2026年中考数学：一次函数的图像与性质（知识解读+例题讲义）解析版

第10讲一次函数的图像与性质

3"知识导航.‘十才

知识点1：一次函数的基础

知识点2：一次函数的图像与性质

知识点3：一次函数与方程（组）、不等式

知识梳理“力

知识点1：一次函数的基础

1.一次函数的定义

1）正比例函数的定义：一•般地，形如尸kx（kWO）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比

例系数.

2）一次函数定义：如果y=kx+b（k,b是常数，k#0）的函数，叫做一次函数，k叫比例系

数。

注意：当b=0时，一次函数丫=1^+6变为y=kx,正比例函数是一种特殊的一次函数。

2.求解析式步骤

基本步骤：设、歹！1、解、写

⑴设：设一般式y=kx+b

⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组）

（3）解：解出k、b；

⑷写：写出一次函数式

知识2：一次函数的图像与性质

1.正比例函数的图像与性质

图像经过象限性质

k的符号

y

i

k>0第一、三象限y随x的增大而增大

y

卜

k<0第二、四象限y随x的增大而较少

_|

总结：正比例函数歹=*0）的图像是经过原点（0,0）的一条直线

2.一次函数的图像与性质

3.正比例函数与一次函数图像的关系

一次函数的图像可以由对应的正比例函数图像平移得到：遵循“上加下减”的规律：

若b>0：将正比例函数y=kx的图像向上平移旧个单位，得到一次函数y=kx+b的图像:

若b<0：将正比例函数y=kx的图像向下平移向单位，得到一次函数y=kx+b的图像；

知识点3：一次函数与方程(组)、不等式

1.一次函数与一元一次方程

对于一次函数y=kx+b(k#0),解一元一次方程kx+b=O,等价于求函数值y=0时自变量x

的值，从图象上看，就是直线产kx+b与x轴交点的横坐标。

2.一次函数与二元一次方程组

二元一次方程组的解就是两个一次函数图象的交点坐标(x,y)。

3.一次函数与一元一次不等式

对于一次函数y=kx+b(k=0)：

(1)解不等式kx+b>01求函数值地时x的取值范围，对应直线在x轴上方部分的横坐标;

(2)解不等式kx+b<09求函数值v<0时x的取值范围，对应直线在x轴下方部分的横坐标

FT题型精讲

【题型1一次函数的平移问题】

【典例1】(2025•陕西・中考真题)在平面直角坐标系中，过点(1，。)，(。，2)的直线向上平移

3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是()

A.(1-3)B.(1,3)C.(-3,2)D.(3,2)

【答案】B

【分析】本题考行了一次函数的平移性质，求一次函数的解析式，先根据点(L0),

(0,2),求出这条直线的解析式为y=-2》+2,结合平移的性质，得平移后的立线解析

式为y=-2x+5,再将每个选项进行验证，即可作答.

【详解】解：设过点(1,0)，(。，2)的直线解析式为y=kx+b(k=0),

把点(L0)，(0,2)分别代入y=k%+b.

A+

o+

(k=-2

••Ib=2，

'-y=—2x+2,

•.•过点(1,0),(0,2)的直线向上平移3个单位长度，

.•.平移后的直线解析式为y=—2x+2+3=—2x+5.

当x=l时，则y=-2x1+5=3,

即（L3）在直线/=一2%+5上，故B选项符合题意，故A选项不符合题意；

当％=3时，则y=-2x3+5=-L

即（3,-1）在直线丫=一2汇+5上，故D选项不符合题意；

当％=-3时，则y=-2x（-3）+5=11,

即（一3,11）在直线y=-2x+5上，故C选项不符合题意；

故选：B

【变式1】（2025•天津•中考真题）将直线y=3%-l向上平移m个单位长度，若平移后的直

线经过第三、第二、第一象限，则m的值可以是（写出一个即可）.

【答案】2（答案不唯一，满足m>l即可）

【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平

移规则求出新的解析式，根据图象经过第三、第二、第一象限，得到无>0力>0,进行

求解即可.

【详解】解：由题意，平移后的解析式为：y=3x-l+m,

•••平移后的直线经过第三、第二、第一象限，

.,•m-1>0,

-m>1：

••.m的值可以是2；

故答案为：2（答案不唯一，满足即可）

【变式2】（2024•西藏•中考真题）将正比例函数y=2x的图象向上平移3个单位长度后得

到函数图象的解析式为.

【答案】y=2x+3

【分析】本题考查了一次函数的性质-平移，根据一次函数平移的特点求解即可，掌握一

次函数平移的特点是解题的关键.

t详解】解：正比例函数y=2%的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式

为：

y=2x+3,

故答案为：y=2x+3.

【变式3】（2023•湖南娄底•中考真题）将直线y=2%+1向右平移2个单位所得直线的表达

式为（）

A.y=2x-lB.y=2x-3C.y=2%+3D.y=2x+5

【答案】B

【分析】直接根据“左加右减，上加下减〃的平移规律求解即可.

【详解】解：将直线y=2%+1向右平移2个单位，

所得直线的解析式为y=2Q—2）+1,

即y=2x—3,

故选：B.

【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这

样一个规律“左加右减，上加下减".

【题型2据一次函数解析式判断其经过的象限】

【典例2】（2020•湖北荆州•中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数y=x+l的图象是

【答案】C

【分析】观察一次函数解析式，确定出上与。的符号，利用一次函数图象及性质判断即

可.

【详解】解：•.•一次函数产x+1，其中g1>0,Z）=l>0,

•••图象过一、二、三象限，

故选C.

【点睛】此题主要考查一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关

键.

【变式1】（2024・四川•中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数y=x+l的图象不经过

的象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】本题考查一次函数的图像，掌握根据A,力的符号正确判断一次函数图象经过的

象限是解题的关键.根据A,8的符号判断直线所经过的象限，然后确定必不经过的象限

即可.

【详解】解：•由已知，得：k=1>0,b=1>0,

图象经过第一、二、三象限，

•••图象不经过第四象限.

故选：D.

【变式2】（2024•甘肃临夏・中考真题）一次函数、=此一1（kHO）,若y随x的增大而减

小.则它的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】根据一次函数的图象当上V0时，一定经过二、四象限且y随x的增大而减小,

结合加-1即可得出结论.

【详解】解：••・一次函数y=履一1（kHO）,若丁随X的增大而减小，

•••图象一定过第二、四象限，

•••该一次函数一定过第二、三、四象限，不过第一象限，

故选：A.

【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解答的关键.

【变式3］（2023•广东广州•中考真题）己知正比例函数以=QX的图象经过点反比

例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数y=ax+b的图象一定不经过

（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】根据正比例函数为=3的图象经过点（1，-1），（1，-1）在笫四象限，推出a<0,

根据反比例函数丫2=：的图象位于第入第三象限，推出匕>0,则一次函数'=。》+卜

的图象经过第一、二、四象限，即可解答.

【详解】解：•••正比例函数%=QX的图象经过点（1，-1），（1，-1）在第四象限，

・•.正比例函数%=ax经过二、四象限，

•••a<0,

・♦•反比例函数为=^的图象位于第一、第三象限，

:b>0,

••・一次函数、=。％+6的图象经过第一、二、四象限，

则一次函数y=QX+b的图象一定不经过第三象限，

故选：C.

【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，解题的关

键是掌握一次函数和反比例函数的图象和性质.

【题型3比较函数值大小】

【典例3】（2025•山西吕梁•三模）已知点力（5,丫1）和双4,%）都在直线>二一7%+8上，则

力、丫2的大小关系为.

【答案】见<月

【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，先判断出一次函数的增减性，再根据

自变量的大小判断即可.

【详解】解：；一次函数y=-7x+b中k=-7<0,

号随着x的增大而减小，

•••5>4,

二为<，

故答案为：为<丫2

【变式1】（2025•广东东莞•二模）已知点力（-2即），8（>）在一次函数丫=-2%+1的图象

上，则用与“的大小关系是（）

A.m=nB.m<nC.m>nD.无法确定

【答案】C

【分析】本题考查了•次函数的性质.欲求m与九的大小关系，通过题中k=-2即可判

断y随着%的增大而减少，就可判断出m与九的大小.

【详解】解：•••y=-2x+l,

;k=-2V0,

・•・y随着》的增大而减少，

•••点4（-2M），牖,n）在一次函数的图象上，一2<卷

:.m>n,

故选：C.

【变式2］（2025•山西临汾•三模）若点4（一2,%）,8（3”］，。（1,乃）在一次函数7=2025Y+TH

（加是常数）的图象上，贝。1，为，乃的大小关系是（）

A.71>y2>yaB.y2>yi>y3c.y2>y3>为D.y3>y2>y\

【答案】c

【分析】本题考查一次函的增减性，掌握一次函数的增减性成为解题的关键.根据当

k>0时，y随x的增大而增大进行求解即»J.

【详解】解：■.火=2025>0,

W随x的增大而增大.

v-2<1<3,

•••力>y3>yi-

故选C.

【变式3】（2025•广东清远•二模）已知一次函数y=—5%+匕图象上两点｛（3,%）、B

（1,乃），则y”丫2的大小关系为（）

A.yi>y2B.yi<y2C.7i=y2D.不能确定

【答案】B

【分析】本题考查了•次函数的性质，掌握仅>0时，y随工的增大而增大；kVO时，y

随力的增大而减小”是解题的关键.由题意可知，k=-5<0,那么y随力的增大而减小,

即可得出答案.

【详解】解：•••一次函数y=—5%+b,

•••上=—5<0，

・•.y随工的增大而减小，

0•,y=-5%+b图象上两点A（3,yj、B（l,%），3>1,

二为<丫2,

故选：B.

【题型4根据一次函数的增减性求参数】

【典例4】（2025•黑龙江大庆•中考真题）写出一个图象与y轴正半轴相交，且歹的值随x

值增大而增大的一次函数表达式.

【答案】y=X+l（答案不唯■）

【分析】本题考杳了一次函数的图象与性质，一次函数图象与坐标轴的交点问题，熟练

掌握一次函数的图象与性质是解题的关键.

设一次函数解析式y=kx+b（AH。），根据题意可得k>0力>0,即可写出符合题意的

一次函数解析式.

【详解】解：设一次函数解析式y=kx+b（k=。），

当％=0时，y=b,

・•・与y轴交点为（。力），

•••图象与y轴正半轴相交，且y的值随x值增大而增大，

:k>0,b>0,

解析式可以为：y=x+l,

故答案为：y=x+l（答案不唯一）.

【变式1]（2025•安徽・中考真题）已知一次函数y=kx+b（k*0）的图象经过点M（l,2）,

旦y随x的增大而增大.若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（）

A.（-2,2）B.（2,1）C.（一1，3）D.（3,4）

【答案】D

【分析】根据一次函数过点M（l,2）得出b与k的关系，再结合y随%增大而增大得2>0,

然后将各选项坐标代入函数，判断k是否符合条件.本题主要考查了一次函数的性质与

图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数y=kx+b中A的意义及点坐标与函数解析式

的关系是解题的关键.

【详解】一次函数、=忆”+力（上00）过时（1,2）,

•••把（1,2）代入y=kx+b得2=kx1+b,即b=2—此

又「y随》的增大而增大，

；.k>0.

选项A：点(-2,2),代入y=k%+b得2=/cx(-2)+b,

把b=2-k代入得2=-2k+2-k,

化简得3k=0,解得k=0,不满足攵>0,舍去.

选项B：点(2,1),代入y=kx+匕得1=kx2+氏

把b=2—上代入得1=2k+2-k,

化简得k=—l,不满足A>0,舍去.

选项C：点(-1,3),代入y=kX+b得3=kx(-l)+b,

把b=2-A代入得3=-k+2-k,

化简得2k=-1,解得左二一0.5,不满足k>0,舍去.

选项D：点(3,4),代入丫=kx+b得4=々x3+/?,

把匕=2-k代入得4=3Ar+2-k,

化简得2k=2,解得k=1,满足攵>0.

综上，只有选项D符合条件，

故选：D.

【变式2】(2024•黑龙江大庆•中考真题)请写出一个过点(1,1)且y的值随x值增大而减

小的函数的解析式.

【答案】y=-%+2(答案不唯一)

【分析】本题主要考查了函数的增减性，待定系数法求函数解析式.写出一个一次项系

数为负数且经过点(1,1)的一次函数即可.

【详解】解：设满足题意得的一次函数的关系式为？=-％+小

代入(1,1)得：1=一1+匕，

b=2,

满足题意的次函数的解析式为y=-x+2.

故答案为：y=-x+2(答案不唯一).

【变式3】(2024•四川自贡•中考真题)一次函数y=(3:n+l)x—2的值随x的增大而增大，

请写出一个满足条件的m的值___.

【答案】1(答案不唯一)

【分析】本题考查了•次函数的性质，根据•次函数)的值随力的增大而增大，得出

k>0,写•个满足条件的m的值即可，根据A的正负性判断函数增减性是解题的关键.

【详解】解：•”=(3m+l)%-2的值随x的增大而增大，

-3m+1>0，

1

•­m>—3»

••.m的值可以为：1，

故答案为：1(答案不唯一).

【题型5求一次函数解析式】

【典例5】(2025•山东东营•中考真题)某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为

每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价工(元/个)与每天

销售量y(个)的对应值表格如下：

X(元/个)•••52535455•••

y（个）•••760740720700・・・

⑴求出y与1的函数表达式，并写出自变量的取值范围；

⑵当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？

【答案】⑴y=-20x+1800(50<x<75)

(2)60元

【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用.

(1)由题意可知y是*的一次函数,利用待定系数法求解即可.

(2)列出单件的利润乘以销晟等于总利润列出关于x的一元二次方程求解，再结合x

的取值范围选择合适的解即可.

【详解】(1)解：由题意可知，y是x的一次函数.

设y与x的函数表达式为y=kx+b(k*0),

把(52,760),(53,740)分别代入，得

"60=S2〃+b(k=-20

1740=53k+b，解得lb=1800

・•・)，与x的函数表达式为y=-20x+1800(50<x<75).

(2)解：根据题意，得(%-50%=6000,

.-.(x-50)(-20x+1800)=6000.

整理，得,一140%+4800=0.

解得与=60,X2=80.

•••50<x<75,

•■•%=60.

答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元.

【变式1】（2025•江苏淮安•中考真题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量j，

（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：

每件的售价X/元252831—

日销售量加件・・・15129・・・

⑴求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变显x的取值范围）；

⑵当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价.

【答案】⑴y=—x+40

（2）10元或30元

【分析］本题考查了一次函数解析式的求解，二次函数解析式的求解，解决本题的关键

是正确求解出一次函数与二次函数的解析式.

（1）先设出一次函数解析式，再根据待定系数法代值求解即可：

（2）先表示出日销售额的函数表达式，再令w=300求解x的值即可.

【详解】（1）解：•.•日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，

.••设函数表达式为y=kx+b（k*0）,

••♦当x=25时，y=15：当x=28时，y=12：

［15=25k+b（k=-1

412=28/c+b，解得lb=40,

•••y=—x+40,

号与x之间的函数表达式为y=-x+40；

（2）解：［tl（1）知，y=+40,

销售额w=xy=x（—x+40）=—x2+40x,

•••玩具日销售额为300元，

...令w=300,BP-X2+40X=300,

整理可得％2—40%+300=0,

解得%=30,x2=10,

•••每件玩具的售价为10元或30元时，日销售额为300元.

【变式2】（2025•江苏镇江・中考真题）新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是

建成科技强国的重要保障.学校兴趣小组成员收集了我国2018-2024年发明专利申请

授权数，整理数【据如下表（单位：万个，精确到0.1）：

个R

100•

KO

60

4（）

P12018201920202021202220232024/*份）

x（年份）2018201920202021202220232024

y/万个43.245.353.069.679.892.1104.5

⑴计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到1%）；

（2）小组成员建立平面直角坐标系，井根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中

可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点4（2019,45.3）、B

（2024,104.5）作一条直线来近似的表示y的值随年份x不断增长的变化趋势.设直线4B上

点的坐标满足函数表达式y=kx+b.试求出A的值，并写出k的实际意义，再预测我国

2025年发明专利申请授权数.

【答案】（1）31%

⑵k=11.84,k的实际意义为2018—2024年我国发明专利申请授权数年均增长约11.84

万个：

预测我国2025年发明专利申请授权数116.3万个

【分析】此题考查了有理数的混合运算的实际应用，一次函数的实际应用，熟练掌握待

定系数法求一次函数解析式是解题的关键.

（1）根据题意列式求解即可；

（2）利用待定系数法求出48满足的函数表达式，然后得到k的实际意义，然后将

%=2025代入表达式求解即可.

【详解】⑴解：(69.6-53)+53x100%%31%

.-.2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率约为31%：

(2)解：将4(2019,45.3),8(2024,104.5)代入y=履+b得,

f2019k+b=45.3

(2024k+b=104.5，

(k=11.84

解得lb=-23859.66，

••・y=11.84%-23859.66；

其中k的实际意义为2018—2024年我国发明专利申请授权数年均增长约11.84万个；

当第=2025时，y=11.84x2025-23859.66=116.34«116.3,

・•.预测我国2025年发明专利申请授权数116.3万个.

【变式3】(2025•陕西•中考真题)研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气

体体积y(L)与气体温度式℃)成一次函数关系.某实验室在压强不变的条件下，对一定

质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如下表：

气体温度X

•••253035—

(℃)

气体体积y…596606616•••

(L)

⑴求y与”的函数关系式；

⑵为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到700L时停止加热.求停止加

热时的气体温度.

【答案】(l)y=2x+546

(2)77℃

【分析】该题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意.

(1)根据待定系数法求解即可；

(2)令y=700L,求解即可.

【详解】(1)解：设y与％的函数关系式为y=kx+b,

f596=25k+b(k=2

则1606=30k+b，解得lb=546，

故y与x的函数关系式为y=2x+546.

(2)解：令y=700L,

则2x+546=700,解得：％=77,

答：停止加热时的气体温度为77。G

【题型6一次函数与几何综合】

【典例6](2025♦山东德州•中考真题)如图，4(一6,0),8(0,8),点M在线段08上，将△4BM

沿直线AM折叠，点B恰好落在点B'(Q,O)处.

⑴求。的值；

⑵求直线4M的解析式：

⑶若直线y=-％+t与直线7IM的交点在直线x=Q的左侧，请直接写出t的取值范围.

【答案】⑴a=4

⑵y=权+3

(3)t<9

【分析】题目主要考查坐标与图形，勾股定理解三角形，翻折的性质，确定一次函数解

析式及一次函数的性质，理解题意，结合图象求解是解题关键.

(1)根据题意得出04=6,08=8.再由勾股定理及折叠的性质求解即可；

(2)设。M=x,根据折叠的性质，得8M=8'M=8-X,。夕=4，根据勾股定理确

定点M的坐标，再利用待定系数法计算解析式即可.

(3)根据题意作出相应草图，结介图象得出N(4,5),代入一次函数解析式即可求解.

【详解】(1)解：••・A(-6,0),B(0,8),

-0A=6,0B=8.

-Z.A0B=90°,

•.AB=>/0A2+0B2=10,

•••将△ABM沿直线折叠，点B恰好落在点8'(a,0)处，

=AB=10.

.".OB'=10—6=4»

•・H(4,0),

•■•a=4：

(2)设OM=x,

根据折叠的性质，得BM=8'M=8—x,AB=A^r.

由（1）得。8'=4,

•.EM?=0M2+。8”,

...（8r）2=42+X2,

解得％=3,

故M（0,3）,

设直线AM的解析式为y=kx+3,

：.-6k+3=0,

解得k=

故宜线AM的解析式为y=/+3.

（3）由（1）得：a=4,

直线y=-x+c与直线AM的交点在直线x=4的左侧,

如图所示:

当％=4时,丫=产+3=5乂4+3=5,

••.N(4,5),

•••直线y=-x+t与直线的交点在直线x=a的左侧，

直线y=-x+t经过点N时恰好是临界点，

•-5=-4+3

解得：t=9,

”的取值范围为tV9.

【变式1】(2025•辽宁大连•模拟预测)如图，在平面直角坐标系％Oy中，点力在x轴的正

半轴上，点8在y轴的负半轴上，且。4=。8=5.点C是第一象限内一动点，直线4C

交y轴于点凡射线BD与直线4C垂直，垂足为点Q,且交x轴于点M.OE1OC,交

射线8。于点E.

⑴求证：OC=OE；

⑵若点C的坐标为(2,4),求直线BD的解析式.

【答案】⑴详见解析

3

(2)y=产一5

【分析】本题考杳了用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定和件质以及

一次函数和坐标轴的交点问题.

(1)证明△OAF^△OBM(ASA)/[]△OFC三△OME(ASA)即可得出结论;

(2)设直线AC的解析式为：y=mx+n,把儿。坐标代入可求出“和〃的值，进而

可求出。尸的长，因为OF=OM,所以M的坐标又可求出，再设直线8。的解析式为

y=kx+b,把M和B点:的坐标代入求出2和/＞的道即可求出直线BD的解析式.

【洋解】([)证明：•••8。JLAC,

:ZBDF=90%

••.zOFM+Z.OFA=9D°,

,.乙40/7=90°,

.--Z04F+/.OFA=90°,

^LOAF=乙OBM,

在△04尸和△OBME,

(Z.OAF=乙OBM

OA=OB

JFOA=4MOB'

•••△Q4F工△OBM(ASA),

••.OF=OM./-OFA=WMB,

'-OC1OE,

WOC=90。，

'/-AOF—LAOC=Z.EOC-Z.AOC,

；/FOC=4MOE,

在△。尸。和AOME中，

(LOFC=Z-OME

OF=OM

kz.FOC=乙MOE'

•••△OFC三△OME(ASA),

•,.OC=OE；

(2)解：•••04=5,

”(5,0),

设直线AC的解析式为：y=mx+n,把4C坐标代入得：

[5m4-n=0

12m4-n=4

俨=V

解得(九=＜，

420

•・.直线4c的解析式为y=-/+y,

令％=0,可求得/=今

20

；.OM=OF=

.,•点M的坐标为偿,0),

设直线80的解析式为y=kx+b,把M得,0)和8(0,-5)的坐标代入得：

20

0=-^-k+b

b=—5

解得：tb=15,

直线BD的解析式y=a一5.

【变式2】(2025•河北•一模)如图，ABIIx轴，点A(3,2),48=4,且点8在点力的右侧，一

次函数y=kx+b(k声0)的图象经过点C(l,3).

W-S'

⑴点B的坐标为;

⑵当一次函数y=kt+匕的图象与线段有公共点时,求k的最大值与k的最小值的乘

积；

⑶已知两函数图象无交点，且无论“取何值时，一次函数y=kx+b的值始终大于一次

函数y=H0)的值，直接写出m的取值范围.

【答案】⑴(7,2)

(2汝的最大值与最小值的乘积为今

⑶〃？的取值范围为m>-2±l.m*0

【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，图象

上点的坐标满足解析式是解题的关键；

(1)线段481戊轴，4、8两点纵坐标相等，乂48=4,B点在4点右边，根据距离确定B

点坐标.

(2)利用待定系数法求得直线过点C、力或。、B时的女的值，即可求得々的最小值为一：,

k的最大值为-进一步求得女的最大值与A的最小值的乘积；

(3)由题意可知直线y=kx+3-A与直线y=平行，且直线丫=kx+3-k

fk=m

在直线y=的上方，据此得出匕一攵>一3m一1,解得m>-2,由k芋0,则

m00.

【详解】(1)解：与》轴平行，

・•・A、B两点的纵坐标相同，都为2,

又•・•点A(3,2),43=4,

故答案为：(7,2)；

(2)解：•••一次函数y=kx+b的图象经过点C(l,3),

k+b=3.

•••b=3-k.

•••y=kx+3-k.

当一次函数y=kx+3-k的图象经过点4(3,2)时，

3k+3-k=2.解得k=g.

当一次函数y=+的图象经过点B(7,2)时，

7k+3-k=2.解得k=-*.

当一gWk工一*时，一次函数y=kx+b的图象与线段4B有公共点，

的最小值为一万，〃的最大值为一手.

•••々的最大值与最小值的乘积为(一3x(-1)=*；

(3)解：•.•两函数图象无交点，且无论x取何值时，一次函数y=依+8的值始终大于

一次函数y=mx-3m-l(m工0)的值，

：.直线y=kx+3—k与直线y=mx—3m—1T4J»且直线y=kx+3—k在直线

y-mx-3m-l的上方，

[k=m

：•13-k>-3m—1，

二解得m>—2,

•••ZcR0,

mH0,

m的取值范惘为m>-2且m*0.

【题型7利用图像法解一元一次方程】

【典例7】(2025•江苏扬州•二模)如图，已知一次函数y=k%+匕的图象与x轴、y轴分

别交于点(2,0)、点(0,3).则关于x的方程丘+匕=3的解为—.

【答案】x=0

【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，利用一次函数的图象解一元一次方

程时，关键是找准方程的解是相应的一次函数y为何值时对应的x的值.

方程k*+b=3的解即为当y=3时方程的解.，而•次函数y=Z%+b的图象与y轴交于

点(0,3),则当y=3时，x=0,即可求解.

【详解】解：方程履+b=3的解即为当y=3时方程的解，

••,一次函数y=kx+6的图象与y轴交于点(。，3),

.•.当y=3时,x=0.

故答案为：x=0.

【变式1】(2024・广东•模拟预测)若关于x的方程3%+力=0的解是％=1,则直线y=3x+b

一定经过点()

A.(3,0)B.(0-1)C.(1,0)D.(0,1)

【答案】C

【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次

方程的关系是解题的关键;根据方程可知当％=1时，y=0,从而可判断直线y=3x+b

经过点(1,0)即可.

【详解】解：由方程为解川知：1%=1时，3x+b=0,即当x=l时，y=0,

二直线y=3x+b一定经过点(1,0),

故选：C.

【变式2】(2024•陕西西安•二模)如图，已知直线、=.我+8(k、b为常数，上工0),则

关于”的方程kx+b=1的解是“=()

【答案】A

【分析】本题主要考查了一次函数和一元一次方程的综合应用，正确解得直线函数解析

式是解题关键.首先艰据待定系数法解得直线解析式，再令y=l,解得％的值，即可获

得答案.

【详解】解：由图像可知，直线y=Z%+b经过点(-2,0),(0,-1),

将点(一2,0),(0,-1)代入y=kx+b,

（0=-2k.+bf/c=—

可得，解得》=，

t-i=bI

.••该直线解析式为y=-聂-1,

令y=1.可锯1=—1,

解得“=-4,

二关于x的方程kx+b=1的解是x=—4.

故选：A.

【变式3］（2024・陕西渭南•一模）如图，一次函数y=kx+2（A为常数且kH0）和y=3%+1

的图象相交于点4根据图象可知关于求的方程匕+2=3无+1的解是（）

【答案】A

【分析】本题考查一次函数图象的交点问题，一次函数与一元一次方程.根据图象，两

宜线的交点的纵坐标为4,将其代入y=3x+1得％=1即可.

【详解】解：由图象知，两直线的交点的纵坐标为4,将其代入y=3x+l得％=1.

故选：A.

【题型8根据两条直线的交点求不等式的解集】

【典例8】（2025•江苏徐州•中考真题）如图为一次函数y=kx+b的图象，关于x的不等式

k(x—3)+b<0的解集为()

A.x<-4D.x>2

【答案】C

【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的平移，把一次函

数y=kx+b的图象向右平移3个单位得y=k(x-3)+b的图象，可得函数y=fc(x-3)

+b与久轴的交点坐标为(2,0),再结合图象可得答案.

【详解】解：把一次函数y=kx+b的图象向右平移3个单位得y=/c(x-3)+b的图象，

.•.(一1,0)向右平移3个单位得(2,0),

・,・函数V=/c(x-3)+力与％轴的交点坐标为(2,0),

“(无一3)+b<0,

••.结合图象可得：x<2,

故选：C.

【变式1】(2024・广东•中考真题)已知不等式收+力〈0的解集是XV2,则一次函数

【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就

是寻求使一次函数y=+b的值大卜(或小「)0的门变帚㈠的取值范围.找到肖力<2

函数图象位于x轴的下方的图象即可.

【详解】解:•••不等式h+匕V0的解集是％<2,

•••当不<2时，y<0,

观察各个选项，只有选项8符合题意，

故选：B.

【变式2】(2025•江苏徐州•模拟预测)一次函数丁二-十b的图象如图所示，则不等式

依+匕<0的解集是()

A.x<1B.%>1C.%<-2D.x>-2

【答案】A

【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合是解答本题的关键.依

据题意，由函数图象直接写出不等式解集即可.

【详解】解：由函数图象可知，一次函数与工轴的交点坐标为（L0）,

二不等式Ax+b<0的解集是％<1.

故选：A.

【变式3】（2025•辽宁锦州•三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数%=无+1与%

=ax+b（a.b均为常数，且QHO）的图象相交亍点P（l,2）,则关于x的不等式

Q%+b-x31的解集是（）

【答案】C

【分析】本题考查了•次函数与•元•次不等式，正确理解题意是解题的关键.根据图

象即可求得.

【洋解】解：由图象可■知，关于x的不等式ax+b工％+1的解集是乃二1,

•,・关于x的不等式ax+b-x<1的解集是％>1，

故选：C.

【题型9两直线的交点与二元一次方程组的解】

【典例9】（2025•宁夏•中考真题）如图，直线A：y=kiX+瓦与直线，2：y=&x+b2交于点

A,则关于x,y的方程就二第"；的解是.

(x=4

【答案】ty=6

【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是理解两直线的交

点坐标与方程组解的对应关系.

明确一次函数与二元一次方程组的联系：两条直线的交点坐标同时满足两个直线对应的

函数解析式：因此方程组的解就是两直线交点的坐标；已知直线。与，2交于点5(4,6),

该点坐标即为方程组的解.

【详解】二•直线k：y=kiX+如与直线G：y=k2x+坛交于点4(4,6),

二点4的坐标同时满足两个函数的解析式，

即方程组0=第+垓的解为点A的坐标.

故答案为：

【变式1】如图，直线ky=x+l与直线£y=mx+7i相交于点P,则方程组｛/广附+)

的解是.

(x=1

【'泠案】卜=2

【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程，由两个一次函数解析式所组成的方程组

的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标.

方程组｛/二篙）的解为P点的横纵坐标.

【详解】解：,直线4：y=x+l与直线G：y=mx+九相交于点P

将％=1代入y=x+1得y=1+1=2,

二方程组｛/或A）的解是｛；z2，

（X=1

故答案为：［y=2-

【变式2】（2025•江苏扬州•二模）在同一直角坐标系中，一次函数y=gx+2,y=kx+b

（k<0）的图像如图所示，则方程组｛谟?二4的解为.

（x=2

【答案】ty=3

【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的解，先求出交点的坐标，然后利

用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行解答.

【详解】解：当y=3时，｛+2=3,解得％=2,

•••交点坐标为（2,3）,

f2y—x=4（x=2

•••方程组tkx-y=-b的解为ty=3，

故答案为：ty=3.

【变式3】（2025•江苏扬州•一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+a与直线

y=-3x+b相交于点4则关于％、y的二元一次方程组ty=-3x+b的解是.

(x—1

【答案】｛y=3

【分析】本题主要考查了一次函数图像的交点和方程组的解，理解两条直线的交点坐标

的意义.在平面直角坐标系中，直线y=2%+a与宜线丫=一3%+6交点4(1,3)的坐标就

(y=2x+a

是二元一次方程组t-3x+b的解.

【详解】解：在平面直角坐标系中，直线y=2x+a与直线丫=一3》+6相交于点4(1,3),

美于%、y的二兀一次方程组iy=-3x+b的解是［y=3.

故答案为：｛；=；«

二”随堂检测

1.(2026•新疆阿克苏•模拟预测)一次函数y=x-l与j轴的交点坐标是()

A.(1,0)B.(0,1)C.(0-1)D.(-1,0)

【答案】C

【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点坐标，掌握求函数图象与V轴交点的方法

(令％=0)是解题关键，

求一次函数与y轴的交点坐标，需令3=0,求出对应的y值

【详解】解：,函数y=x-l与y轴交点的横坐标％=0,

•,•令％=0,代入y=7-1,得y=0-l=-l,

•••交点坐标为(0,-1)，

故选C

2.(2026•陕西•一模)点P®力)在函数y=3%+2的图象上，则代数式9a-3b+1的值等于

()

A.-5B.5C.3D.—3

【答案】A

【分析】本题考杳一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标特征满足函

数表达式是解题的关罹.

由点P在函数图象上可得b=3a+2,代入代数式9Q—3b+1并化简求值.

【详解】解：•••点PSA）在函数y=3x+2的图象上，

:b=3a+2.

：.9a-3b+1=9a-3〔3Q+2）+1=9a—9a-6+1=-5.

故选：A.

3.（2026•江苏苏州•模拟预测）某市出租车收费标准：起步价10元（3km内），超过3公

里后每公里加收2元.小明乘坐出租车行驶了不公生。工3）,费用为y元，则y与x的函

数关系式为（）

A.y=2x+4B.y=2x+10C.y=2x4-16D.y=2x+6

【答案】A

【分析】本题主要考查了一次函数解分段计费问题，熟练掌握运用一次函数解分段计费

问题的方法是解题的关键.

根据出租车收费标准，起步价10元覆盖3km,超过根m后每公里加收2元,当一N3时,

总费用y由起步价和超过部分的费用组成.

【详解】解；•起步价10元覆盖3km,则超过部分为（x-3）km,

根据题意得：y=10+2（%-3）=10+2x-6=2%+4.

故选：A.

4.（2026・浙江•模拟预测）已知（。力）是一次函数y=2%+1图象上一点，下列选项正确的是

（）

A.若a>0,则力>0B.若a>0,则b<0

C.若aV0,则b>0D.若aVO,则b<0

【答案】A

【分析】本题考查一次函数的图象与性质；根据点（。力）在