一元函数的导数及其应用全章十一大压轴题型归纳（拔尖篇）-人教A版高中数学选择性必修第二册（原卷版）

专题5.7一元函数的导数及其应用全章十一大压轴题型归纳(拔尖篇)

【人教A版(2019)]

题型1：求在曲线上一点的切线方程「过一点的切线方程

1.(23-24高二下•湖南益阳•阶段练习)曲线f(%)=(x+l)e'在％=0处的切线方程为()

A.y=x+1B.y=x+2C.y=2x+2D.y=2x+1

2.(2024・新疆•二模)过点(1,4)且与曲线/(%)=/+x+2相切的直线方程为()

A.4x-y=0B.7x-4y+9=0

C.4x-y=0或7x-4y+9=0D.4%-y=0或4x-7y+24=0

3.(23-24高二下•河南洛阳•阶段练习)已知函数/a)=lnx+a/+x(aER),且f'(1)=4.

(1)求/1(%)的解析式;

⑵求函数八%)的图象在点(2,/(2))处的切线方程.

4.(23-24高二下•福建泉州•阶段练习)已知函数/•(x)=Qln%+/—3b,曲线y=f(x)在点(1，/⑴)处的切

线方程为2x+y=0.

(1)求实数Q,b的值；

(2)若曲线C:y=-^x3+4b,求曲线C过点(2,4)的切线方程.

题型2N两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题

1.(23-24高三・江西•阶段练习)若函数f(x)=3x+^-3(x>0)的图象与函数g(x)=的图象有公切线

，，且直线I与直线、=一：％+2互相垂直，则实数亡=()

A.-B.e2C.2或2疵D.乙或4注

eee

2.(23-24高三上.辽宁铁岭.期末)已知函数/•(%)=/,其反函数为厂1Q),若直线y=依为/(%)与广1(%)

的图象的公切线，则()

1_i

A.a=eeB.a=e-e

C.a=e；或Q=e-«D.这样的a不存在

3.(23-24高二上•湖南•期末)已知函数f(x)=ex-2,gM=ex+1-1.

(1)。是坐标原点，八%)的图象在％=2处的切线与3,y轴分别交于九8两点，求aO/lB的面积；

(2)若直线y=kx+b是曲线y=f]%)与y=g(x)的公切线，求A,b的值.

4.(23-24高二上•浙江宁波•期末)已知函数/lx)=efg(x)=Inx-b.

(1)当a=l时，求曲线y=/(灯在点(1,1)处的切线方程；

(2)若a=b+2,是否存在直线与曲线y=/(x)和y=g(外都用切？若存在，求出所有这样的直线；若不

存在，请说明理由.

题型3Z函数单调性的应用

1.(24-25高三上•安徽六安•阶段练习)设a-log42,b-e4,c-cos2,贝lj()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<a<bD.c<b<a

2.(24-25高三上•重庆・期中)设((%)是定义在R上的连续函数f(%)的导函数，*%)-r(x)-2exV0(e为

自然对数的底数)，且/(2)=-4e2,则不等式f(x)>-2泥”的解集为()

A.(2,4-00)B.(-8,-2)C.(-co,-2)U(2,+oo)D.(-2,0)U(2,4-oo)

3.(24-25高三上•北京•阶段练习)已知函数f(x)=彳

(1)求曲线y=/(外在点(1,/(1))处的切线方程；

(2)求/(%)的单调区间;

(3)当电＞与＞1时，判断，(不)-＞必)与二一二的大小，并说明理由.

X2X1

4.(24-25高三上•山东潍坊•阶段练习)已知函数/(x)与其导函数广(力的定义域均为R,且/"«为奇函数,

当%＞0时，/X-x)＞2/(x),/'(l)=0.

(1)判断y=/'(")的奇偶性;

⑵解不等式/(外＞0.

题型4q根据极值(点)求参数

1.(23-24高二下•四川成都・期中)己知/'(%)=a/-2/+bx+。2(。,力wR)在％=1处的极大值为5,则

a+b=()

A.-2B.6C.2D.-6

2.(23-24高三下,山东•开学考试)已知函数/(%)=m/-xlnx存在极小值点a，且fQo)V-/，则实数m

的取值范围为()

A.(0,3B.(0卷)C.(0七)D.(0谭)

3.(24-25高三上•河北•期中)已知函数/(£)=铲-》+^^2

(1)当Q=1时，判断/(、)的单调性；

(2)若/(%)只有在％=0处取得极小值，且无极大值，求实数a的取值范围.

3

4.(23-24百二下•黑龙江齐齐哈尔・期末)已知函数/'(%)=Inx-ax-afaeR.

(1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点处的切线方程；

⑵讨论外幻的单调性；

(3)若/(外有极大值，且极大值大于一2,求a的取值范围.

题型5已知国数最值求参数

1.(23-24高二下・四川内江•阶段练习)已知/(>)=］二一%在区间(根,6-血2)上有最小值，则实数血的取

值范围是()

A.(-8,V5)B.(-V5,1)C.[-2,V5)D.[-2,1)

2.(23-24高三上•陕西汉中•阶段练习)已知函数/(幻=^x3-x+1在区间(2Q-5,a?)上存在最大值，则

实数。的取值范围是()

B.卜2弓)

C.[-2,何D.(-2,72)

3.(2024•河南濮阳•模拟预测)已知实数a>0,函数/(%)=讲一。》.

(1)若f(x)存在零点，求实数。的取值范围：

(2)当函数外幻=ex-QX和,g(x)=QX-Inx有相同的最小值时，求a.

4.(23-24高二下•北京•期中)设函数f(x)=ln%+a(l-%).

(1)当a=—1时，求曲线在(1/(1))处的切线方程；

(2)讨论：/(%)的单调性；

(3)当/Xx)有最大值，且最大值大于2a-2时，求。的取值范围.

题型6卜T数单调性］极值与最值的综合应用O|

1.(23-24高二下.山东济宁・期中)若函数/(%)=-％3+3QM+I在％=2处取得极值，则函数〃%)在区间

［-1,1］上的最小值为()

A.-1B.1C.3D.5

2.(23-24高二下•北京怀柔・期末)若函数/(%)=xe"-QX,则根据下列说法选出正确答案是()

①当QW(-8,—e-2］时，/■(%)在R上单调递增；

②当a£(-。-2,())时・，/(%)有两个极值点；

③当aE(-8,—e-2］时，/(%)没有最小值.

A.①②B.②③C.①@D.①②③

3.(2024.全国.模拟预测)已知％=-1是函数f(x)=胃三的极小值点.

⑴求“外的单调性:

(2)讨论f(%)在区间+遥］的最大值.

4.(24-25高三上•U南天水•阶段练习)已知函数/(%)=x2-(2a+l)x+a\nx,a6R.

(1)若Q=0,求曲线y=/G)在点P(2,f(2))处的切线方程.

(2)若/Xx)在％=1处取得极值，求/1(%)的极值.

(3)若/'(X)在［Le］上的最小值为-2Q,求a的取值范围.

题型7利用导数研究函数零点(方程根)

—好+%2%W0

1.(24-25高三上•内蒙占赤峰•阶段练习)已知函数/(%)=inx.若函数9(%)=/(切-加有三

x

个零点，则实数机的取值范围是()

A.((,+8)B.(e,4-oo)

C.(0,3D.(-oo,0)U0,4-ooj

2.(2024.四川•模拟预测)已知函数/(幻=[:，若关于X的方程f(x)+Q—1=0的不同实数根

的个数为4,则a的取值范围为()

A.(1-；,1)B.(-1-1,-1)C.(14+;)D.

3.(23-24高二下•黑龙江•期末)已知函数/'CO=(ax-a+l)e\

(1)若a=1,求/(%)的图象在点(l,f(l))处的切线方程；

(2)若关于x的方程f(x)=-?合有两个不同的实数解，求。的取值范围.

4.(24-25高三上•湖南长沙•阶段练习)已知函数/■(%)=x(ex-a),aeR.

(1)当Q=1时，求外外的极值；

(2)若函数g(x)=f(x)-alnx有2个不同的零点勺,x2.

(i)求a的取值范围；

(ii)证明：铲，+必一1>3

X/2

题型8V利用导数证明不等式O

1.(23-24高三上•浙江•开学考试)已知函数/(%)=2ex-ax-l,aER

⑴讨论函数/(%)的单调性；

(2)若%>求证：f(x)>V4x+1-x2-y.

2.(24-25高二上•全国•课后作业)已知函数/1(x)=xlnx+1^2.

(1)证明:当。<一1时，rw<o；

(2)若函数/(4)有两个极值点aM证明；fM+3/(X2)>-2.

3.(24-25高三上•内蒙古赤峰•阶段练习)已知函数/(%)=a(ex+Q)一%.

(1)当Q=1时，求函数在(1,/(1))的切线方程；

(2)讨论/(%)的单调性：

(3)证明：当Q>0时，/(x)>21na4-

4.(24-25高三上•四川绵阳•阶段练习)己知/(%)=-注2"+4^-。%一5.

(1)当。=3时，求/(x)的单调递增区间；

(2)若/(无)有两个极值点.，x2.

(i)求a的取值范围；

(ii)证明：/'(%)+八不)++&V0.

题型9V利用导数研究不等式恒成立、存在性问题

1.(2024高三•全国♦专题练习)已知函数f(x)=x2-2ex+a,g(x)=—,对于存在的与E[l,e],存在不e

使g(xD4/(小)，则实数a的取值范围为()

A.[2e-l,+oo)B.[2e-l,e2

C.[e2,+co)D.忖+1+8)

2.(23-24高二上.江苏南通.阶段练习)函数/•(均二”巾刈gM=x2-2x+a,若对任意的与€E，1],总

存在%2W[1,2],使得/(X1)29(々)成立，则实数。的范围是()

A・[1/+8)B.(-8,2-三

C[2-%+8)D.

3.(24-25高三上•重庆•期中)已知函数/(%)=a(x+2)2+b\nx+1,3bGR).

(1)当％=1时,函数y=f(%)的极值为10,求a和b的值;

(2)设g(x)=/(x),x£(1,2],若b=2,对于任意的％W(1,2],都有g(x)22恒成立，求a的最小值.

4.(2024・辽宁•模拟预测)已知函数f(x)=(ax-l)ex+1+3(a40).

(1)求/(%)的极值；

(2)设a=l,若关于％的不等式;■。)工3-1)^+1-％在区间[-1,+8)内有解，求b的取值范围.

题型10利用导数研究双变量问题O

1.(23-24高二下•安徽六安•期末)已知函数/■(%)="-[+a\nx,且/'(x)有两个极值点与，如其中必E(1,2],

则/(勺)一/(“2)的最小值为()

A.3-51n2B.3-41n2C.5-3ln2D.5-51n2

2.(23-24高二下.四川眉山.阶段练习)已知函数/(幻=e"+a又有两个零点X1，%2，且%>%2，则下列说法

不正确的是()

A.a<—eB.xr+x2>InCx^z)+2

C.>1D.f(%)有极小值点

3.(23-24高二上•江苏盐城•期末)设函数f(%)=aex-2x-l.aER,

(1)讨论函数/(x)的单调性：

(2)若必，%2是函数f(x)的两个零点，且%2-皂1，求%1+必的最小值.

4.(24-25高三上•黑龙江齐齐哈尔•阶段练习)已知函数/(x)=4x-ulnx-；x2-3(ueR).

(1)若a=1,求/'(X)的图象在％=1处的切线方程：

(2)若/'(%)恰有两个极值点.，%2(。V%2).

(i)求a的取值范围；

(ii)证明：/(xi)+/(x2)<4-lna.

题型11N导数中的新定义问题

1.(23-24高二下.宁夏银川・期末)对于三次函数/"(x)=a%3+b/+c%+d(aH0),现给出定义：设/'(%)

是函数/•(”)的导数，/a)是/''(>)的导数，若方程f〃a)=o有实数解小，则称点Goja。))为函数/•(>)=

ax3+bx2+c%+d(a*0)的“拐点”，经过探究发现任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有

对称中心,且“拐点”就是对称中心，设函数。(幻二/-3/+2%+3,则函数的对称中心为()

A.(1,2)B.(1,3)C.(2,2)D.(2,3)

2.(23-24高二下•广东江门•阶段练习)给出定义：若函数/(%)在。上可导，即/(X)存在，且导函数((