一元一次方程中的含参问题【八大题型】（人教版）解析版

专题5.4元一次方程中的含参问题【八大题型】

【人教版2024]

＞题型梳理

【题型1由一元一次方程的定义求参数】..........................................................1

【题型2由一元一次方程的解求参数】............................................................3

【题型3由一元一次方程的有解无解问题求参数】.................................................4

【题型4由一元一次方程的有整数解求参数】......................................................6

【题型5将错就错求参数】.......................................................................8

【题型6由两个一元一次方程的解之间的关系求参数】............................................11

【题型7与一元一次方程相关的新定义问题中求参数】.............................................13

【题型8一元一次方程的拓展求参数】...........................................................16

院举一反三

【题型1由一元一次方程的定义求参数】

【例1】（23-24七年级•安徽合肥・期末）若（m—2）/2时3|=6是关于"的一元一次方程，则〃?的值是（）

A.1B.-1C.2D.1或2

【答案】A

【分析】本题土要考查的是一元一次方程的定义及解绝对值方程，掌握一元一次方程的未知数的次数为1是

解题的关键，同时关注一次项系数不为0.依据一元一次方程的未知数的次数为1且系数不为零求解即可.

【详解】解：•••（m-2）xl2m-3|=6是关于x的一元一次方程，

.%\2m—3|=1且m—2=0,

•••2m-3=±1mH2,

解得：771=1,

故选：A.

【变式1-1]（23-24七年级•黑龙江佳木斯•期末）已知（62一9）/一（m-3）x+6=0是关于x的一元一次方

程，求加的值.

【答案】加=一3

【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1,这样的方程

叫一元一次方程，据此解答即可.

【详解】解：•・•方程为关于X的一元一次方程，

・•・/项的系数为0.且X的系数不为0,

7H2-9=0,即m2=9,

解得：m=±3,

-（m-3）工0,

•••mH3,

.*.?n=—3.

【变式1-2]（23-24七年级.陕西西安・期末）已知方程（2九一瓶）产一»吟一3=2是关于丫的一元一次方程.

求m、九的值.

【答案】m=3：n=|

【分析】

本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方

程，根据一元一次方程的定义即可得出2几一6=0,=求解即可，熟练掌握一元一次方程的定

义是解此题的关犍.

【详解】解：•••方程（2〃-zn）y2-y>4-1=2是关于y的一元一次方程，

:.2n—m=0,1=1,

解得m=3,

•••2n-3=0,

解得九=

1

【变式1-3]（23-24七年级.山东临沂.期末）已知（0-1）/-21+2%+1=0一元一次方程，则Q的值为（）

A.1B.3C.1或3D.0或一3

【答案】C

【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据题意需要考虑未知数次数最高为I和未知数最高次数不为I

时系数为0这两种情况，根据上述情况建立等式求解，即可解题.

【详解】解：•.•（。-1）/0一21+2工+1=0为一元一次方程，

①当|"2|=1时,

有a=1或a=3,

且a-1+2。0,即a工-1,

故a=1或a=3,

②当|a-2|*1时，

有a-1=0,

a=1,

综上所述，。=1或。=3,

故选：C.

【题型2由一元一次方程的解求参数】

【例2】（23-24七年级•山西大同•期末）按下面的程序计算，若输出结果为16,则满足条件的正数。为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】本题考查流程图与代数式求值，解一元一次方程.根据即意，得到3a+l=16,进行求解即可.

【详解】解：由题意，得：3a+l=16,

G=5：

故选C.

【变式2-1]（23-24七年级•江苏无锡・期末）若关于%的方程2%+a+b=0的解是％=-1,则代数式3-a-b

的值为.

【答案】1

【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，代数式求值，根据方程的解，即可求出（a+b）,即可求出代数

式的值.

【详解】解：•••为=一1是方程2无+a+力=0的解，

**•—2+Q+Z）=0,

即a+b=2,

:.3-a-b=3-（a+b）=3-2=1.

故答案为：1.

【变式2-2]（23-24七年级•陕西渭南•期末）若％=-1是关于x的一元一次方程2（7-皿-。=3m+2）的解,

求m,n的值.

【答案】m=1,n=-y

【分析】本题考查了一元一次方程的定义和一元一次方程的解.只含量有一个未知数，并且未知数的最高次

数是1次的整理式方程叫一元一次方程.根据一元一次方程的定义得到：2-m=1,由此可以求得zn的值.再

根据一元一次方程的解的意义，把%=-1代入方程，求解即可得"值.

【详解】解：因为方程-1)=3(〃+2)是关于x的一元一次方程，

所以2—m=l,所以m=1.

将《=-1代入原方程中,得2(-1-l)=3(n+2),

解得n=一?.

【变式2-3](23-24七年级•湖北武汉・期末)已知〃?，〃为常数，关于工的方程安3=1+三巴无论k为

何值，它的解总是Z一2,贝Sm的值为()

A.-45B.-30C.-27D.-18

【答案】B

【分析】本题主要考查了方程的解的定义、方程无数解的条件等知识点，正确得到，〃和〃的值是解题的关键.

把《二2代入方程，由A可以取得任意值可得到关于〃，和〃式子，进而求得山和〃的值，进而求得代数式的

值.

【详解】解：把％=2代入方程辿翌二1+三出化简得：

化简，得(18+2n)女=10-3m,

由干k可以取任意值，财2=3解得：二、

110-3n=07n一刀

■5

/.ran=~x(—9)=—30.

故选B.

【题型3由一元一次方程的有解无解问题求参数】

【例3】(23-24七年级•浙江台州•期末)关于工的方程2矶%+5)=3%+1无解，则a=()

A.-5B.0C.-D.-

25

【答案】c

【分析】本题主要考查了一元一次方程无解的问题，先把原方程变为(2a-3)x=l-10a,再由方程无解即

可得到2a-3=0,由此求解即可.

【详解】解:V2a(x+5)=3%+L

/.2ax+10a=3x+1,

/.(2a—3)x=1—10a,

;关于x的方程2a(x4-5)=3x+1无解，

A2a-3=0,

.八3

・・a=$,

故选:C.

【变式3-1](23-24七年级•陕西西安•阶段练习)若关于工的方程?+三些=b有无数解，则2a+38的值

为.

【答案】-7

【分析】本题主要考查了解一元一次方程的拓展，先解方程得到(9+2a)x=6b-4,再根据方程有无数解得

到9+2a=0,6b—4=0,据此求1112a=—9,3b=2,然后代值计算即可.

【详解】解：学+等=b

去分母得：9%+2(ax+2)=6b,

去括号得：9%+2ax+4=6b,

移项得：9%+2a%=6b-4,

合并同类项得：(9+2a)x=6b-4,

;关于x的方程竽+?=b有无数解，

・•・关于X的方程(9+2a)x=6b-4有无数解，

，9+2。=0,6b—4=0,

・・・2。=-9,3b=2,

**•2ct+3b=—9+2—=—7>

故答案为：-7.

【变式3-2](23-24七年级•上海浦东新•期中)如果关于x的方程5+3)%=6有解，那么相的取值范围是

()

A.m>—3B.m=-3C.mH—3D.任意实数

【答案】C

【分析】本题考杳了解一元一次方程无解的情况，根据ax=b中，当Q=0时，方程无解可知当m+3H0时

关于％的方程（m+3）%=6有解.

【详解】解：由题意得：当爪+3工0时，关于"的方程（m+3）%=6有解，

解得m工-3,

故选：C.

【变式3-3]（23-24七年级•广东广州•期末）（多选题）关于工的方程力一5+。二族+1（〃，人为常数），

下列说法正确的是（）

A.当时，该方程有唯一解B.当aH6,6=2时，该方程有无数解

C.当a=6,b=2时，该方程有无数解D.当QW6,b=2时，该方程无解

【答案】ACD

【分析】本题考查一元一次参数方程解的情况，先化简为最简式ax=b，根据a=0,b=0方程有无数解•，

a工0,b=0方程有唯一解，a=0,b工0方程无解，逐个判断即可得到答案；

【详解】解：原方程变形得，

（2-b）x=1+5—Q,

，当2—匕=0,l+5-a=0,方程有无数解，

即£=2,Q=6时方程有无数解，

当2-bHO,1+5-Q=0,方程有无数解，

即匕工2,Q=6时方程有唯一•解，

当2-b=0,1+5-aHO,方程有无数解，

即匕=2,aH6时方程无解，

故选：ACD.

【题型4由一元一次方程的有整数解求参数】

【例4】（23-24七年级.辽宁铁岭.期末）已知关于x的方程容一早-1的解是整数，且4是E整数，则满

24

足条件的所有&值的和为（）

A.4B.5C.7D.8

【答案】A

【分析】本题主要考查了一元一次方程的拓展题型，根据一元一次的方程先解出X,根据题意可得2k-1是5

的约数，得出满足题意的所有攵值，算出和即可.

【详解】解：先求解方程专一平=1,

・・・x为整数，且A是正整数，

，2上一1=1或者2左一1=5

••4的值为1或3,

，所有A值的和为1+3=4,

故选：A.

【变式4-1]（23-24七年级.全国.专题练习）若关于文的一元一次方程畀-血=力+6有一个正整数解，则

m可取的最小正数是多少？并求出相应的解•.

【答案】m可取的最小正数是高x=1

【分析】方程个X-血=23+6的解为％=二等，有一个正整数解，由此即可判断参数的值，并取最小的

JJL，xO

正数，由此即可求解.

【详解】解：由gx-m=V%+6,得，100%-12m=5%+72,

A95x=72+12m,即x=工也，

95

要使汇为正整数，即最小的正整数是1,m取最小的正数，

当72+12m=95时，%=1,

・23

..771=—,

12

X=1.

故机可取的最小正数是X=1.

【点睛】本题主要考查一元一次方程解的取值，掌握一元一次方程解的不同取值判断参数的取信是解题的关

键.

【变式4-2]（23-24七年级.重庆铜梁.期末）己知关了工的方程依=5-%的解是负整数，那么整数k的所有

取值之和为（）

A.8B.0C.-5D.-8

【答案】D

【分析】本题考查了方程的解，一元一次方程的特殊解计算，分类计算解答即可.本题考查了一元一次方程

的解，由原方程的解为负整数，找出整数攵的值是解题的关键.

【详解】当〃=0时，5-x=0,解得x=5,不是负整数解，不符合题意；

当AH0时，kx=5—%变形得（k+l）x=5,

若A=-l时，方程无解，不符合题意；

当k/0且时，解得％=冒-,

k+l

•・.关于X的方程H=5-%的解是负整数，

:・k4-1=-1或k4-1=-5,

解得k=-2或k=-6,

:.整数k的所有取值之和为一2-6=-8,

故选D.

［变式4-31（23-24七年级•浙江绍兴•期末）已知a是不为。的整数，并且关于x的方程ax=2a3-3a2-5a+4

有整数根，则〃的值共有（）人.

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及整数解，用到了分类讨论的思想.

先将方程化简％=2小一3。一5+±,因为关于工的方程：。％=2。3一3十一5。+4有整数解，所以士必须为

aa

整数，则。=±1,±2.±4.从而得出答案.

【详解】解关于％的方程：ax=2a3-3a2-5cz+4,

得%=2a2—3。-5+£

Vax=2a3-3a2-5a+4有整数解，

.•，是整数，

a

•••a是不为0的整数，

・・・a=±l,±2,±4,有6个值

故选:C.

【题型5将错就错求参数】

【例5】（23-24七年级.重庆合川・期末）小军在解关于X的方程彳=牛%+3去分母时，方程右边的3未乘

21,由此求得方程的解为“则这个方程的正确的解应为.

【答案】％=-2

【分析】本题考查了方程的解，以及解•元•次方程，熟练掌握•元一次方程的解法是解题关键.由题意可

知，无=葛是方程7(2-2%)=3(3%-m)+3的解，进而求出m=l,再依次去分母、去括号、移项、合并

同类项、系数化1,即可解方程.

【详解】解：由题意可知，％=首是方程7(2-2%)=3(3%-峭+3的解，

将x=亭弋入方程得：7x12—2x削=3x(3x|^—m)+3,

解得：771=1,

即原方程为^=竽+3,

去分母，得:7(2-2%)=3(3%-1)+63,

去括号，得：14-14%=9%-3+63,

移顶，得：一14%-9刀=-3+63-14,

合并同类项，得：—23x=46,

系数化1,得：x=-2,

故答案为：x=-2.

【变式5-1](23-24七年级.江苏盐城.期末)有一道解一元一次方程的题：4%一(6口切=一12,“□”处为运算

符号，在印刷时被油墨盖住了，查阅后面的答案得知这个方程的解是％=-2,那么“□”处应该是()

A.xB.+C.4-D.一

【答案】B

【分析】此题考查了方程的解和解方程，把已知方程的解％=-2代入未知方程求解即可.

【详解】解：把%=-2代入轨一(60%)=-12得:4x(-2)-[60(-2)]=-12,

6a(-2)=4,

V6+(-2)=4

・•・□处应该是“+”，

故选:B.

【变式5-2](23-24七年级.黑龙江黑河.期末)某位同学在解方程5x-1=()x+ll时马马虎虎,把“()”

处的数字看成了它的相反数，解得x=2,则该方程的正确解应为％=.

【答案】3

【分析】先设()处的数字为。，然后把下2代入方程解得”的值，然后把它代入原方程得出工的值.

【详解】解：设（）处的数字为小根据题意，把m2代入方程5%-1=-〃+11得.：

10-1=-2。+11,

解得:a=1,

・••“（）”处的数字是1,

即：5x—l=x+ll,

解得：x=3.

故该方程的正确解应为：x=3.

故答案为：3.

【点睛】此题考杳了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

【变式5-3］（23-24七年级•河北承德・期末）嘉淇在解关于x的一元一次方程等+0=2+午时，发现常数

。被污染了；

（1）嘉淇猜。是一1，请解一元一次方程牛一1=2十中；

24

⑵老师告诉嘉淇这个方程的解为x=-4,求被污染的常数。.

【答案】（l）x=4

（2）5

【分析】本题考杳解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键.

（1）运用解一元一次方程的〜般步骤求解即可；

（2）被污染的常数。为2得到等+k=2+牛，将％=-4代入此方程求出攵即可.

【详解】⑴解：管一1=2+学

去分母得：2（x+1）-4=84-（2-X）,

去括号得：2%+2-4=8+2-1，

移项得：2%+%=8+2-2+4,

合并同类项得：3%=12,

系数化为1得：x=4：

（2）设被污染的常数。为幺

则原方程可化为：4-Zc=24----»

24

•・•这个方程的解为％=-4,

将％=-4代入得：—+/c=2+—,

24

解得：k=5,

即污染的常数。为5.

【题型6由两个一元一次方程的解之间的关系求参数】

【例6】（23-24七年级•湖北十堰・期末）如果方程〃=2和方程等二等-1的解互为相反数，那么Q的值

为（）

A.0B.5C.-7D.7

【答案】C

【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解法，先按照解一元一次方程的一般步骤，求出已知条件中两

个方程的解，然后根据两个方程的解是互为相反数，列出关于。的方程，解方程即可.解题关键足熟练掌握

一元一次方程解的定义和解一元一次方程的一般步骤.

【详解】解：由〃=2解得：x=l,

a+xa+2xd

方程两边同时乘6得：3（a+x）=2（a+2x）-6,

去括号得：3a+3%=2a+4x—6,

移项得：3a-2a+6=4x-3%,

合并得：x=a+6,

•.•方程2x=2和方程卓=胃-1的解互为相反数，

二1+Q+6=0,

7+a=0,

a=—7,

故选：C.

【变式6-1］（23-24七年级.新疆乌鲁木齐.期末）关于％的方程4x-2m=3%-1的解是方程3=2%-2的解

的3.5倍，则m的值为.

【答案】4

【分析】先求得方程工=2%—2的解，得X=2,解4%—2m=3x-1,得:x=2m—1,由关于%的方程4%-2m=

3x-1的解是方程x=2%-2的解的3.5倍列方程求解即可得解.

【详解】解:解方程％=2%-2,

得：x=2,

解4x-2m=3x-1得：x=2m-lf

•・•美于x的方程4x-2m=3x-1的解是方程％=2x-2的解的3.5倍，

/.2m—1=3.5x2,

，解得：m=4.

故答案为:4.

【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是熟练的掌握解一元一次方程的方法.

【变式6-2](23-24七年级.黑龙江大庆.期末)若关于x的方程x+m—3=0和：+2租=2%-1的解的和为

4,求m的值.

【答案】1

【分析】本题考查了一元一次方程的运算应用，熟悉掌握运算的法则是解题的关键.

分别用含m的式子表达出两个方程的解，再根据解的和为4列式运算即可.

【详解】解：方程%+血一3=0的解为x=3—m,

方程：+2m=2%-1解为：x=1(2m4-1),

根据题意得：3—m+1(2m+1)=4,

去分母得：9—3m+4m.+2=12,

移项合并得：m=1.

【变式6-3](23-24七年级•江苏苏州・期末)已知关于x的方程婴=x+三与方程与1=3x-2的解互为倒

数，求27n2_4m+3的值.

【答案】9

【分析】本题考查了一元一次方程的解及解一元一次方程，利用方程的解互为倒数得出关于m的方程求解即

可.

【详解】解：?=3%-2,

解得：x=£

・•・方程F=x+f的解为x

代人可得：-o——Z=-3+—3

解得：m=-1,

:.2m2-4m4-3=2+44-3=9.

【题型7与一元一次方程相关的新定义问题中求参数】

【例7】(23-24七年级•黑龙江哈尔滨•阶段练习)定义：关于x的方程”一6=0与方程"一。二0(小〃均

为不等于0的常数)称互为“反对方程”，例如：方程2无-1=0与方程2=0互为“反对方程”.

(I)若关于x的方程2无-3=0与方程3无一c=0互为“反对方程"，则c=.

(2)若关于x的方程4x+3m+l=0与方程5%-n4-2=0互为“反对方程”，求nm的值.

(3)若关于x的方程3x-c=0与其“反对方程”的解都是整数，求整数c的值.

【答案】(1)2

(2)mn=-12

(3)c的值为±3

【分析】(1)根据“反对方程''的定义直接可得答案；

(2)将“反对方程”组成方程组求解可得答案；

(3)根据“反对方程"3x—c=0与c-x—3=0的解均为整数，可得:与表都为整数，由此可得答案.

【详解】(1)解：由题可知，以-b=0与方程族-a=0”匀为不等于0的常数)称互为“反对方程”,

V2x-3=0与方程3x-c=0互为“反对方程”,

/.c=2,

故答案为：2.

(2)解：将4x+3zn+1=0写成4x-(-3m-1)=0的形式，

将5无-n+2=0写成5x-(n-2)=0的形式，

V4x+3m+1=0与方程5无-n4-2=0互为“反对方程”，

,(-3m-1=5

n—2=4'

・・.1=；2,

tn=6

•••mn=-2x6=-12；

(3)解：3%-c=0的“反对方程”为Cf-3=0,

由3%-c=0得，x=p

当c,%-3=0,得％=

C

V3x-c=0与=0的解均为整数，

话与挪为整数，

•・飞也为整数,

・・.当c=3时，：=1,|=1,都为整数，

当c=-3时，：=-1,-=-1,都为整数，

••.c的值为±3.

【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用，能够正确理解“反对方程”的概念是解决此题关键.

【变式7-1]（23-24七年级•内蒙古通辽・期末）定义新运算“※”如下:a配=ab+b；若5助=12,则b=.

【答案】2

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据新运算成立方程解答即可；

根据新运算，写出5财的运算式子，在与12成立方程，求解即可.

【详解】a团匕=ab+b,

:.50b=5b+b=6b=12»

•••b=2.

故答案为：2

【变式7-2]（23-24七年级•云南昆明・期末）如果两个一元一次方程的解互为倒数，我们就称这两个方程为“友

好方程”.例如，方程2%=4和方程4%-2=0为“友好方程”.若关于x的方程3x+k=0与方程2K-2=%+1

是“友好方程"，贝味=.

【答案】-1

【分析】小题考查解一元一次方程，解方程3x+k=0与方程2%-2=工+1,根据题中“友好方程”定义，列

方程求解即可得到答案，熟练掌握一元一次方程解法是解决问题的关键.

【详解】解：解3x+k=0得%=一1

解2%―2=x+1得％=3：

••・关于式的方程3%+k=0与方程2x-2=%+1是“友好方程”，

-x3=1♦解得k=—l,

故答案为：—1.

【变式7-3](23-24七年级•浙江湖州•期末淀义一种对正整数〃的“F”运算:尸⑺=”(几小点翻.以尸(n,k)

n+5(n建奇教)

表示对正整数九进行k次“r”运算.例如，尸(2,2)表示对2进行2次“F”运算，由于2是偶数，因此，第一次

运算的结果为[x2=1,由于第一次运算的结果1是奇数，故第二次运算的结果为1+5=6,所以"(2,2)的

运算结果是6.据此回答：

(1)求F(3,l)的运算结果；

(2)若〃为偶数，且尸(珥2)的运算结果为8,求“的值；

⑶求F(3,2022)的运算结果.

【答案】(1)*3,1)=8

(2)几的值是6或32

(3)F(3,2022)=3

【分析】(1)根据新定义的对正整数n进行k次运算求解即可；

(2)根据n是偶数，可得F(n,l)=gn,然后分之八为奇数和gn为偶数两种情况分别求解即可；

(3)找到n=3的运算结果呈现的规律，然后根据该规律求解即可.

【详解】(1)解：依题意可得，F(3,l)=3+5=8.

(2)•・加是偶数，

.•・F(TI,1)=如

若g九为奇数，则?(九,2)=：九+5,令gn+5=8,解得ri=6；

若;九为偶数，则/(九,2)=[n,令(n=8,解得n=32.

故九的值是6或32；

(3)几=3的“F”运算结果呈现的规律为：8,4,2,1,6,3,8,4,2,I,

・•・运算结果以8,4,2,1,6,3为一组循环,

•••2022+6=337,

・・・F(3,2022)=F⑶6)=3.

【点睛】本题主要考查了新定义下的运算、代数式求值、解一元一次方程，数字类规律探索等知识，理解新

定义的对正整数九进行k次“产'运算是解题关键.

【题型8一元一次方程的拓展求参数】

【例8X23-24六年级下•上海浦东新•期中）若关于》的方程|1=mx有解，则实数机的取值范围是.

【答案】m<一1或?n>0

【分析】由方程|l-x|二mx有解，分工<1和XN1两种情况讨论，列出关于/〃的不等式进行求解

【详解】分两种情况讨论：

①若X<1,则方程可化为1一%=771%,

移项并合并同类项，得（m+l）x=l

•・•原方程有解，

•.•血+1=。「=高<1

即mH-1,m+1<0或m+1>1,

Am<—1或m>0；

②若不>1,则方程可化为％-1=mx,

移项并合并同类项，得（1