用相似三角形解决问题-巩固练习

用相似三角形解决问题—巩固练习相似三角形，作为平面几何中的重要工具，其魅力不仅在于逻辑的严谨，更在于其广泛的应用性。从简单的线段长度计算到复杂的实际问题解决，相似三角形都扮演着不可或缺的角色。通过之前的学习，我们已经掌握了相似三角形的判定方法与基本性质。现在，让我们通过一系列有针对性的巩固练习，进一步深化理解，提升运用相似三角形解决实际问题的能力。一、知识回顾与要点提示在开始练习之前，让我们简要回顾一下相似三角形的核心知识：1.相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似比（或相似系数）是指相似三角形对应边的比值。2.相似三角形的判定：*两角分别相等的两个三角形相似。*两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。*三边成比例的两个三角形相似。3.相似三角形的性质：*对应角相等，对应边成比例。*对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。*周长的比等于相似比。*面积的比等于相似比的平方。解题关键：在复杂图形中准确识别出相似三角形，并灵活运用其判定与性质，是解决问题的核心。特别要注意寻找公共角、对顶角、平行线所形成的同位角、内错角等，这些往往是判定三角形相似的突破口。二、巩固练习练习一：基础应用——利用相似求线段长度题目：如图1，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC。若AD=2，DB=3，AE=4，求EC的长。思路分析：由DE∥BC，根据“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”的判定定理，可直接得出△ADE与△ABC相似。再利用相似三角形对应边成比例的性质，即可建立方程求解EC。解答过程：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似，此处∠A为公共角，∠ADE=∠B，∠AED=∠C)。∴AD/AB=AE/AC。∵AD=2，DB=3，∴AB=AD+DB=2+3=5。设EC=x，则AC=AE+EC=4+x。∴2/5=4/(4+x)。解得：2(4+x)=5×48+2x=202x=12x=6。故EC的长为6。练习二：综合应用——利用相似解决比例线段问题题目：如图2，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高。求证：AC²=AD·AB。思路分析：要证明AC²=AD·AB，即证明AC/AD=AB/AC，这暗示我们需要找到包含AC、AD、AB的两个相似三角形。在直角三角形中，斜边上的高将原三角形分成两个与原三角形相似的小直角三角形，这是一个非常重要的基本图形（“母子三角形”）。因此，可尝试证明△ACD与△ABC相似。解答过程：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，∴∠ADC=∠ACB=90°。又∵∠A是△ACD和△ABC的公共角，∴△ACD∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)。∴AC/AB=AD/AC(相似三角形对应边成比例)。∴AC²=AD·AB(交叉相乘得)。证毕。练习三：实际应用——利用相似测量高度题目：小明想测量学校旗杆的高度。他在某一时刻测得直立于地面的1米长标杆的影长为0.8米，同时测得旗杆的影长为8米。请你帮小明计算旗杆的高度。思路分析：在同一时刻，太阳光线可以近似看作平行光线。因此，标杆与其影子、旗杆与其影子分别构成两个相似的直角三角形。利用相似三角形对应边成比例的性质，即可求出旗杆高度。解答过程：设旗杆的高度为h米。∵同一时刻，太阳光线平行，∴标杆与其影子构成的Rt△A'B'C'（A'B'=1米，B'C'=0.8米）与旗杆与其影子构成的Rt△ABC（AB=h米，BC=8米）相似。即△A'B'C'∽△ABC。∴A'B'/AB=B'C'/BC。∴1/h=0.8/8。解得：0.8h=1×8h=8/0.8h=10。故旗杆的高度为10米。练习四：拓展提升——动态与相似的结合题目：如图3，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4。点P从点A出发沿AB方向向点B匀速运动，速度为1单位/秒；同时点Q从点B出发沿BC方向向点C匀速运动，速度为1单位/秒。连接PQ。设运动时间为t秒（0<t<3）。当t为何值时，△PBQ与△ABC相似？思路分析：这是一个动态问题，P、Q两点同时运动，导致△PBQ的形状和大小在变化。要使△PBQ与△ABC相似，需根据相似三角形的判定条件进行分类讨论。已知∠B是两个三角形的公共角，因此可考虑“两边成比例且夹角相等”的判定方法，即BP/BA=BQ/BC或BP/BC=BQ/BA。解答过程：由题意知：AP=t，BQ=t。∵AB=5，∴BP=AB-AP=5-t。BC=3，AC=4，易知AB²=5²=25，AC²+BC²=4²+3²=16+9=25，∴AB²=AC²+BC²，故△ABC是直角三角形，∠C=90°。但本题中∠B是公共角。要使△PBQ与△ABC相似，且∠B为公共角，则有两种情况：情况一：BP/BA=BQ/BC即(5-t)/5=t/33(5-t)=5t15-3t=5t8t=15t=15/8=1.875。情况二：BP/BC=BQ/BA即(5-t)/3=t/55(5-t)=3t25-5t=3t8t=25t=25/8=3.125。∵0<t<3，而t=3.125>3，故情况二不符合题意，舍去。∴当t=15/8秒时，△PBQ与△ABC相似。三、总结与提升通过以上练习，我们可以看出，运用相似三角形解决问题，首先要仔细观察图形，准确识别相似三角形的模型，如“A”型、“X”型、母子型等。其次，要熟练掌握相似三角形的判定定理和性质，并能根据题目条件灵活选择和运用。对于综合性问题，要注意分类讨论思想的应用，确保不遗漏任何可能的情况。在实际解题中，辅助线的添加也至关重要，例