重难点：解一元二次方程6大题型（专项训练）数学浙教版八年级下册【含答案】

重难点专题解一元二次方程

重难点一：直接开平方解一元二次方程

重难点二：配方法解一元二次方程

直接解方程

重难点三：公式法解一元二次方程

重难点四：因式分解法（含十字相乘法）解一元二）欠方程

解一元二次方程换元法解一元二次方程

灵活选用方法解方程重难点一：综合法解一元二次方程

重难点一直接开平方解一元二次方程

1.方程（X-=4的负根是（）

A.x=~\B.x=3C.x=-4D.x=-3

（25-26九年级上•重庆开州•期末）

2.一元二次方程/一9=0的解是（）

A.X]=3,x2=9B.=9,x2=-9C.玉=-3,x2=-9D.$=3,x2=-3

（2026•广东东莞•一模）

3.方程/_4=0的根是.

（25-26八年级上•上海•期末）

4.方程（x-1）2-49=0的解是.

（25-26八年级下•黑龙江大庆月考）

5.解下列方程：

试卷第1页，共8页

(1)(X-1)2=49

（2）（2y-3）2=16

（25-26七年级下•湖南湘西•月考）

6.求下列各式中的x的值：

（l）4x2=64：

（2）2（X+2）2=18

重难点二配方法解一元二次方程

G方让1）①化二次项系数为1；②移项：常数移到右边；③配方：两边加一

次项系数一半的平方；

④写成完全平方：（x+〃"2=〃；⑤直接开方求解.

（25-26八年级下•安徽合肥•月考）

7.用配方法解方程W-3=4x,变形后的结果正确的是（）

A.(X+2)2=1B.(x+2)、7C.(x-2)2=1D.(x-2)2=7

（25-26九年级下•四川绵阳•开学考试）

8.用配方法解一元二次方程/TO入+5=0,配方正确的是（)

A.(x+5)2=20B.(X-5)2=30C.(工-5丫=20D.(X+5)2=30

（25-26八年级下•黑龙江大庆•月考）

9.解方程：（用配方法）；

（1）X2+4X-2=0

⑵（一3）（一1）=12.

（25-26九年级下•安徽合肥・期中）

10.解方程：x2-4x=3

（25-26八年级下•北京•课后作业）

11.用配方法解下列方程：

（1）X2-8X+13=0.

（2）.r2+5x+7=3.v+ll.

试卷第2页，共8页

(25-26八年级下•黑龙江大庆•月考)

12.用配方法解F列一元二次方程：

(1)X2-2X=4

(2)X2+5X=-2

⑶x?-4x+1=0

(4)r(r-4)=4

(25-26八年级下•黑龙江大庆・月考)

13.用配方法解下列方程：

(1)x2+6x=-7

⑵/-12x=4

⑶/+x+l=7x+3

(4)(x-l)(x-3)=8

重难点三公式法解一元二次方程

方注1)①化成标准式：a*+H+c=O：②5角定a、b、c(带符号)：③算

判别式：△=〃—4曾；@A>0代入求根公式：x二b土匹.

2a

(25-26八年级下•北京•课后作业)

14.一元二次方程4f-x=l的实数根是()

A.X]=x2=0

B.X]=0,X?=4

C.N=0，七=；

i+Vi71-717

D.

玉=-，»丁

(25-26九年级下•河北廊坊•开学考试)

15.若一元二次方程2Mx-1)=1的两根是Xj.q,则下列结论正确的是()

A.X1+x2<0B.x(-x2<0C.x1•x2>0D.^-<0

再

(25-26八年级上•安徽六安•月考)

试卷第3页，共8页

16.解方程：4X2-6X-9=0.

（2026•安徽合肥•一模）

17.解方程：3X2+2X=4.

（25-26八年级下•北京•课后作业）

18.用公式法解下列方程：

（1）4X2-3=12X;

（2）2X2-5X+3=0.

（2026•安徽芜湖•一模）

19.解方程：X2-8X+12=0.

重难点四因式分解法（含十字相乘法）解一元二次方程

20.某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程一=2一解答过程如下所示:

甲同学乙同学

移项，得/一2x=0,/.A(X-2)=0.

两边同时除以X,得X=2.

.,.x-2=0或x=0,解得x=2,x2=0.

其中完全正确的是（）

A.甲同学B.乙同学C.都正确D.都不正确

（25-26八年级下•山东东营•月考）

21.方程12x+32=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为

（25-26八年级下•安徽合肥•月考）

22.用适当的方法解一元二次方程：X2-3X-10=0.

（2026•黑龙江齐齐哈尔•一模）

23.解方程：5x2——1=0.

试卷第4页，共8页

（25-26八年级下•安徽淮北•月考）

24.解方程：x（3x+6）=3x+6.

（25-26九年级上•广西河池・期末）

25.解方程：X2+2X-24=0

（25-26八年级下•北京•课后作业）

26.用十字相乘法解下列方程：

（1）x2+6x-7=0;

⑵X2_2X_3=0;

（3）2X2-5X-3=0；

（4）2X2+15x4-7=0.

重难点五换元法解一元二次方程

❽方41）找重复出现的整体（如i+x、2x-l）；

2）设夕=这个整体，把高次/复杂方程变简单；

3）解出V再回代求X；

4）最后必须检验.

（25-26八年级下•安徽阜阳•月考）

27.已知方程0的解是*=-2,演=3,现给出另一个方程

a(x2+2x)2+/?(x2+2J)+c=0,则它的实数解是()

A.A.=-3,x2=1B.X)=-l,X2=3

C.Xj=-2,X2=3D.X,=-3,X2=2

（25-26八年级上•山西朔州•期末）

28.已知（x—2024）2+（x—2026『=34,则（x—2025）2的值是（）

A.4B.8C.12D.16

（25-26八年级下•浙江金华•月考）

29.关于x的方程m（x+4+Z=0（加，h,々均为常数，加工0）的解是玉=-3,x2=2,则

方程〃1（%十〃一3）2十左=0的角举是.

试卷第5页，共8页

(25-26八年级上上海•期末)

30.已知％、V为实数，且(/+力(/+/+1)=20,则/+V的值是.

(2026八年级下•浙江绍兴•专题练习)

31.【阅读材料】

解方程：/-5/+4=0,这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：

设，则/=必，于是原方程可转化为必一5y+4=0,解得必=L%=4.当y=l时,

x2=1»所以；v=±1；当y=4时，x2=4,所以x=±2.

所以原方程有四个根：$=1,0=-1/3=2,a=-2.

在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想.

【问题】

⑴在解方程(1+4(一十％)-12二。时，若设丁―,十八则原方程可转化为

(2)若(〃/+1-3)(2m2+2/-4)=8,则〃?2+〃2=

(3)参照上面解题的思想方法解方程：f—T-5--+6=0.

\x—2yx—2,

(25-26八年级下•安徽合肥•月考)

32.【材料阅读】

己知实数〃?，〃满足(川+/+川〃/+〃2-1)=8,试求/+/的值.

解：设y=

则原方程可化为3+1)(>'-1)=8,即歹2=9,解得y=±3.

vm2+n2>0,

/.m2+/J=3•

上面这种解方程的方法属于转化的数学思想，即在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中

某些部分看成一个整体，并用新字母代替(换元)，则能使复杂的问题简单化.

【方法应用】

请仿照材料中的方法解决下列问题：

⑴已知(/+y2+1)(/+y2+3)=15,求/+/的值.

(2)解方程：x4-x2-2=0.

试卷第6页，共8页

（3）解方程：-2_r）2—5f+10x—6=0.

重难点六综合法解一元二次方程

方注1）先观察：缺一次项T直接开方；易因式分解T因式法；都不行T公式

/配方法；

2）含括号整体一先看做整体，再展开；

3）含分母T先去分母化为整式方程；

4）最后统一验根.

（2026•江苏南通•模拟预测）

33.若实数a,b满足/+/=],白3_/=],则〃+/）等于（）

A.1B.-1C.1或-1D.0或1

（25-26八年级下•浙江嘉兴•月考）

34.解下列方程：

（1）X2-5X+2=0（须用公式法）；

（2）X2+12X=-9（须用配方法）

⑶2x（x-3）+3=x（方法不限）.

（25-26九年级下.内蒙古开学考试）

35.按要求解方.程：

（l）3（x-l）2-27=0；（用直接开平方法）

（2）/_6x-4=0；（用配方法）

⑶/-3%-1=0：（用公式法）

（4）5X（X-3）+2（X-3）=0；（用因式分解法）

（25-26八年级上•安徽六安•月考）

36.我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方程后再求解，这种

方法叫做换元法.例：解方程：（2x+3）?—8（2x+3）+15=0.

解：将2x+3视为一个整体，设2x+3=y,则原方程可化为：/-8^+15=0,

因式分解得：（）一3）（y5）=0,解得％=3,8=5,

试卷第7页，共8页

当y=3时，2x+3=3,解得x=0；当y=5时，2x+3=5,解得々=1;

综上，原方程的解为玉=0,x2=l.

请参考例题，解下列方程：

(1)3/-5X2-2=0；

(2)(x2-4x)2+3X2-12X-I8=O.

(25-26九年级上•宁夏银川•期末)

37.在解一元二次方程犬-右-8=0时，小明的解法如下，请按要求完成下列问题.

第一步：X2-2X=8

第二步：X2-2X+1=8

第三步：(X-1)2=8

第四步：工-1=2①或工-1=-2&

第五步：$=1+2&,x2=\-2y[2

(1)小明第三步配方的依据是：

A.完全平方公式B.平方差公式C,多项式与多项式乘法法则

(2)上述解题过程中，第步有误，错误原因是，此方程正确的解是

(3)用合适的方法解方程：2/-9y+5=0.

(25-26九年级上•江西赣州•期末)

38.定义：如果关于x的一元二次方程尔+瓜+°=0("0),满足〃+6+c=0,我们称这

个方程为“和谐方程

⑴根据定义判断，方程7/_11X+4=0"和谐方程”(填“是”或“不是”

(2)已知关于x的一元二次方程./+加+5=0是“和谐方程”，则b的值为多少，并解出这个“和

谐方程”；

⑶若关于x的一元二次方程*+云+°=0是“和谐方程”，求代数式4。的最小值.

试卷第8页，共8页

1.A

【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程.

直接开平方法解出方程的两个根后，选取其中的负根即可.

【详解】解：•.(♦1)2=4,

•••x-1=±2,

当1=2时，解得x=3,

当工一1=一2时，解得x=—1,

方程的负根是x=-1.

故选：A.

2.D

【分析】本题主要考查了直接开平方法解•元二次方程，首先把方程/_9=0移项，可得:

f=9,两边直接开平方即可求解.

【详解】解：V.9=0，

移项得：X2=9,

两边直接开平方得：.丫=士囱=±3，

解得：内=3,/=-3.

故选：D.

3.

x=+2

【分析】利用平方根解方程即可.

【详解】解：移项，得/=4

开平方，得.丫=±2.

4.

须=8,X2=-6.##玉=-6,X2=8.

【分析】本题主要考查了运用平方根解方程，灵活运用平方根解方程是解题的关键.通过移

项和开平方解方程，运用平方根的性质求解.

【详解】解：移项得(x-1)2?=49,

开平方得.v-1—±如，即x1=±7,

答案第1页，共22页

当x—1=7时，解得x=8；

当x-l=-7时，解得》=・6.

故答案为：X1=8,X2=-6.

5.(1)$=8,x,=—6；

(2)乂=：,y2=~,

【详解】(1)解：(x-l『=49,

二x-1=7或x-1=-7,

:.*=8,x2=-6；

(2)解：(2J，-3)2=I6,

:.2y一3=4或2y—3=—4,

二2尸7或2尸-1,

71

必=5，^2=-T♦

6.⑴司=4,x,=-4

(2)再=1,x?=—5

【分析】(1)先将原式化简为/・16,再等号两边开平方，即可求解;

(2)先将原式化简为(x+2『=9,再等号两边开平方，即可求解.

【详解】(1)解:41=64,

化简得一=]6,

解得$=4,/=-4.

⑵解：?.(r+?.)2=lX.

化简得(X+2)2=9,

开方得x+2=±3，

解得$=1,x2=-5.

7.D

【详解】解：x2-3=4.r,

答案第2页，共22页

移项得J-4X=3,

配方，方程两边同时加一次项系数一半的平方得.d-4x+4=3+4,

由完全平方公式得(x-2『=7,D选项符合题意.

8.C

【分析】先移项，再在方程两边加上一次项系数-•半的平方，将左边配成完全平方式即可得

到结果.

【详解】解：原方程为X2-10X+5=0.

移项得x2-1Ox=-5.

方程两边同时加25得X2-10X+25=-5+25.

配方得(X-=20.

9.(1)X|=-2+yjb,x2=-2-y/b

⑵"3,t2=-5

【分析】(1)根据配方法的步骤解方程即可；

(2)先将方程左边展开，再根据配方法的步骤解方程即可.

【详解】(1)解：X2+4X-2=0

x2+4x=2

x2+4x+4=2+4

(x+2『=6

X+2=±y/6

x=—2±y/6

-

X|=-2+5/6,X2=2-yfb：

(2)解：(/+3)(Z-l)=12

r2+2/-3=12

t2+2t=\5

t2+2t+\=\5+\

1+1)2=16

答案第3页，共22页

/+1=±4

/=-1±4

"=-1+4=3,t2=-1-4=-5.

10.x}=2+5/7,x2=2-

【分析】把方程两边同时加上4进行配方，进而解方程即可.

2

【详解】解：VX-4X=3,

•••X2-4x+4=3+4,即(x-2)"=7,

•••x-2=+>/1，

解得X1=2+J7,%=2-".

11.(1)/=4+5x2=4-y/3

(2)x,=V5-l,X2=-45-\

【分析】(1)将原方程整理后利用配方法解方程即可；

(2)将原方程整理后利用配方法解方程即可.

【详解】(1)解：x2-8x+13=0,

原方程整理得：X2-8A=-13,

配方得:X2-8X+16=-13+16,

即(X-4『=3,

直接开平方得：x-4=±3，

解得：X[=4+JJ,x2=4-5/3；

(2)解：/+5x+7=3x+ll，

原方程整理得：V+2x=4,

配方得：X2+2X+1=4+1,

即(X+1『=5,

直接开平方得：x+l=±&,

解得：x,=V5-1,x2=-^5-1.

答案第4页，共22页

12.(1).=1+石,x2=I-x/5

c、-5+V17-5-V17

⑶再=2+6,x2=2-y/3

(4)X)=2+2A/2,x2=2-2-J1

【分析】(】)(2)把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再把方程两功同时

开平方并解方程即可；

(3)先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，

再把方程两边同时开平方并解方程即可；

(4)先去括号，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再把方程两边同

时开平方并解方程即可.

【详解】(1)解：x2-2x=4

X2-2X+1=4+1,即(1)2=5,

x-\=土石，

解得X1=i+石，x,=1-75；

(2)解:X2+5X=-2

x\5x++.2+m，即,+目=*

解得*二带叵，七二毛姮;

(3)解：x2-4x+I=0

x7-4x=-1，

x:-4x+4=-l+4,(x—2)'=3,

x-2=土百,

解得$=2+6，毛=2-6；

(4)解：x(x-4)=4

答案第5页，共22页

X2-4X=4,

x2-4x+4=4+4,(x-21"=8,

x-2=±2V2»

解得$=2+2&,x,=2-272.

13.(l)x,=-3+V2,x,=-3-V2

⑵X)=6+2\/FO,x2=6-2\/10

(3)再=3+而，X2=3-^TT

(4)玉=5,x2=-1

【分析】将原方程整理，且将常数项移到方程右边，接下来方程两边都加上一次项系数一半

的平方，然后开方解答即可.

【详解】(1)解：X2+6X=-7,

两边都加上9,得F+6x+9=2,

即(X+3)2=2,

开方，得x+3=±5/2»

X)--3+V2,x,-—3—^2；

(2)解：--I2x=4,

两边都加上36,得/-12X+36=40,

2

即(X-6)=40,

开方，得］-6=±2而，

•••再=6+2^/10,x2=6-2-710；

(3)解：整理，x2-6.v=2,

两边都加上9,得--6%+9=11,

即(X-3)2=11,

开方，得x-3=±5/rT»

二%,

=3+VTT,X2=3-VH:

答案第6页，共22页

(4)解：整理，得V-4X=5,

两边都加上4,得/—4x+4=9,

即(.-2)2=9,

开方，得x-2=±3,

二再=5,X2=-1.

14.D

【分析】先将原一元二次方程整理为一般形式，再利用一元二次方程求根公式求解即可.

【详解】解：4x2-x=b

4——x-l=o

a=4,b=-\,c=-\,

•••判别式A=/>2-4«C=(-1)2-4X4X(-1)=1+16=17>0,

.••代入求根公式x=但反得x=生叵

2a8

..匕2叵羽=三叵，即选项D符合题意.

18~8

15.D

【分析】先将原方程整理为一元二次方程一般形式，再用求根公式求出两根，判断两根的符

号关系，逐一判断选项即可.

【详解】解：将原方程2Mx-1)=1整理得2/-2、-1=0,

,:a=2,b=-2fc=-1,

2

..._2±7(-2)-4X2X(-1)_i±VJ?

42

...两个根一个为112g>0.一个为上至<o,两根异号，

22

A项：X,+x,=+--虫"=1>0,故A错误；

"2‘32

B项：题目未规定4W的大小，若M为正根，则玉-七>0,故B错误:

C项：两根异号，则XF<0，故C错误：

D项：两根异号，异号两数相除商为负，则上■<0,故D正确.

答案第7页，共22页

_3+3旧3-375

1[A6•X=------，x=------

4y~4

【分析】用公式法解一元二次方程即可.

【详解】解：由题意得，"4,b=-6,c=—9,

△=(-6)2-4X4X(-9)=36+144=180>0,

.―-(-6)±80_6±6^5_3±3-75

••x=—:--------=------=------，

2x484

.3+3百3-3石

••x.=-----，x,=------.

'44

/-1+V13-1-V13

17.玉=---，x2=---

【分析】根据公式法求解即可.

【详解】解：方程可化为3/+2x-4=0,

:a=3,6=2,c=-4,

.♦.△=从-4团=4+48=52,

-b±ylb2-4ac-2±2V13

•y----------------------，

la6

-1+后-1-V13

解得：西=■•

—3

3+263-2石

18.(Dx)~T~~2~

3

(2)%=-^x,=1

乙

【分析】利用公式法对所给一元二次方程分别进行求解即可.

【详解】⑴解:4X2-3=12X,

化为一般形式:4X2-12X-3=0,

A=(-12)2-4X4X(-3)=192>0,

则”生返3±2百

--------,

2x42

所以二三辿，_3-273

2

(2)解：2X2-5X+3=0.

A=(-5)2-4X2X3=1>0,

贝IJx二也L,

2x2

答案第8页，共22页

所以X]=g，x2=\.

19.Xj=6,X2=2

【分析】先求出a,b,。的值，再求出从一4m,然后根据求根公式》=4±J'一4竺解答.

2a

【详解】解：x2-8.r+12=0,

由。=1,6=-8,c=12,

v/,2-4ac=(-8)2-4xlxl2=16>0,

8±V168±4

・・X=---------=------,

22

:.%(=6,x2=2.

20.B

【分析】根据因式分解法解一元二次方租求解判断即可.

【详解】解：依题意，甲同学的解法错误，方程两边不能同时除以x，这样会漏解；

乙同学利用解一元二次方程方法一因式分解法，计算正确，

因此完全正确的是乙同学.

21.

20

【分析】先求出方程的两个根，再分情况讨论边长组合，结合三角形三边关系验证组合是否

成立，最后计算周长即可.

【详解】解：/一12%+32=0

因式分解得(x-4)(x-8)=0

解得工[=4,工2=8；

若4为腰，8为底，三角形三边长为4,4,8,因为4+4=8,不满足三角形三边关系，不能构

成三角形，故舍去该情况；

若4为底，8为腰，三角形三边长为4,8,8,满足三角形三边关系，此时周长为4+8+8=20.

22.x,=5,x2=-2

【详解】解：X2-3X-10=0

(x-5)(.r+2)=0

答案第9页，共22页

工一5=0或x+2=0

二%=5,x1--l.

23.Xj=1,x2=--

【详解】解：5,r2-4x-l=0，

因式分解，得(x-l)(5x+l)=0,

解得X1=l,x2=——.

24.x}=-2,x2=1

【分析】先因式分解得到(3、+68-1)=0,再解方程即可.

【详解】解：移项,得x(3x+6)-(3x+6)=0,

提取公因式，得(3x+6)(x-l)=0,

即3x+6=0或x-1=0,

解得』=-2,x2=\.

25.X]=4,X2=-6

【分析】利用因式分解法解方程即可.

【详解】解：/+2%-24=0,

(x-4)(x+6)=0,

二.工一4=0或x+6=0,

%1=4,、2=-6.

26.⑴玉=1,x2=-7

(2)再=T,Q=3

(3)玉=一；，/=3

(4)%=-；，x2=-7

【分析】利用十字相乘法进行因式分解求解方程.

2

【详解】(1)解:VX+6X-7=0,

答案第10页，共22页

.-.(x-l)(x+7)=0,

.,.x-1=0或x+7=0,

解得：x,=l,X2=-7.

(2)解：X2-2X-3=0,

.*.(x+l)(x-3)=0,

x+1=0或x-3=0,

.-.x,=-1,x,=3.

(3)解：•••2--5X-3=0,

.-.(2x+l)(x-3)=0,

2x+1=0或工一3=0,

...再=-；，X2=3.

(4)解：•♦2/+15工+7=0,

.-.(2x+l)(x+7)=0,

工2x+1=0或工+7=0,

•3=，"-7.

27.A

【分析】将新方程中的x?+2x看作整体，对应原方程的未知数x，再分别解一元二次方程即

可得到答案.

【详解】解：令y=/+2x则新方程可化为"2+勿+°=0,

2

,*,原方程ax+bx+c=()的解为$=-2,x2=3,

•••"+勿+c=0的解是歹=-2或y=3,

即/+2x=-2或/+2x=3，

当r+2%=-2时，整理得X2+2X+2=0，

vA=22-4x1x2=-4<0

此方程无实数解；

当f+2x=3时，整理得W+2x—3=0,

答案第11页，共22页

因式分解得(x+3)(x-l)=。，

解得玉=-3,W=l，

因此新方程的实数解为芭=-3,x2=l.

28.D

【分析】本题考查换元法和完全平方公式的应用，通过设，=工-2025,将原式转化为关于，

的方程，利用完全平方公式展开求解即可.

【详解】解：•••(x-2024)2+(x—2026)2=34

.•.设/=x-2025,则x-2024=f+l,x-2026=/-l

.-.(r+l)2+(r-l)2=34

v(/+l)2=r+2r+l,(/-I)2=/2-2;+I

.••/2+2/+l+r-2r+l=34

•••2J+2=34

•••2-=32

•••z2=16

即1-2025)2=16

故选：D.

29.X=0,x?=5

【分析】可以把方程〃7(X+/L3『+左=0看作关于(x-3)的一元二次方程，再根据关于X的

方程〃?(x+A『+左=0的解是演=-3,.马=2得至1］工一3=—3或工一3=2,从而得到方程

m(x+h-3)~+k=0的解.

【详解】解：观察用(工+力『+左=0与〃?(x+力-3『+左=0的形式可知，后者的解与前者的解

满足x-3关系，

,••X的方程，〃(x+力『+%=0(小，h,々均为常数，m*0)的解是芭二-3,x2=2,

—3=-3或x—3=2,

x,=0,x,=5,

答案第12页，共22页

即方程〃?(x+〃-3)2+%=0的解是X=。，.=5.

30.4

【分析】本题考查了换元法，解一元二次方程，注意解的取值范围是解题关键.

设/=./+/,则原方程化为(+1)=20,解二次方程并根据摩0确定值.

【详解】解:设£=/+/,则年0,

原方程化为小1)=20,

即『+"20=0,

A=l2-4xlx(-20)=81,

-1±VH-I±9

t=----=---，

22

解得E=4或f=-5,

由于年0,故"4,

即?+/=4.

故答案为：4

31.(l)/-4y-i2=0

⑵呼

(3)再=3,x2=4

【分析】(1)直接代入得关于y的方程，即可得到结果；

(2)设x=〃/+〃2,贝IJ原方程可转化为(x-3)(2x-4)=8,X的方程得出工=笥叵，即可

求解：

(3)设y=—1,则原方程可转化为/-5y+6=0,求出必=2,必=3,即可得出关于x

x-2

的方程，然后解关于x的分式方程，即可求解.

【详解】⑴解：(X24-X|2-4(X2+X)-12=0,

设y=f+x,则原方程可转化为歹-4尸12=0；

(2)解：(川+〃2-3)(2/+2〃2-4)=8,

设“〃/+*,则原方程可转化为(x-3)(2x-4)=8,

答案第13页，共22页

即X2-5X+2=0,

••A=(-5)2-4X1X2=17>0,

：•x=-5-±-V-1-7-，

2

土

即nnin2+n2=-5---V-1-7：

2

(3)解：(-]-5—+6=0,

\x-2)x-2

设V=一三，则原方程可转化为V-5y+6=0,

x-2

解得:乂=2,%=3,

当乂=2时，二=2,

x-2

解得：x=4,

检验：当x=4时，/一2工0,

.•・"4是原方程的解；

当必=3时，*=3,

x-2

解得：x=3,

检验：当x=3时，x—2工()，

・•・x=3是原方程的解；

综上所述，原方程的解是玉=3,超=4.

32.(\)x2+y2=2

⑵天=一上

x=x=1+\/7,X=I-V7

(3)12=l,x34

【分析】(l)设“=则原方程可•化为(a+l)(a+3)=15,求出q=—6,%=2,再根据

a=x2+y2>(),得至lJ/+「=2,即可解答：

(2)设方=/,则原方程可化为〃-8一2=0,求出々=7也=2,再根据b=VNO,得到

X2=2,求出x的值即可；

(3)设。--一2》，贝1J原方程可化为C2-5C-6-0，求出-1,得到Y_2X_6或

答案第14页，共22页

X2-2X=-\,进而求出x的值即可.

【详解】(1)解：设〃=/+/，则原方程可化为

(a+l)(a+3)=15,

a2+4a-12=0»

(t7+6)(t?-2)=0,

解得q=-6吗=2,

v«=x2+y2>0,

•••x2+y2=2；

(2)解：设6=/,则原方程可化为

h2-h-?=0.

解得4=-1也=2,

/>=x2>0>

•••一=2，

解得玉二&，5=-上：

(3)解：原方程可化为(/_2x)2-5，-2耳-6=0,

设c=/-2x,则原方程可化为

C2-5C-6=0

解得。=6,°2=T,

二一-2x=6或/-2x=-I，

即X2-2X+1=0B£X2-2X-6=0,

解得演=々=1，x3=1+>/7,X4=1-V7.

33.C

【分析】根据立方差公式可得：("软/+,力+〃2)=1,根据"+/=[,可得：

1„2_____

a-b=-----,设a+/)=x，可得：ah=-----,利用完全平方公式可得：a-b=±y/-x2+2»

\+ab2

答案第15页，共22页

所以可得方程/2工=—一+2,利用换元法解方程即可求｛14。+力的值.

卜+1)

【详解】解：=1,

「.(4一方)(f+/+〃)=1,

1/+/=1,

,I

a-b--------,

\+ab

设8=x,则有a'+b2=(a+b)~-2ab-x1-lab=1,

x2-l

-------,

2

112

I+lib.A2—1A2+1>

1+-------

2

v(a-/7)2=(a+b)2-4ab=x2-4x=x2-2(x2-l)=-x2+2,

a-b=±J-x?+2»

2

a-b=^——>0,

x+1

/.:=V-x2+2,

x+1

42、

整理得：百^一“+‘

设y=X?,

4.

可得:西/，

两边同时乘以(y+lf,可得：(-y+2)(j，+l『=4,

整理得：/-3j+2=0,

分解因式得(y+2)(j，-l>=0,

・'•y=-2或》=1,

•・•»=/不能为负数，

答案第16页，共22页

:.y=x2=1,

解得：x=±l,

〃+b=l或一1.

34.(1)

5-7175+V17

⑵

再=-6-3G，s=-6+3君

⑶

【详解】(1)解：/—5x+2=0,

a=l,b=—5,c=2,

A=(-5)2-4xlx2=17>0,

5±V17

x=---------，

2x1

解得/二经叵丹二¥,

24

(2)解：./+12x=-9,

X2+12X+36=-9+36

(J+6)2=27

x+6=±3>/3>

解得x,=-6-3瓜X1=-6+3石；

(3)解：2Mx-3)+3=/,

2x(x-3)+3-x=0,

2x(x-3)-(x-3)=0,

(x-3)(2x-l)=0,

2x-l=0或x-3=0,

答案第17页，共22页

解得W=g，/=3.

35.(l)x,=4,x2=-2

⑵玉=3+A/TJ,X2=3—VTi

⑸3+V133-V13

⑶再=---,x2=——

(4)x,=3,X,=-y

【分析】(1)先变形为(工-1)2=9,然后利用直接开平方法即可求解；

(2)先变形为6x=4,再利用配方法得到(X-3『=13,然后利用直接开平方法即可求

解；

(3)先计算判别式的值，然后利用公式法即可求解；

(4)把方程化为(x-3)(5x+2)=0,然后利用因式分解法即可求解.

【详解】(1)解：V3(X-1)2-27=0,

•••3(1)2=27,

.•.(X-1)2=27+3,

••.(1)2=9,

x-1=±3,

.G=4,X2=-2；

(2)解：-6x-4=0,

•••x2-6x=4,

•••x2-6x+32=4+32»

.-.(x-3)2=13,

X—3=±y/\3>

:.X|=3+y/\3,x2=3-VTJ;

(3)解：*-3x-l=0,

:.a=l,b=-3,c=-1,

•••△=/>二-4ac

答案第18页，共22页

=(-3)2-4xlx(-l)

=9+4

=13>(),

-b土<b二4ac

x=------------------

2a

_-(-3)±V13

2

_3±V13

3+V133-V13

・f=-^-E=^；

(4)解：•.•5x(x-3)+2(x-3)=0,

.­.(X-3)(5X+2)=0,

,2

J.X]=3,%=-y.

36.(1)X)=>/2,x2=-5/2

⑵芭=2+>/7,X