

A.-B,-C.-D.-

64312

3.(2025江苏无锡锡东高级中学期中)已知点G为三角形ABC的重心，且|忑?+痂|=|刀-说I,

当C取最大值时,cosC=()

A.gB.-C.-D.-

5555

4.(2025江苏常州前黄高级中学期初检测)如图，在△ABC中，角A,B,C的对边分别为

a,b,c,B=60。,若点D是BC边的中点，且AD=：b,则二二

2a

题组二余弦定理的综合应用

5.（2025江苏南京第二十九中学期中）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是

2外a=1,而芯=3，则卬1C的最大值为（）

A.gB.当C.vD.V3

432

6.（2025江苏扬州红桥高级中学期中）如图，在平面四边形ABCD

中,AB_LBC,NBCD=60。,NADC=150。,BE=3EC,CD=U，BE=V5,若点F为边AD上的动点,

则加•丽的最小值为（）

A.1B.-C.：D.2

1632

7.（多选题）（2024江苏南通如东期中）已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

-2,则（）

A.bcosA+acosB=V2

B.若科•在（0,贝而|:<4

C.若ABC周长的最大值为6

D.若则上的取值范围为（6,+8）

8.（2024江苏苏州大学附属中学检测）已知在△ABC与4ABC中,AB=AC,A与在直线

BC的同侧,AB+AC=AB+AC,直线AC与直线A'B交于O.

⑴若AB=2,AC=1,求sinA的取值范围；

（2）证明:OA>OA：

答案与分层梯度式解析

第11章解三角形

11.1余弦定理

基础过关练

1.B由题意得彳？♦沅=|*||在|cosC=20cosC=10,所以cosC=；,

所以AB^JN+BC^ACBCCOSC

=^25+16-2x5x4x1-721.

2.C在△ACD中，ND=90o,AD=l,AC=2,所以ZCAD=60°.又ZBAD=120°,所以

NBAL60。.

SAABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cosZBAC=9+4-2x3x2x1=7,W.

BC=V7.

3.答案3

解析因为b>c,所以B>C,又C是三角形的内角，所以C为锐角，故cos

C=Vl-sin2C=Jl-(m)=£由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=72+82-2x7x8x-^=9,J^rWc=3.

4.解析由sin(3+力=1得B+：=^+2k7t,keZ,即B=>2k/r,kWZ.又B为三角形的内角,JB4

由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB

=(2V3)2+(V6+V2)2-2X2V3X(V6+V2)XCOS^

=12+(付0)2-48x(VJ+l>8,Lb=2V2.

根据余弦定理得cos

2bc

_(2V2)2+(V6+V2)2-(2V3)2_1

2X2V2X(V6+V2)P

•・•Ae(o,兀),・・・A=^DC=H-+片含

34312

解题模板已知两边及其夹角解三角形时，可先用余弦定理建立关于第三边的方程，求出

第三边的长，再运用余弦定理求剩余两角中的任一角，最后用三角形内角和定理求第三个

角.

5.A由三角形中大边对大角知最小角为A,设a=2l,则b=3l,c=4l(l>0),由余弦定理得cos

.hr+^-a29/2+16/2-4r2217

A=--------=------------

2bc2X3/X4Z248

6.B由题意得CE=EF二FB=1厕AE=Vl2+l2=V2,AF=7l2+22=V5,

在^AEF中,由余弦定理得cos/EAF=嗤窸二=嘤.

21

7.A•・,BC=2肥福匚汨=-2函丽cosB,

a2=-2ac--z7h=-a2-c2+b2,2a2=b2-c2,

lac

故COSAJ；""b守）=2"?2詈=|,当且仅当:b2=|c2,即b=V3c时等号成立.故

zhc2bc2hc2bc222

cosA的最小值为J.

8.BC由三角形的三边关系知2+m>7且2+7>m,得5<m<9.

设该三角形中长为7,m的边所对的角分别为a,p,显然长为2的边所对的角必为锐角，

又该三角形为锐角三角形，

^+m2-72

cosa=->-0-,---〃a>45,

所以由余弦定理得2X2X/M即

22+72-m2.加2V53,

2x2x7>0,

解得3V5<m<V53,

所以实数m的取值范围是(36,同)，结合选项知B,C正确.

9.解析(1)因为(a+b+c)(b+c-a)=3bc,所以(b+c)?-a2=3bc,整理可得b2+c2-a2=bc,

由余弦定理可得cos人)毕=某=(

2bc2bc2

因为A£(0m),所以A』

(2)由⑴及题意知cosA=pa=1.

由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,Xb+c=2,所以l=4-3bc,所以bc=l,

所以b=c=l.

10.D由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2ABBCCOSB,

B|J19=4+BC2-2X2BCX(-0,

解得BC=3(负值舍去).

2222222

11.解析由b=a+c-2accosB,nJ^(V3)=a+3-2xax3xcos30。,所以a-3V3a+6=0>^

或a=2V3.

当a=V5时,a=b，所以A=B=30o,C=120°;

当a"©时,ssA-粤詈-景>。,

所以A=90°,C=60°.

12.B由2sin2-=l-cosB二"，得cosB=i--=:

2aaa

由余弦定理得=整理得aMy^+c?,且b与c的值不能确定，所以△ABC一定是直角三

2aea

角形.

13.D由cosA-cosB+"=0,得a-ccosB=b-ccosA,

c

由余弦定理得a-cx";l"二b-c」.

lac2bc

化简得上*

ab

当a2+b2-c2=()时,a?+b2=c2,此时△ABC为直角三角形；

当a2+b2-cV0时,a=b，此时△ABC为等腰三角形.

故4ABC为等腰三角形或直角三角形.

14.A因为a>0,b>0,c>0,吟3,所以an>0,bn>0,cn>0,

又an+bn=cn,0fW所以c>a,c>b,

所以%1,C为〉ABC的最大内角.

CC

由an+bn=cnW(；y+Q)?，=l,

易知针+(沪纣+(步1，则a2+b”，

则cosC=Wi>0,所以0<C<*

lab2

故4ABC为锐角三角形.

15.C在Rt/kABM中,BM=-聋=200V5(m),

sm^ABMsm45

在RtABCN中,BN=#嬴=2^=400(m),

sinCBNsin300

在^BMN中,由余弦定理得

MN=JHV/2+BM・2BM・BNCOS[W8N

=J(200V2)2+4002-2X200>/2X400X=200V2(m).

16.A

信息提取

当伞完全收拢时,AB=BD=：AD;

当伞完全张开时,AD=AD124,NBAC=2NBAD.

解析当伞完全收拢时,B为AD的中点，故AB=AC=BD=；AD=30cm.

当伞完全张开时,AD=AD：24=60-24=36(cm),

加+加上£>2900+1296-9003

在aABD中,由余弦定理得cosNBAD二：

2ABAD2x30x365

7

故cosZBAC=cos2ZBAD=2COS2ZBAD-I

17.解析(1)由题意得ZPMN=90°+60°=l50°,

PM=30A/5海里,MN=20海里,

在^PMN中,由余弦定理得

PN力2700+400-2x30V5x20xcosl500=7()(海里).

⑵由余弦定理得cos/MPN=等需甯="，则sinNMPN[,

2^30v3x7077

所以cosZPNH=cos(ZMPN+90°-60°)=COS(ZMPN+30°)=cosZMPNcos30°-sinZMPNsin

30。』迎」xU

~727214

设当补给船与货船会合时,补给船行驶的时间为t小时，则HN=15t海里,PH=25t海里.

在^PNH中,由余弦定理得cos/PNH=号斐衿=9解得t=2或t=(舍去),

Zx/UxIJZ14o

故当补给船与货船会合时,补给船行驶的时间为2小时.

能力提升练

1.A因为AD是NBAC的平分线，所以NBAD=NCAD二£,

6

在^ABD中,由余弦定理得BDJAB2+AD2-2AB-AD・COSE=C2十3-3c,①

6

在^ACD中,由余弦定理得CD?二AC2+AD2-2ACAD-COS2b?+3-3b,②

6

由角平分线定理得多=第所以CD=3BD,

ACCD

由①@得9(c2+3-3c)=b2+3-3b=9c2+3-9c,解得c=：,b=4,

所以在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosZBAC=16+-^-2x4xjxcos^=-^,j?fVX

4夕

a=~T'

2.B由2acosB=c-a结合余弦定理,

得2a二c・a,整理得c=--a,

2aca

r-r-12c+6a2b,4a-\2b4«.rr

所r以丁=丁=了+了之2J77=4近,

当且仅当詈生即b二缶时，等号成立,

扇2222

此.ip时n-f-milAb^+c-a2a+a-a41

c=—aa=a,wycosA=—2bc—=2V2a22,

因为A£(0孤),所以

3.A由|瓦J+痂|=|五?一6^得(%5+GS)2=(M—通)2,

r.i・—2■■■»2・一.,，…■■■■>2—>2•一,•一)

即G4+GB+2GAGB=G4+GB—2G4GB,

所以GJ,=0,故AG1BG,

_・・・・)7|1・一•■・—♦1...•一・・•

又0T/G=；x；C-^AB)=；(ACh4B),

BG=:x；(BA+BC―{(BA+BC),

—..--->--->1>>>>1>>>>>>>>

所以AGBG=3(AC七4B>(B4+BC)=35CBA+ACBC+/iBBA七4BBC)=。,

所以科宣=彳乙方十瓦7•耳&前:

设aABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

则abcosC=bccosZBAC+accosZABC+c2,

222

由余弦定理得ab・/=bc,宇+ac•乎+c5整理得a+b=5c,

2ab2bclac

所以cosC=4巳+旦=：,当且仅当a=b时等号成立，

lab5\ba)5ba5

又y=cosx在。兀)上单调递减,C£(0,兀),所以当C取最大值时,cosC=g.

4.答案!

解析在^ABC中,由余弦定理得cos=；,

lac2

即a2+c2-b2=ac@,

在^ABD中,由余弦定理得cosB=3苦丈=；,

2c乎2

即c2+\a2-7b2=^ac@,

442

联立①②，消去b整理得a=3c,故£=；.

a3

考场速解在^ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,D,E,F分别为BC,AC,AB的中点,

则中线长AD=；J2s2+c2)-〃2,BE=；j2(a2+c2)-b\CF=；^2(a2+b2)-c2.

故本题可由此结论直接得到g=g12(如+c2M2,即b2=2b?+2c2-a2,即b2+2c2-a2=0,

由余弦定理得a2+c2-2ac-cosB+2c%2=0,则3c?=ac,得±=L

a3

5.B由方・反?=g得|函|配|cos(兀-B尸-acosB=g,所以cosB=-(,

22

在^ABC中,由余弦定理得b?=a2+c2-2accosB=a+1-2xax1x(-j;)=a+2,

a2+b2-c2_2«2+l

又cosC=

lablab

所以sinC=V1-cos2C=J1-(^77-)=

N\labJlab

u匚［、1sin。J4a2-1j4a2/~

所以tanC=—=T-VT=

cosC2a-+1(2a2+l/

令4a2-l=t(t>0),可得a2=^-,

则g,=4=」_

"(2宗+1)2岸+61+9平6’

因为口=6,当且仅当苜,即1=3时等号成立,所以离7c，所以tanC<^

IyII(2a-+l)55

故tanC的最大值为当

6.B以B为原点,BC,BA所在直线分别为x,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,

则CE=；BE=f,BC=BE+CE=竽，

连接BD,DE/aBCD中,曰余弦定理得BD=1件J+律j办#x苧xcos600=2,

所以BD2+CD2=BC2,W以NBDC=90。,故NDBC=30。，

在△CDE*44,由余弦定理得

DE=J停)2+件)2办畀竽XC0S60O=1,

所以CE2+DE2=CD1所以NDEO90。，

因为/ADC=150。,/BDC=90。,所以ZADB=60°,

因为人8_1_8(2,/»8030。,所以/人8口=60。，

故4ABD为等边三角形，则AB=BD=2,

所以A(0,2),D(V3,l),E(V3,0),

设F(x,y),由题意可令乔=丽(0451),即(x,y・2尸入(V5,・1),

解得x=V以,y=2/所以F(V3X,2-X),

所以乔・格(6入-75,21)