2025-2026学年重庆市某中学教共体高二（下）期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年重庆市复旦中学教共体高二（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。

1.下列函数求导正确的是（）

A.:B.（20'=2'

C.（sin2x）'=2sinxD.（、'=）一丁产

2.若/（x）=2r+l,则lim-（

AYh

A.2B.1C.4D.0

3.函数月（x）的导函数产f（X）的图象如图所示,

A.y=/'（x）在区间（-2,-1）上单调递减

B.）=r（x）在区间（-1,1）上单调递增

厂f㈤

《•3是函数）可（》）的极大值点

□•.1是函数月（工）的极小值点

4.多项式（x+）#z）4展开式中，个三项的系数为（）

A.12B.24C.48D.96

5.已知函数/«）=/处在［1,2］上单调递增，则实数。的取值范围是（）

A.〃23B.a212C.D.a<12

6.我们将某商场某区域的行走路线图抽象为一个2X2X3的长方体框架如图所示,

小红欲从力处行走到〃最后再到8处，则小红行走路程最近的路线共有（）

条.

A.10

B.：2

C.：3

D.14

7.已知/（X）是定义在R上的奇函数，且当x>0时，，（x）V/（x）,则（）

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A./(4)>e/(3)B./(4)><?y(2)

C./(-4)>4(-2)D.e/(-4)>/(-3)

8.已知直线尸履+m为/(x)=e'的一条切线，将产y(x)的图象向右平移e个单位，向上平移I个单位后仍

与直线/相切，则灯片()

2r

A.IB.-2C.0D.

二、多项选择题：本人题共3小题，共18分。

9.下列说法正确的有()

A.3个人分7本相同的书，每人至少分1本，且书必须分完的不同方案总数是15种

B.若直线/是函数/(x)的切线，则直线/与函数/(X)只有一个交点

c.从5个男生和2个女生中选出2人当主持人，至少选到一个女生的不同方案总数是ue

D.对于函数/(X),g(x),h(x)满足[/(X)g(x)h(x)]'=f(x)g(x)h(x)4/(x)g'(x)h

(x)+f(x)g(x)h'(x)

10.关于函数/(x)=x2eS以下结论正确的是()

A.函数/(x)有两个极值点

B./(x)的最小值为0

C.若方程/(x)=m有两个根，则in或m=0

D.若xVO,则/(X)</(1)

11.将(什。)〃(〃=0,1,2,…)按照二项式定理展开后，其各二项式系数可以形成“杨辉三角”(图1),

将“杨辉三角”中所有的奇数涂成黑色圆，偶数涂成白色圆，就得到“谢尔宾斯基三角形”(图2),则()

第0行I

第1行11

第2行I2I

第3行1331

第4行64I

第5行1510105

第6行I61520156

第〃-1行I**…C；：；%…C：；1

第〃行ICJ,C;…c丁c;cr…C丁图2

图I

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A.在“杨辉三角”中，第〃行的所有数字之和为2”

B.在“杨辉三角”中，记第〃(〃22)行的第个数为则£“皿1I—/

n-2

C.在“谢尔宾斯基三角形”中，第(〃=1,2,•••)行全行都为黑色圆

D.在“谢尔宾斯基三角形”中，第126行的黑色圆比白色圆多一个

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知/(x)的导函数为/(x),且/(x)=V则/(1)=_.

13.980有一个不同的正因数.(用数字作答)

14.已知函数/(上)=*£,g(x)=ln(x+1)-axiaER,若e],3.V2G(0»2],使得/(xi)>g5)

r

成立，则实数。的取值范围是—.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知(2i1)M-m*4*six4'o^r3\\('-('

(1)求〃的值：

(2)求同+㈤+㈤+…+同的值.

16.(本小题15分)

已知函数/«)=^+2^+47^-3(aWR)在尸-1处取得极小值.

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)求函数/(X)在：I，：上的最值.

17.(本小题15分)

解决下列问题

(1)包含甲、乙、丙、丁四人在内的七个人站成一排，求甲、乙相邻，丙、丁不相邻的情况总数；(结果

用数字作答且书写出步骤〉

(2)一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，现将他们平均分配到三家不同的医院工作，每家医院分到

1名医生和2名护士，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，求不同的分配方法种数；(结果用数字作

答且书写出步骤)

(3)请你构造一个实际背景，对等式I\H•1作出解释.(请注意不要使用生活中的真人名，以

及用语规范)

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18.（本小题17分）

设函数，（x）=ln（x+1）

1r+I

（I）当o=l时,求曲线产/«）在点（1,/（I））处的切线方程；

（n）当x>o时，讨论/（》）的单调性；

（皿）在（n）的条件下，记/a）的最大值为g（«）,若对任意的xwco,+8）,使得关于。的不等式

g（a）AhUTMefr+l恒成立，求实数机的取值范围.

19.（本小题17分）

泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式.当/（x）在尸0

处的〃（〃巳V）阶导数都存在时，它的公式表达式如下

fj-/til）〃，Hr•,「广-I'r;.....’：/….注：f（0）表示函数/'（x）在原点处

的一阶导数，/'（0）表示在原点处的二阶导数，以此类推，和.尸（0）（〃23）表示在原点处的〃阶导数.

（1）求/（x）=ln（1+x）的泰勒公式（写到含V的项为止即可），并估算InLl的值（精确到小数点后三

位）：

（2）当x>0时，比较In（1+x）与1f的大小，并证明；

■

U.II

（3）设〃wM,证明:+〃）vE；.

4人A1■K

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1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】AD

10.【答案】ABD

II.【答案】ACD

12.【答案】-6

13.【答案】18

15.【答案】838-1

16.【答案】解：(1)函数/(x)=.必+2◎2+/#3在尸-1处取得极小值，

易知，(x)=3x2+4ax+a2=(3x+a)Cx+a),由题意可知x=-l是其一个变号零点，

即［(-1)=(67-3)(«-1)=0=。=3或4=1,

当。=3时，f(x)=3(x+1)(x+3),

此时(-3,-1)时，f(x)<0,即/(X)单调递减，

xG(-1,+8),/(X)>0,即/(X)单调递增，故在尸-1处取得极小值，符合题意；

当(7=1时，”/3T1IU-J,

*>

此时rW(I.时，/(x)V0.即单调递减，

xG(-8,」)，/(x)>0,即/'G)单调递增，故在k-1处取得极大值，不符合题意;

综上。=3,此时f(x)=^+6.¥2+9^-3；

(2)由上可知/(x)在(-4,-3)和(1・：)上单调递增，在(-3,-1)上单调递减，

即尸-3时取得极大值/(-3)=-3,尸-1处取得极小值/(-I)=-7,

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又〃-I)-73)”

所以/(x)在.I.%上的最大值为2'，最小值为-7.

17.【答案】960108用0,I,2,3,4,5六个数字排成一个六位数.

可以分步先排0的位置，除了最高位，剩下的5个位置选•个0去占，有种•F，

剩下的5个数，5个位置随便安排有了：种，根据分步计数原理.，一共有种，

也可以先6个数全排列，有.1种排法，再去掉0占最高位的方法数.1,即I-I.

同一个问题，结果一样，因此,1：4：C\■A'\

18•【答案】"2y-21n2+1=0当cWO时，/(x)在(0,+«>)上单调递增；当V；时，/(x)在却，

2)

上单调递增，在(l-2+x)上单调递减；当“2.：时，/(X)在(()，+8)上单调递减［1,+8)

a2

19.【答案】解.：(1)因为〃(为-广(X)=一/一7,r''(')=万」？，

1+了(I+X)(I+/)

所以，(0)=1,f(0)=-1,/77(0)=2,

又/(0)=0,所以/(x)=ln(l+.r)的泰勒公式为：，〃(l,7]

所以x=0.1时，Ini.1=0.1-"："g0.095.

一,,

2

(2)证明：uy<j-]-bnIT)r；・工「0，

1/

因为」•I-----1-z——,11»

14-ZH+1

所以g(x)在(0.+8)上单调递增，又g(0)=0,

所以x>0时有.』bi<I/r，「川

所以-r,.

(3)证明：由⑵得，E",-1।,即In(Hl)-lnyt>:-匕，kWN*,

A-A-2k2Nk2A」