人教版七年级数学上册教案-有理数的乘法与除法

2.2有理数的乘法与除法

2.2.1有理数的乘法

第1课时有理数乘法法则

课时目标

1.经历探究有理数乘法法则的过程，认识有理数乘法法则的合理性，发展观察、

归纳、猜想、验证的能力.

2.掌握有理数乘法的运算法则,会求一个数的倒数.

3.能利用有理数的乘法解决简单的实际问题,体会数学与现实世界的联系，增

强数学的应用意识.

学习重点

理解有理数的乘法法则以及倒数的概念.

学习难点

有理数乘法法则的探究过程以及对法则的理解.

课时活动设计

教学活动1

情境引入

如图，有甲、乙两座水库，甲水库的水位每天升高3cm,乙水库的水位每天下降

3cm.如果用号表示水位的上升，用“，号表示水位的下降,请用算式表示,4天后

甲、乙两座水库水位的总变化量分别是多少？

4天后，甲水库水位的总变化量:3x4=12(cm);

乙水库水位的总变化量：(-3)X4=?

议一议:(-3)x4=(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=-12.

那么4x(-3)=?(-4)x(-3)=?(-4)x0=?

设计意图:通过实际问题，引出本节课要解决的问题，给出有理数相乘的几

种情况，为下面的学习作铺垫.

教学活动2

探究新知

探究有理数乘法法则

观察下面的乘法算式，你能发现什么规律？

⑴3x3=9,

3x2=6,

3x1=3,

3x0=0;

⑵3x3=9,

2x3=6,

1x3=3,

0x3=0.

学生自主探究，请两名同学代表回答.

对于⑴中的算式，随着后一个乘数逐次递减1积逐次递减3.对于⑵中的算式,

随着前一乘数逐次递减1,积逐次递减3.

问题1：对于(1)中算式，要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么当后一个乘

数从0减小为-1时，积应该怎样变化?填空并说一说它的变化规律：

3x(-1)=-3.3x(-2)=-6,3x(-3)=-9.

问题2:对于(2)中算式，要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么当前一个乘

数从0减小为-1时，积应该怎样变化?填空并说一说它的变化规律：

(-1)x3=-3,(-2)x3=-6,(-3)x3--9.

学生分小组交流记论，从符号和绝对值两个角度分别观察上述所有等式，你能

发现什么规律？

师生总结:正数乘正数，积为正数;正数乘负数，积为负数;负数乘正数，积也为负

数.积的绝对值等于乘数的绝对值的积.

根据上面总结出的规律，计算下面的算式.

(-3)x3=-9/-3)x2=-6J-3)x1=-3X-3)xQ=Q.

观察上面的算式，随着后一个乘数的变化，积是怎样变化的?

解:随着后一个乘数逐次递减1,积逐次增加3.

根据发现的规律计算下面算式，从积的符号和算式的符号观察,可以得到什么

结论？

(-3)x(-1)=3,(-3)X(-2)=6,(-3)X(-3)=9.

教师引导学生归纳出如下结论：

负数乘负数，积为正数，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.

与有理数加法类似，有理数相乘，也既要确定积的符号，又要确定积的绝对值.

即①先判断是同号、异号或是同0相乘;②再确定积的符号;③最后将绝对值相乘.

一般地，我们有如下的有理数乘法法则：

两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.

任何数与()相乘，都得().

有理数乘法法则也可以表示如下：

设为正有理数,c为任意有理数，则

(+a)x(+/?)=4X/2,(-0x(-〃)=+(ax/?)；

(-6Z)X(+/?)=-(t/X/j),(4-6Z)X(-Z?)=-(6/X/2)；

cxO=O,Oxc=O.

显然，两个有理数相乘，积是一个有理数.

•设计意图:类比非负数的乘法法则，引导学生自己发现有理数乘法法则并总

结，提高学生的思维能刀和归纳总结能力.

教学活动3

典例精讲

例1计算：

(l)8x(-l);(2)(-1)x(-2);(3)(-

解:⑴8x(-1)=(8x1)=8.

(2)(-i)x(-2)=4-gx2)=l.

⑶(-M力+(知用

总结:在例1(2)中,(彳)乂(-2尸1,我们说一和-2互为倒数，一般地,在有理数中仍

然有:乘积是1的两个数万为倒数.

例2用正负数表示气温的变化量，上升为正.下降为负，登山队攀登一座山峰,

每登高1km气温的变化量为-6℃.登高3km后，气温有什么变化？

解(6)x3=18.

答:登高3km后，气温下降18℃.

＞设计意图:通过列题讲解，从中归纳出倒数的概念，培养学生灵活应用的能

力和总结归纳的能力.通过练习获取学生掌握知识的反馈信息，对于存在的问题及

时解决.

教学活动4

巩固训练

1.计算(・l)x4的结果为(A)

A.-4B.4C.-3D.3

2」箴的倒数是(A)

A.-202。B.■募C.2021D.表

3.有理数任取两个数相乘，所得的积中最小是

4.计算:(l)・5x(+3);(2)-4x(-8);

(3)G3)q⑷(-I*)

解:(l)・5x(+3)=・(5x3)=15.

(2)-4x(-8)=+(4x8)=32.

⑶(-3)x*(3x|)=4

⑷(吗＞([)=+(沁)喙

学生自主完成，教师订正并给予评价.

•设计意图:通过设置不同层次的练习，不仅能使学生的新知得到及时巩固，

也使学生的思维能力得到有效提高，能更好地将知识学以致用.最后针对练习结果

进行统一订正，并对同学们的表现作出及时评价，体现课程评价在课堂中的合理应

用.

教学活动5

课堂小结

1.有理数乘法法则：

(1)两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.

(2)任何数与0相乘，都得0.

2.乘积是1的两个数互为倒数.

＞设计意图:回顾本节课内容，加深学生对本节课知识的理解,提高学生归纳

总结及表达的能力.

随堂练习

课堂8分钟.

课后作业

1.教材第40页练习第1,2,3题，第47页习题22第1,2,3题.

板书设计

第1课时有理数乘法法则

•：'两数相乘，同号得正，异号得负，目

,..............、i积的绝对值等于乘数的绝对值的积；

「有理数乘法法则

「不薮何数同硼乘，都得。

i的乘法］

倒数：乘积是1的两个数互为倒数〕

教学反思

第2课时有理数的乘法运算律

课时目标

1.经历有理数乘法运算律的归纳、概括的过程，能用乘法运算律进行简化运算,

培养学生的抽象能力与运算能力.

2.在探究和交流的过程中，发展学生观察、猜想、归纳、概括的能力.

学习重点

有理数的乘法运算律.

学习难点

熟练利用乘法运算律进行简化运算.

课时活动设计

教学活动1

回顾引入

思考:(1)有理数的乘法法则是什么？

(2)进行有理数乘法运算的运算步骤是什么？

(3)小学学过哪些乘法的运算律？

(4)小学学过的乘法运算律，在有理数范围内仍然适用吗？

»设计意图:通过复习乘法法则及乘法的运算步骤，为本节课的学习作铺垫；

复习小学学过的运算律，并提出问题，，有理数范围内是否仍然适用，，，激发学生的探

究欲望.

教学活动2

探究新知

探究有理数乘法运算律

师生活动:小组谈论，设计研究思路.

问题1:计算下列各式，并观察比较各组算式所得的积相同吗？

(1)(・4)义8=-32,8x(-4)=・32.

⑵(・5)x(-7)=35(7)x(-5)=35.

换几组乘数再试一试，结果仍是这样吗？

思考:你能得到什么结论?你能用语言表达这一结论吗？

结论:一般地，在有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变.

乘法交换律:ah=ba.

问题2:计算下列各式，并观察比较各组算式所得的积相同吗？

(1)f(-3)x21x(-5)=(-6)x(-5)=30,

(-3)x[2x(-5)1=(-3)x(-10)=30;

(2)[(-4)x(-1)]x(-6)=2x(-6>-12,

(-4)x[(-1)xf-6)]=(-4)x3=-12.

换几组乘数再试一试，结果仍是这样吗？

思考:你能得到什么结论?你能用语言表达这一结论吗？

结论:在有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相

乘，积不变.

乘法结合律：(出?)C=4(Z?C).

根据乘法交换律和结合律，多个有理数相乘，可以任意交换乘数的位置也可

以先把其中的几个数相乘.

问题3:计算下列各式，并观察比较各组算式所得的积相同吗？

(1)(-6玮+㈢卜」

(-6)x；+(-6)x(-升.

换几组乘数再试一试，结果仍是这样吗？

思考:你能得到什么结论?你能用语言表达这一结论吗？

结论:一般地，在有理数中，一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这

两个数相乘,再把积相加.

乘法对加法的分配律(简称分配律)：。(〃+。尸出?+4C

•设计意图:类比非负数的乘法运算律和有理数加法运算律，通过举例验证,

引导学生掌握有理数的乘法运算律，培养学生的抽象概括能力，发展学生的数学思

维.

教学活动3

典例精讲

例⑴计算2x3x0.5x(-7);

(2)用两种方法计算G+]4)X12.

解:(1)2X3X0.5X(・7)=(2X0.5)X[3X(-7)]=1x(-21)=-21.

⑵解法1：G+滂)xl2=C+g3xl2=*xl2=-L

解法2£+94)幻2=312+卜12-夫12=3+2-6二-1.

»设计意图:通过引导学生运用乘法运算律进行乘法运算，感受乘法运算律为

运算带来的便捷，体会数学学习的一致性,培养学生的计算能力，发展学生的数学

思维.

教学活动4

巩固训练

1.算式25x5=25x0x9中，运用了(A)

A.乘法交换律和乘法结合律B.分配律

C乘法交换律和分配律D.乘法结合律和分配律

2.计算：

⑴(-10)x(-»6;(2)(・24)x管+|-0.75);

(3)(+16)x(-72.8)x0x(-8|).

解:(1)原式x6]=-10x(-2)=20.

(2)原式=(-24)x费+(-24)x[+(-24)x(・沪-33-56+18=-89+18=-71,

(3)原式=0.

学生自主完成，教师订正并给予评价.

•设计意图:通过设置不同层次的练习，不仅能使学生的新知得到及时巩固,

也能使学生的思维能力得到有效提高，能更好地将知识学以致用.最后针对练习结

果进行统一订正，并对同学们的表现作出及时评价，体现课程评价在课堂中的合理

应用.

教学活动5

课堂小结

有理数乘法法则：

1.乘法交换律:出厂儿.

2.乘法结合律:(ab)c=a(bc).

3.乘法对加法的分配律+c)="A+〃c.

＞设计意图:回顾本节课内容，加深学生对本节课知识的理解,提高学生归纳

总结及表达的能力.

随堂练习

课堂8分钟.

课后作业

1.教材第43页练习第1题，第47页习题2.2第4题.

板书设计

第2课时有理数的乘法运算律

有理数的乘法运算律：

(1)交换律:ab-ba.(2)结合律:(ab)c=〃Sc).

(3)乘法对力口法的分配律:a(/?+c)=a/?+ac

教学反思

第3课时多个有理数的乘法

课时目标

1.掌握多个有理数乘法运算的方法.

2.掌握多个有理数相乘的符号法则.

学习重点

熟练计算多个有理数相乘.

学习难点

多个有理数相乘结果的符号确定.

课时活动设计

教学直动1

复习回顾

有理数乘法的运算法则和运算律有哪些？

•设计意图:回顾上节课的内容，为本节课的学习作铺垫.

教学活动2

探究新知

探究多个有理数的乘法

计算并观察下面各式的积,它们的积是正的还是负的？

(1)1x2x3x4=24;

(2)(-l)x2x3x4=・24;

(3)(・l)x(・2)x3x4=24;

(4)(-1)x(-2)x(-3)x4=-24;

(5)(-1)x(-2)x(-3)x(-4)=24.

通过上面的计算,请填写下表：

算式(1)(2)(3)(4)(5)

负因数的个数01234

正负正负正

积的符号

思考:多个不为0的有理数相乘，那么积的符号与负的乘数的个数之间有什么

关系？

学生先独立思考，然后小组讨论,并发表见解.

结论:几个不为()的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数;负的乘数的

个数是奇数时，积为负数.

如果有乘数为0,那么积有什么特点？

几个数相乘，如果其中有乘数为0,那么积为0.

这样,遇到多个不为。的数相乘,可以先用上面的结论确定积的符号，再把乘数

的绝对值相乘作为积的绝对值.

•设计意图:通过类比，让学生发现、总结多个有理数相乘积的符号规律，培养

学生的推理能力和运算能力.

教学活动3

典例精讲

例1不计算，说出下列各式积的符号.

(l)-6x(-4)x(-9)x(-8)x(+7);

(2)6x(-4)x9x(-8)x(-7);

(3)-5x(-4)x(-9)x(-3)x(-7).

解:⑴正.(2)负.⑶负.

例2计算

(2)(-5)x6x(・*

59

X-X-X

®：(D(-3)X|X(4)X(4)=-(365

(2)(-5)x6x(-j)x；=5x6xgx[=6.

＞设计意图:通过洌题，练习学生多个有理数的乘法运算，理解并掌握多个有

理数乘法运算的方法.培养学生的计算能力，发展学生的数学思维.

教学活动4

巩固训练

计算:⑴(4)岁X.|)；

⑵仁)x24;

(3)(-1)x(-1)x^x|xOx(-9).

解:⑴原式二各寺衿q

(2)原式+2吟24=21-18=3.

(3)原式=0.

＞设计意图:通过练习，不仅能使学生的新知得到巩固,也能使学生的思难能

力得到有效提高.

教学活动5

课堂小结

1.几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数;负的乘数的个数

是奇数时，积为负数;几个数相乘，如果其中有乘数为0,那么积为0.

2.遇到多个不为0的数相乘,可以先用上面的结论确定积的符号，再把乘数的

绝对值相乘作为积的绝对值.

＞设计意图:回顾本节课内容，加深学生对本节课的知识的理解，提高学生归

纳总结及表达的能力.

随堂练习_

课堂8分钟.

课后作业

1.教材第43页练习第2题，第47页习题2.2第5题.

板书设计

第3课时多个有理数的乘法

多个不为0的有理数相乘，积的符号与负的乘数的个数的关系:

当负的乘数有奇数个时，积为负；

当负的乘数有偶数个时，积为正.

几个数相乘，如果其中有乘数为0,那么积为0.

教学反思

2.2.2有理数的除法

第1课时有理数除法法则

课时目标

1.经历探究有理数除法法则的过程，体会归纳、类比的数学思想方法，培养学

生的数学抽象能力.

2.掌握有理数除法的运算法则，会进行有理数的除法运算，培养学生的运算能

力.

学习重点

有理数的除法运算，理解除法与乘法的互逆关系.

学习难点

有理数除法法则的探究过程以及熟练运算.

课时活动设计

教学活动1

回顾引入

I.你能叙述有理数的乘法法则吗？

2.满足什么条件的两个数互为倒数？

»设计意图:通过回顾有理数的乘法法则和倒数,引入本节课要学习的内容,

为进一步学习有理数的除法做准备.

教学活动2

探究新知

探究有理数除法法则

根据除法是乘法的逆运算，完成下列计算：

(1)8x9=72,72:9=8,72x：8.

(2)2x(-3)=-6,(-6)4-2=-3/-6)x|=-3.

(3)(-4)X2=8,(-8)：(-4)=2(8)x(4)=2.

思考:(1)观察上面各组算式的计算结果以及算式的特点,你能得到什么结论？

(2)请再举出具有上述特点的两组算式，并检验你的结论.

学生回答问题，尝试归纳,教师适时进行点拨.

师生总结有理数的除法法则:除以一个(不等于0的数)，等于乘这个数的倒数.

这个法则也可以表示为

厚0)

b

两个有理数相除(除数不为0),商是一个有理数.

思考:(1)观察上面的式子，结合有理数乘法积的符号规律，谈一谈如何确定商

的符号？

(2)0除以任何一个不等于0的数，结果等于多少？

结论:两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以

除数的绝对值的商.0除以任何一个不等于0的数，都得0.

＞设计意图:通过让学生观察、对比，让学生感受有理数的乘法与除法之间的

联系，并总结除法法则，充分经历由特殊到一般这一归纳概括有理数除法法则的过

程，培养学生的抽象能刀,发展学生的数学核心素养.

教学酒动a

典例精讲

例1计算：

⑴(一36)+9;⑵(嘿)《胃

解:⑴(・36)+9=・(36+9)=4

⑵(蜀暄)=(-眇㈢W

例2化简：

(崎⑵竟

解:(1注=(-2)+3=・(2+3尸］.

(2)-^4Sf=(-45H-12)=45-12=IS^.

-1Z4

提示:带有分数线的数可以理解为分子除以分母.

在例2中，我们得到这表明9是负分数，因而是有理数;反过来看《又

表明.|可以写成B这样两个整数相除的形式.

一般地，根据有理数的除法，形如％5是整数,"())的数都是有理数;有理数又

q

都可以写成上述形式(整数可以看成分母为1的分数).这样，有理数就是形如?PH

是整数,#0)的数.

设计意图:通过洌题讲解,引导学生思考有理数除法运算的计算过程，体会

有理数的除法法则，明白运算的算理,培养学生的运算能力和说理能力.

教学活动4

巩固训练

1.计算：

(1)(-9-(-V)；(2)(-8.7产29

解：(1)原式-|)x(-y^=4.

(2)原式=・(8.7+2.9)=・3.

2.化简：

(畔⑵含

解:⑴原式=(-36)：4=(36=4)=-9.

(2)原式=(-45户(・60户45：60磊二*

►设计意图:通过设置练习，不仅能使学生的新知得到巩固，也能使学生的思

维能力得到有效提高.

教学酒动国

课堂小结

有理数除法法则：

1.除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数,也可以表示为屏0).

b

2.两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数

的绝对值的商.

3.()除以任何一个不等于()的数，都得0.

＞设计意图:学生通过归纳总结，可进一步加深对有理数除法法则的理解，提

高学生概括总结及表达的能力.

随堂练习_

课堂8分钟.

课后作业

1.教材第45页练习第1,2题，第47页习题2.2第6,8题.

板书设计

教学反思

第2课时有理数的加减乘除混合运算

课时目标

1.理解有理数的减法转化成加法、有理数的除法转化成乘法的意义，能熟练进

行有理数的加、减、乘、除混合运算.

2.经历把有理数减法转化成加法、有理数的除法转化成乘法运算的过程，体会

转化的数学思想方法，培养学生的运算能力.

学习重点

有理数的加、减、乘、除混合运算.

学习难点

混合运算中的运算顺序及运用运算律进行简便运算.

课时活动设计

教学活动1

回顾引入

I.请大家说一说小学学过的四则运算顺序.

2.有理数的加、减、乘、除运算法则各是什么？

•设计意图:回顾以前学过的四则运算顺序和有理数的加、减、乘、除法则,

为本节课的学习作铺垫.

教学活动2

探究新知

大家能根据小学学过的混合运算，说一说什么是有理数的混合运算吗？

学生自主探讨，教师引导学生进行总结.

总结:一个运算中，含有有理数的加、减、乘、除等多种运算，称为有理数的混

合运算.

问题:式子3+5(H2X(T)-1中含有哪几种运算?根据小学学过的混合运算说一

说先算什么，后算什么？

教师按下图进行分析，向学生讲解.

再算加减

有理数的加、减、乘、除混合运算顺序与小学所学的混合运算一样,先算乘

除，再算加减,同级运算从左往右依次计算.如有括号，先算括号里面的.

请同学们尝试自己计算上面的算式.教师提示:可将除法转化为乘法.

解:3+50：2x(-i)-l=3+50x1x(-0-1=3+(-5)-1=3-5-1=-3.

＞设计意图:通过小学学过的混合运算顺序进行讲解，有利于学生理解.让学

生经历探索有理数的混合运算顺序的过程，加深学生对有理数混合运算顺序的理

解.

教学活动3

典例精讲

例1计算：

(1)-8+:4(-2)