人教版八年级数学下册 数据的离散程度（第2课时）教学设计

24.2数据的离散程度（第2课时）教学设计

一、内容和内容解析

i.内容

本节课是在学习高差平方和、方差意义的基础上，根据样不估计总体的思想，学习用样本方差估计总

体方差的方法，并运用这种方法分析实际问题中数据的波动程度。

2.内容分析

本节课是数据离散程度的应用课时，在上节课方差概念的基础上，重点强化方差计算，并融合用样本

方差估计总体方差的统计思想，解决生产、生活中关于稳定性、质量评价的实际问题。本节课承接集中趋

势与离散程度的综合分析，完善统计分析的完整流程，提升学生数据应用与决策能力。

基于以上分析、确定本节课的教学重点为：方差的应用、用样本估计总体。

二、目标和目标解析

1.目标

（1）能熟练计算一组数据的方差。

（2）体会样本与总体的关系，知道可以用样本方差估计总体方差。

2.目标解析

（1）学生能熟练掌握方差的计算步骤，准确计算一组数据的方差，深刻理解方差与数据波动、稳定性

之间的关系。

（2）学生能理解样本与总体的关系，熟练运用样本方差估计总体方差，结合平均数、方差对实际问题

进行综合分析与合理决策。

三、教学问题诊断分析

学生可能出现的问题：

1.学生在进行复杂数据方差计算时，易出现计算量大、步骤遗漏、平方算错等问题。

2.学生在综合问题中，不会结合平均数与方差双重指标进行分析与决策。

应对策略：

1.强化方差计算“五步流程”，使用分步计算、验算减少错误，提升计算熟练度。

2.总结解题模板：先比平均数（水平）一再比方差（稳定性）一综合决策。

基于以上分析，确定本节课的教学难点为：能熟练计算一组数据的方差。

四、教学过程设计

（一）复习引入

回顾上节课所学内容.

数据的离散程度

一救地，有〃个数据、，匕，…，小，用G表示它们的平均效，我们

把E0=1,2.....〃）叫作巧关于平均数元的离差.

高差平把（7一天）2+（•M-即+…乜3-］尸叫作这/,个数据关于平均数的离差平

方和方和，记作“讲”.

fj;■把禹星的平方的平均被沁「.）2乜—>+.-T>］叫作这如数据

’的方差，记作“5叫

方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小.

设计意图：快速回顾离差、方差的核心概念与计算公式，传接上节课知识，为本节课方差的计算与应

用做好铺垫，快速进入学习状态。

（二）合作探究

例2自动灌装线灌装饮料时，由于各种不可控的因素，每瓶饮料的实际含量与标准含量会存在一些误

差（实际含量一标准含量）.甲、乙两条灌装线同时灌装标准含量为500mL的饮料，为了检验两条灌装线的

灌装质量，从每条灌装线上各随机抽取10瓶饮料进行测量，结果（单位：mL）如下表所示.

甲501496498499503498505498501501

乙496493504495500506504505498499

（1）如果有一瓶饮料含最的误差的绝对值超过10mL,此条灌装线的灌装质最为不合格，那么两条灌

装线的灌装质量是否合格？

（2）哪条灌装线的灌装质量更好？

分析：在饮料含量的误差的绝对值符合要求前提下，灌装饮料的实际含量与标准含量的差异越小，说

明灌装线的质量越好.

（2）甲、乙灌装线饮料实际含量的平均数分别为

501，496-TOL=5()()—=4964493---492=,()()

X乙10

10

两条灌装线饮料实际含量的平均数都等于标准含量.

可以类比方差，计算甲、乙灌装线饮料的实际含显与标准含量的平均差异程度，分别为

<501-500)X496-500)1…X50I-500):66

10

(496-500)」(493-500)」…।(499-500♦二］gg

10

可以发现，甲灌装线饮料实际含量与标准含量的平均差异更小.

根据样本估计总体，综合来看，甲灌装线的灌装质量更好.

注意：1.方差是用离差平方的平均数刻画数据围绕平均数的波动程度，这里是用误差平方的平均数刻画

饮料实际含量围绕标准含量的波动程度.二者形式上都是“差异”平方的平均数，但“差异”的含义并不相

同.

2.通过实际含量与标准含量的平均差异比较两条灌装线的质量，前提是两条灌装线都是合格的，也就是

说平均差异小并不能保证生产线是合格的.

设计意图：以饮料灌装质量为情境，将方差与“标准值误差”结合，拓展方差的实际应用场景，让学

生理解方差在工业生产中的评价意义，体会样本估计总体的思想。

(三)典例分析

从上图可以看出，甲、乙两地气温在不同的时刻互有高低，但甲地的最高气温高于乙地，而最低气温

低于乙地.为进•步了解两地气温的差异，可以从数据的集中趋势和离散程度两个方面分别进行比较.

两地气温的平均数分别为

；产1—=]6,-=13111-±15=16.

x13*13

将两地气温按从小到大排列，可得

甲地910II12131416161821212324

乙地11121314151516171718192021

可以发现两地气温的中位数都是16,众数各有两个(甲地是16和21,乙地是15和17)且都出现两次，

因为重复次数太少，所以不具有代表性.因此，从数据的集中趋势看，两地的气温差异不明显.

两地气温的方差分别为

§2)="1-116F--13-16)，—306~235

1313

§2="3-16F+(11/6F+…+(15-16—_||2~g

1313

由S?甲,S?乙可知，乙地气温的波动程度比甲地的小，气温更稳定.

设计意图：以两地气温为载体，训练学生从集中趋势与离散程度双维度综合分析数据，规范方差计算

与稳定性判断，提升统计综合分析能力。

(四)巩固练习

1.甲、乙两名运动员进行罚球线上投篮测试.每人投篮10组，每组投篮10次，两名运动员投篮10组命

中的次数如下表所示.

甲869681077109

乙78989881067

哪名运动员的投篮更稳定？

解：§2甲=2,S24=1.2.

(2)哪台机床的性能比较好？

解：".).=1.5,6=1.2；S2甲=1.65,S2乙二0.76.

由52甲＞52乙可知，乙机床的性能比较好.

设计意图：通过投篮、机床生产等分层练习，巩固方差计算与稳定性比较，强化“平均数+方差”的

综合应用，及时查漏补缺。

（五）归纳总结

1.在解决实际问题时，方差的作用是什么？

反映数据的波动大小.方差越大，数据的波动越大；方差逃小，数据的波动越小，可用样本方差估

计总体方差.

2.运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？

先计算样本数据平均数，当两组数据的平均数相等或相近时，再利用样本方差来估计总体数据的波动

情况.

（六）感受中考

1.（2025年甘肃平凉）某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛.在最近10次的选拔赛中，

他们的射击成绩（单位：环）信息如下：

信息一：甲、乙队员的射击成绩

甲：10,8,8,10,6,8,6,9,10,8

乙：8,9,10,9,6,7,7,9,10,8

信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量

队员平均数中位数众数方差

甲8.38H2.01

乙8.3m91.61

根据以上信息，回答下列问题：

⑴写出表中小，〃的值：m=8.5,n=8；

（2）乙队员在射击选拔赛中发挥的更稳定（填“甲”或“乙”）；

（3）小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以，你认为他说的对吗？请说

明理由（写出一条合理的理由即可）

解：（3）小瑜说的不对，理由如下：

两人成绩的平均数相同，但是甲的方差大于乙的方差，故乙队员发挥更稳定，故应选乙队员参赛.

2.（2023年河南）蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利.不

同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势.樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、

乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描

述、分析如下：

%配送速度得分（满分10分）：

甲：66777899910

乙：67788889910

从服务质量得分统计图（满分10分）：

c.配送速度和服务质量得分统计表:

项目配送速度得分服务质量得分

统计量快

递公司平均数中位数平均数方差

2

甲7.8m7S甲

乙8874

根据以上信息，回答下列问题：

C）表格中的〃尸7.5:襦<$（填，或“v"）.

（2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由.

（3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？

解：（2）•・•配送速度得分甲和乙的得分相差不大，

服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，

・•・甲更稳定，

・•・小丽应选择甲公司；

（3）还应收集甲、乙两家公司的收费情况.（答案不唯一，言之有理即可）

3.（2025年宁夏）宁夏葡器酒品质优良，深受消费者青睐.为了解某基地的葡萄种植情况，九（1）

班同学对该基地的试验田中甲、乙两种葡萄树的产量进行调查.

【调查与收集】

甲、乙两种葡萄树各种植了500株，计划从中各抽取100株作为各自的样本.以下抽样调查方式合理

的是B.

A.依次抽取100株

B.随机抽取100株

C.在长势较好的匍萄树中随机抽取100株

D.在方便采摘的葡萄树中随机抽取100株

【整理与描述】

同学们采用合理的抽样调查方式获得甲、乙两个样本中每株的产量(单位：依)，将所得数据整理描

述如下：

甲样本的频数分布表

x/kgll<x<1313<r<1515<x<1717与vl919夕<21

频数745152013

乙样本的频数分布直方图

注：每组含最小值，不含最大值.

根据以上信息，解答问题：

(1)甲样本中13女<15组的频率是0.45:

(2)补全乙样本的频数分布直方图.

【分析与应用】

(1)填表：

样本平均数(kg)中位数出现的组别方差

甲B<r<155.73

乙15.744.85

(计算平均数时，把各组中每株的产量用这组数据的中间值代替)

(2)估计试验田中甲种前萄树每株产量不低于19kg的株数：

(3)结合以上数