2026年天津市北师大版高中数学第5单元函数性质应用模拟试卷

2026年天津市北师大版高中数学第5单元函数性质应用模拟试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-2,4]上的最大值和最小值分别为M和m，则M+m的值为（）A.10B.8C.6D.4解析：首先求导f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，计算f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18，故M=18，m=-10，M+m=8，选B。2.函数g(x)=ln(x²-2x+3)在区间(1,3)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增解析：设t=x²-2x+3，则t在(1,3)上单调递增，又y=ln(t)在(0,+∞)上单调递增，故g(x)在(1,3)上单调递增，选A。3.若函数h(x)=|x-a|+|x-1|的最小值为2，则实数a的取值范围是（）A.a<0B.a>2C.a∈(-∞,0)∪(2,+∞)D.a∈[0,2]解析：|x-a|+|x-1|表示数轴上x到a和1的距离之和，当a<1时，最小值为|a-1|=2，得a=-1；当a>1时，最小值为|a-1|=2，得a=3；故a∈(-∞,0)∪(2,+∞)，选C。4.函数f(x)=x²-2ax+a²+1在x∈[0,2]上的最小值恒为非负数，则实数a的取值范围是（）A.a∈(-∞,-1)∪(3,+∞)B.a∈(-1,3)C.a∈(-∞,-3]∪[1,+∞)D.a∈(-2,2)解析：f(x)在[0,2]上为二次函数，对称轴x=a，当a≤0时，最小值f(0)=a²+1≥0恒成立；当0<a<2时，最小值f(a)=-a²+1≥0，得-1≤a≤1；当a≥2时，最小值f(2)=5-4a≥0，得a≤5/4（舍）；综上a∈(-∞,-1]∪[0,1]，选B。5.已知函数f(x)=x³-3x²+2x+1，若存在x₁,x₂∈R，使得f(x₁)+f(x₂)=0且x₁≠x₂，则实数x₁+x₂的取值范围是（）A.(-∞,-2)∪(2,+∞)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-3,-1)∪(1,3)D.(-∞,-3)∪(3,+∞)解析：f(x)为奇函数等价于f(-x)=-f(x)，即x³-3x²+2x+1=-(x³+3x²-2x-1)，化简得6x²-4=0，无解，故f(x)非奇函数，但f(x₁)+f(x₂)=0⇔f(x₁)=-f(x₂)，由f(x)的图像可知，当x₁+x₂=-2或2时成立，选A。6.函数y=2cos²x-3sinx+1的最小正周期为（）A.πB.2πC.3πD.4π解析：y=2(1-sin²x)-3sinx+1=-2sin²x-3sinx+3，令t=sinx，则y=-2t²-3t+3，t∈[-1,1]时，y在t=-3/4处取得最小值，周期T=2π/|ω|=2π，选B。7.若函数f(x)=x²+2ax+3在x∈[-1,1]上的值域为[1,7]，则实数a的值为（）A.-2B.2C.-2或2D.-4或4解析：f(x)在[-1,1]上为二次函数，对称轴x=-a，若-a∈[-1,1]，最小值f(-a)=a²-2a+3=1，得a=2；若-a<-1，最小值f(-1)=a²+2a+4=7，无解；若-a>1，最小值f(1)=a²+4a+4=7，得a=-3（舍）；综上a=2，选B。8.函数g(x)=|x+1|+|x-2|在区间[-3,3]上的最大值和最小值分别为M和m，则M+m的值为（）A.9B.8C.7D.6解析：分段函数g(x)在x=-1处取得最小值1，在x=2处取得最大值3，故M+m=4+3=7，选C。9.若函数f(x)=x³+px+q在x=1处取得极值，且其图像与直线y=x相切，则p+q的值为（）A.-1B.0C.1D.2解析：f′(1)=3+1+p=0，得p=-4，又f(1)=1+p+q=1，得q=3，p+q=-1，选A。10.函数y=3sin(2x+π/3)的图像向左平移φ(0<φ<π/2)个单位后与y=cos2x的图像重合，则φ的值为（）A.π/6B.π/3C.π/2D.2π/3解析：3sin(2x+π/3)=3cos(2x-π/6)，向左平移φ后得3sin[2(x+φ)+π/3]=3cos2x，即2φ+π/3=2kπ，得φ=kπ-π/6，取k=1得φ=5π/6（舍），k=0得φ=-π/6（舍），k=2得φ=11π/6（舍），取φ=π/6，选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+1的极值点为_________解：f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1，f(-1)=1，f(1)=-1，故极值点为-1和1。2.函数y=2cosx-sin²x在[0,π]上的最大值为_________解：y=2cosx-(1-cos²x)=cos²x+2cosx-1，令t=cosx，x∈[0,π]⇒t∈[-1,1]，y=t²+2t-1在t=1时取得最大值2。3.若函数f(x)=|x-1|+|x+a|的最小值为3，则实数a的值为_________解：当x=1时，f(1)=|a+1|=3，得a=2或a=-4。4.函数g(x)=x²-2ax+a²+1在x∈[0,2]上的最小值为_________解：对称轴x=a，若a≤0，最小值f(0)=a²+1；若0<a<2，最小值f(a)=-a²+1；若a≥2，最小值f(2)=5-4a，综上最小值为min{a²+1,-a²+1,5-4a}。5.函数y=3sin(2x+φ)的图像关于直线x=π/4对称，则φ的值为_________解：2×π/4+φ=kπ+π/2，得φ=kπ-π/4，取k=1得φ=3π/4。6.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的值域为_________解：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，f(-1)=-4，f(0)=0，f(2)=-2，f(3)=0，值域为[-4,3]。7.函数y=|x+1|+|x-1|的图像与直线y=kx+2相交于两点，则实数k的取值范围是_________解：分段函数y=2,x∈(-∞,-1)；y=2x,x∈[-1,1]；y=-2x,x∈(1,+∞)，当y=2x与y=2相交时，k=1；当y=-2x与y=2x相交时，k=-1，故k∈(-1,1)。8.函数f(x)=x³-px+q在x=1处取得极大值，且f(0)=1，则p+q的值为_________解：f(0)=q=1，f′(1)=3-1-p=0，得p=2，p+q=3。9.函数y=2cos²x-3sinx+1的最小正周期为_________解：y=-2sin²x-3sinx+3，周期T=2π/|ω|=2π。10.函数f(x)=x³-3x²+2x在x∈[-1,1]上的最大值为_________解：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，f(-1)=-4，f(0)=0，f(1)=-1，最大值为0。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，则f(x)在(a,b)上也单调递增。正确/错误解：单调性在开闭区间上等价，正确。2.函数y=|x|在R上处处可导。正确/错误解：x=0处不可导，错误。3.若函数f(x)在x=c处取得极值，则f′(c)=0。正确/错误解：极值点处导数为0或导数不存在，正确。4.函数y=cos²x在[0,π]上单调递减。正确/错误解：y=1/2+1/2cos2x，在[0,π/2]上递减，[π/2,π]上递增，错误。5.函数f(x)=x³-3x+1的图像关于原点对称。正确/错误解：f(-x)=-x³+3x-1≠-f(x)，错误。6.函数y=2sin(2x+π/3)的图像向左平移π/6个单位后与y=sinx的图像重合。正确/错误解：2x+π/3+π/6=2kπ+π/2，得x=kπ-π/6，错误。7.函数f(x)=|x-a|+|x-1|的最小值为|a-1|。正确/错误解：最小值为max{|a-1|,|a+1|}，错误。8.函数y=3sin(2x+φ)的图像关于直线x=π/4对称，则φ=π/4。正确/错误解：2×π/4+φ=kπ+π/2，得φ=π/4，正确。9.函数f(x)=x³-px+q在x=1处取得极值，则p-q=1。正确/错误解：f′(1)=3-1-p=0，得p=2，f(1)=1-p+q=0，得q=1，p-q=1，正确。10.函数y=|x+1|+|x-1|在R上单调递增。正确/错误解：分段函数在R上单调递增，正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的极值点。解：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，f(-1)=-4，f(0)=0，f(2)=-2，f(3)=0，极值点为0和2。2.求函数y=2cos²x-sin²x在[0,π/2]上的最大值和最小值。解：y=cos²x+1，x∈[0,π/2]⇒y∈[1,2]，最大值2，最小值1。3.若函数f(x)=|x-a|+|x-1|的最小值为2，求实数a的取值范围。解：|a-1|=2，得a=3或a=-1。4.求函数g(x)=x²-2ax+a²+1在x∈[0,2]上的最小值。解：对称轴x=a，若a≤0，最小值f(0)=a²+1；若0<a<2，最小值f(a)=-a²+1；若a≥2，最小值f(2)=5-4a。5.求函数y=3sin(2x+π/3)的最小正周期。解：周期T=2π/|ω|=π。6.求函数f(x)=x³-3x²+2x在x∈[-1,1]上的值域。解：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，f(-1)=-4，f(0)=0，f(1)=-1，值域为[-4,0]。7.求函数y=|x+1|+|x-1|在R上的单调区间。解：单调增区间为(-∞,-1]∪[1,+∞)，单调减区间为(-1,1)。8.求函数f(x)=x³-px+q在x=1处取得极大值，且f(0)=1的p、q值。解：f(0)=q=1，f′(1)=3-1-p=0，得p=2，p=2，q=1。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，若存在x₁,x₂∈R，使得f(x₁)+f(x₂)=0且x₁≠x₂，求x₁+x₂的取值范围。解：f(x)为奇函数等价于f(-x)=-f(x)，但f(x)非奇函数，由f(x₁)+f(x₂)=0⇔f(x₁)=-f(x₂)，由f(x)的图像可知，当x₁+x₂=-2或2时成立，取值范围为{-2,2}。2.已知函数g(x)=|x-a|+|x-1|的最小值为2，求实数a的取值范围。解：|a-1|=2，得a=3或a=-1。3.已知函数h(x)=x²-2ax+a²+1在x∈[0,2]上的最小值恒为非负数，求实数a的取值范围。解：对称轴x=a，若a≤0，最小值f(0)=a²+1≥0恒成立；若0<a<2，最小值f(a)=-a²+1≥0，得-1≤a≤1；若a≥2，最小值f(2)=5-4a≥0，得a≤5/4（舍）；综上a∈(-∞,-1]∪[0,1]。4.已知函数f(x)=x³-px+q在x=1处取得极值，且其图像与直线y=x相切，求p+q的值。解：f′(1)=3-1-p=0，得p=2，又f(1)=1+p+q=1，得q=-3，p+q=-1。5.已知函数y=3sin(2x+π/3)的图像向左平移φ(0<φ<π/2)个单位后与y=cos2x的图像重合，求φ的值。解：3sin[2(x+φ)+π/3]=3cos2x，2φ+π/3=2kπ，得φ=kπ-π/6，取k=1得φ=5π/6（舍），k=0得φ=-π/6（舍），取φ=π/6。6.已知函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的值域为[1,7]，求实数a的取值范围。解：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，f(-1)=-4，f(0)=0，f(2)=-2，f(3)=0，值域为[-4,3]，与题设矛盾，无解。7.已知函数g(x)=|x+1|+|x-1|在R上单调递增，求实数a的取值范围。解：分段函数g(x)在R上单调递增，对称轴x=0，若a≤0，最小值f(0)=a²+1≥0恒成立；若0<a<2，最小值f(a)=-a²+1≥0，得-1≤a≤1；若a