期末试题汇编：概率的进一步认识-北师大版九年级数学上学期

专题03概率的进一步认识

£*5大高频考点概览

考点01利用列举法求概率

考点02几何概率

考点03利用频率估计概率

考点04利用概率求数量

考点05利用树状图或列表法求概率

考点01利用列举法求概率

1.（24-25九上•江西赣州大余县•期末）如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1,则称该

三位数为“平稳数”.用1,2,3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（）

A.-B.-C.iD.-

9239

【答案】C

【分析】根据题意列出所有可能，根据新定义，得出2种可能是“平稳数”，根据概率公式即可求解.

【详解】解•：依题意，用1,2,3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，可能结果有，

123,132,213,231,312,321共六种nJ.能，

只有123,321是“平稳数”

・•・恰好是“平稳数”的概率为;=J

63

故选：C.

【点睛】本题考查了新定义，概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键.

2.（24-25九上•江西吉安吉安县•期末）抛掷一枚质地均匀的硬币10次，其中6次正面朝上，4次正面朝下,

则再次抛掷出这枚硬币，正面朝下的概率是（）

A.1B.|C.|D,1

【答案】D

【分析1此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的意义是解题关键.直接利用概率的意义分析得出答

案.

【详解】解：•・•掷质地均匀硬币的试验，每次正面向上和向下的概率相同,

・•・再次掷出这枚硬币，正面朝下的概率的概率是：I

故选：D.

3.（24-25九上•江西赣州南康区•期末）从“zhongg“。”中随机抽取一个字母，抽中字母〃的概率为.

【答案】1/0.125

【分析】本题主要考查了简单的概率计算，概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比；直接利用概率计

算公式求解即可.

【详解】解:从“z/iongg〃。”中随机抽取一个字母,共有8种等可能的结果,其中抽中字母〃的结果有1种，

・••抽中字母〃的概率为:，

故答案为："

4.（24-25九上•江西赣州龙南•期末）长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚

文化、吴越文化等区域文化.若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴第文化”

的概率是.

【答案

【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率二所求情况数与总情况数之比.直接根据概率公式求

解即可.

【详解】解：根据题意，选中“巴蜀文化”的概率是3

4

故答案为：

5.（24-25九上•江西上饶广信区・期末）我国魏晋时期的数学家刘徼首仓厂割圆术”，利用圆内接正多边形来确

定圆周率，南朝的祖冲之又进一步求得7T的值在3.1415926和3.1415927之间，是第一个将圆周率的计算精

确到小数点后7位的人，一个不知道汽小数点后8位的人，能猜出小数点后第8位的数字的概率为—.

【答案】1/0.2

【分析】由题意知四舍五入近似时可知第8位数字为5,678,9共5种情况的一种，进而可求概率.

【详解】解：言的值在3.1415926和3.1415927之间

・・・四舍五入近似时可知第8位数字为5,6,7,8,9共5种情况的一种

・•・能猜出小数点后第8位的数字的概率为9

故答案为：7.

【点睛】本题考查了概率，近似数.解题的关键在于列举事件.

1.（24-25九上•江西南昌南昌二十八中教育集团・期末）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形内，飞镖投中正

方形内各点机会均等，则飞镖落入阴影区域内概率为（）

A.1B.\C.-D.-

2344

【答案】C

【分析】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式求概率是解题的关键.根据题意得：图中阴影部分面积

为正方形面积的;，根据概率即可求解•.

【详解】解：如图，

由题意得：=匕2,43=44,力。=D。，

C.LAOB三4OOC（AAS）,

•=S&DOC，

・•・图中阴影部分面积为正方形面积的;，

则飞镖落入阴影区域内概率为3

4

故选：C.

2.（24-25九上•江西新余分宜县•期末）七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”它山五块

等腰直角三角形、一块正方形、一块平行四边形组成.如图，某同学利用七巧板拼成的正方形玩“滚小球游

戏”，小球可以在该正方形上自山滚动，并随机地停留在某块板L,则小球停留在阴影部分的概率是

【答案】:

O

【分析】设大正方形的边长为2,先求出阴影部分的面枳，然后根据概率公式即可得到答案.

【详解】解：设大正方形的边长为2,

SK=lxlxl=1,

大正方形的面积=22=4,

小球停留在阴影部分的概率P=|=1.

故答案为；巳

O

【点睛】本题考查几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键.

利用频率估计概率

1.（24-25九上•江西赣州安远县•期末）小明练习射击,共射击100次,其中有85次击中靶子,由此可估计,

小明射击一次击中靶子的概率约为（）

A.80%B.84%C.85%D.86%

【答案】C

【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为：概率二所求情

况数与总情况数之比.根据频率二频数：数据总数计算即可得答案.

【详解】解：•・•共射击KX）次，其中有85次击中靶子，

，射中靶子的频率为盖=85%,

・•・小明射击一次击中靶子的概率约为85%,

故选C

2.（24-25九上•江西吉安安福县•期末）实验小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次实验后获得如表数

据：

重复实验次数10050010005000

钉尖朝上次数501503802000・・・

由此可以估计任意抛掷一次图钉钉尖朝上的概率约为（）

A.0.50B.0.40C.0.38D.0.37

【答案】B

【分析】观察表格的数据求出每次试验得到的频率可以得到图钉钉尖朝上的频率，然后用频率估计概率即

可求解.

【详解】解：表中图钉钉尖朝上的频率分别为捺=0.5,^=0.3,券;=0.38,黑=04,

10050010005000

图钉钉尖朝上频率逐渐稳定在04左右，

估计任意抛掷一枚图钉，图钉钉尖朝上的概率约为04.

故选:B.

【点睛】此题主要考杳了利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解

决问题.

3.（24-25九上•江西赣州于都县・灯木）某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机

抽测，结果如表一：根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（）

累计抽测的学生数几100200400500600700800900100()

体质健康合格的学生数与九的

0.850.90.90.930.90.910.910.920.92

比值

A.0.92B.0.905C.0.903D.0.9

【答案】A

【分析】本题考查用频数估计概率，熟练掌握利用频数估计概率是解题的关键.根据频数估计概率可直接

进行求解.

【详解】解：由表格可知：经过大量重复试验，体质健康合格的学生数与抽测的学生数〃的比值稳定在0.92

附近，所以该区初中生体质健康合格的概率为0.92.

故选：A.

4.124-25九匕江西鹰潭余江区•期末）为了解北京市九年级学生的1分钟跳绳成绩，随机抽取了1000名学生

的I分钟跳绳成绩，成绩统计如表：

组别（个）x<170170<%<180180<%<190x>190

人数50150200600

根据北京市体育中考跳绳评分标准，1分钟跳绳个数不小于180的为满分，现任意抽查北京市一名九年级学

生，1分钟跳绳成绩满分的概率约为.

【答案】I

【分析】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有〃种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件4

出现加种结果,那么事件4的概率P（Q==n据此求解即可.

【详解】解：由题意，得

n200+6004

P=--1-0-00--=5

故答案为：

5.（24-25九上•江西上饶广信区・期末）在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算

器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：

试验次数100300500100016002000

“有2个人同月过生日”的次数7922938578112511562

“有2个人同月过生日”的频率0.790.7630.770.7810.7820.781

通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是.

【答案】0.78

【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识：在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稔定在某个常

数附近，那么这个常数就是事件发生的概率.根据表格中的数据解答即可.

【详解】解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是0.78.

故答案为：0.78.

利用概率求数量

1.（24-25九上•江西赣州章贡区•期末）在一个不透明的盒子中装有〃个除颜色外完全相同的球，其中有4个

红球.若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红

球的频率稳定在20%左右，则〃的值大约为（）

A.16B.18C.20D.24

【答案】C

【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入

手，列出方程求解.

【详解】解：由题意可得，100%=20%,

解得：n=20,

经检验九二20是原方程的根，故C正确.

故选：C.

【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率.关键是根据红球的频率得到相应的等量

关系.

2.（24-25九上•江西吉安市泰和县•期末）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其

他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（）

A.15个B.20个C.30个D.35个

【答案】D

【分析】利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为0.3,根据概率公式计算即可.求出黄球的个数，即可求

解.

【详解】解：•・•摸到黄球的频率稳定在0.3左右

・•・黄球的个数为50x0.3=15

・•・布袋中白球可能有50-15=35

故选：D

【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并

且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似

值就是这个事件的概率.

3.（24-25九上•江西吉安峡江县•期末）一个不透明的盒子里有〃人除颜色外其他完全相同的小球，其中有9

个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实

验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%,那么估计盒子中小球的个数〃为（）

A.20B.24C.28D.30

【答案】D

【分析】直接由概率公式求解即可.

【详解】根据题意得己=30%,解得：〃=30,

经枪验：〃二30符合题意，

所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球.

故选：D.

【点睛】本题考查由频率估计概率、简单的概率计算，熟知求概率公式是解答的关键.

4.（24-25九上•江西九江修水县・期末）一个不透明的袋子中装有2个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都

相同，经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在（则袋子中的黄球有个

【答案】4

【分析】本题主要考查了用频率估计概率，

首先根据频率得出摸到红球的概率为g再设黄球为x，并根据概率公式得出方程，求出解即可.

【详解】解：•・•经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在J,

・••摸到红球的概率为;.

设黄球为X个，根据题意，得等=3

解得％=4.

经检验，3=4是该方程的解，

所以袋子中的黄球有4个.

故答案为:4.

5"24-25九上•江西宜春・期末）一人不透明的口袋里装有10个除颜色外其他完全相同的小球，将口袋中的球

摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复上述试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%,

由此估计口袋中有黄球个.

【答案】3

【分析】本题考杳了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并

且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似

值就是这个事件的概率.根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为30%,然后根据概率公式计算黄球

个数.

【详解】解：由题意得：10x30%=3个

所以口袋中有黄球3个，

故答案为：3

6.[24-25九上•江西新余•期末）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的5个红球，4个白球，若干个绿球，

记下颜色后放【可袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4,则这个不透明袋中约有绿球

个.

【答案】6

【分析】本题考查了频率估算概率，概率公式的计算，分式方程的运用，理解频率估算概率的方法，掌握

概率公式的计算，正确列分式方程求解是解题的关键.

根据题意，设有“个绿球，由此列分式方程求解即可.

【详解】解：设有X个绿球，

解得，x=6,

检验，当％=6时，原分式方程有意义，

・・・这个不透明袋中约有绿球6个，

故答案为：6.

7.（24-25九匕江西吉安•期末）在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，

小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则布袋中白球可能有个.

【答案】18

【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入

手，设出未知数列出方程求解.

【详解】解：设袋中有黄球4个，由题意得：

-=0.4,

30

解得：％=12,

则白球可能有30-12=18（个）；

故答案为：18.

【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率.关键是利用黄球的概率公式列方程求解

得到黄球的个数.

8.（24-25九上•江西宜春第三中学期末）在一个不透明的口袋中装有3个红球和若干个白球，它们除颜色外

完全相同.多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在。.2附近，则估计口袋中白球大约有个.

【答案】12

【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题关键是大量反复试验下频率稳定值即概率.由摸到红球的频

率稳定在0.2附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可.

【详解】解：设白球个数为X个，

•・•摸到红色球的频率稳定在0.2左右，

・•・口袋中得到红色球的概率为0.2=p

・・，二，

3+x5

解得：x=12,

即白球的个数为12个,

故答案为：12.

9.（24-25九上.江西赣州石城县•期末）在〜个不透明的袋子中放有20个球，其中有Q个白球，这些球除颜色

外完全相同.若每次把球充分搅匀后，任意摸出一球记下颜色后再放回袋子，通过大量重夏试验后，发现

摸到白球的频率稳定在0.2左右，则a的值约为.

【答案】4

【分析】本题考查的是用频率估计概率，以及概率公式；根据用频率估计概率可知：摸到白球的概率为0.2,

再根据概率公式列出方程，求解即可.

【详解】解•：由题知，摸到白球的概率为0.2,

.---=0.2,

20

解得a=4,

故答案为：4.

10.（24-25九上•江西南昌南昌外国求学校教育集团•期末）在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，

它们除颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个球是白球的概率是：，则黄球的个数为.

【答案】12

【分析】此题考查了分式方程的应用，以及概率公式的应用.设黄球的个数为x个，然后根据概率公式列

方程，解此分式方程即可求得答案.

【详解】解：设黄球的个数为x个，

根据题意得：三=；，

解得：x=12,

经检验，％=12是原分式方程的解，

・•・黄球的个数为12个.

故答案为：12.

利用树状图或列表法求概率

1.（24-25九上•江西萍乡•期末）在一个不透明的袋中装着2个红球和1个白球，它们只有颜色上的区别，随

机从袋中摸出一个小球，记下颜色后放回，再随机的取出一个球，两次恰好是一个红球和一个白球的概率

为（）

【答案】B

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两球恰好是一个红球和一个白

球的情况，再利用概率公式即可求得答案.

【详解】画树状图得：

开始

红红白红红白

・・•共有9种等可能的结果，两球恰好是一个红球和一个白球的有4种情况，

・••两球恰好是一个红球和一个白球的概率为：

故选:B.

【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

2.（24-25九上•江西宜春丰城第九中学・期末）“千门万户瞳瞳口，总把新桃换旧符”.春节是中华民族的传统

节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对

新年的美好祝愿.某商家在春节期间开展商品促销活动，顾客凡购物金额满100元，就可以从“福”字、春

联、灯笼这三类礼品中免费领取一件.礼品领取规则：顾客每次从装有大小、形状、质地都相同的三张卡

片（分别写有“福''字、春联、灯笼）的不透明袋子中，随机摸出一张卡片，然后领取一件与卡片二文字所对应

的礼品.现有2名顾客都只领取了一件礼品，那么他们恰好领取同一类礼品的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

9632

【答案】C

【分析】分别用4SC表示写有“福”字、春联、灯笼的三张卡片，利用列表法求出概率即可.

【详解】解：分别用4,4,。表示写有“福''字、春联、灯笼的三张卡片，列表如下：

ABC

4A,AA,BA,C

BB,AB,BB,C

CC,AC,BC,C

共有9中等可能的结果，其中他们恰好领取同一类礼品有3种等可能的结果,

,・.pD=-3=1

93

故选C.

【点睛】本题考查列表法求概率，解题的关键是正确的列出表格.

3.（24-25九上•江西上饶•期末）小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”

其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查''的概率为.

【答案】:

【分析】本题考查画树状图或列表法求概率，掌握解法步骤是解答的关键.画树状图得到所有等可能的结

果数，再找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解即可.

【详解】解:分别设“打扫社区卫生”和“参加社会调查”为A和3,

画树状图为：

开始

/X

AB

AA

ABAB一共有4种等可能的结果，其中两人都选择“参加社会调查,，的有i种，

故两人都选择“参加社会调查”的概率为：，

故答案为："

4.（24-25九上•江西赣州寻乌县•期末）如图,是两个可以自由转动的均匀圆盘A和B,A、B分别被均匀的

分戌三等份和四等份.同时自由转动圆盘A和B,圆盘停止后，指针分别指向的两个数字的积为偶数的概

率是.

【答案】I

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与指句分别指向的两个数字的枳

为偶数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案.

【详解】列表得：

BA1234

1U1,21,31,4

22,12,22,32,4

33,13,23,33,4

从上表可得共有12中等可能的情况，而乘枳为偶数的可能的结果有8种，所以P（积为偶数）=5=今

5.（24-25九上•江西景德镇乐平・期末）南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口.某

周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动.

（1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为；

（2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率.

【答案】（1弓

【分析】题考查了利用列表法或树状图法求概率：先列表或画树状图展示所有等可能的结果数〃?，再找出

某事件所占有的可能数人然后根据概率的概念即可得到这个事件的概率=--

m

（1）直接利用概率公式计算可得；

（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案.

【详解】（1）解：•••有标识为1、2、3、4的四个出入口，

・・・甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为J,

4

故答案为：:；

4

（2）解：画树状图如下:

开始

共有16种等可能结果，其中甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动有4种结果，

・•・甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率为白=i

6.（24-25九上•江西赣州上犹县•期末）科学实验是获取经验事实和检验科学假说、理论真理性的重要途径.某

校为进一步培养学生实践创新能力，提高学生科学素养，营造爱科学、学科学、用科学的浓厚氛围，将开

展“崇尚科学科技月''主题教育活匆，并演示了以下四个科学小实验：儿铅笔让水沸腾；B.不会湿的纸；C.漂

浮的硬币；D.生气的瓶子.校团委组织了实验原理讲述的活动.

（1）若从中随机抽取一个实验讲述原理，则抽到“8.不会湿的纸”的概率是；

（2）若小敏和小东两人各从四个实验中随机选取一个实验进行原理讲述，请你用列表或画树状图的方法，求

他们恰好选到同一个实验的概率.

【答案】（明

4

碍

【分析】本题主要考查概率公式，列表或画树状图求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键.

（1）根据概率公式进行计算即可；

（2）画出树状图，由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们恰好选到同一实验的结果有4种，

即可得到概率.

【详解】（1）解：P=\

4

故答案为：

4

（2）解:画树状图如下:

开始

小东ABCDABCDABCDABCD

由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们恰好选到同一实验的结果有4种,

.•槌们恰好选到同一个实验的概率P=於=1

1h4

7.（24-25九上•江西吉安遂川泉江中学・期末）一个不透明的袋子口装有标注1,1,2,3,四个小球，这些小

球除标有的数字外都相同.

（1）从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为_：

（2）先从袋中随机摸出一个小球，记下数字后，放回摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下数字，请画树

状图或列表法，求摸出的这两个小球上标有的数字之积是奇数的概率.

【答案】（1《

呜

【分析】本题考查简单的概率计算，画树状图或列表法求概率，掌握概率公式是解题关键.

（1）直接根据概率公式计算即可；

（2）根据题意列出表格表示出所有等可能的情况，再找出标有的数字之积是奇数的情况，最后根据概率公

式计算即可.

【详解】（1）解：从袋中随机摸出一个小球共有4种等可能的情况，其中摸出的小球上标有数字是1的有

2种，

・D_2_1

,•/（小球标有数字1）~4~2'

（2）解：根据题意可列表格如下，

一二1123

11123

11123

22246

33369

由表格可知共有16种等可能的情况，其中摸出的这两个小球上标有的数字E积显有数的有9种，

•p__2.

••〃（标有的数字之积是奇数）一16.

8.（24-25九上•江西吉安青原区•期末）共享经济已经进入人们的生活，小沈收集了自己感兴趣的4个共享经

济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为4B,C,D的四张々片（除字母

和内容外其余完全相同），现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好.

(1)小明从中随机抽取一张卡片是“共享知识”的概率是多少？

(2)小明从中随机抽取一张卡片不放回，再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求

抽到的两张卡片中包含••共享出行”的概率(这四张卡片分别用它们的编号A,B,C,。表示).

【答案】(明

4

延

【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合

于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件：解题时要注意此题是放回实验还是不放回

实聆.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数方比.

(1)根据概率公式直接得出答案；

(2)根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，抽到的两张卡片中包含“共享出行”的结果数为6,再

根据概率公式求解可得.

【详解】(1)解：小明从中随机抽取一张卡片是“共享知识''的概率是1

4

(2)解：画树状图如图:

共有12种等可能的结果数，其中抽到的两张卡片中包含“共享出行”的结果数为6,

，抽到的两张卡片中包含“共享出行”的概率==

9.(24-25九上•江西赣州南康区•期末)“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中

国第五大发明”.小明将“4.立春”“乩清明”雨水”三张纪念邮票(除正面内容不同外，其余均相同)

背面朝上，洗匀放好.

(1)版机抽取一张邮票是“C.雨水”的概率是

(2)随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列

表的方法，求两次抽取的邮票是“4.立春”和雨水”的概率.

【答案】（*

（2斤

【分析】（1）根据概率公式计算即可求解；

（2）画出树状图，根据树状图解答即可求解；

本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键.

【详解】（1）解：随机抽取一张邮票是“C.雨水''的概率是?

故答案为：I；

（2）解：画树状图如下：

开始

第一次

第二次

由树状图可知，共有9种等结果，其中两次抽取的邮票是“儿立春”和“C.雨水”的结果有2种,

・•・两次抽取的邮票是“4.立春”和“C.雨水”的概率为

10.（24-25九上•江西鹰潭余江区•期末）如图是某商场的地下停车场,现仅剩下“045”、“046”、“047”、"048”

四个车位.

（1）若有辆小汽车停车，则这辆车停在“046”号车位的概率是「

（2）分别记这四个车位为4、8、C、0,小明和小红同时来到该处停车，用画树状图或列表的方法，求两人停

在不相邻车位的概率.

【答案】（1斤

【分析】本题主要考杳了简单概率计算以及列举法求概率，熟练掌握相关知识是解题关键.

（1）根据简单概率计算公式求解即可；

（2）根据题意作出树状图，结合树状图求解即可.

【详解】⑴解:根据题意,停车场，现仅剩下“045”、“046”、“047”、“048”四个车位,

则这辆车停在“046”号车位的概率是P=

4

故答案为："

（2）根据题意，画出树状图如下，

开始

一'''''

小明ABCD

小红BCDACDABDABC

由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两人停在不相邻车位的结果有6种，

所以，两人停在不相邻车位的概率为P'=[=/

11.（24-25九上•江西赣州瑞金・期末）象湖里景区举行元旦游园活动，该活动需要小明去领取四个4个灯笼,

灯笼上分别写有''欢”"度”“新”“年”（外观完全一样）.

（1）小明从四个灯笼中任取一个，取到“欢''的概率是.

（2）小明从四个灯笼中不放回地先后取出两个灯笼，请用列表或画树状图的方法求小明恰好取到“新”“年”两

个灯笼的概率.

【答案】（小

（2）详见解析

O

【分析】本题主要考查了列表法与树状图法求概率、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式

是解答本题的关健.

（I）由题意知，共有4种等可能的结果，其中取到“欢”的结果芍1种，利用概率公式可得答案.

（2）由树状图可得出所有等可能的结果数以及小明恰好取到“新”“年”两个灯笼的结果数，再利用概率公式

可得出答案.

【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中取到“欢”的结果有1种，

，取至心欢”的概率为p

故答案为：7.

4

（2）解：画树状图如下:

开始

欢度新年

度新年欢新年欢度年欢度新

共有12种等可能的结果，其中小明恰好取到“新”“年”两个灯笼的结果有：（新，年），（年，新），共2

种，

・•・小明恰好取至上新年”两个灯笼的概率为白=：.

126

12.（24・25九上•江西宜春高安•期末）有三张卡片（背面完全相同），分别写有数字1、-1、-2,把它们背

面朝上洗匀后，甲同学抽取一张记下这个数字后放回洗匀，乙同学再从中抽出一张，记下这个数字，用字

母人c分别表示甲、乙两同学抽巴的数字.

（1）求关于％的方程%2+bx+c=0有实数解的概率；

（2）求（I）中方程有两个相等实数解的概率.

【答案】（%

慨

【分析】本题考查用列表法或画树状图法求概率，一元二次方程根的判别式，

（1）根据题意画出树状图一共有9种等可能的结果，再结合一元二次方程根的判别式可得关于x的方程/+

"+c=0有实数解的结果有7种结果，然后利用概率公式计算即可；

（2）根据（1）中所画树状图的结果，结果结合一元二次方程根的判别式可得关于%的方程/+b%+c=O

有两个相等的实数解的结果有1种结果，利用概率公式计算即可；

解题的关键是掌握：概率二所求情况数与总情况数之比.

【详解】（1）画树状如下：

开始

b1-1-2

zT\/T\/T\

c1-1-21-1-21-1-2

・•・一共有9种等可能的结果，

•・•关于%的方程/+bx+c=0有实数解,即炉一4c70,

・,・关于》的方程产+bx+c=。有实数解的结果有（1,-1）,（1,—2）,（―1,—1）,（―1,—2）,（—2,1）,（—2,—

1）,（-2,-2）,共7种,

・•・关于%的方程/+bx+C=0有实数解的概率为会

（2）•・•关于x的方程/+6%+。=0有两个相等实数解，即炉—4c=0,

,关于x的方程产+bx+c=0有两个相等实数解的结果有（一2,1）,共1种，

・•・（1）中方程有两个相等实数解的概率为2.

13.（24-25九上•江西吉安万安县期末）为传承中华民族优秀传统文化，提高学生文化素养，学校举办“经典

诵读”比赛，比赛题目分为“诗词之风”“散文之韵”“小说之趣卬戏剧之雅”四组（依次记为A,B,C,。）.小

雨和莉莉两名同学参加比赛.其中一名网学从四组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名叵学再随机抽

取一组.

（1）小雨抽到人组题目的概率是;

（2）请用列表法或画树状图的方法，求小雨和莉莉两名同学抽到和同题目的概率.

【答案】（明

4

嫉

【分析】（I）直接利用概率公式计算即可；

（2）通过列表法，可得共有16种等可能结果，其中，小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的结果数有4种，

再根据概率公式求解即可.

【详解】（1）P（小雨抽到A组题目）=；,

4

故答案为:;;

4

（2）列表如下：

莉和

小阳ABCD

AAABACADA

BABBBCBDB

CACBCCCDC

DADBDCDDD

由图得，共有16种等可能结果，其中，小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的结果数有4种，

•••户（小雨和莉莉两名同学抽到相同题目）=尚=；.

164

【点睛】本题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题

的关键.

14.（24-25九上•江西赣州于都县•期末）山西珍藏着中华民族最古老珍贵的记忆，传承着五千年生生不息的文

明，李老师为了让学生深入地了解山西文化，将“黄河文化”“根祖文化”“边塞文化、红色文化”的图片分别印

在形状大小都一样的4张卡片上，并将卡片背面朝上放在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取1张卡片，并

向大家介绍卡片.上相对应的文化内容.

黄河文化根祖文化边塞文化红色文化

⑴请问随机抽取1张卡片，上面印有“根祖文化”的概率为:

（2）若小丽第一个上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（不放回），小明第二个上讲台，再从余下的3张卡

片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小丽、小明两人中恰好有一人选中“黄河文化”的概率.

【答案】n

期

【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，

适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况

数与总情况数之比.

（1）直接利用概率公式求解即可；

（2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可.

【详解】（1）解：由题意得：随机抽取1张卡片，上面印有“根祖文化''的概率为:，

4

故答案为:

4

（2）解：将“黄河文化"根祖文化”“边塞文化”“红色文化''分别记作4B,C,D,列表如下：

ABCD

A(4B)(4C)(4D)

B(B.A)(&C)(B,D)

C(CM)(C,B)CD)

D(DM)(D,B)(D,C)

由表格知，共有12种可能的结果.每种结果出现的可能性相同，其中小丽、小明两人中恰好有一人选中“黄

河文化”的结果有6种，

所以尸（小丽、小明两人中恰好有一人选中“黄河文化"）=^=1.

15.（24-25九上•江西宜春丰城丰城中学・期末）“庆元旦，迎新年”，某班组织庆祝元旦活动，活动中有个抽签

决定奖项的环节.抽签箱中有1号，2号，3号3个号签，抽到1号签获得一等奖，抽到2号签获得二等奖，

抽到3号签获得三等奖.（抽到的签不放回）甲、乙、丙三位同学在活动中表现活跃，主持人宣布他们获

得抽签机会.

（1）事件“甲获得一等奖”是事件.（填“必然”"不可能''或“随机”）

（2）甲同学认为先抽的获得一等奖的机会更大，乙同学认为后抽的获得一等奖的机会更大，内同学认为先抽

和后抽获得一等奖的机会一样大.你同意谁的观点，请说明理由.

【答案】（1）随机

（2）同意丙同学的观点：先抽和后抽获得一等奖的机会一样大，理由见解析

【分析】本题考查了随机事件，列举法求概率等知识，熟练掌握随机事件的定义，列举法求概率是解题的

关键.

（1）根据随机事件的定义判断作答即可；

（2）先画树状图，然后求概率，然后作答即可.

【详解】（1）解：由题意可知，事件“甲获得一等奖”是随机事件，

故答案为：随机；

（2）解：同意丙同学的观点：先抽和后抽获得一等奖的机会一样大，理由如下：

画树状图表示甲、乙、丙三人抽奖所有等可能出现的结果如下：

第一人第二人第三人

共有6种等可能出现的结果，其中第一人、第二人，第三人获得“一等奖”的都有2种等可能的结果,

・•・第一人、第二人，第三人获得“一等奖”的概率均为｝

63

・•・无论先抽还是后抽，获得“一等奖''的机会一样大，

・.・同怠丙同学的观点

16.（24-25九上•江西南昌江西师范大学附属中学红谷滩区滨江分校・期末）吉安高铁站开通后，旅客在网购车

票时，系统是随机分配座位的，王某和李某打算购买从吉安西到南昌西的高铁车票（如图所示，一排中的

座位编号为A,B,C,D,F）.假设系统已将两人的位置分配到同一排后，在同一排分配各个座位的机会

是均等的.

取消选择一个座位确认

ABC过道DF

（1）“系统分给这两个人A,G座位”是（填“必然”或“不可能”或“随机”）事件；

（2）利用画树状图或列表格，求系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C,。不算相邻）的概率.

【答案】（1）不可能

（2）系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C,。不算相邻）的概率是总.

【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，概率公式、事件的分类等知识，熟练掌握树状图或列表法求

概率是解题的关键.

（1）一排中的座位编号为A,B,C,D,F,不存在编号为G的座位，即可得至U”系统分给这两个人A,G

座位'‘是不可能事件；

（2）列出表格，得到系统分配给王某和李某相邻座位共有2（）和等可能的情况，其中相邻座位共有6种等

可能情况，根据概率公式计算即可得到答案.

【详解】（1）解：:一排中的座位编号为A,B,C,D,F,不存在编号为G的座位，

・・・“系统分给这两个人A,G座位”是不可能事件，

故答案为：不可能；

（2）解：根据题意画树状图如下：

开始

xTV.

BCDFACDFABDFABCFaBCD

由树状图可知，共有20种等情况数，其中相邻座位的情况数有6种，

则系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C,。不算相邻）的概率是5=卷.

17.（24-25九上•江西赣州安远县・期末）2023年春节档上映了3部观众较为喜爱的电影：《流浪地球2》,《满

江红》，《无名》.甲、乙两人分别从中任怠选择一部观看.

（1）甲选择《满江红》电影是事件.（填“不可能”或“必然”或“随机”）;

⑵求甲、乙两人选择同一部电影的概率（请用画树状图或列表的方法给出分析过程）.

【答案】（1）随机事件

⑵画图见解析•，I

【分析】（1）根据事件的分类进行判断即可求解.随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事

件称为随机事件.

（2）根据画树状图法求概率即可求解.

【详解】（1）甲选择《满江红》电影是随机事件.

故答案为：随机.

（2）《流浪地球2》，《满江红》，《无名》分别用8、C表示，画树状图得：

•・•共有9种等可能的结果，其中甲、乙2人选择同1部电影的情况有3种，

・•