暑假预习：因式分解（4知识+7题型）-新高一数学专项讲练 （沪教版）

预备衔接专题02因式分解

因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式，它与多项式乘法运算是互逆变形.我们在七年

级已学过：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法.前一衔接专题我们介绍了几个新的乘法公式，

接下来我们将会拓展几个特殊的因式分解.

r十字加乘■法

-求根公式法

核心知识

-分组分解法

分解因式L几个特殊的因式分解

典例精折

我们先复习一下初中阶段所学的因式分解形式:

一、十字相乘法

1.f+(〃+q)x+pq型

这类式子在许多问题中经常由现，其特点如下:

（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数之积;

（3）一次项系数是常数项的两个因数之和.

x2+(〃+<7)x+pq=x2+px+qx+pq=x(x+〃)+q(x+p)=(x+p){x+q)

因此，x2+(〃+4)x+pq=(x+〃)(x+q).

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.

「ax2+bx+c型

(%X+C])(々2%+C，2)=a^X14-(年2+«2C1)X+CIC2

反过来，a^x2+(4G+x+c\c2=(4%+q)(%元+。2)-

若将二次项系数a分解成4，%，将常数项C分解成cpc2，把q,%,q,C2写成，这里按斜

Q

线交叉相乘，再相加，就得到X,如果它正好等于ax2+bx^c的一次项系数b，那么

。2,2

ax2+bx+c就可以分解成(4/+。)(。21+02)，其中4，C1位于上一行，生，。2位于下一行.

这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫作十字相乘法.必须注意，

分解系数及十字相乘都有多种可能的情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十

字相乘法分解.

二、求根公式法

关于X的二次三项式ax2+bx+c(a^0)的因式分解有时也可用求根公式法.若关于x的方程

22

ax+bx+c=O(a0)的两个实数根是xpx2,则二次三项式ax+bx+c(〃W0)就可分解为

/「、_.-b-\Jb2-4ac-b+\Jh2-4ac

a(x-x.，其中X)=-----------------=----------------------.

2a~2a

三、分组分解法

能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式。而对于四项以上的多项式，如

ma+mh+na^nb既没有公式可用，也没有公因式可以提取。因此，可以先将多项式分组处理.这种利

用分组来因式分解的方法叫作分组分解法.分组分解法的关键在于如何分组.

一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：

(1)如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；

(2)如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解：

(3)如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组法或其他方法(如十字相乘法)来分解；

(4)分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止.

四、几个特殊的因式分解

1.+1^4-c3-?>abc={a-b-\-c)(a1+b2+c2-ab-bc-ca^；

2.a2b+ab2+b2c+be2+era+ca24-2abc=(«+b)(b+c)(c+a)；

3.a2b+ab1+b2c+he2++co1+3abc=(〃+/)+c)(ab+be+ca)：

4.erb+b2c+c2a-ab1-be2-ca1=-(a-b)(b-c)(c-a).

例1分解因式：

(1)x2—3x4-2；

(2)X2+4X-12；

(3)J；2-(a-^b)xy+aby2；

(4)xy-l+x-y.

解：(1)如图2—1所示，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成-1与-2

的乘积，而图中对角线上的两个数乘积的和为-3x,就是X2-3X+2中的一次项，所以有

x2-3x+2=(x-l)(x-2).

图2—1图2—2图2—3图2—4图2—5

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图2-1中的两个x用1来表示(如图

2—2所示)c

(2)由图2—3,得x2+4.r-12=(x-2)(x+6).

(3)由图2—4,得x2-(c+b)xy+aby2=(x--by).

(4)孙一1+%-y=Ay+(九-y)-l=(x-l)(y+l)(如图2—5所示).

例2把下列关于x的二次多项式分解因式：

(1)X2+2x—1；

(2)x2+4xy-4y2；

(3)(/+%)-8(x"+x)+12.

解：(1)令x,,+2.x—1=0»解得X|=—1+5/2,%2=—1—,

原式=[A-(-l+V2)Jk-(-l-^)]=(x+l-V2)(x+l+V2).

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(2)令x+4xy-4y=0,解得x}=(-2+2>/2)y,x=(-2-2>/2)y,

原式=[x+2(l->/2)jl[x+2(l+^)y].

(3)原式=^2+x-6)(x:+X-2)=(X+3)(X-2)(X4-2)(X-1).

例3分解因式：

(1)ab-2a-b+2：

(2)+4.v2—2x—1；

(3)x2-xy-2y2-2x+7y-3；

(4)4/-20仍+25必—36；

(5)X6-/-2X3+1；

(6)x2(x+\)-y(xy+x).

解：(1)原式=a[b-2)-(b-2)=(h-2)(a-1)；

(2)原式=4x2(2x+1)-(2A:+1)=(2x+l)(4.r2-1)=12x-l)(2x+1)2；

(3)原式={x-2y)(x+y)-2x+ly-3=(x-2y)(x-\-y)-(2x-ly)-3

=(x-2y+l)(x+y-3);

(4)原式=(2a-5b)2-62=(2a-5Z?+6)(2a-5b-6)；

(5)原式=—2x'+1)—y6=_),6=(彳3+y3_])(13_),3_]).

(6)原式二13+42―孙2_肛=13_肛2)+12―冲)=天12—),2)+/(/一,)

=x(x-y)(x+y+1).

例4分解因式：

(1)x，+9+3x2+3x；

(2)2x2+xy-y2-4x+5y-6；

(3)x3-3x2+4.

解：(1)方法一原式=①+3%2)+(3工+9)=/*+3)+3慎+3)=(X+3)(Y+3).

方法二原式=(?+3X2+3X+1)+8=(X+1)3+8=(X+1)3+23

=r(x+l)+21[(x+l)2-(x+l)x2+22]

=(冗+3)卜2+3).

(2)方法一原式=2x2+(j-4)x-y2+5y-6

=2x2+()，-4)x—(y—2)(y—3)=(2元-y+2)(x+y-3).

方法二原式=(2x2+-y2)-(4x-5y)-6

=(2x->)(x+y)-(4x-5y)-6=(2x-y+2)(/+y-3).

(3)原式=(d+1)-(3x?_3)=(x+l)[(f-x+l)―3(x-1)]=(x+l)^x2-4x+4)

=(x+l)(x-2)2.

例5分解因式：

(1)(62―])+4加〃；

(2)(X+I)’+(X?—[J+(x—1)’；

(3)X3-9X+8；

⑷X5+X+1.

解：(1)将$4mn$拆成2〃?〃+2〃加，

原式

+2nm+2mn=m2〃2-zn2-/?24-1+2mn+2mn

=(〃/〃2+_2mn+/?2)

=(nm+1)2-(m-ri)2=(mn+m-n+\)(mn-m+n+V).

(2)将(寸一1丫拆成2(X2-1)2-(X2-1)2,

原式

=(x+1)4+2(厂-1)~―('-]「+(x—I)4

=[(x+l)4+2(x+r)2(x-l)2+(x-l)4]-(x2-l)2

=[(X+1)2+(X-1)2]2-(X2-1)2=(2X2+2)2-(X2-1)2=(3X2+1)(X2+3).

(3)方法一将常数项8拆成-1+9,

原式=X3-9X-1+9=(X3-1)-9X+9=(X-1)(X2+X+1)-9(X-1)=(X-1)(X2+X-8)

方法二将一次项一9%拆成—x—8x,

原式=x3-x-8x+8=(x3-xj+(-8x4-8)=x(x+1)(x-l)-8(x-l)=(x-l)(x2+x-8).

方法三将三次项x3拆成9X3-8X3,

2

原式=9V-8V-9x+8=(9M-9%)+(-8厘+8)=9x(x+l)(x-l)-8(x-l)(x+x+l)

=(^-l)(x2+x-8).

方法四增加两项一/+/,原式

=/-x2+x2-9x+8=X2(X-1)+(X-8)(X-1)=(X-1)(X2+X-8).

(4)通过添项构造我们熟悉的乘法公式，进而实现分解，

原式=丁-X2+X2+X+1=X2(A3-1)+X2+X+1=X2(X-1)(X24-X+1)4-X2+X+1

=(f+x+])(%3—工2+])

例6分解因式：

(1)(x2+x+l)(x2+x+2)-12:(2)(x2+xy+y2-^xy(x2+y2).

解：(1)方法一设x2+x=y,

原式二(y+l)(y+2)—]2=J+3,_]°=(,_2)(y+5)=(d_2乂/+/5)

=(x-l)(x+2)(x2+x+5).

方法二设x2+x+\=u,原式=〃(〃+1)-12=〃2+〃-12=(〃+4)(〃-3)=(Y+x+5，%2+x-2)

=(x-l)(x+2)(^x2+x+5).

(2)原式=[(x+y)2-孙了一4孙[(x+y)2-2个].

令x+