广东省2024-2025学年高一年级上册期中考试数学试卷（解析版）

宝安中学2024-2025学年第一学期高一期中考试试卷

数学

本试卷共19小题，满分150分

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号

条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在

试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试卷、草稿

纸和答题卡上的非答题区域均无效4,考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选

项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知命题〃：则力为（）

A.VX^R,X2-X+1<0B.R,x2-x+1>0

C.3XGR,X2-X+1<0D.VXGR,X2-X+1<0

【答案】C

【解析】

【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论.

【详解】由命题P：“VXERF-X+INO”，

则nP为：“hwR.V—x+ivo，，

故选：C.

2.已知/（3x）=4x」og2X,那么/（目的值是（）

A.-2B.4C.8（log23-l）D.-y/2

【JA

【解析】

3I

【分析】令3%=刁，得到工=彳，代入〃3工）=4叱1。82X求解.

乙乙

【详解】解：因为〃3x）=4x」og2x,

所以f(1)=4x；.log2；=—2

故选：A

3.己知关于x的不等式〃状＞〃的解集是｛x|x＜3｝,则关于x的不等式（〃田+〃）（工一2）＞0的解集是

()

A.{小<-3或x>2}B.{x|-3<x<2)

C.I中<2或x>3}D.{x|2vx<3}

【答案】B

【解析】

【分析】由不等式〃a＞〃的解集是｛x\x＜3｝可得m＜0,n=3m,从而不等式（械+〃）（工一2）＞0可化为

（x+3）（x-2）＜0,解出即可.

【详解】•,关于］的不等式〃状＞〃的解集为｛x\x＜3｝,

0,n=3m，

.,.（如+〃）（工一2）＞0可化为〃?卜+3）（工一2）＞0,

即(x+3)(x-2)vO

-3<x<2,

・.・关于X的不等式（如+〃乂工一2）＞0的解集是｛M-3令＜2｝.

故选:B.

4.若a>b>0,则下列不等式中成立的是()

11171

A.a+—>bf+—B.a——>b——

abab

，bb+12a+ba

C.->---D.------->一

aa+\a+2bb

【答案】B

【解析】

【分析】利用作差法求解.

1<(a-b](ab-\\

【详解】解：A.aI/",=\，•〃与1的大小不定，故错诙;

ayb)ab

1(,1、(a-b](ab+\]

——人一二————->0,故正确;

a\b)ab

bb+\b-a八

cj—了万=许＜0'故错误:

2a+ba_(1_4)0+.)<.

a+2b~~b~b(a+2b)(，故错误;

故选：B

5.道片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒

适的佩戴体验.某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为

log35,V3,V2（lg2«0.28,lg3«0.48）,则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（）

A.丙同学和甲同学B.乙同学和甲同学

C.甲同学和丙同学D.乙同学和丙同学

【答案】C

【解析】

【分析】根据对数运算公式，以及哥的运算公式，即可比较大小.

,u1g5l-lg21-0.28—

【详解】log35=—==1,5,

1Jg31Jg30.48

（班）6=9,（垃）6=8,所以出＞血，

1§〉阳所以logQ〉厉＞8，

所以甲同学制作的最薄，丙同学制作的最厚.

故选:c

6.若函数/（»=1。乩5（6-1）在区间（_1,0）上单调递」曾，则a的取值范圉是（）

A.（0,2]B.[-2,0）C.[2,+oo）D.（-oo,-2]

【答案】D

【解析】

【分析】利用复合函数的单调性，结合对数函数、二次函数的单调性即可求解.

【详解】由于）=logo,X在（0,+8）卜单调递减,令1=—X2+ax•A^（-hO）.

因y=log。./为减函数,又/（%）=log。$（公一丁）在区间（一1,0）上单调递增,

由复合函数的单调性法则可知，，=——+以在（—1,0）上单调递减，

且1=一/+⑪>0在（TO）上恒成立，因为，=一/+奴为二次函数，开口向下，

对称轴为xg由y一人姓在（TO）上单调递减，可得会一1,解得八一2,

由1=一/十公>0在（一i,o）上恒成立，即公X€（-l,0）,

可得4<x在（-1,0）上恒成立，则4v一1,

综上，实数。的取值范围为（―,-2］.

故选:D.

,、（a（a<b）（,.1

7.定义min二，设/（x）=min工-1二1+叶，则下列结论不正确的是（）

b（a>b）2J

A./(2)=1B.不等式/（幻之1的解集为［2,+oc）

C.当xWO时，/（X）的最大值为1D.在（0,1）上单调递减

【答案】B

【解析】

【分析】把/（X）表示为分段函数，作出函数图象,结合图象和函数解析式，对选项进行判断

【详解】|x-l|>|x+I,解得xWO或XN4,

—X+1,A0

2

所以/(x)=min<|1|,5工+1•=<|x-l|,0<x<4函数图像如图所示,

-x+l,x>4

12

-2-1OI1234x

-ir

/(2)=|2-1|=1,A选项正确;

不等式/（X）>1的解集为［2.y）u{0}.B选项错误:

当时，/Cr）=gx+1在（ro.O］上单调递增，最大值为"0）=1，C选项正确;

%6（0,1）时，/（x）=|x-l|=l-x,在（0,1）上单调递减，D选项正确.

故选:B.

8.正实数xy满足x+y=l,则下列选项不一定成立的是（）

A.-+->9B.2x+2T>2>/2

y

曳+工29

D.

4+以旧若xxy

【答案】D

【分析】A.结合“1”的代换，利用基本不等式求解判断；B.利用基本不等式求解判断；C.利用分析法判断:

D.结合力”的代换，利用基本不等式求解判断:

【详解】A.-+-=|-+-K-f-y)=5+^+—>5+2U--=9,当且仅当,即

xyyJxy\xyxy

1?

x=三,y=7时，等号成立；

B.2、+2-,弛J2K2,=2y/^=2灰，当且仅当2"=2、'，即x=)，=5时，等号成立；

(।w।25、

C.要证x~1—Iy—上—>只需证(Ay)~+x~+y~------xy+1^0,

\x八y)44

由正实数X）'满足x+y=l,得工2+）,2=（X+）,）2一2与，=1一2与，,

只需证（冷，）2-一旦+22（）,即证（外一8）xy-->0,

4I4,

因为（字）=；，所以外一8<0,犯，<；,则（-，-8）（4，一；）之0成立，以上各步可逆;

D,羽+„山W+L型+山+3=曳+土+2“卑+2=6,

xxy^xxyxxyxxyxy'xy

4）'x21-

当且仅当一=一，即工=二,y=二时，等号成立，故原不等式不一定成立；

xy33

故选：D

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.下列函数中是偶函数，且在区间（0,1）上单调递增的是（）

A.y=^-2B.），二：

II1x2

C->，=W+WD.R

【答案】AD

【解析】

【分析】结合偶函数定义与函数单调性逐项判断即可得.

【详解】对A：令=定义域为R,有/（—x）=（T）S—2=f-2=/（",

故f（x）为偶函数，由疑函数性质可知，“X）在（（）」）上单调递增，故A正确；

对B：令=定义域为R,有/（—%）==—/（'），

故为奇函数，故B错误；

对C:令"x）=W+后,定义域为（7>,0）J（0,+8），

有/（T）=IT+言=凶+看=/（x），故/（力为偶函数,

当上£（0,1）时,，/（.v）=x+-,

X

由对勾函数性质可得，/（x）在（0,1）上单调递减，故C错误;

V"2*

对D:令/（工）=0，定义域为（一8，°）U（（），+8），

有"一"）=胃，="）故〃”为偶函数，

当上£（（）,1）时，/（x）=x,则/（x）在（0,1）上单调递增，故D正确.

故选：AD.

10.已知函数/（x）=|一:+"'"：°（a£R）,下列结论正确的是（）

2—a,工>0

A./(X)是奇函数

B.若/(x)在定义域上是增函数，则

C.若/(x)的值域为R.则

D.当时，若/(工)+/(31+4)>0,则xw(-

【答案】AB

【解析】

【分析】根据题意，结合函数的奇偶性、单调性、值域，将分段函数分情况讨论，逐一判断即可.

【详解】对于A,由题函数定义域为(TO,0)D(0,E),关于原点对称，

当上<()时，-x>0,f(x)=-2'x+a,/(-x)=Tx-a=-(-2X+a)=-f(x)；

当m>0时，—x<0,/(x)=2X—a,f(—x)——2、+ci=—(2'—ci)——f(x)»

则函数/(X)为奇函数，故A正确：

对于B,若/(x)在定义域上是增函数，则一-2°+〃42°—〃，即。工1，故B正确：

对于C,当x<0时，/'(幻=-2-'+。在区间(F,0)上单调递落，此时值域为(—8,4-1),

当上>0时，/(x)=2-a在区间(0,+8)上单调递增，此时值域为(1一+8).

要使f(x)的值域为R,则即。>1,故C不正确：

对干D,当。<1时，由于_2_0+4«2°-4，则函数/(幻在定义域上是增函数，

又函数/(戈)是奇函数，故由,f(/)+.f(3x+4)>(),得/(幻>/(一3/-4),

则m00,且—3x—4w0,且x>—3%—4»

解得X£(—l,0)D(0,+8),故D不正确.

故选：AB

11.已知对任意的x<0,不等式(以-4乂42+6)2。恒成立，则下列说法正确的是()

A.6Z>0

B.b<0

C.02一匕的最小值为8

D.'+〃的最小值为」-

a64

【答案】BC

【解析】

【分析】由820时，转化为仆-42()恒成立，显然不成立；得到。<0,然后令

a<0

〃力=办一4,屋切=/+人，再同一坐标系中作出其大致图象，得到《4__Q逐项判断

a

【洋解】当此。时，对任意的x<0,不等式(or—"(f+冲2()恒成立等价于对任意的x<o,

不等式av—420恒成立，显然不成立；则〃v0,故B正确;

如图所示:

af+皆2,牛=16,当且仅当/=，，即。=一2时，等号成立，故C正确:

L4./7=l_4=_16|1—L|,因为〃<0,所以取不到」7,故D错误;

aaa2{a32J6464

故选：BC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.函数/(')=J3—x+log|(x+1)的定义域是

3

【答案】(T3]

【解析】

3-x>0

【分析】由题意可得，川>0'解不等式即可求解函数的定义域

【详解】因为函数〃xhG^+logKx+l),所以3一：；，解得：-1<^<3,

3[X+1>0

故函数的定义域为㈠,3].

故答案为：(7,3].

13.写出一个同时具有下列性质①②的函数/(x)：.

①(X—y)(/(X)—/(y))>0；②〃x+y)=2/(x)/(y)

【答案】/(x)=2i(答案不唯一)

【解析】

【分析】根据已知性质结合指数函数的性质写出一个满足条件的函数解析式即可.

【详解】由①(x—y)(/(同—“y))>0,得单调递增函数；

由②〃x+M=2“x)/(.\，),由指数累的运算性质优计"=3"乂",

可设/(力=义优，代入性质②得Aax+y=2xAaxxAay，

.•.4=2万，

二.几=0或冗=’,

2

f(x)单调递增函数，

・・49

2

:.f(x)=^ax,的形式均可.

故答案为：〃x)=2i(答案不唯一)

14.实数MV满足2、-4，=9,则工一)'的最小值为.

【答案】log26

【解析】

【分析】借助指数与对数的关系，可令机=2、>0，〃=2,'>0，则由2*-4>'=9可得"?=/+9,即可

用〃表示出x-y,再利用基本不等式计算即可得解.

y

【详解】令/〃=2'>0，n=2>0,即x=logj〃，y=log2/?,

由2'—4,'=9,则小一〃2=9，即机=〃2+9,

nil...m.n~+9.（_/9./

则X_y=log2m-log,n=log,—=log2-----=log,n+—>log,2n--=log,6，

~nn~vnJ~Vn

当且仅当〃=3,〃z=18时，等号成立，故工一），的最小值为bg26.

故答案为：log?6.

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助换元法，令m=2"〃=2匕从而得到〃2=/+9,再用〃表

示出x~y.

四、解答题：本题共5小题，共77分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知集合A={R2a—1vxvo+l},^={x|-l<x<21.

（1）若a=-l,求（4A）U3；

<2）若“人eA”是“八飞6”成立的充分不必要条件，求实数々的取值范围.

【答案】（1）或工2-1}

（2）[0,l]j[2,+<x）

【解析】

【分析】（1）根据题意，由集合运算代入计算，即可得到结果；

（2）根据题意，将问题转化为A是8的真子集，然后分A=0与AW0讨论，列出不等式代入计算，即可得

到结果.

【小问1详解】

当〃二一1时，A=|x|-3<x<0},则2A={x|xW-3或不20},

且B={x|-l<x<2},贝I」（率A）JB={x|xK—3或xN—1}；

【小问2详解】

由题可知"X£A”是“X£8”成立的充分不必要条件，则A是8的真子集，

当A=0时，2a-lNa+l,解得。22；

2a-\<a+\

当Aw0时，,解得0<a〈l；

tz+l<2

综上所述，实数。的取值范围是[0/]l42,y）.

16.已知函数/（x）=为［b1,给］上的偶函数.

bx2+4

（1）求实数小〃的值；

（2）判断判（力在［0,2］上的单调性,并用定义证明;

⑶若求实数.取值范围.

【答案】（1）a=O,b=\

（2）在［0,2］上是增函数，证明见解析

⑶小。）

【解析】

【分析】（1）根据偶函数的定义求解即可；

（2）利用定义法证明函数单调性；

（3）由/（±1）=;，利用函数奇偶性和单调性解不等式.

【小问1详解】

因为函数/（X）为［-〃-1,2以上的偶函数，

则有4?-1+»=0,解得力=1,所以/(x)=

x2+4

则…=l忌-x+fll=舄|工一〃|

c,、r\x-a\\x+ci\,八

由f（一x）=/（x）,得二一L=-^一则n。=0.

X+4£+4

【小问2详解】

是［0,2］上的增函数，证明如下：

由（1）知，当xw［0,2］时，f（x）=上L=_^,任取0«』＜占＜2,

JT+4x~+4

内（4+4）-七1；+4）

X?

则/（%）一/（电）=百

父+4入；+4（X：+4）（X；+4）

xix；-x2x^+4玉-4X2_x1x2(x2-x1)+4(X]-x2)_(x2-x)(x1x2-4)

（片+勺出+4）储+4乂考+4）(x；+4)(*+4)'

因为04为<%242,所以工2—%>0，x\x2-4<0,(x；+4)>0,(x；+4)>0,

jx—xx-4）

则（；二十；）（；「+4）即/'（』）一/（&）〈°,M/UI）</U2）,

所以/（x）是［0,2］上的增函数.

【小问3详解】

令上L=L即冗2_53+4=0,

X2+45

当工之0时，x2-5x+4=0»解得x=l或x=4,

当mv0时，x2++4=0»解得工二一1或工=^,

又xe［-2,2］,则工=±1,

由/（I-2/«）>g,即可转化为/（1-2^）>/（±1）,

因为/（X）是［-2,2］上的偶函数，即求/（|1-2时）>/（1）,

—2W1—2〃zW2

由⑵知是［0,2］上的增函数，则，。।।，

|1-2叫>1

13

解得——<w<0^Jl</w<—,

22

1、（3一

故实数机的取值范围为-7，01，7.

L2八2」

17.如图，在周长为8的矩形A8c。中（其中A5>4））,现将VA8C沿AC折叠到VABC，设AB'

与CO交于点E，设A8=x,=y.

（I）求△9EC的周长；

（2）试用X表示y,并求X的取值范围;

（3）当x为何值时，△8'EC的面积S取得最大值，并求出该最大值.

O

【答案】（1）4；（2）），=4一一，2<x<4；

x

（3）当x=2应时，△B'EC的面积S取得最大值12-8五.

【解析】

【分析】（1）通过证明二AOE二二C8Z,即可得到已从而求出的周长.

（2）在mV&CE利用勾股定理并结合（1）即可建立耳£和r的关系，根据题意即实际意义可求出r的范

围.

（3）将△B'EC的面积表示出来，再利用基本不等式求最大值即可.

【小问1详解】

依题意，ZAED=/CEB；/ADE=NCB，E,AD=CBr,

则VADE四二CB，E,于AE=CE、AD=CB；DE=B，E,

因此CE+CZT+ZTE=CE+AD+£>E=A£>+DC=4,

所以△B'EC的周长为定值4.

【小问2详解】

由折叠知河=他十夕后二•二工，则AE=x-y,即CE=x—>

由（1）知CEi+CB'+B'End,即（x—y）+C8'+），=4,则C9=4—x,

在RtZ\3'EC中，由勾股定理得8'炉+8'。2=。炉，

Q

即声+（4-％）2=。一切2,化简得y=4—一，

X

而A3>AO,AB+4O=4，则x>4-x且x<4,即2vxv4,

8

所以）,=4——，2<x<4.

x

【小问3详解】

在RtZXgEC中,5='3'。"£=14一幻（4一号）=12—"-2-2<x<4,

22xx

则§=12-（蛆+2工）012-2）3-2工=12-8及，当且仅当屿二2X，即工=2&时等号成立，

X\XX

所以当x=2及时，△B'EC的面积S取得最大值，为12—80.

18.己知函数/(x)=(21og/-2)(log4x+a),a£R.

(1)求关于x的不等式/"”-3—〃的解集；

(2)当a=g时，若/(“〈〃水塔/对于x«4/6｝恒成立，求〃，的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

5

(2)m>—

2

【解析】

【分析】(1)换元，分类讨论解一元二次不等式«—进而根据对数函数的单调性求解

不等式即可；

(2)换元，分离参数，将问题转化为m在上恒成立，即可利用函数的单调性求解最值

得解.

【小问1详解】

不等式/(幻>一：一a=(2jOg4x-2)()Og4x+a)>

令1=logx,则(2t—2)(t+Q)+-+Q>0,即2t2+(2Q-2)t—Q+—>0,

422

即(2t—1)(t+Q—>0,即(£—m(t+Q—>0»

当。=0时，解得/工,，所以logjXH』，解得X>0且工工2:

222

当〃>0时，->--a,(£-"(t+a-9>0的解为或f<，—a,

22\2八2/22

所以log4工>5或解得x>2或0<x<4；-"；

当〃<0时、—<—a,(£—：)1+Q—：)>°的解为/>—Q或/<一,

22'2八2722

所以log4X>L-a或log4X<1，解得或0vx<2；

22人,一

综上，当4=0时，不等式/(%)>-»Q的解集为(0,2)52,+8)；

当〃>()时，不等式—Q的解集为0,4暖“D(2，+8)；

\/

当〃<0时，不等式/■(%)>-：-2的解集为(