2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷【测试范围：人教B版选择性必修第二、三册】（全解全析）

高二数学下学期期末模拟卷（人教B版）

全解全析

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.在线性回归模型中，能说明模型的拟合效果越好的是（）

A.残差图带状区域越宽B.残差和越小

C.决定系数R2越大D.相关系数，,越大

【答案】C

【详解】A选项，残差图带状区域越宽，说明误差大，模型的拟合效果越差，A错误；

B选项，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，B错误；

C选项，决定系数解越大，模型的拟合效果越好，C正确；

D选项，相关系数卜|越大，说明两个变量线性相关性越强，与模型的拟合效果无关，D错误.

故选：C

2.已知数列｛4｝是等比数列，满足2卬〃4=始，则数列｛凡｝的公比为（）

A.8B.6C.4D.2

【答案】D

【详解】设等比数列｛%｝的公比为9,根据等比数列通项公式%=%夕小可得：

闻:代入已知等式2卬/4=1：2%=（qg2）2

等比数列中。尸0,两边约去温得：2/,整理得2）=0,

又公比940,因此q=2.

3.某文创社有5款徽章设计稿，4款钥匙扣设计稿，现从中随机选3款设计稿制作成品，则被选中的设计

稿中恰有2款徽章设计稿的概率为（）

A.3B.Ac.3D.|

211477

【答案】A

1/16

【详解】依题意从9款设计稿中任选3款的试验有Cj个基本事件,

被选中的设计稿中恰有2款徽章设计稿的事件有C；C；个基本事件,

所以所求概率为r2由C'=《40=怖10.

故选：A

4.设函数/(x)=；--91nx在区间[a1,。11]上单调递减，则实数a的取值范围是(〉

A.(1,2]B.H+8)

C.(F,2]D.(0,3]

【答案】A

o

【详解】/(X)的定义域为(0,y)/3=X,，

X

由f(x)«0.加翠得0vx«3.

4—1>0

由题意知<

6/+1<3

解得1VQ42.

故选：A

27

5.甲、乙两球队比赛,设事件4="甲队主力球员首发“，事件8=“甲队获胜”，据统计，尸(4)=『尸⑻力)=谈

尸(川笈)二=，甲、乙两球队在2026年计划比赛共计12场.设甲队获胜的场数为X,若每场比赛的结果相

互独立，则£(*)=()

715

C.D.

5~2

【答案】B

【详解】根据概率的乘法公式,

277

得P(AB)=P(/)P(创力)=；x10=A,

根据条件概率公式得P(A\B)=空警

7

P(AB)157428

可得尸(E)=-------=—―=--X-=--

P(A\B)315345

4

由于每场比赛的结果相互独立,

2/16

（7Qooi

所以甲队获胜的场数x〜812,芸,从而E（X）=12x焉=于.

k45J4515

故选:B.

6.己知数列｛5｝的前〃项和为S”，且q=l,S”=2〃-1.在数列｛4｝的每相邻两项为、a1之间依次插入

、4，得到数列｛"｝：%、《、。2、q、。2、%、丹、的、%、％、……，｛4｝的前22项和

为（）

A.34B.36C.37D.39

【答案】C

【详解】由题意有:当“22时，2〃-1）-（2〃-3）=2,

l,z/=1

所以％

'2fn>2

所以数列｛，｝：1』,2』,2,21,2,22…，

设1+2+3+…+〃="（"1%22,所以〃2+〃一4440，

2

XweN,»所以“46,

所以｛〃｝的前22项是由7个1与15个2组成.

所以｛瓦｝的前22项的和为:7x1+15x2=37,

故选：C.

7.甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1〜6,两人各随机出牌1

张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复

上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌X次，则

P（X=4）=（）

A•士B.三C.上D.芸

16326464

【答案】D

【详解】甲乙每次出牌1张，若两人出牌的点数都是偶数或都是奇数，则平局，

2x3x3I

所以平局的概率Pl=T2!2=7，

6x62

若甲胜,则结果有（2,1）、（3,2）、（4,1）、（4,3）、（5,2）、（5,4）、（6,1）、（6,3）、（6,5）,共9种,

3/16

91i

所以甲胜的概率为P2==:，同理乙胜的概率也为：，

6x644

flY1

各出牌4次后停止游戏，若4次全平局，概率为:=白；

若平局2次，则最后1次不能是平局，

另外2次甲全胜或乙全胜，概率为■丫XLX1X2=3,

[4)2232

若平局。次，则一方3胜1负，且负的I次只能在前2次中，概率为C总x(/2=专,

所以P（X=4）=—+—+—=—

1716326464

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是分类的标准.

(0,4-0)),当々>芭>0时，不等式‘墟一'㈤<()恒成立，则实数”的取

8.已知函数/(工)=?一如2

值范围为()

ee*

A.一QO.——B.—oo.—C.D.-00,-

12122

【答案】A

【分析】

【详解】当当>%>。时—，不等式/㈤-£®<o恒成立

色1,41<。可变形为XJ(xJ<x2f(x2),

%再

设g(x)="(x)=c'—a/，

那么当电>X>0时，有或修)>g(”,即g(x)在区间(0,+8)上单调增,

grW=e，-3adN0在(0,+3)上成立,即3〃4冬,

x

设h(x)=斗，那么h,(x)=』一瓶,

令心)=0,得x=2,

令力'(x)>0,得x>2,

令力'(x)<0,得0<x<2,

4/16

所以，函数y=A（x）在x=2处取得极小值，也就是最小值，

2->/2'

3a"（x）.实数，的取值范围为一双百.

'"n412I12

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.若+%（K—1）十%（%-1）.+…+%（X—1）8一/一#6,贝I］（

A.即=】B.。［+。2+一+/=192

C.43+%=91D.《+%+%+%=98

【答案】BC

【详解】对于A选项，令x=l,则原式等于/+%（1-1）+%。-1）2+—+6（1-1）;/一16,即为=0,故A

选项错误：

对于B选项，令x=2,则原式等1%+q（2-1）+%（2-1）?+…+%（2—=2*—2,，又因为4=。，

故％+生+…+%=28-26=192,故B选项正确；

对于C选项，./=。-1+1）8,1=口一|+1）6,

则%=《-或=56-20=36,%=C：-C：=70-15=55,

故%+%=36+55=91,则C选项正确.

对'FD选项，令x=0,则原式等于-q+七+…+仆=0*-。"=0，

即/+4+%+%=。2+%+4+。8，由B选项得〃1+〃3+/+。7=96,故D选项错误；

10.下列说法正确的是（）

19

A.在一个有限样本空间中，假设尸（4）=尸（8）二葭且力与8相互独立，则尸（478）=3

B.已知随机变量贝iJE（3J_2）=l

C.根据分类变量X与y的成对样本数据，计算得到/=9.850,依据。=0.01的独立性检验（宏01=6.635）,

可判断x与丫独立

D.若随机变量X~N（5,/）,且尸（XN3）=4P（XN7）,则P（3<X<5）=&

5/16

【答案】BD

【详解】对于选项A：因为力与8相互独立，则尸（/也）=P（力"（4）=，

所以P（4u4）=尸（力）+尸（4）—夕（彳8）=；+"—［=故A错误；

对于选项B：因为随机变量"小制，则£©=4x；=l,

所以E（3J2）=3矶看）2-1,故B正确；

对于选项C：因为迷=9.850>6.635=23,

根据依据a=0.01的独立性检验原则，可知分类变量X与y相关，不独立，故c错误；

对于选项D：因为随机变量x〜N（5,〃），且手=5,

则P（XN3）=；+尸（3<X<5）,P（%>7）=^-P（5<%<7）=P（3<^<5）,

又因为P（XN3）=4P（XN7）,则尸（3<X<5）=4（；-尸（3<X<5））,

即5P（3<X<5）=g,解得/>（3<X<5）=2,故D正确；

故选：BD.

11.在正项数列｛/｝中,%+。2=1°，且对任意用，〃eN*,mnam+n=（rn+n）amant数列也｝的前“项和为

S"，”=11%-石?-/（〃2+6）2田，则下列说法正确的是（）

A.%=6

B.%。=10240

C.若f=0,且｛"｝是递增数列，则4的取值范围为（-8,44，

D.若4=0,f=l,则可—［（〃>q）的最大值为32

【答案】BD

【详解】对任意机，〃eNlnuiam^=（m+n）aman,令加=〃=1,

得马=2a「q,由q+%=10,得q+2a；=］（）,

因为外>0,所以卬=2,

对任意机，〃€N'，ntna,„+„=(w+ri)aman,令6=1,

6/16

得，吗+.=(l+〃)qa”，

所以数列4•为等比数列，且首项为?=2,公比为2,

则％=得知=小2",

n

则马=2X22=8,故A项错误；

a10=10x2'°=10240,故B项正确；

n

对于C项，若/=0时，bn=1\an-Zn=\\n12—2.n,

由凡｝是递增数列，得biH，

得15・2”—力？<11(〃+1)-2"“一2(〃+1).

得人<11・2"(〃+2),

令c“=112(〃+2),

c,巾2向(〃+1+2)2(〃+3)

则上L=----------———二」——^>1,

1112(〃+2)n+2

得数列｛%｝为递增数列，最小值为G=11•2](1+2)二66,

故人<66.故C项错误；

对「D项，若4=0,/=1,得”=11小2"-(〃2+6)2””=(11〃-2〃2-12卜2”,

则〃,二(3—2〃)(〃—4)2,

得4<0也=8〉0也=24>0,/=0，当〃25时，都有“<0,

则可一冬(〃>9)的最大值为$-，二号一$=4+4=8+24=32,故D项正确.

故选:BD

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2

12.某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是从中随机选择4粒种子进行播种，则恰有3

7/16

粒种子发芽的概率是.

32

【答案】

O1

【详解】根据题意，种子发芽的粒数X,

P(X=3)=C：曾0]=必,

所以恰有3粒种子发芽的概率是关

O1

故答案为：首32.

OI

13.在正项数列｛4｝中，q=1，记”=(见+])(二：1)(凡+%)，整数〃，满足

lg(l严3+[)<m<lg(10,224+1)，则数列｛4｝的前加项和为.

【答案】217

36

【详解】在正项数列｛%｝中，％=1，屋

所以数列｛〃；｝是以。：=1、公差”为1的等差数列，

所以d=1+(〃-1)x1=〃，即%=«,

一,=__________I___________=_____________1_____________

所以"(%+1)(,+1)(%+-)(«+i)(V^7T+i)(M+4TT)

J〃+l_五_11

+1)(J〃+1+1)6+1yjn+i+1

因为整数小满足lg(l(产3+1)<小<怆(10田+1),

所以1223<lg(1。|223+[)<m<lg(io1224+l)<1225,

又收(10a4+1)>1224,所以机=1224,

所以数列｛4｝的前1224项和为4地+...+/23+九24

8/16

故答案为：917

36

14.对于两个事件M,N，若O＜P（M）＜1,O＜P（N）＜1，则称尸也川）=存质而加而为事件

〃,N的相关系数.在春暖花开、风和叶翠的季节，小张、小李、小王、小刘四人都计划周末去踏青，现有

四个可出游的景点：玄武湖、梅花山、牛首山和银杏湖，每人只能去一个景点，若事件M：梅花山景点至

少有一人；事件N：牛首山和银杏湖两个景点恰有一个景点尢人，则事件A/,N的相关系数为

19屈

【答案】

819

【详解】事件M：梅花山景点至少有一人，则事件而：梅花山景点无人,

则尸⑻4=露所以尸（“）=」尸⑻=＞哉=费

事件N：牛首山和银杏湖两个景点恰有一个景点无人，

C；（C：+C：X2+C；X22+C：X23）_

所以P（N）=65

"128

所以尸伊）=1-/＞（N）=1-黑=黑.

事件MN：梅花山景点至少有一人，牛首山和银杏湖两个景点恰有一个景点无人,

C：C；（C；+C；+C：：）+C；C；（C；+C；）+C：C；JOO=25

P（MN）=P-256-64

2517565—

所以尸（M、N）=J（MV）-P（M）P（N）==一双=19>/65

JP（A/）P/）P（N）P（间1175x81.65.63819

VV256256128128

故答案为：喏

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）已知函数/卜）=工3+/一8.丫+7

⑴求函数/（4）的单调区间和极值；

（2）若方程〃x）=。恰有一个实数解，求实数。的取值范围.

【详解】（1）/（x）=x3+x2-8x4-7,/V）=3X2+2X-8.

9/16

4

令f'a)=O.解得工=一2或x=§............................................................2分

4(*+x)

(-8,-2)-2(-斗

-X)+0一0+

413

/(X)递增极大值〃-2)=19递减极小值/(9=券递增

J/

...........................................................................................5分

44

/(工)的单调递增区间为(-%-2)和(§,+8),单调递减区间为(-2,§),

/(工)的极大值为/(-2)=19,f(x)的极小值为/《4)=段13......................................7分

(2)由⑴可知/(•»)的极大值为"-2)=19,/(x)的极小值为4三1券3.....................9分

当1--00,/*)-—8,工7+8,/口)-+8,作出/(口的大致图象如下：

.................................................................11分

要使J\x)=a恰有一个实数解，则y=f(x)的图象与y=。的图象有且仅有一个交点，

由图象可得。的取值范围为(F，5)U(19,+a))...............................................13分

16.(15分)一个研究性学习小组为了了解某市市民2026年春暇旅游支出情况(单位：千元)，对随机选

取的100名市民2026年旅游支出进行问卷调杏，并把数据整理成如下表所示的频数分布表:

组别(支出费

[0,2)[2,4)[4,6)[6，町[8,10)[10,12)[12,14)[14,16]

用)

频数4310183212129

(I)从这100位市民中随机抽取两人，求这两人2026年旅游支出费用均不低于10000元的概率;

(2)若市民2026年旅游支出费用X近似服从正态分布〃近似为样本平均数f(同一组中的数据用

该组区间的中间值代表)，。近似为样本标准差-并已求得$=利用所得正态分布模型解决以下问题:

10/16

(i)假定该市2026年常住人口为1000万人，试估计有多少市民2026年旅游支出费用在15000元以上；

(ii)若在该市随机抽取3位市民，设其中2026年旅游支出费用在9000元以I：的人数为4,求施机变量J的

分布列和数学期望.

附：若X~N,则P(ju-a<X<ju+a)^0.6827,P(〃-2a<X<//+2<r)«0.9545,

P(u-3(y<X<p+3(r)^0.9973.

【详解】(1)由频数分布表知,旅游支出不低于10000元的市民人数为：12+12+9=33人,.....1分

innQQ

则从100人中随机抽取2人的总情况数为：(:盆二笠x二=4950；

符合条件的情况数为：《3=若必=528；

「2rooO

符合条件的概率为：?=忒=破林........................4分

(2)由频数分布表，结合题意可得各组中间值为：1,3,5,7,9』1』3』5,

1x4+3x3+5x10+7x18+9x32+11x12-13x12+15x9

则样本平均数为〃=尤=

100

已知o=su3,则X~N(9,32)；.............................................................6分

(i)15000元即为15千元，则I5=9+2X3=〃+2(T,

由正态分布的性质：尸(〃一2。WX«〃+2b)之0.9545,

贝ijP(X>15)=?(X>〃+2(T)="。；545=002275,.........................................8分

该市1000万市民中,支出在1500Q元以上的市民人数约为:

100()X0.02275=22.75万人..................................................................9分

(ii)9000元即9千元，正态分布关于〃=9对称，则P(X>9)=0.5,

随机变量4表示支出在9000元以上的人数，故彳..................................1()分

则P(g=0)=C；3=",p(g=i)=C(；",P(g=2)=4"，

尸(f=3)=C；、［=，...................................................................12分

则随机变量4的分布列为:

0123

11/16

33

P

8888

..................................................................................................................................................................................14分

数学期望为：

£（f）=/?/?=3x1=-|............................................................................................................................................15分

17.（15分）己知｛%｝是公差为N”。）的等差数列，前〃项和为S”，且外出、%三项成等比数列，

邑=24,数列也｝的前〃项和为7；,且满足勺=%,”“=27；+3,q=a也,数列£｝的前〃项和为此.

⑴求数列｛%｝和｛a｝的通项公式：

R

（2）求证：｛旦｝是等比数列；

n

I111,1

（3）求证：—।++—<1---------

（>不$s,s3s“«+r

【详解】（1）等差数列但“｝中，司=4%+6"=24=2%+3d=12,.......................................................1分

又％、%、％三项成等比数列，则有“臼3=端，即a；+12%d=a；+6qd+9d2,

因为4工0.整理得2%=3d,.............................................................................................................................2分

2q+3"=12...

由12a=3d可解得q=3,d=2,

所以a”=2〃+1........................................................................................................................................................4分

又加=21+3,所以a=2%+3(〃22),

两式相减得西「“=2区-射)=2bti(〃22),所以bn+}=3bn(n>2),

又4=q=3也=27；+3=2乙+3=9,满足b2=3A,所以bn+}=3bn(n>I),

所以也,}是首项为3,公比为3的等比数列，bn=3"......................................................................................6分

(2)%=。“"=(2〃+1)-3”,则有凡=33+5+2+7・33+…+(2力+1)・3"

23,,n+,

3Rf=3-3+5-3+---+(2»-l)-3+(2/7+l)-3................................................................................................7分

两式相减得-2&=9+2(3?+m+…+3")-(2〃+1)•3川

12/16

9一？

=9+2--------(2/7+1)-3n+,=9+3'川一9一(2〃+1)•3'川=一2〃•3"、

1-3

所以(=〃・3川，............................................................................9分

丸

Rlrt+1R

所以=3r=3,且?=32=9/0,

n31

n-\

所以｛&｝是等比数列得证..................................................................11分

n

(3)因为SJ是等差数列，4=3,d=2.可求得50=/+2〃，

所以£=占=35一£)，.............................................................12分

11111.八1、/I」1、J1、1

所以“丁才……+工=/一才夕/勺一？.•…七一启

=1(1+1-J---L)=3—!________14分

22〃+1n+242(/2+1)2(〃+2)'..............................................77

…「311-1、I11-〃2-3〃八

42(〃+1)2(〃+2)n+\2(〃+1)2(〃+2)44(〃+1)(〃+2)

111I,I

所以不+^+不++不<-—77得证....................................................15分

313、Sy3〃/i+1

18.(17分)已知函数/'(x)=(x-2)e、-ga/£R)

⑴当a=l时，求曲线V=/(x)在点(2,/(2))处的切线方程；

(2)分析/(无)的单调性;

⑶当x>2时，/(力20恒成立，求a的取值范围.

【详解】(1)当。=1时，得到/(x)=(x—2)e，—gx2+x,则/⑵=0,

/'(x)=(x—l)e、-x+l,则左=/'(2)=d一1...................................................2分

所以切线方程为N=(金一1)(、—2),即④_y一2(e2-1)=0.................................4分

(2)由题意得/(力=(》-2声一:心+如，

可得/”)=(%-1)。'-。工+。=(工-1)(。"-。)，................................................5分

当a«0时，当xe(-8,l)时，/'(外<0,/(》)单调递减，

当ie(l,+8)时，r(x)>()./(%)单调递增;..................................................7分

13/16

当a>0时，/'（X）=0的解为%）=ha,x2=1,

①当lna=l,即。=e时，/'(xRO,则/(x)在(-8,+8)上单道递增；.........................8分

②当hia<I,即Ovave时,

在区间(一%Ina),(1,+动上，f\x)>0,在区间(山。,1)上，/5<0,

所以/(x)的单调增区间为(七,Ina),(1,3)：单调减区间为(Ina,1)；..........................10分

③当lna>l,即a>e时，

在区间(y,l),(lna,+a?)上，八刈>0,在区间(l』na)上，/"(x)vO,

故f(x)的单调增区间为(-81)，(Ina,+功；单调减区间为..............................12分

(3)由题意得当4>2时,/(%)20恒成立,

等价于“当x>2时，(X-2)cx-1^+ax>0恒成立”.

即-x｝4(x-2)c，在(2,+<»)上恒成立.

12.

此时彳/一x>0,所以“一一丁恒成立.............................................14分

2—x-x

2

设g(x)=竺，则£")=生?1,

•VX

因为x〉2,所以g'")>0,所以g(x)在区间(2,+8)上单调递增.

所以g(x)>g(2)=e2,所以

综上所述，。的取值范围是(一8送1.........................................................17分

19.(17分)定义：对于数列｛%｝,若存