随机变量及其分布【12大重点题型】（期中专项训练）解析版-2025-2026学年高二数学下学期（人教A版选择性必修第三册）

随机变量及其分布【12大重点题型】

1.(24-25高二下•重庆南岸•期中)从编号1〜1()的1()张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件从“第一

次抽到数字为5的倍数”，事件第二次抽到的数字小于第一次“，则P(B|/1)=()

A1D-LC兰D—

518J18590

【答案】c

【解题思路】根据古典概型的计算方法和分步乘法概率计算公式，求出事件的概率和积事件的概率，依据

条件概率公式求出条件概率即可.

【解答过程】根据题意知，符合5的倍数的牌有两张，分别是5和10,则PG4)=W，

事件88有两种情况，第一次抽5且第二次抽的比第一次小，和第一次抽10且第二次抽的比第一次小，则

P(4B)=^xi+^x1=i1.

根据条件概率公式可知P(B|A)=7^=|=T|.

故选:C.

2.(24-25高二下•湖南长沙期中)已知P(A)=],P(B)=jP(4U8)=1则PQ旧)=()

A-\B-\C."D.1

【答案】A

【解题思路】先应用概率性质得；"(48)二5，再结合对立事件概率公式得出P(而)=:,最后应用条件概

1/39

率公式计算求解.

【解答过程】因为P(4UB)=P(4)+P(B)-PG4B),即U+；P(4B),解得P(4B)=可,

又因为P(A)=P(4B)+P(而)，即狂看+P(而),解得P(而)=今

因为P(8)=g所以P⑻=1一“8)=g,

1

-1

6

所以令符1=

-2

3

故选:A.

3.(24-25高二下•北京顺义・期中)学校要从5名男生和3名女生中选择2人组成“研学团”，在男生甲被选

中的条件下，研学团中男生人数多于女生的概率为()

A.JB.：C.JD.\

【答案】B

【解题思路】设事件4为研学团中男生人数多于女生，事件B为男生甲被选中，分别求出P(8),P(4B),再根

据条件概率的公式P(*B)=需求解即可.

【解答过程】事件A为研学团中男生人数多于女生，

设事件B为男生甲被选中，

则事件A8为男生中被选中且研学团中男生人数多广女生.

所以P(8)=3=3

所以在男生甲被选中的条件下，研学团中男生人数多于女生的概率为

cPM/?)I4

P(川3)=7^■+

故选：B.

4.(24-25高二下・河南•期中)某学校组织乒乓球比赛，采取3局2胜制.甲、乙两同学进行淘汰赛，假设

每局比赛中甲获胜的概率均为|,且各局比赛的结果相互独立.则在甲获胜的条件卜，甲第一局获胜的概率

是.

【答案】？

【解题思路】根据条件概率公式求解.

【解答过程】设甲获胜为事件力，甲第•局获胜为事件&

2/39

22,212.12220

则PQ4)=3X3+3X3X3+3X3X3=^

2221216

-X-+XX-

P(H8)337-

---竺

3332-4

转-

所以在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率P(B|4)_5

27

故答案为：*

5.(24-25高二下•湖北宜昌•期中)某巾场上供应的气球中，甲厂产品占60%,乙厂产品占40%,甲厂生产

的气球合格率为90%,乙厂生产的气球合格率为80%.

(I)从该市场上随便购买一个气球，求它是合格产品的概率；

(2)如果小李购买了一个气球是次品，求该气球是甲厂生产的概率.

【答案】⑴0.86

【解题思路】(1)设“气球合格”为事件4“气球是甲厂生产''为事件8,“气球是乙厂生产的为事件C,根据

全概率公式求解即可；

(2)根据条件概率公式求解即可.

【解答过程】(I)设“气球合格”为事件4"气球是甲厂生产”为事件B,“气球是乙厂生产的为事件C,

由题可知，P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(A|B)=0.9,P(川C)=0.8,

则P(4)=P(A\B)P(F)+PG41c)P(Q=0.9x0.6+0.8x0.4=0.86.

1

C)P(R\A^=^=_____P⑷BAP®)_______=0.1X0.6=3

II，“P(H)P(A\ByP(B)+P(A\C)-P(C)0.1x0.6+0.2x0.47'

速型2・八!皿_1题凝^

---------1

6.(24-25高二下•北京•期中)设力，8是一个随机试验中的两个事件，若PG4)=g,P(B)=最PQ48)=

士则下列错误的是()

A.喉)=|B.P{B\A)=\

C.P(AB)=D.P(A+5)=1

【答案】D

【解题思路】运用对立事件概率性质，条件概率公式，互斥事件概率公式计算，逐个判断即可.

【解答过程】对于A选项，根据对立事件概率公式，已知P(B)=；,则Pg)=l"=4所以A选项正确.

JVO

3/39

对于B选项，根据条件概率公式：P(B|4)=盟.已知P(/1)=T，PG48)

项正确.

对于C选项，因为718=8—48,且718GB,所以P(4B)=P(B-48)=P(B)-PQIB).

已知P(B)=J,P(AB)=；,则P(砧)=[-；=Q-祗=：,所以C选项正确.

对于D选项,根据概率的加法公式：P(A+3)=P(4)+P(8)—P(AB).

已知PG4)=T，P⑻=gP{AB)=p则P(4+B)=：+：；=」+坂=所以D选项错误.

故选:D.

7.(24-25高二下•江苏盐城•期中)用数字4、5、6、7、8组成没有重复数字的三位数，在这个数能被5整

除的条件下，它能被3整除的概率为()

A.B.'C.；D.\

iZO53

【答案】C

【解题思路】记事件A从中任取一个数，这个数能被5整除，记事件B:从中任取一个数，这个数能被3整除,

利用排列计数原理求出九⑷的值，利用列举法求出九(48)的值，再利用条件概率公式可求出P(B|A)的值.

【解答过程】记事件4从中任取一个数，这个数能被5整除，

记事件8:从中任取一个数，这个教能被3整除，

4、5、6、7、8中能被3整除的为6,被3除余数为1的有：4、7,被3除余数为2的有：5、8,

现考虑无重发数字的三位数能被3整除，则所选的三个数应从4、7选择一个，从5、8中选择一个，6必选，

4、5、6、7、8组成没有重复数字的三位数，这个数能被5整除，则个位数必然为5,

所以n(A)=A：=4x3=12,

无重复数字的三位数既能被5整除，又能被3整除的有：465、645、765、675,即九(48)=4,

由条件概率公式可得P(B|4)=嗡=卷=£

故选:C.

8.(24-25高二下•广东惠州•期中)端午节期间，某城市举行龙舟比赛，龙舟比赛途经E桥、F桥、G桥、H

桥及/桥，活动期间在5座桥边各设置1个忐愿者服务点.现有5名志愿者参加其中三座桥一G桥、”桥及F桥

的服务，要求这三个服务点都有人参加，设事件人为“甲在G桥服务点”，事件8为“乙和丙分到一起“，则下列

结论中错误的是()

A.事件A与事件8相互独立B.P(A)=1

0

4/39

c.P(B)=£D.p(8|4)二卷

【答案】C

【解题思路】对于B选项，分为2,2,1和3,1,1,两种情况，求出5名志愿者参加其中三座桥的情况数，

再得到甲在G桥服务点的情况数，得到概率；

对于C选项，求出乙和丙分到一起的情况数，得到概率；

对于A选项，求出事件包含的情况数，得到"48)=急=表，根据独立事件的概念得到A正确；

对于D选项，根据条件概率公式求出条件概率.

【解答过程】对于B选项，5名志愿者参加其中三座桥，G桥、”桥及F桥的服务，

要求这三个服务点都有人参加，可以分为2,2,1和3,1,1,

其中分为2,2,1时，共有警A§=90种情况，其中分为3,1,1时，共有喈A§=60种情况，故共有

90+60=150种，

其中甲独自在G桥服务点，此时剩余4名志愿者可以分为2,2和3,1,

当剩余4名志愿者分为2,2时，有臂A；=6种情况，

当剩余4名志愿者分为3,1时，有鬣=8种情况,

当甲和另外一个人在G桥服务点，从剩余4名志愿者先选1人，剩余3人，分为两组，故有心《C；A号=24

种情况，

当甲和另外2人在G桥服务点，从剩余4名志愿者先选2人，剩余2人，分为两组，故有第&=12种情况,

故力(力)=6+8+24+12=50,所以P(A)=言=:，B正确；

AOUO

对于C选项，乙和丙分到一起，当5名志愿者分为2,2,1lit,有=18种情况，

当5名志愿者分为3,1,1时，先从剩余3名志愿者选择1人和乙，丙一起，

再将剩余2人进行全排列，有©AW=18种情况，故P(B)=曙=卷，C错误；

对于A选项，力B表示甲在G桥服务点，乙和丙分到一起，

若甲单独在G桥服务点，乙和丙分到一起，旦5名志愿者分为2,2,1,则有A名=2种情况，

若甲单独在G桥服务点，乙和丙分到一起，且5名志愿者分为3,1,1,从剩余2人中选择1人和乙，丙一

起，有&A专=4种情况，

若甲和另外一个人在G桥服务点，先从除了乙，内外的剩余2名志愿者选1人，再进行排列，则有©A专=4

种情况，

5/39

当甲和另外2人在G桥服务点，则一定是和乙，丙一起，剩余2人进行全排列，共有A9=2种情况,

12?

综上，n(AB)=24-4+4+2=12,P(48)=而=去，

因为P(4)P(B)=；x盘=^=P(A8),故事件A与事件8相互独立，A正确;

-2A

确

正

举D

对于D选项，P(B|A)='舟w

-

3

故选：C.

9.(24-25高二下•河北•期中)春节期间小明一行6人去哈尔滨旅游，根据旅游攻略发现有4、8、C三个美

食打卡点，已知在三个美食打卡点均有人前往的条件下，A打卡点恰好有2人打卡的概率为.

【答案】《

1O

【解题思路】记事件M:三个美食打卡点均有人前往，事件N:A打卡点恰好有2人打卡，利用计数原理求出n(M)、

MAIN)的值，利用条件概率公式可求得P(N|M)的值.

【解答过程】记事件M:三个美食打卡点均有人前往，事件N:4打卡点恰好有2人打卡，

对于事件M,将6个人分为三组，则三组的人数分别为4、1、1或3、2、1或2、2、2,

320

+CC+^

633

所以n(M)3

对于事件MN,4打卡点恰好有2人打卡，则将剩余4人分为两组，每组人数分别为2、2或3、1,

所以n(MN)=C瞄+C顼=210,

由条件概率公式可得P(N|M)=喘=霁=看

故答案为：4

10.(24・25高二下•重庆•期中)甲、乙、丙三人组队参加某知识问答团体比赛.该比赛共分两轮，第一轮

回答错误就直接出局，两轮都回答正确称为“通关”，小组三人中至少有2人“通关”就可获得“团体奖”.根据

平时训练和测试可知，甲、乙、丙分别正确回答两轮比赛的概率情况如下表：

中乙丙

211

第一轮回答正确的概率

322

第二轮回答正确的概率111

223

若三人各自比赛时互不影响.

(1)求甲、乙两人至少有1人“通关”的概率;

6/39

(2)在该三人小组获得“团体奖”的条件下，求甲乙丙同时通关的概率.

【答案】(19

(2京

【解题思路】(1)先用4SC来表示甲、乙、丙三人的“通关”事件并求对应的概率，然后利用对立事件的性

质和独立事件的乘法公式即可求解.

(2)利用独立事件的乘法公式分别计算三人小组获得“团体奖”的概率和甲乙丙同时通关的概起，进而利用

条件概率的计算公式即可求解.

【解答过程】(1)记事件A=“甲通关”、8=“乙通关”、C=“丙通关”，

则P(A)=|X六杷(1)=,P(B)=9XH杷⑻=*

甲、乙两人至少有1人“通关”的对立事件为甲、乙两人都不“通关”，

所以，甲、乙两人至少有1人“通关”的概率等于1一尸(而)=l-^x1=1.

故甲、乙两人至少有1人“通关”的概率为

(2)由题意得P(C)=gxg=*Pl2)=*

事件。="三人小组获得团体奖”,

则P(D)=PQB。+P(4月C)+PQBC)+PQ48C)

t15.131,211,1115+3+2+111

=JX；X6+3XZXZ+iXZX6+3XZXZ=^—=77-

甲乙丙同时通关的概率P(/18C)=9x；x)=5.

所以P(ABQO)=制，=/x益=卷.

故该三人小组获得“团体奖”的条件下，甲乙丙同时通关的概率为白.

题型3、随机变量的分布列问题

11.(24-25高二下•江苏南京•期中)若随机变量《的分布如下表:

-2-1123

P0.20.12m0.25m

则P(©V2)的值为()

A.0.3B,0.4C.0.55D.0.85

7/39

【答案】B

【解题思路】根据分布列的性质求出参数，进而求出事件概率.

【解答过程】•.•0.2+0.1+2771+0.25+771=1,解得m=0.15；

AP(|"V2)=P(f=-1)+=1)=0.1+2m=0.1+2x0.15=0.4,

故选:B.

12.(24-25高二下•北京平谷•期中)随机变量X的分布列如下表所示：

X1234

p0.3m0.12m

则P(X<2)=()

A.0.5B.0.2C.0.3D.0.4

【答案】A

【解题思路】根据分布列的性质可得m的值，再根据随机变量求解概率即可.

【解•答过程】由题可得0.3+m+0.1+27n=1,解得m=0.2,

所以P(X<2)=P(X=1)+P(X=2)=0.3+0.2=0.5.

故选：A.

13.(24-25高二下•广东深圳•期中)设随机变量X的分布列为

X1234

P4k0.63kk

则P(|X-2|<1)=()

A.0.95B.0.85C.0.75D.0.65

【答案】A

【解题思路】根据给定条件，利用分布列的性质求出匕再利用互斥事件的概率公式求解.

【解答过程】依题意，Ak+0.6+3k+k=1,解得々=0.05,

所以P(|X-2|<1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=7k+0.6=0.95.

故选:A.

14.(24-25高二下•辽宁沈阳•期中)己知随机变量X的分布列如下表所示，其中。是常数，MP(|<X<y

)=.

XI23•••50

8/39

aaaa

P

2612•••2550

【答案】L

【解题思路】由分布列的性质求得Q,进而可求解.

【解答过程】由题意.a(1_l+l_|+...+JL_±)=^a=1.

解得Q=春

所以p(|<X<y)=P(x=3)+P(X=4)+…+P(X=16)

_(1111.11\_147

------------------------F…-\-------------I-77Q-

\34451617/5125

故答案为:套

15.(24-25高二下•广东佛山•期中)甲、乙两个不透明的箱子口各装有9个大小和质地完全相同的球.其

中甲箱中有4个白球，5个黑球乙箱中有7个白球，2个黑球.

(1)若采用不放回抽取的方式，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分.现从甲箱中任取2个

球.设取出的2个球的得分的和为X.求随机变量X的分布列：

(2)现从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个球，求从乙箱中取出的这个球是黑球的概

率.

【答案】⑴答案见解析

国

【解题思路】(1)根据题意，得到随机变量X的可能取值为2,3,4,利用超几何分布的概率计算公式，求得

相应的概率，列出分布列；

(2)设事件4为“从乙箱中取出的这个球是黑球”，事件々为“从甲箱中取出的2个球都是白球“，事件％为“从

甲箱中取出1个白球1个黑球”，事件为为“从甲箱中取出2个球都是黑球”，结合全概率公式，即可求解.

【解答过程】(1)解：由题意，随机变量X的可能取值为2,3,4,

可得P(X=2)—=蜉箭(X=3)=罟=|U，P(X=4)=M=£=与

所以X的分布列为

X234

9/39

551

P

1896

(2)解：设事件A为“从乙箱中取出的这个球是黑球”，

事件当为“从甲箱中取出的2个球都是白球“，事件叫为“从甲箱中取出1个白球1个黑球”，事件仍为“从甲

箱中取出2个球都是黑球”，

则%,助，B3彼此互斥，且BIUB2U83=C,

可得P(%)=P(X=4)=*(无)=P(X=3)=1P(53)=P(X=2)=*

且P(川Bi)=42，P(A|B2)=4a，P(A|B3)=五4，

所以P(4)=P(8遇)+P(&A)+P(F34)

=P(8i)P(川4)+P(B2)P(川治)+P(B3)P(A|B3)

12535428

6xn+9xn+wxn=99-

题型4求离散型随机变量的均值

16.(24-25高二卜.•天津滨海新区•期中)已知随机变量X的分布列:

A.C.一；+机D.g—机

【答案】B

【解题思路】根据分布列的性质求出m的值，进而根据期望公式求解得出答案.

【解答过程】根据分布列的性质由*+g+m=1,解得租二：,

/3o

所以，E(X)=-1x|+0x|+1x|=-

故选:B.

17.(24-25高二下•江苏无锡・期中)已知，的分布列如下表所示，设〃=2f—2,则E(〃)=()

1234

10/39

111

Pm

663

【答案】D

【解题思路】利用分布列性质求参数m,利用期望公式求E(f),再利用线性关系求网#=2“9-2,即可

求出答案.

【解答过程】利用概率和为1,可得m=l-5—:一：=9

ooJ3

则根据题意得：F(f)=1x《+2x5+3x：+4x：=蔓，

、［,ooSoo

因为〃=2f—2,所以E(v)=2E(f)-2=2x^-2=^-,

OJ

故选:D.

18.(24-25高二下•河南•期中)在规定时间内，甲、乙、丙能正确解答某道题的概率分别为0.5,0.6,0.4,

且这三人是否能按时正确解答该题相互独立.记甲、乙、丙三人中能按时正确解答该题的人数为X，则E(X)

=()

A.1.8B.1.7C.1.6D.1.5

【答案】D

【解题思路】根据题意X的取值为0,1,2,3,再利用相互独立事件概率乘法公式以及数学期望相关知识可

解.

【解答过程】记事件4,4,C分别为甲、乙、丙能按时正确解答该题，

由题意得PQ4)=0.5,P(B)=0.6,P(C)=0.4,

则P(1)=0.5,P(B)=0.4,P伍)=06

由题意可知X的所有可能取值为0,1,2,3,

P(X=0)=P(ABC}=0.5x0.4x0.6=0.12,

PQ：=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=0.5x0,4x0.6+0.5x0.6x0.6+0.5x0.4x0.4=0.38,

P(X=2)=P(A陶+P(ABC)+P伽C)=0.5x0,6x0.6+0.5x0.4x0.4+0.5x0.6x0.4=0.38,

P(X=3)=P(ABC)=0.5x0.6x0.4=0.12,

所以E(X)=0x0.12+1x0.38+2x0.38+3x0.12=1.5.

故选：D.

19.(24-25高二下•湖南常德•期中)一个不透明的袋子中装有3个黑球，n个白球("END,这些球除颜

11/39

色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，I个白球的概率为玲，设X为取出白

球的个数，则E(X)=.

【答案】|

【解题思路】根据取出2个黑球，1个白球的概率为高求出〃的值，再求出X的分布列，根据数学期望的定

义即可计算.

【解答过程】由题可知，配二*即(用)(黑)5+3)=*解得九=3,

则X的可能取值为0,1,2,3,

P(X=O)=5=4,P(X=1)=瞥=4，

P(X=2)=鬻=4,P(X=3)=L，

所以E(J)=°x»l吗+2%=1.5.

故答案为：*

20.(24-25高二下•天津东丽•期中)甲、乙两同学进行一场羽毛球比赛，采用五局三胜制，即若一人先胜三

局，则该人获胜比赛结束.假设在每局比赛中，甲获胜的概率为|,乙获胜的概率为：，各局比赛结果相互独

立.

(1)求甲以3:1的局分获胜的概率；

(2)设X表示比赛结束时进行的局数，求X的分布列及数学期望E(X).

【答案】(1居

(2)分布列见解析，翳

【解题思路】(1)由题意可得前三局甲胜两局，负一局，第四局甲胜，从而可求出其概率；

(2)由题意得X的所有可能取值为3,4,5,然后根据题意求出各自对应的概率，从而可求出比赛结束时比

赛局数X的分布列及数学期望.

【解答过程】(1)若四局比赛甲以3：1获胜，则前三局甲胜两局，负一局，第四局甲胜，

概率为：P=Ci(|)2x(l-|)x|=^.

(2)由题意得X的所有可能取值为3,4,5,则

打了三局，前三局都是甲胜或都是乙胜，则P(X=3)=G)3+Q)3=g,

12/39

打了四局，且前三局甲胜两局，负一局，第四局甲胜；或前三局乙胜两局，负一局，第四局乙胜,

则P(x=4)=

打了五局，前四局各赢了两局，没有分出胜负，第五局谁输谁赢都可以,

所以X的分布列为

所以X的数学期望£(X)=3xg+4x卷+5x5=翳.

题型5第

21.(24-25高二下•山东临沂•期中)随机变量X的可能取值为0、1、2,若P(X=0)=；,E(X)=1,则D(X)

=()

A.；B.：C.1D.:

4324

【答案】c

【解题思路】设尸(X=l)=m,2(乂=2)="，根据题意得出关于相、九的方程组，解出这两个量的值，结

合方差公式可求得。(X)的值.

【解答过程】设P(X=1)=m,P(X=2)=n,

则ni+n=',E(X')=0x1+lxm+2xn=m+2n=1,解得7n=＜，n=p

故伙X)=(0-1)2x/+(l-l)2x打(2-1)2=2

故选:C.

22.(24-25面二下•江苏盐城•期中)已知随机变量X的取值为0,1,2,若P(X=0)-1E(X)=1,则标

准差为()

A.7B.IC.孚D.竽

3J55

【答案】C

【解题思路】利用分布列求期望与方差即可得解.

【解答过程】设P(X=1)=P，则可得分布列如下表；

13/39

X012

14

PPP

55-

根据期望公式得：F(X)=0xUlxp+2x(1-p)=1-p=1,

解得p=I,

22

所以根据方差公式得:D(X)=(0-1)X1+(1-1)2X|+(2-1)X|=1,

即标准差为(1=鲁

755

故选：C.

23.(24-25高二下•重庆•期中)设。VQV2,随机变量X的分右列为

当隙机变量X的方差Z)(X)取得最小值时，a=()

A.§B-234

【答案】B

【解题思路】根据期望公式求出E(X),再将其代入方差公式得到关于。的函数，最后通过求函数的最小值来

确定a的值.

【解答过程】根据期望公式可得:E(X)=0x1+ax|+2x1=^

、/L3O5

根据方差公式D(X)=(0—等了xg+(a—等丫xg+(2—等丫x*=空押

则对称轴Q=—戏^=

所以当a=；时，方差。(X)取得最小值

故选：B.

24.(24-25高二下•江苏徐州•期中)盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机取出1个球且不放

回，直至取出红球.设在此过程中，取到黄球的个数为X,则D(X)=.

【答案】3

【解题思路】先写出随机变量X的概率分布，然后代入期望和方差公式即可求解.

14/39

【解答过程】随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,

则P(X=0)=?"X=l)=鸿=3

P(X=2)=1x|x|=l,P(X=3)=|x|x|xl=i,

所以E(X)=OX9+1X9+2X；+3X”*

22222

D(X)=0xl+lxl+2xl+3xi-(1)=1.

故答案为：・

25.(24-25高二下•北京•期中)某甜品店打算推出三款新品，在前期市场调研时，将顾客按照年龄分为青

少年组中年组和老年组，随机调查了200名顾客对这三款新品的购买意愿，统计数据如下(单位：人)：

青少年组中年组老年组

愿意不愿意愿意愿意不愿意

第一款402080202020

第二款303060403010

第三款501080201030

假设顾客的购买意愿相互独立.用频率估计概率

(1)从三个不同年龄组的顾客中各随机抽取1人，记X为这3人中愿意购买第二款新品的人数，求X的分布列

和数学期望E(X)；

⑵用%=l(i=1,2,3)“表示顾客愿意购买第i款新品，=0(i=1,2,3)“表示顾客不愿意购买第i款新品.直

接写出方差。(G)，。&)，。延3)的大小关系.

【答案】⑴分布列见解析，E⑸*

⑵D(&)>D(G)=D&)

【解题思路】(1)X的可能取值为0,1,2,3,求出相应的概率值，即可得到分布列与期望；

(2)根据离散型随机变量的概率公式求解即可.

【解答过程】(1)用频率估计概率，由表可知从青少年组中抽取1人，愿意购买第二款新品的概率为

3c_2

30+30-2r

从中年组中抽取1人，愿意购买第二款新品的概率为焉=1,

OU+4U5

15/39

从老年组中抽取1人，愿意购买第二款新品的概率为蒜二',

OU।£v1

由题意X的可能取值为0,1,2,3,

所以P(X=0)=(1—x(1x(1—=^,

P(X=1)=|x(1-1)X(1-1)+(1-1)x|x(1+(1-1)x(l-|)x|=奈

P(X=2)=|x|x(l-1)+ix(l-1)x|+(l-l)x|x1=^,

P(X=3)=1x|xU^,

所以X的分布列为

X0123

11199

P

20402040

所以E⑶=0x2+1■+2吗+3襦=喘

(2)用频率估计概率，由表可知顾客愿意购买第1款新品的概率为竺端型=，,

顾客愿意购买第2款新品的概率为驾辔=

顾客愿意购买第3款新品的概率为殁智=

所以七G1)=皈3)=1X+UX(I-2.)=^,E«2)=IX1+UX(I-1)=

所以D©)=D&)=恁_1)2X5+恁_0)2x(1一总=0.21,

。&)=(|-1/x升值一0)'x(1一乡=0.24,

所以。(&)＞。延1)=。63).

题型6的仲士*•的性H

26.(24-25高二下•云南昭通・期中)已知离散型随机变量X的分布列如下，若E(12X+2)=9,则。(2X+3)=

()

X-10a2

111

Pb

644

49n155-155、155

A.BD.—

144-前c—DO

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【答案】D

【解题思路】根据给定条件，利用分布列的性质，期望、方差公式及性质计算得解.

【解答过程】依题意，：+%+:+；=1，解得力

b4，5

由E(12X+2)=9,得12E(X)+2=9,解得E(X)=卷,

则E(X)=_lx3+Oxg+ax；+2x；=V，解得a=1,

因此。（X）=_卷）2+30—看）2+#一卷）2+"（2一卷）2

I361,149,125,1289155

6144314441444144144

所以D(2X+3)=4D(X)=4x含二手

故选：D.

27.（24-25高二下•天津•期中）设随机变量X的分布列如下表格，且随机变量X的数学期望E（X）=£，则E

(bX+a)=()

X012

bb

pa

23

A,1cd

【答案】D

【解题思路】利用分布列性质以及期望值性质计算可得结果.

bb7

++1

-Q--Q--

23¥

bb-

【蟀答过程】易知o++211，解得b-

X-QX-

232

12

因此+Q）=+看）=权（X）+看=m+卷=黄

故选：D.

28.（24-25高二下•辽宁抚顺•期中）已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则（）

A.E(3X-2)=10,D(3-2X)=20B.F(3X-2)=10,D(3-2X)=-20

C.F(3X-2)=14,D(3-2X)=20I).E[3X-2)=14,D(3-2X)=-20

17/39

【答案】A

【解题思路】根据随机变量分布列的性质列式求出q,计算E(X)D(X),再根据期望，方差的性质计算求解.

【解答过程】由离散型随机变量的性质可得2+q+2q=l,解得q=3

贝托(X)=2x；+4x；+7x1=4,D(X)=1x(2-4)2+x(4-4)2+1x(7-4)2=5,

所以E(3X-2)=3E(X)-2=10,0(3—2X)=4O(X)=20.

故选:A.

29.(24-25高二下・安徽合肥・期中)已知离散型随机变量X的分布列如下表：

X0125

Pa2a+0.2a+0.22a

则D(2X+6)=.

【答案】10.1

【解题思路】根据分布列的性质即概率之和为1,可求得运用期望方差公式计算期望和方差，最后用方

差性质计算即可答案.

【解答过程】由分布列的基本性质知6a+04=1,解得Q=0.1

故E(X)=0x0.1+1x0.4+2x0.34-5X0.2=2,

D(X)=0.1X22+0.4x12+0.3x02+0.2x32=2.6,

由腐散型随机变量方差的性质可得，D(2X+6)=4〃(X)=10.4

故答案为：10.4.

30.(24-25高二下•广东清远•期中)在科研经费不断投入和科技人员的努力下，近年来我国在智能手机的

设计、生产、销售等方面取得了迅猛的发展.2021年国家统计局数据显示国内智能手机的产量为12.72亿部,

产量占全球出货量的90%以.上.某商店计划开展某品牌高端智能手机的销售，将采用正常销售，打折销售，

清仓销售三种方式共售卖1000台手机.预计每台手机的利润X分别为：正常销售600元，打折销售300元,

清仓销售20元，旦随机变量X的分布列为

Xa30020

P0.8b0.05

(1)求本次销售的总利润的期望值:

(2)求。(X+100).

【答案】(1)526000元：

18/39

(2)24844.

【解题思路】(1)根据分布列的性质及己知求得Q=600,6=0.15,再求总利润的期望值；

(2)由方差的求法求方差，结合方差的性质即可得.

【解答过程】(1)依题意Q=600,b=1-0.8-0.05=0.15,

E(X)=600x0.8+300x0.15+20x0.05=480+45+1=526,

所以总利润的期望值为526x1000=526000(元).

(2)O(X+100)=O(X)

=(600-526yx0.8+(300-526)2X0.15+(20-526)2X0.05

=4380.8+7661.4+12801.8=24844.

题型7随机变量的均值与方差的综合应用

31.(24-25高二下•福建•期中)已知随机变量S•满足P(S=1)=Pi，P(S=0)=l-Pi，i=<P1<

P2<1，则()

A-E(G)<E(&)，0(G)VD(&)B.E(G)<E(&)，。(右)>。(&)

C.Eg[)>E(&)，。延】)VD(&)D.£(—)>Ee)，D(G)>D&)

【答案】B

【解题思路】利用期望和方差公式将数学期望和方差用概率表述出来，然后比较大小即可.

y

【解答过程】•.•Ed=1xPJ+0x(1—pi)=pi，E(&)=1xp2+0(1—p2)=P2，

询A)<E(&)，

,•"fl)=Pl(l—Pl)，。(§2)=P2(l—P2)，Pl+P2>5+5=1,

-。(&)=(Pi—P2)(l-Pt—P2)>0.

故选:B.

32.(24-25高二下•山东青岛•期中)投资43两种股票,每股收益的分布列如下表:

股票力收益分布列

收益X-202

概率0.10.30.6

股票4收益分布列

收益Y012

19/39

概率030.40.3

下列说法正确的是()

A.投资股票力的期望收益较小

B.投资股票8的期望收益较小

C.投资股票A的风险比投资股票B的风险小

D.投资股票6的风险比投资股票1的风险小

【答案】D

【解题思路】根据表格求出两者的期望和方差，进而得到答案.

［解答过程】股票A收益X的期望为E(X)=-2x0.1+0x03+2x0.6=1,

方差为D(X)=(—2—x0.14-(0-I)2x0.3+(2-I)2x0.6=1.8,

股票B收益Y的期望为E(Y)=0x03+1x0.4+2x0.3=1,

方差为。(丫)=(0-I)2X0.3+(1-I)2X0.44-(2-I)2X0.3=0.6,

所以E(X)=E(y),D(X)>D(r),

投资股票力的期望收益等于投资股票B的期望收益，

投资股票B的风险比投资股票A的风险小.

故选:D.

33.(24-25高二下•浙江宁波•期中)互不相等的正实数%1，%2n3/46｛2,4,5,9｝,打用