2026年九年级数学中考二轮复习《二次函数的图象与性质》考前选择题（提升训练）

2026年九年级数学中考二轮复习《二次函数的图象与性质》

考前冲刺常考热点选择题专题提升训练（附答案）

1.关于二次函数、=一%2+2%-3的图象和性质的叙述中，正确的是（）

A.对称轴在y轴左侧B.顶点坐标（0,3）

C.时，y随工的增大而减小D.与直线y=6%+1有唯一公共点

2.己知（0,yi）,（-2,丫2），（一3,力）是抛物线y=-/一以十1上的点，则y2,为的大小

关系是（）

A.%<乃<为B.%vy3Vy2c.y3<yi<y2D.y3<y2<力

3.已知二次函数y=。/+8%+。的图象开口向上，与无轴交于（一2,0）和（3,0）,则下列关系

正确的是（）

A.a>0,b>0,c>0B.a>0,b<0,c<0

C.a>0,b>0,c<0D.a>0,b<0,c>0

4.已知二次函数y=-/+2x+a（a为常数），当mWxW3时，y有最大值a+1,最小值

a-3,则，〃的取值范围是（）

A.m<-1B.1<m<2C.-1<?n<1D.-1<m<2

5.已知抛物线y=a/-2g+a-2的图象经过笠（m-2,yi）,B（3-机,乃），其中m>4,

且当％<0时，y值随x值的增大而增大，下列说法正确的是（）

A.yi<y2V-2B.-2<y2<y\

C.-2Vy1Vy2D.y2<yL<-2

6.把抛物线丫=。/+加+c图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所

得的图象的解析式是y=/+6%+5,则a-b+c的值为（）

A.-3B.-2C.-1D.0

7.已知二次函数y=—/+2%+血+1（m为常数），当0WxW3时，该二次函数的最大值

与最小值的差为（）

A.9B.-3C.1D.4

8.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-2mx4-m2-6?n+3为常数）关于X轴对称

得到的新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12,则m的值为（）

9.在平面直角坐标系中，二次函数、=Q/+QX—2a（QHO）的图象与x轴的正半轴交于点

A，与），轴交于点8,且当x>0时，y随着x的增大而增大，当8。=24。时，a的值为（）

A.1B.2C.-1D.-2

10.二次函数、=a/+"+c的图象如图所示，则二次函数、二^^X-力产+^:的图象可能

是（）

中九>0）：

X.....—n0n+1.....

y.....10-210.....

根据表格提供的信息，卜列说法正确的是

A.该抛物线与x轴的交点坐标为（0,-2）

B.该抛物线的对称轴是直线％=1

C.该二次函数存在最大值

D.点A（-n-2,力）足该抛物线上一点，则yi>10

2

12.我们定义一种新函数：形如y=|ax+bx+c|（aH0,4一4ac>0）的函数叫做"鹊桥”

函数.小丽同学画出了如图所示的"鹊桥〃函数y=|a/+bx+c|的图象，卜.列结论正确的是

B.当且仅当一lWxWl时，y随工的增大而增大

C.若a<0则8a+c<0

D.若aV0,则a+匕4m（a77i+8）（/〃为任意实数）

13.为了实时规划路径，北斗卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方.如图

1,点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路48向目的地B处运动.设AQ为

x(单位：km)(0<%<n),PQ?为y(单位：km2).如图2,y关于％的函数图象与y轴交

于点C,最低点0(13,m),且经过E(6,130)和F(n,225)两点.下列选项不正确的是()

B.点C的纵坐标为250

D.点(16,90)在该函数图象上

14.如图，抛物线y=/-4%一5与x轴交于点4B(点B在点力的左侧)，与y轴交于点C,

点M,N在该抛物线的对称轴上(点M在点N的上方)，若MN=1,则MO+CN的最小值为

()

A.2或B.4V2C.4x/3D.3遮

15.如图，抛物线y=-^/+X+4与x轴交于A,8两点，。为抛物线上一点，其横坐标

为一：，C为抛物线对称轴上一动点，连接AC,PC,当尸C+AC取得最小值时，tan乙BAC的

16.如图，抛物线y=2/一1与》轴交于48两点，D是以点C（0,4）为圆心，或为半径的圆

16

上的动点，E是线段4。的中点，连接0E,8。，则线段0£的最小值是（）

17.二次函数丫=。/+加+。3工0）的图象如图所示，对称轴为直线％=现给出以下

结论：（l）abc<0；（2）b2-4ac>0；（3）a-b+c>0；④（a+b）（2a+c）>0.其中正确

C.3个D.4个

18.抛物线y=a/+bx+c的顶点为。（一1,2）,与x轴的一个交点4在点（一3,0）和（一2.0）之

间，其部分图象如图，则以下结论：®b2-4ac<0：②当》<-1时，y随x增大而减小:

③Q+b+cvO；@2a-b=0；⑤若方程a/+力％+c=m没有实数根，则m>2.其

中正确结论的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

19.如图，抛物线y=。炉+以+。与工轴交于4（一4,0）,8（2,0）,交y轴负半轴于点C,对称

轴交抛物线于点。，交x轴于点E,贝ij下歹U结论团①2a—b=0；②abc>-b<am2+

bm（机为任意实数）；④若点Q（m,n）是第三象限内抛物线上的动点，当△Q4C的面积最大

时，m=—2,其中正确的有（）

20.己知二次函数y=ax24-bx+c（a*0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的有（）

个.

@abc>0；

（2）2a+b=0：

③9a+3匕+cV0；

@4ac-b2<0：

⑤a+b>m（am+b）（m为任意实数）.

A.3B.2C.1D.0

参考答案

1.解：0y=-x2+2%-3=-(x-I)2-2,

(3二次函数开口向下，对称轴为直线％=1,在y轴右侧，顶点坐标为(1,-2),

团选项A,B错误；

团开口向下，对称轴为％=1,

□x<1时，y随％的增大而增大，

又回％<0<1,

0x<OH't,y随式的增大而增大，

团选项C错误；

联立二次函数与直线方程?=3，

Iy=6x+1

0x2+4x+4=0,

回判别式d=42-4x1x4=0,

因该一元二次方程只有一个实数根，即二次函数与直线y=6x+1有唯一公共点，

团选项D正确.

2.B

【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据开口向下的二次函数的性质：点到对称

轴的距离越大，对应函数值越小，通过比较三个点到对称轴的距离，得到函数值的大小关系.

【详解】解：闭抛物线y=—/-4汇+1中，a=-1<0,

0抛物线开口向下，点到对称轴的距离越大，对应函数值越小，

抛物线对称轴为％=一肉==-2,

分别计算三个点到对称轴x=-2的距离：

点(0,必)到对称轴的距离：10-(-2)|=2,

点(-2,及)到对称轴的距离：1-2-(-2)|=0,

点(一3,乃)到对称轴的距离：1-3-(-2)|=1,

02>1>0,

瓜%vy3V

3.B

【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴，二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即

可.

【详解】解:••,二次函数y=at+bx+c的图象开口向上,与。轴交于(一2,0)和(3,0),

：•a>0,对称轴为直线％=-3=三上=；>0,关于％的一元二次方程a/+bx+c=0的

2a22

两根为与=-2,x2=3,

•••Z?<0,%,%2=(=(-2)x3=-6<0,

a>0,

•••c<0.

4.C

【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，确定其开口方向、对称轴和顶点坐标；再结合给

定的最大值和最小值，分析函数在mWx43时的增减性与最值取得的位置，进而确定m的

取值范围.

【详解】解：二次函数解析式为y=—/+2x+a,将其化为顶点式：

y=-(x2-2x+l)+l+a=-(x-I)2+(a+1).

回二次项系数一1v0,

回抛物线开口向下，顶点坐标为(1,a+1),当％=1时，函数取得最大值Q+1.

团y的最大值为a+1,

0x=1必须在取值范围m4%43内，即m<1.

抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，无二3到对称轴％=1的距离为3—1=2.

函数的最小值为Q-3,

将x=3代入解析式得y(3)=-32+2x3+a=a-3,

回函数在％=3处取得最小值，

要保证y(3)在7九<%<3时的最小值，则需满足y(m)>y(3),即％=m到对称轴x=1的距离

不大于％=3到对称轴的距离，

E|m-1|<|3-1|,

解得一1<m<3,

综上，m的取值范围为一1WmW1.

5.D

【分析】先对抛物线配方得到对称轴和顶点坐标，根据已知增减性判断开口方向，再计算两

点到对称轴的距离，结合开口向下抛物线的性质比较函数值大小即可.

【详解】解：0y=ax2—2ax+a—2=a(%—l)2—2,

团抛物线对称轴为直线x=l，顶点坐标为(1,-2),顶点纵坐标为-2,

团当XV0时，y随工的增大而增大，Xv0在对称轴X=1左侧，

团抛物线开口向下，a<0.

回开口向下时抛物线顶点为最高点，

团抛物线上所有非顶点的点纵坐标都小于-2,

设点A,4到对称轴的距离分别为B和d2,

0m>4,

13dl=|(m-2)—1|=\m-3|=m—3,d2=|(3—m)—1|=|2—m\=m—2,

0d2-山=(m-2)—(m—3)=1>0,

0d2>即8点离对称轴更远，

回抛物线开门向下时，点离对称轴越远，函数值越小，

何乃<yi<-2.

6.C

【分析】将y=/+6%+5化为顶点式，确定顶点坐标，再反向平移得到原抛物线的顶点坐

标(一1,一1),继而得到原抛物线的解析式，求出Q=Lb=2,c=0.代入计算即可.

【详解】解：y=/+6x+5=(%+3乃一4.

回其顶点坐标是(-3,-4),

国将其向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到

团原抛物线的解析式是：y=(%+一1=/+2x.

所以Q=1»b=2,c=0.

所以a-b+c=l-2+0=-l.

7.D

【分析】根据二次函数解析式得到二次函数图象开口向下，对称轴直线为％=1,得到离对

称轴越远值越小，则当x=l时，二次函数取得最大值，当x=3时，二次函数取得最小值，

由此即可求解.

【详解】解：二次函数y=—产+2%+m+1(?n为常数)，

0-1<0,

(3二次函数图象开口向下，对称轴直线为％=1，

2x(-1)

当XZ1时，y随x的增大而减小，当工<1时，y随x的增大而增大，离对称轴越远值越小,

01-0=1,3-1=2,则1V2,

0当x=l时，二次函数取得最大值，最大值为y=-12+2xl+m+l=m+2,

当％=3时，二次函数取得最小值，最小值为y=-3?+2x3+m+1=m-2,

0TH+2-(m-2)=4,

故选：D.

8.D

【分析】先求得原抛物线的顶点坐标为(皿-6血+3),再根据关于工轴对称的特点可得新抛

物线的顶点坐标为(m,6m-3),然后利用新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12,列绝对值

方程求解即可.

【详解】解：0y=x2-2mx+m2-6m4-3=(x-m)2-6m+3,

因原抛物线的顶点坐标为(m,-67/1+3),

团抛物线y=/_2mx+m2-6?n+3(m为常数)关于x轴对称得到的新抛物线，

团新抛物线的顶点坐标为(m,6m-3),

团新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12,

即―6m+3-(6m—3)|=12,解得：血='或根=—5即选项D符合题意.

9.A

【分析】先求出二次函数与x轴、y轴的交点坐标，得到A。、B。的长度，结合8。=24。得

到。的可能取值，再根据二次函数的增减性判断。的符号，即可得到。的值.

【详解】回二次函数为y=a/+-2a(a工0),

令y=0.得a/+ax一2a=0,

•••aH0,等式两边同除以a得/+x—2=0,

因式分解得(%+2)(%-1)=0,

解得x=1或％=-2,

•••4在％轴正半轴，

•••4(1,0),得AO=1,

令X=0,得y=-2a,

8(0,-2a),得BO=\-2a\=2\a\

vBO=2AO,

•••2\a\=2x1=2,即⑷=1,得a=1或Q=-1,

二次函数对称轴为x=——=-->

2a2

时，y随X的增大而增大，且x>0>—%说明对称轴右侧y随x增大而增大，

•••二次函数开口向上，

Q>0,

•••a=1.

10.A

【分析】先推导出Q>0,-?>0,cV0,得到匕<0,再根据二次函数的图像求解即可.

2a

【详解】解：由二次函数丫=。/+历；+。的图象，得a>o,-/>o,cvo,

则b<0,

团二次函数、=或%-6)2+(:的图象开口向上，顶点(40在第三象限，只有选项A符合.

11.D

【分析】根据表格信息确定抛物线的对称轴和增减性，进行判断即可.

【详解】解：由表格可知，工=-九和%=几+1的函数值相同，该抛物线与y轴的交点坐标为

(0,-2)，

回抛物线的对称轴为％=」尹=p

又(3在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小，

用抛物线的开口向上，二次函数存在最小值，

0点4(—九—2,y1)是该抛物线上一点，且一九—2<—n<

(3%>10；

综上，只有选项D正确.

12.C

【分析】根据图像与x轴交点求对称轴排除A,由图像分析函数性质排除B,由对称轴得力二

-2a、代入特殊值％=-2判断8a+c符号确定C正确，再利用二次函数的最值性质判断不等

号方向排除D.

【详解】解：A、由图象可得，图象具有对称性，对称轴是直线工=芳=1,

故选项A错误，不符合题意；

B、当一14x41或无之3时，函数值y随x值的增大而增大，

故选项B错误，不符合题意;

C、0--=1,

2a

M=-2a,

0a<0,

团由图可知，当一1V%V3时，y=ax2+bx+c,当％<一1或%>3时，y=—ax2—bx-c,

(3当％=-2时，y=-4a+2Z?-c>0,

0—4a+2b—c=—4a4-2x(—2a)—c=-4a—4a—c=-8a—c>0,

08a+c<0,

故选项C正确，符合题意；

D、0a<0,

回抛物线y=ax?+bx+c开口向下，有最大值，

团对称轴为直线％=1,

回当％=1时，y最大=a+6+c,

^a+b+c>am2+bm+c(m为任意实数)，

Ha+b>m(am+b),

团a<0,

(2-a>0,

团抛物线、=-a/-bx-c开口向上，有最小值，

团对称轴为直线x=1,

回当％=1时，y段小=-a-b—c,

0-a-b-c<-am2-bm-c(m为任意实数)，

0-a-b<-m[am+b),

Ba+b>nt(u/n十£»),

综上，若aV0,则a+b2m(am+b)(机为任意实数)，

故选项D错误，不符合题意.

13.C

【分析】过点P作PG14B于点G,当点Q运动到点G时，PQ最小,即为PG,则由图象可得

PG2=m,AG=13,由图象可得，当x=6时，y=130,设此时点Q运动到点”的位置，

则AH=6,PHZ=130,求出HG,再由勾股定理求解m,即可判断A；当PQ?=225,设此

时点。运动到点T,WPT2=225,由勾股定理求解GT,即可求解n,即可判断C；当点Q与

点A重合时，此时点C的纵坐标即为PA2,再由勾股定理求解，即可判断B；设点。运动到

点K时，此时4K=16,可求KG,再由勾股定理求解y=PK2,即可判断D.

【详解】解：过点P作PG14B于点G,当点Q运动到点G时，PQ最小，即为PG,则由图象

由图象可得，当％=6时，y=130,设此时点Q运动到点H的位置，则4H=6,PH2=130,

团HG=AG-AH=13-6=7,

0PG2=m=PH2-HG2=130-72=81,故A正确，不符合题意；

当PQ2=225,设此时点。运动到点了，即PT2=225,

0GT=>JPT2-PG2=4225-81=12,

0n=AT=AG+GT=134-12=25,故C错误，符合题意；

当点Q与点A重合时，此时点。的纵坐标即为P42=PG2+AG2=81+132=250,故B正

确，不符合题意；

设点Q运动到点K时，此时AK=16

0/CG=71^-/1(7=16-13=3,

(3此时y=PK2=PG2+KG2=81+32=90,

团点(16,90)在该函数图象上，故D正确，不符合题意.

14.B

【分析】根据抛物线y=/-4%-5,得对称轴是直线工=2,得出点C坐标为(0,-5),将

线段GV向上平移1个单位长度到LM的位置(此时点N重合)，当点U,M,。，在一条

直线时，OM+有最小值，即。M+CN有最小值，即线段的长，可得。。'=4,00,=4,

根据勾股定理得O'C'==4A/2,即可求解.

【详解】解：y=x2-4x-5=(%-2)2-9.

•,・抛物线的对称轴是直线x=2.

•••点。关于对称轴直线％=2的对称点为。'(4,0).

当％=0时，y=-5,

・••点C坐标为(0,-5),

将线段OV向上平移1个单位长度到LM的位置（此时点M,N重合），当点。，M,0,在一

条直线时，OM+C'M有最小值，即OM+CN有最小值，即线段0（'的长，

V0C=4,00'=4,

O'C=V42+42=4V2,即OM+CN的最小值为4企.

故选B

t点睛】本撅考杳了二次函数的几何综合，两点方间线段最短，iF确掌樨相关性质内容是解

题的关键.

15.A

【分析】本题主要考查三角函数、二次函数的图象与性质、轴对称的性质及一次函数的图象

与性质，熟练掌握三角函数、二次函数的图象与性质、轴对称的性质及一次函数的图象与性

质是解题的关键；由题意易得。（一3,蔡），4（一2,0）,8（4,0）,连接PB,BC,当P、B、。三

点共线时，PC+4c取得最小值，然后求得直线P8的解析式为、=-1%+%进而根据三角

函数可进行求解.

【详解】解：当“一轲，则有好一如卜丁一扛台二字

13P（-律），

由y=一：/+x+4可知：对称轴为直线％=1,当y=0时，则有一+%+4=0,

解得：=-2,x2=4,

财（一2,0）,8（4,0）,

连接PB,BC,如图所示：

,VA

由轴对称可知：AC=BC,所以PC十月C=PC+3CNP8,

回当RB、C三点共线时，PC+4C取得最小值，

设直线P8的解析式为y=kx+b,则有，

~3k+b=^,

、4k+6=0'

k=--

解得：」，

b=-

3

回直线PB的解析式为y=+^,

团当x=l时，则有y=-[+[=l,

13c(1,1),即CE=1,

团4E=AO+OE=3,

^tanz.BAC=隼=3

AE3

故选A.

16.B

【分析】根据题意求出0n=。8=4,得到BC="OC2+O82=4V2,证明0E是△46。的

中位线，根据。Emin=*8C-奁)即可得到答案.

【详解】解：•.•抛物线y=±%2-i,

16

•••对称轴为％=0,当y=0时，x=±4

•••OA=OB=4,

••・BC=70c2+OB2=4V2,

•••E是线段40的中点，

故OE是△7180的中位线，

,:0是以点C(0,4)为圆心，鱼为半径的圆上的动点，

.•.0Fmin=1(5C-V2),

・•,0E=也

2

17.C

【分析】根据二次函数的图象以及对称轴得到a<0,bvO,c>0,Q=b,再根据当x=-1时，

y=a—b+c>0和当％=1时，y=a+b+cv0分别进行判断即可.

【详解】解：由图象可知,a<0,00,

对称轴为直线

b1

AX=---=---,

2a2

•••匕<0,

abc>0,①错误：

函数与％轴有两个交点，故52-4ac>0,②正确；

当％=-1时，y=a-b-hc>0,③正确；

b1

.*.x=---=—,

2a2

：•a=b,

二a+b=2Q<0,

当x=1时，y=a+b+c=2a+c<0,

(a+b)(2a+c)>0,④正确.

18.B

【分析】根据函数与x轴的交点的个数，以及对称轴，函数的增减性进行判断.

【详解】解：①由图象知，抛物线与X轴有两个交点，则｝2一4火>(),故①错误；

②函数的对称轴是％=-1,开口向下，

团当工<-1时，)，随X的增大而增大，故②错误；

③当y=0时，方程a/+bx+c=0有一根在(一3,0)和(一2,0)之间，抛物线对称轴为x=—l,

在对称轴右侧y随x的增大而减小，另一个根在。与1之间，当％=1时，函数值小于0,

则a+b+c<0,故③正确：

④团抛物线对称轴为％=-1,则一套=一1，

团2a-匕=0,故④正确;

⑤抛物线的顶点为D(—1,2),

团方程a/+bx+c=m没有实数根时，

回抛物线y=a(x+I)?+2-m顶点在％轴下方，

02—771<0,

团m>2,故⑤正确，

团正确的选项有③④⑤共3个.

19.C

【分析】根据二次函数的图象与性质，抛物线的对称轴、开口方向、与坐标轴的交点，即可

判断①②，根据当％=-1时，取得最小值，即可判断③，先求得4c所在的直线方程为y=

-2ax-8a,过Q作％轴的垂线，交AC于点P,PMP点的坐标为(m,-2QTH-8a),进而根据三

角形的面积公式得出ZiQ/C的面积，根据二次函数的性质，即可判断④.

即可求解.

【详解】解:结论①：用抛物线与工轴交于做一4,0),8(2,0),

(3对称轴为