2027年高考数学考前必背（高中数学公式+核心要点）【直接打印】

2027年高考数学考前必背考前必背公式----考场轻松得分●三、基本初等函数●五、三角恒等变换2027年高考数学考前必背公式(可打印)1.元素a属于(不属于)集合A记为a∈A(a∉A).2.AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC).3.A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C).4.若Vx∈A有x∈B,则有ACB(或B≥A).5.若ACB,3x∈B,且x∉A,则有AB,7.空集是任何集合的子集，即O三A(A为任集合的真子集.8.含有n个元素的集合有2”个子集，有2”-1个真子非空真子集.9.A∩B={x|x∈A,且x∈B}.10.AUB={x|x∈A,或x∈B}.13.CA={x|x∈U,且x∈A}.C+(AUB)=(C₁A)∩(CyB).1.数列的通项公式与前n项和的关系2.等差数列(1)定义：an+1-an=d(n∈N,d为常数).(2)通项公式：an=a₁+(n-1)d.(3)等差中项：a,A,b成等差数(4)性质：m+n=k+l→a+an=a+a(m,n,k,L∈N").(5)前n项和3.等比数列(1)定义n∈N,q为非零常数).(2)通项公式：an=a1q”⁻¹.(3)等比中项：a,G,b成等比数列⇔G²=ab.(4)性质：m+n=k+l→aman=auai(m,n,k,L∈N').(5)前n项和：a是无理数).(1)基本性质①负数和零没有对数；②log.a=1,log.1=0(a>0,a≠1).(2)常用对数log₁₀N记为lgN;自然对数log.N记为InN.(3)运算性质③log.M"=nlog.M(n∈R).(4)公式对数恒等式：a=N(N>0,a>0,且a≠1).换底公式,且a≠1,c>0,且c≠1,b>0).1.角度和弧度的换算(1)弧长公式：L=la|r;(2)扇形面积公式：其中，l为弧长，r为圆的半径，a为圆心角的弧度数.3.同角三角函数的基本关系平方关系：sin²a+cos²a=1.商数关系：tan(180°±a)=±tana1.两角和与差的三角函数、倍角公式(1)两角和与差的三角函数cos(a±β)=cosacosβ干sinasinβ(2)倍角公式cos2a=cos²a-sin²a=2cos²a(1)积化和差公式(2)和差化积公式1.指数(1)根式(2)分数指数幂正分数指数幂：a*=Va"(a>0,m,n∈N,且n>1);(3)有理数指数幂的运算性质有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂a°(a>0,|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(②|f(x)|>g(x)⇔③|f(x)|>lg(x)|⇔[f(x)]²>[④形如|x-a|+|x-b|<c的不等式可利用零点分段讨论求解.3.重要不等式(1)a²+b²≥2ab.其中a,b∈R,当且仅当a=b时等号成立.其中a,b>0,当且仅当a=b时等号成立.其中，a,b>0,当且仅当a=b时等号成立.(4)4ab≤(a+b)²≤2(a²+b²).其中，a,b∈R,当且仅当a=b时等号成立.其中，a,b,c∈R,当且仅当a=b=c(6)≥2,当且仅当|a|=|b|时等号成立.4.利用基本不等式求最值已知x,y>0,则(1)若x+y=s(和为定值),则当x=y时，积xy取得最大值(2)若xy=p(积为定值),则当x=y时，和x+y取得最小值2√p(x+y≥2√xy=2√p).1.空间几何体的侧面积公式2.空间几何体的表面积公式3.空间几何体的体积公式4.平面的基本性质公理1:A∈l,B∈1,且A∈a,B∈a→ICa.公理2:A,B,C∈a,A,B,C∈β,且A,B,C三点不共线→α与β重合.公理3:P∈a,且P∈β→a∩β=1,且P∈1.5.空间两直线平行的判定6.空间两直线垂直的判定(3)三垂线定理及其逆定理3.半角公式4.辅助角公式asina+bcosa=√a²+b²sin(a+φ)(ab≠0),其中φ满足1.正弦定理为△ABC外接圆的半径).2.余弦定理3.三角形面积公式三角a,b,c所对的边).为三角形内切圆半径).1.不等式的性质(3)a>b→a+c>b+c;(5)a>b,c>d→a+c>b+d;(6)a>b,c>0→ac>bc;(7)a>b>0,c>d>0→ac>bd;(8)a>b>0→a">b(9)a>b>0→a>b(n∈N,2.不等式及其解法(1)一元二次不等式及其解法(a>0)的解集{x|x<x1,或x>xz}(a>0)的解集①①(2)一元高次不等式的解法<x₂<…<x。)可用穿根法求解.(3)分式不等式的解法(4)绝对值不等式的解法①I,或续表27.空间两直线异面的判定方法③两平行直线l:Ax+By+G=0和l₂Az+By+C₂=0间的距离：(1)反证法；(2)平面外一点与平面内一点的连线，与平面内不过该点的直线是异面直线.9.直线与平面平行的性质(1)圆与方程①圆的标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r²,圆心为(a,b),半径为r.②圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0,其中D²+E²-4F>0,圆心,半径，(2)直线与圆的位置关系设直线l:Ax+By+C=0,圆C:(x—a)²+(y-b)²=r²,圆心到d>r⇔直线与圆相离；d=r台直线与圆相切；d<r⇔直线与圆相交.(3)过圆上一点的切线方程①与圆x²+y²=r²相切于点(x₀,yo)的切线方程：xox+yoy=r².②与圆(x-a)²+(y-b)²=r²相切于点(xo,yo)的切线方程：(4)圆与圆的位置关系,圆心距d=√(a2-a1)²+(b₂-b₁)²,则|d|>r+r₂⇔两圆相离；(5)直线被圆所截弦的问题设直线与圆相交于两点A(x₁,y1),B(x₂,y₂),则弦AB的长：√(1+k²)[(x₁+x₂)²-4x₁x₂](k为直线AB的斜率).②|AB|=2√²-d²(d为弦心距，r为圆的半径).3.空间直角坐标系(1)空间两点间的距离公式②空间中任意两点P₁(x₁,y1,z1),P₂(x₂,y₂,z2)间的距离：|P₁P₂|=√(x₁一x₂)²+(y-y₂)²+(z₁-z2)².(2)空间线段的中点坐标在空间直角坐标系中，若A(x₁,y1,z1),B(x₂,₂,2),则线段AB的中点坐标是：1.椭圆的标准方程及几何性质焦点：(±c,0)或(0,±c)2.双曲线的标准方程及几何性质焦点：(±c,0)或(0,±c)10.平面与平面平行的判定11.平面与平面平行的性质12.直线与平面垂直的判定13.直线与平面垂直的性质14.平面与平面垂直的判定(1(2)二面角的平面角θ=90°15.平面与平面垂直的性质1.直线与方程(1)直线方程①点斜式：y-yo=k(x-x₀);②斜截式：y=kx+b;⑤一般式：Ax+By+C=0(A,B不同时为0).(2)直线的斜率公式经过两点P₁(x₁,yi),P₂(x₂,y₂2)(x₁≠x₂)的直线的斜率公式：k(3)两条直线的位置关系①L₁(y=k₁x+b₁)与l₂(y=kzx+b₂)平行：k₁=k2且b₁≠b₂;②L₁(y=k₁x+b₁)与l₂(y=k₂x+b₂)垂直：k₁k₂=-1;③L₁(A₁x+B₁y+C₁=0)与L₂(A₂x+B₂y+C₂=0)平行：④L₁(A₁x+B₁y+C₁=0)与l₂(A₂x+B₂y+C₂=0)垂直：A₁A₂+B₁B₂=0.(4)距离公式①两点P₁(x₁,y),P₂(x₂,y2)间的距离：任意一点P(x,y)的距离|OP|=√x²+y².②点P(x₀,yo)到直线Ax+By+C=0的距离：续表33.抛物线的标准方程及几何性质4.直线截圆锥曲线的弦长|AB|=√(1+k²)[(x₁+x₂)²-4x₁1.向量的概念(2)向量的表示②单位向量：a为单位向量⇔|a|=1.③相等向量：长度相等且方向相同的向量.2.向量的运算(1)向量的加减法几何运算：三角形法则或平行四边形法则.a±b=(x₁±x₂,y₁±y₂).(2)实数与向量的积(3)向量的数量积3.重要公式1.几种常见函数的导数(1)c′=0(c为常数)(2)(x")'=nx"⁻¹(n(5)(e)'=e(6)(a²)'=a²lna(a>05.微积分基本定理(2)离散型随机变量的均值(或数字期望)与方差①离散型随机变量的均值：若X服从两点分布，则E(X)=p;若X服从二项分布，即X～B(n,p),则E(X)=np若X服从二项分布，则X～B(n,p),则D(X)=np(1-p).(1)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(AUB)=P(A)+P(B).(2)古典概型的概率公式(3)几何概型的概率公式(4)条件概率设A,B为两个事件，则A发生的条件下B发生的概率：如果B和C是两个互斥事件，则(5)P(A₁A₂A₃…A。)=P(A₁)P(A₂)…P(A).A,相互独立.P(AB)=P(A)P(B).(6)①两点分布(0-1分布):P(X=0)=1-p;P(X=1)=p.pq真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.导数运算法则(2)[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+3.复合函数的导数若函数u=g(x)在x处可导，y=f(u)4.定积分的基本性质2027年高考数学考前必背超全核心要点、公式、方法---一站复盘·1集合与常用逻辑用语●3平面向量●4不等式●5函数的概念及性质●6函数、基本初等函数的图象及性质8三角函数的图象及性质7函数与方程、函数模型8三角函数的图象及性质·9三角恒等变换●10解三角形●11等差数列、等比数列●12数列的通项、数列的求和●13空间立体几何●14空间点、直线、平面的位置关系●15空间向量与立体几何●16直线方程●17直线与圆●18圆锥曲线定义、方程及性质·19圆锥曲线的热点问题●20计数原理与二项式定理●21统计与统计案例、概率●22离散型随机变量及其分布集合与常用逻辑用语集合元素特点：互异性、无序性、确定性。一组对象的全体.x∈A,x∉A关系A∩B={x|x∈A,且x∈B}补运算的有力工具.在具体计算时不要忘了集合本身和并集AUB={x|x∈A,或x∈B}CuA={x|x∈U且x∉A}充要p→q,p是q的充分条件p→q,q是p的必要条件量词全称量词V,含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命存在量词3,含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题。全称命题p:Vx∈M,p(x);全称命题p的否定一p:3x∈M,-p(x).特称命题p:x∈M,p(x);特称命题p的否定一p:Vx∈M,-p(x).复数复数的概念和规定：i²=-1;实数可以与它进行四则运算，并且运算时原有的加、乘运算律仍成立。i4k=1,i4k+¹=i,i4k+²=-1,i4k+³=-i(k∈Z)。复数形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部。b≠0时叫虚数、a=0,b≠0时叫纯虚数。复数相等实部相等，虚部互为相反数。即z=a+bi,则z=a-bi。除法几何意义主要性质复数*1.运算律：(1)z”".z"=zm+”;(2)(z")"=z"m;(3)(z·z₂)"=z"=2"(m,n∈N).【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围*2.模的性质：(1)|z₁z₂|=zⅡz₂1;②(3)=”=1=”.*3.重要结论：i性质：T=4;i4n+¹=i,i4+2=-1,i4n+³=-i,i⁴=1.【拓展】:重要概念向量既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的长度为0,方向任意的向量。【0与任一非零向量共线】向量的模两点间的距离若A(x,y),B(x₂,y2),则|4B=√(x₂-x)²+(v₂-x)²向量夹角起点放在一点的两向量所成的角，范围是[0,π]。a,b的夹角记为<a,b>。重要法则定理ei,e2不共线，存在唯一的实数对(2,μ),使a=λe₁+μe₂。若e1,e2为x,y轴上的单位正交向量，(λ,μ)就是向量a的坐a11(b≠0共线⇔存在唯一实数λ,a=λb一x₁V₂-yx₂=0各种运算法则设AB=a,BC=b,那么向量AC叫做a与b的和，即a+b=AB+BC=AC;向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB+BC+CD+…+PQ+QR=AR,但这时必须“首尾相连”。交换律a+b=b+a,结合律(a+b)+C=a+(b+c)法则用“三角形法则”:设AB=a,AC=b,那么a-b=AB-AC=CA,由减向量的终点指向被减向量的终点。分配律λ(μa)=(λμ)a,(λ+μ)a=λa+μa,分配律λ(a+b)=λa+λb表示。算性质ab=ba,分配律(a+b)E=alc+bE,(za)b=a(λb)=2(ab)。向量的表示方法用带箭头的有向线段表示，如AB,注意起点在前，终点在后；用一个小写的英文字母来表示，如a,b,c等；的任一向量a可表示为a=xi+yj=(x,y),称坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三角形的五个“心”同向不等式两个实数的顺序关系：基本不等式定理【推广】:已知x,y∈R,则有(x+y)²=(x-y)²+2xy.平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a,b∈R,,当且仅当a=b取“=”)(当且仅当a=b时取“=”)a+az(正数a₁=a₂=…=a,时取等)算术平均≥几何平均a²+b²≥2|ab|(a,b∈R,当且仅当a=b时取到“三”)a³+b³≥a²b+ab²,a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c→a³+b³+c³≥3abc(a+b+c>0等式即可成立，a=b=c或a+b+c=0时取等);水水浓“1”的函数的概念定义域A:x取值范围组成集合。值域B:y取值范围组成集合。对应法则f:y与x对应关系。如：函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个.定义型根式被开方数非负；零指数幂底数≠0;实际问题有意义；对数真数>0,底数>0且≠1;如lgx<1的解集：0<x<10;y=Inx单调增区间(0,+);如：不等式lgxk1的解集{x-1<x区间于的意思；闭区间用中括号表示，是大于等于或小于等于的意思；(1)区间是集合的另类表示方式，区间就是集合，具有集合的一般性质。(2)它是无限集，连续的实数。{x|1<x<2或x=-4;表示成(1,2)U{-4},不能写成(1,2)且x=-4。性质奇偶性定义如果f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数；如果f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数。这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称。确定奇偶性方法有定义法、图像法等；(2)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反单调性；(3)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x)=f(x|);定义域含零的奇函数必过原点(f(0)=0);利用周期性对定义域内任意x,存在非零常数T,f(x+T)=f(x),T为f(x)周期(1)若y=f(x)对x∈R时f(x+a)=f(x-a)恒成立，则f(x)的周期2|a|;(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)的周期为2|a|;单调性定义定义域内一区间I,x,x₂∈I,x₁<x₂,增x₁<x₂→f(x)<f(x₂);减x₁<x₂=f(x,)<f(x₂)间定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等(提醒：求单调区间时注意定义域)导数法：i求定义域：ii求f'(x);iiif'(x)>0的解构成增区间y=log(-x²+2x)的单调递增区间是___.((1,2));函数单调增区间是_.((-∞,0)和(0,+∞))证明(1)定义法：i取值x₁<x₂ii作差变形判断f(x₁)-f(x₂)符号；(2)导数法：i求f'(x);ii判断f'(x)符号；利用(1).求值域：利用单调性画出图像趋势，定区间，断。(2).比较函数值的大小：画图看(3)解不等式：增x>x₂→f(x₁)>f(x₂)或f(x,)>f(x₂)→x>x₂;减x>x₂=f(x)<f(x₂)或f(x,)>f(x₂)→x₁<x₂(4).求系数：利用常规函数单调性结论，根据单调性求系数。,则a范围已知f(x)=logax(a>0,a≠1)为R上增，则f(x-1)<0的实数x的取值范围。(0,1)U(1,2)函数由“同增异减”判定：①分解为基本函数：内函数u=g(x)与外函数y=f(u);②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内单调性.已知复合函数单调性，求字母范围：i分解出内外层函数；ii研究内外层函数的单调性的关系；iii兼顾函数的定义域；如：若y=log。(2-ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是(1求函数解析式的常用方法骤顶点式：f(x)=a(x-h)²+k(a≠0);零点式：f(x)=a(x-x,)(x-x₂)(a≠0).②根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；③解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。如一元二次不等式f(x)<x-1解集是(-1,2),可设f(x)-x+1=a(x+1)(x-2)若,则函数f(x-1)=_(答：x²-2x+3)函数y=f(x)与的图像关于原点成中心对称；y=-f(-x)方程的思想对已知等式进行赋值，从而得到关于f(x)及另外一个函数的方程组；函数f(x)是一个偶函数，g(x)是一个奇函数，」,则f(x)等;若函数f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)-g(x)=e³,则有图象几种常见变换①函数y=f(x)与y=-f(-x)的图像关②函数y=f(x)与y=f(-x)图像关于直线x=0(y轴)对称；③函数y=f(x)对x∈R,f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)恒成立，图像关于x=a对称；函数y=f(a+x),y=f(b-x)的图像关于直线对称(由a+x=b-x确定);⑤函数y=f(ax)(a>0)的图象是把函数y=f(x)的图象沿x轴伸缩为原来的得到的。左右平移----“左加右减”(针对x而言);上下平移----“上加下减”(针对y而言)求函数值域(最值)的方法二看对称轴与所给区间的相对位置关系),如求函数y=x²-2x+5,x∈[-1,2]的值域(答：[4,81);特别要注意新元t的范围);利用已学过函数的有界性，确定值域，最常用的就是利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，上，求的取值范围(答：求y=√(x-2)²+√(x+8)²的值域(答：(10,+∞));式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等一般适用于高次多项式函数，如求函数f(x)=2x³+4x²-40x,x∈[-3,3]的最小值。(答：一48)提醒：求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合包括区间形式了吗?函数Iy=a(a>0,且a≠1定义域R值域(0,+0o)y=log。x(a>0,且a≠1);是指数函数，则有函数的定义域为(0,+∞0)在(0,+∞)单调递减，0<x<1时在(0,+∞)单调递增，的函数称为幂函数，其中α为常幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,+∞]上是增函数幂函数的图象下凸幂函数的图象上凸时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正方无限地逼近X轴正半轴.对数与对数性质：函数函数函数函数函数零点(4)对数换底公程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与X轴有交点⇔函数y=f(x存在定理f(x)=x-Ilgx|在定义域上零点个数为1图象在[a,b]上连续不断，若f(a)f(b)<0,则y=f(x)在(a,b)内存在零点。二分法求区间[a,b]的中点c;二分法步骤计算f(c):(1)若f(c)=0,则c就是函数的步骤则令b=c(此时零点x₀∈(a,c));(3)若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x₀∈(c,b)).(4)判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复(2)～(4).函数函数函数在(-1,0),(0,+0)分别增，不是在定义域内增，不能误认为零点只有一个(错));扇形面积公式：1弧度(1rad)≈57.3°.角函数定义;扇形面积公式：1弧度(1rad)≈57.3°.角函数定义角α中边上任意一点P为(x,y),设|OP|=r则：同角三角函数关系周期对称中心上下平移y=f(x)图象平移|k|得y=f(x)+k图象，k>0向上，k<0向下。左右平移y=f(x)图象平移|得y=f(x+0)图象，φ>0向左，φ<0向右。x轴方向y=f(x)图象各点把横坐标变为原来の倍得y轴方向y=f(x)图象各点纵坐标变为原来的A倍得y=Af(中心对称y=f(x)图象关于点(a,b)对称图象的解析式是y=2b-f(2a-x)y=f(x)图象关于直线x=a对称图象的解析式是y=f(2a-x)。基本问题性质与图象图象变换正切函数的图象和性质(2)值域是R,在上面定义域上无最大值也无最小值；(3)周期性：是周期函数且周期是π,它与直线y=a的两个相邻交点之间的距离是一个周期的对称中心有两类：一类是图象与x轴的交点，另一类是渐近线与x轴的交点(1)若,则sinx<x<tanx;(2)若.,则1<sinx+cosx≤√2;三角恒等变换变换公式正弦正切三角变换构(和与积)的变换，其核心是“角的变换”.化简技巧已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.与“凑”利用二倍角公式cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α和二倍角公式的即“二次”与“一次”的互化.切割化名解题.经常用的手段是“切化弦”和“弦化切”.常值变换引入辅助角期r.特别的，特殊结构的构造构造对偶式，可以回避复杂三角代换，化繁为简.可以通过A+B=2+sin70°,两式和，作进一步化简.举例：sinx+cosx=m→2sinxcosx=m²-1sin(α+β)=m,sin(α-β)=n,可求出sinacosβ,cosasinβ整体值，作为代换之用.解三角形正弦定理定理a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(R外接圆半径)。类型三角形两边和一边对角、三角形两角与一边。余弦定理定理a²=b²+c²-2bccosA,b²=a²+c²类型两边及一角(一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程)、三边。面积公式公式导出公式(R外接圆半径);(r内切圆半径)。常见的结论角的变换因为在△ABC中，A+B+C=π(三内角和定理),所以任意两角和：与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形：①三内角都是锐角；②三内角的余弦值为正值；③任两角和都是钝角；④任意两边的平方和大于第三边的平方.即，sinA=sin(B+C);cosA=-cos(B+C);tanA=-tan(B+C).;;系定理及其中r为三角形内切圆半径，p为周长之半.在非直角△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.熟记并会证明*1.∠A,∠B,∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°.*2.△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A,∠B,∠C成等差数列且数列.*3.三边a,b,c成等差数列⇔2b=a+c⇔2sinA=s*4.三边a,b,c,成等比数列⇔b²=ac⇔sin²A=sinBsinC,锐角△ABC中两内角与在△ABC中，a>b⇔A>B⇔sinA>sinB⇔cos2B>cos2A,…A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cos2实际应用基本思想根据已知逐次把求解目标归入到一个可解三角形中。常用术语仰角俯角方向角方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般是锐角，如北偏角某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间数列、等差数列等比数列数列按照一定的次序排列的一列数。分有穷、无穷、增值、递减、摆动、常数数列前n和数列定义：an+1-an=d(d为常数);的等差中项，且通项：an=a₁+(n-1)d或an=am+(n-m)d;前n和性质：当m+n=p+q时，则有am+an=ap+aq,特别地，当m+n=2p时，则有a+aₙ=2a。.若{an;是等差数列，则“间隔相等的连续等长片断和序列”即S,S₂n-S₃S₃n-S₂ₙ,…也成等差数列若aₙ=m,am=n(m≠n),则am+n=0;若Sₙ=m,S=n(m≠n),则Sm+=-(m+n)数列定义：,其中q≠0,a≠0;通项：an=aq”⁻¹;前n和”指数表示项数，后者有前后两等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项1,再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q=1和q≠1两种情形讨论求解。当q≠1时，,这里a+b=0,但a≠0,b≠0,这是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据S,判断数列{an;是否为等比数如若{a)是等比数列，且S,=3"+r,则r=_(答：一项符号如：已知数列1,a,a,4成等差数列，1,b,b₂,b₃,4成等比数列，性质当m+n=p+q时，则有aman=a,a,特别地，当m+n=2p时，则有aman=a².如各项均为正数的等比数列{a3中，若as·a₆=9,则Iog₃a+log₃a₂+…+log₃ao=(答：10)。若{an}是等比数列，且公比q≠-1,则数列S,S₂n-SS₃n-S₂n,…也是等比数列。当q=-1,且n为偶数时，数列S₂S2n-S,S₃m-S₂₀,…是常数数列0,它不是等比数列.如{a3中，S。=4a₋+1(n≥2)且a=1,若b₆=a,+-2a。,求证：数列{b}是等比数列。数列数列的单定义数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的公式也就是相应函数的解析式。如已知,则在数列{a)的最大项为_(答：依据不等式性质证明数列相邻项作差证明与应用数列d≠0时，an=a₁+(n-1)d=dn+a₁-d=aₙ=an+b(a=d,b=a₁-d)是关于n一次函数，斜率为d;前n)是关于n的二次函数且常数项为0;若公差d>0,则为递增等差数列，若公差d<0,则为递减等差数列，若公差d=0,则为常数列。数列若a₁>0,q>1,则{an}为递增数列；若a₁<0,q>1,则{an}为递减数列；若a>0,0<q<1,则{an;为递减数列；若a₁<0,0<q<1,则{a,为递增数列；若q<0,则{an}为摆动数列；若q=1,则{an为常数列.简单的递推数列解法an=aq₁+(n-1)d或an=am+(n-m)d;an=a₁q”⁻¹或aₙ=amq"-"已知S。(即a+a₂+…+aₙ=f(n))求,求a。(答：已知aaz…aₙ=f(n)求a如a₁=1,对所有的n≥2有a,aza,…a₀=n²,则累加法an+1=an+f(n)型累乘法an+1=a,f(n)型.如已知a₁=1,aₙ=3an₋1+2”,求an(答：aₙ=5×3”⁻¹-2”+¹)待定若a+1=caₙ+d(c≠0,1,d≠0)⇔an+1+λ=c(aₙ+λ)。比较系数得出λ,转化为等比数列。已知数列{an}满足a₁=1,且a+1=3a+2,求a。。设a++t=3(a+1),a₀=2·3”-¹-1若a+=paₙ+qn+d,a+a(n+1)+b=q(aₙ+an+b);已知数列{an}中，a₁=1,且an+1=3an+2n-1(n=1,2,…),求数列{an)的通项公式。设a₋+p(n+1)+q=3(a+pn+q),a=2×3”⁻¹-n。若a+=pan+q”+¹(p≠q),设a+1+λq”⁺¹=p(a。+2q”);已知数列{a,}满足a=1,a₀=3"+2a₋(n≥2)求a。设aₙ+λ3"=2(a₋+23”⁻)常用求和方法求和.如求：Sₙ=-1+3-5+7-…+(-1)"(2n-1)(答：错位相设数列{aₙ}为等比数列，数列{b}是等差数列，则数若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前n和公式的推导方法).已知空间几何体概概念柱两个互相平行的面叫棱柱的底面(简称底);其余各面叫棱柱的侧面；两侧面公共边叫棱柱的侧棱；底面是矩形的直平行六面体是长方体；长方体体对角线√a²+b²+c²,外接球2R=√a²+b²+c与三条棱成角cos²α+cos²β+cos²y=1,sin²α+sin²β+sin²y=2①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则为直棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直棱柱；棱长都相等的长方体叫正方体；侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱；侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱；底面是正方形的直四棱柱叫正四棱柱；{平行六面体}?{直平行六面体}?{长方体}?{正四棱柱}?{正方体};棱锥有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥；如果一个棱锥底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样棱锥叫正棱锥；正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高(叫侧高)也相等；正棱锥的相对的棱互相垂直；①侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)⇔顶点在底上射影为底面外心；②侧棱两两垂直(两对对棱垂直)⇔顶点在底上射影为底面垂心；③斜高长相等且顶点在底上在底面内⇔顶点在底上射影为底面内心.体全面积S=√3a²;体积1对棱间的距离正四面体内任一点到各面距离之和⁷表面积即S全=S+S底棱台圆柱S金=2πr²+2πrh之和。圆锥S全=πr²+πrl圆台球求体积棱柱：体积=底面积×高，或体积V=直截面面积×侧棱长，特别地，直棱柱的体积=底面积×侧棱长；三棱柱的体积1(其中S为三棱柱一个侧面的面积，d为与此侧面平行的侧棱到此侧面的距离)。棱锥：体×底面积×高。注意：求多面体体积的常用技巧是割补法(割补成易求体积的多面体)i补形：三棱锥→三棱柱；正四面体→正方体→球；(2)已知PA,PB,PC两两互相垂直，且△PAB、△PAC、△PBC的面积分别为1.5cm²,2cm²,6cm²,则过P,A,B,(3)三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O,P到三个面的距离分别为3、4、5,则OP的长为空间点、直线、平面的位置关系基本公理公理1判断直线在平面内。公理2A,B,C不共线→A,B,C确定平面α。公理3确定两平面的交线公理4位置关系线线共面和异面。共面为相交和平行。不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。点线面1□α,INα=A,lcα.。分别对应线面无公共点、一个公共点、无数个公共点。αIlβ,a∩β=1。分别对应两平面无公共点、两平面有无数个公共平行关系平面和这个平面相交，那么这条直线和平行.allα,acβ,a∩β=b→allb垂同一条直线的平行.个平面垂直.的,那么两个平面互相垂直.那么在一个平面内直线垂直于另一个平面.空间向量与立体几何空间向量重要一组向量在一个平面内或者通过平移能够在同一个平面内。空间基底空间任何三个不共面的向量a,b,c都可做空间的一个基底。定理a,b(b≠0共线⇔存在唯一实数λ,a=λb。p与a,b、(a,b不共线)共面⇔存在实数对x,y,使p=xa+yb.a,b,c不共面，空间任意向量p存在唯一的(x,y,z),使节=xa+立体几何中的向量方法线面标志所在直线与已知平面α垂直的非零向量n叫做平面α的法向量。关系线线平行方向向量共线。线面平行判定定理；直线的方向向量与平面的法向量垂直；使用共面向量定面面平行判定定理；两个平面的法向量平行。线线垂直两直线的方向向量垂直。线面垂直判定定理；直线的方向向量与平面的法向量平判定定理；两个平面的法向量垂直。空间角线线角θ线面角θ直线的方向向量为a,平面的法向量为n,sinθ=|cos(a,n)|二面角θ两平面的法向量分别为n和nz,则cos0=|cos〈n,n₂>|-空间距离点线距直线的方向向量为a,直线上任一点为N,点M到点面距到平面α的距线面距、面面距转直线的方程概念倾斜角定义法：已知直线的倾斜角为a,且a≠90°,则斜率k=tana.;与x轴平行或重合时倾斜角为0°倾斜角为α,倾斜角不是90°的直线倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k,即k=tanα(a≠90°);倾斜角为90°的直线没有斜率；直线方程法：ax+by+c=0的斜率)直线的方向向量法：a=(1,k)若a(m,n)为直线方向向量，则斜率过两点(x,y₁)(x₂,y₂)的直线的斜率)点差法：中，以P(x₀,y%)为中点弦斜率求导数；直线方程点斜式已知直线过点(x₀,y)斜率为k,则直线方程为y-yo=k(x-x₀),它不包括垂直于x轴的直线.已知直线在y轴上的截距为b和斜率k,则直线方程为y=kx+b,它不包括垂直于x轴直线.已知直线经过P(x,y)、P₂(x₂,y₂)两点，则直线方程为,它不包括垂直于坐标轴直线原点的直线.(5)一般式：任何直线均可写成Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的形式.±1或直线过原点.斜率为或直线过;直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为如：已知在△ABC中，∠ACB=90°,BC=3,AC=4,P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是3;过点A(1,4),且纵横截距设直线方程的一些常用技巧(1)知直线纵截距b,常设其方程为y=kx+b;(2)知直线横截距x₀,常设其方程为x=my+x。(它不适用于斜率为0的直线);(3)知直线过点(x₀,y%),当斜率k存在时，常设其方程为y=k(x-x₀)+y%,当斜率k不存在时，则其方程为x=x₀;(4)与直线1:Ax+By+C=0平行的直线可表示为Ax+By+C₁=0;(5)与直线1:Ax+By+C=0垂直的直线可表示为Bx-Ay+C₁=0.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解；位置关系当不重合的两条直线l₁和l₂的斜率存在时，1₁//l₂⇔k₁=k₂;如果不重合直线l₁和l₂的斜率都不存在，那么它们都与x轴垂直，则1₁l2·平行⇔A,B₂-A₂B₁=0且BC₂-B₂C≠0(在y轴上截距)已知直线1:x+ay+6=和2:(a-2)x+3y+2a=0,则1,111当两条直线l和l₂的斜率存在时，l⊥l₂⇔k·k₂=-1;则另一条斜率为0时，它们垂直.交点两直线的交点就是由两直线方程组组成的方程组的解直线系①过两直线交点的直线系方程可设为A,x+By+C₁+2(4₂x+B₂y+C₂)=0;②与直线1:Ax+By+C=0平行的直线系方程可设为Ax+By+m=0(m≠c);③与直线1:Ax+By+C=0垂直的直线系方程可设为Bx-Ay+n=0.直线与圆的方程点与线距离点点距P(x,y),P₂(x₂,y₂)两点之间的距离|PP₂|=√(x₂-x;)²+(y₂-y)²。点线距点P(x₀,y%)到直线Ax+By+C=0距离公式。Ax+By+C₁=0与Ax+By+C₂=0平行线距离是点重心设三角形△ABC三顶点A(x,),BKx₂,x₂),C(x,y),则重心(*对称点关于直线的对称点的求法点A关于直线L对称的点B:1)AB中点在L上；2)AB垂直直线L;已知一束光线通过点A(-3,5),经直线l:3x-4y+4=0反射。如果反射光线通过点B(2,15),则反射光线所在直线的方程是点(a,b)关于x轴、y轴、原点、直线y=x的对称点分别是(a,-b),(-a,b),(-a,-b),(b,a).对称的曲线方程①点(a,b):f(2a-x,2b-y)=0;②x轴：f(x,-y)=0;③y轴：f(-x,y)=0;④原点：f(-x,-y)=0;⑤直线y=x:f(y,x)=0⑥直线y=-x:f(-y,-x)=0;⑦直线x=a:f(2a-x,y)=0.圆与方程圆定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹。定点叫做圆心、定长叫做半径。提醒：只有当D²+E²-4F>0时，方程x²+y²+Dx+Ey+F=0才表示圆心为,半径的圆x²+y²+Dx+Ey+F=0(D²+EAx²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0表示圆⇔A=C≠0,且B=0,D²+E²-4AF>0).(θ为参数),其中圆心为(a,b),半径为r以A(x₁,y)、B(x₂,y₂)为直径的圆的方程(x-x,)(x-x₂)+(y-y)(y-y₂)=0(AP·BP=0)过(1,2)总能作出两条直线和已知圆x²+y²+kx+2y+k²-15=0相切，求k的取值范围点和圆位置关系的判断①(x₀-a)²+(y₀-b)²>r²⇔点P在圆外；②(x₀-a)²+(y₀-b)²<r²⇔点P在圆内；③(x₀-a)²+(y₀-b)²=r²⇔点P在圆上.相切线与圆圆与圆d=r+r₂或d=|r-r₂|d>r+r₂或d<|r-r₂切线圆上一点的切线方程点P(x₀,y%)在圆x²+y²=r²上，则过点P的切线方程为：x₀x+yoy=r²过圆(x-a)²+(y-b)²=r²上一点P(x₀,y%)切线方程为(x₀-a)x-a)+(₀-bXy-b)=r².过圆外一点的切线方程可设为y-y%=k(x-x。),再利用相切条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线.斜率为k的切线方程可设为y=kx+b,再利用相切条件求b,必有两条切线。弦以点P和圆心为直径构造一个圆，与原来的圆相交，制造相交弦事件圆锥曲线的定义、方程与性质定义标准方程几何性质范围顶点焦点性椭圆平面内与两个定点F₁,F₂的距离之和等于常数2a(大于做椭圆.【b²=a²-c²,a>b】y轴原点椭圆中个双曲线中椭圆焦点三角形：ii.点M是△PFF₂内心，PM交F₁F₂于点N,则!共离心率的椭圆系的方程：方程称为共离心率椭圆系方程.双曲线平面内与两个定点F₁,F₂的距离之差的绝对值等于常数2a(小于|FF₂|=2c)的点的轨迹叫做双曲线。【b²=c²-a²】双曲线焦点三角形：等