第16讲简单多面体球与组合体示范课

知识梳理高考速递典例精析简单多面体、球与组合体第十六讲1知识梳理多面体是考察空间位置关系、角与距离等知识的载体，因此考生应当理解多面体(棱柱、棱锥、正多面体、组合体)的定义与有关概念、性质、面积公式、体积公式，熟悉多面体中常见的平行与垂直关系，会求多面体中常见的线面角(例如棱锥的侧棱与底面所成的角)、二面角等.2(1)球的很多问题都是通过球的截面"平面化"后，转化为圆的问题来解决的，重点是结合图形，区别好大圆与小圆，提高空间想象能力；(2)经线、纬线是解决与地理有关的球的问题的基本概念，要理解这些知识，并能合理利用经度与纬度来解题.在解决球面距离问题时，熟练掌握求经过两点的"大圆上的劣弧长"的方法；(3)求球的表面积、体积，求两点的球面距离，组合体等问题时，常常把球中的问题转化为相应的轴截面来处理，有时还利用圆的有关性质、正弦定理和余弦定理来解决球的问题.球是近几年高考的一种热点(湖南高考近三年均出现了)，重要考察了球面距离，球与多面体的切、接构成的组合体问题、截面问题、面积、体积的计算等，惯用的解题办法有：31.(2008·全国卷Ⅱ)如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC.(1)证明：A1C⊥平面BED；(2)求二面角A1-DE-B的大小.高考速递4由于A1C与平面BED内两条相交直线BD、EF都垂直,依题设知，AB=2，CE=1.(1)证明：连结AC交BD于点F，则BD⊥AC.由三垂线定理知，BD⊥A1C.在平面A1CA内，连结EF交A1C于点G,故Rt△A1AC∽Rt△FCE,∠AA1C=∠CFE,则∠CFE与∠FCA1互余.于是A1C⊥EF.因此A1C⊥平面BED.解法１由于,5所以二面角A1-DE-B的大小为由三垂线定理知A1H⊥DE，故∠A1HG是二面角A1-DE-B的平面角.(2)作GH⊥DE，垂足为H，连结A1H、HG.6解法2以D为坐标原点，射线DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz.因此A1C⊥平面BED.zyx依题设知，B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4).(1)证明：由于A1C·DB=0,A1C·DE=0,故A1C⊥BD，A1C⊥DE.又BD∩DE=D，7则.(2)

设向量n=(x,y,z)是平面DA1E的法向量，,故则令y=1,则z=－2,x=4,故n=(4,1,－2).又由(1)知，A1C⊥平面BED故等于二面角A1-DE-B的平面角，所以二面角A1-DE-B的大小为zyx8典例精析【分析】

此题可运用特殊位置法化难为易则平面α球得到一种大圆.设公共弦为AB，故选C.则AB为另一种截面圆的直径,即AB的中点为其圆心，d=【解析】可设其中一种平面α过球心O，例1（1）(2008·全国卷Ⅱ)已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得到两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于()

A.1B.C.D.2

C39例1(2)(2006·湖南卷)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是()

A.B.C.D.【分析】精确拟定截面圆在原图中的位置.【解析】由题意得知：截面过正四周体的两个顶点，故选C.EF为△BEC边BC上的高，从而.故

EC=.ABcDEFC10

例２如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠A1AB=∠A1AC，AB=AC，A1A=A1B=a，侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120°，E、F分别是棱B1C1、A1A的中点.(1)求A1A与底面ABC所成的角；(2)证明A1E∥平面B1FC；(3)求经过A1、A、B、C四点的球的体积.ABcFE【分析】本题是一道立体几何的综合题，以三棱柱为载体，考察了线面角、线面平行、外接球等内容.本题中求外接球的体积核心是根据已知条件拟定外接球的球心，再求出半径.11因此A1A与底面ABC所成的角为60°.解析(1)

过A1作A1H⊥平面ABC，垂足为H.连结AH，并延长交BC于G，连结EG，于是∠A1AH为A1A与底面ABC所成的角.由于∠A1AB=∠A1AC，因此AG为∠BAC的平分线.又AB=AC，则AG⊥BC，且G为BC的中点.由三垂线定理得A1A⊥BC.由于A1A∥B1B，且EG∥B1B,因此EG⊥BC.于是∠AGE为二面角A-BC-E的平面角，即∠AGE=120°.由四边形A1AGE为平行四边形，得∠A1AG=60°.HABcFE1BG12因此A1E∥平面B1FC.(2)证明:设EG与B1C的交点为P，则点P为EG的中点，连结PF.在平行四边形AGEA1中，由于F为A1A的中点，故A１E∥FP.而FP平面B1FC，A1E平面B1FC，HABcFE1BGP13设所求球的球心为O，O∈A1H，HABcFEGP在Rt△A1FO中,则△A1AC≌△A1AB，故A1C=A1B.由已知得A1A=A1B=A1C=a.又由于A1H⊥平面ABC，因此H为△ABC的外心.且球心O与A1A的中点F的连线OF垂直A1A.V=球的体积

故所求球的半径R=a在△A1AC和△A1AB中，(3)连结A1C.由于

AC=AB,∠A1AC=∠A1AB,A1A=A1A，14变式训练(1)如图，三棱锥A-BCD的两条棱AB、CD满足AB=CD=6，其它各棱长均为5，求三棱锥的内切球的半径；(2)若正四周体的四个顶点都在表面积为36π的一种球面上,求这个四周体的高.BcDA典例精析15BcDEA又AE⊥CD，BE⊥CD，则CD⊥平面ABE.(1)取CD的中点E，连结AE、BE.由于AC=AD，CE=ED，所以在Rt△ACE中，同理，可得BE=4.在△ABE中，因为AB=6，所以AB边上的高为所以又S全=S△ABC×4=48,因此内切球的半径为解析故由S全·R=VA-BCD,得R=.S△ABE=所以16即正四周体的高为4.(2)如右图，设四面体的边长为x，球的半R，则

由

得R=3.ABCOSH①

②①

②17

球与多面体的切、接问题，要弄清位置关系，选择最佳角度作出截面，以使空间问题能转化为平面问题解决.【回想与反思】

另外，求内切球的半径时，等体积法是一种常见方法.18备选例题半径为R的四个球两两相外切，第五个球与这四个球都外切，求这个球的表面积.典例精析H..四个相似的球两两外切，可知它们的球心为一种正四周体的四个顶点.第五个球的球心应为正四周体的外接