五年级数学上册《最大公因数的意义与求法》教学设计

五年级数学上册《最大公因数的意义与求法》教学设计

一、课标、教材与学情三位一体分析

（一）课标依据与素养指向

本节课内容属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域第二学段（4-6年级）“数的认识”与“数的运算”主题的交叉部分。课标明确要求：“探索2，3，5的倍数的特征，了解公倍数和最小公倍数，了解公因数和最大公因数。”本节课的核心素养导向明确：数感、推理意识、模型意识和应用意识。学生需要在具体情境中抽象出公因数和最大公因数的概念，经历探索求最大公因数方法的过程，归纳其基本特征，并能在解决实际问题的情境中构建数学模型，进行合情推理与初步演绎推理。

（二）教材内容与结构定位

在北师大版五年级数学上册第三单元《倍数与因数》的编排体系中，本课处于承前启后的关键节点。在此之前，学生已经熟练掌握了因数和倍数的概念，并能熟练找出一个数的全部因数，这为本节课的学习提供了直接的知识基础。本节课之后，学生将学习约分，而约分的核心步骤即是分子分母同时除以它们的最大公因数。因此，深刻理解并熟练求解最大公因数，是构建完整“因数-公因数-约分”知识链条的核心枢纽。教材通过“铺地砖”、“找共同因数”等实际问题引入概念，然后引导学生探索求两个数公因数和最大公因数的方法，重在体现数学与生活的联系及方法多样化。

（三）学情诊断与认知起点

五年级学生的逻辑思维能力正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们已具备：

1.知识基础：能准确、有序地找出一个数的所有因数，理解因数与倍数的相互依存关系。

2.能力倾向：具备初步的观察、比较、归纳能力，能够在教师引导下进行小组合作探究。

3.潜在困难与迷思概念：

1.4.对“公”字的数学内涵理解可能停留在生活语义层面，难以抽象为“共有”、“公共”的数学属性。

2.5.在寻找公因数时可能出现遗漏，尤其是对于因数个数较多的数，思维的条理性面临挑战。

3.6.容易混淆“最大公因数”与“最小公倍数”的概念与应用场景。

4.7.对于两种数关系（互质关系、倍数关系、一般关系）下最大公因数的特点缺乏系统性的感知与总结。

基于此，教学设计的重心在于创设有效情境，促进概念的本质理解；设计层次性探究活动，引导方法的内化与优化；并贯穿对比与辨析，澄清概念网络。

二、学习目标与重难点预设

（一）学习目标

1.在解决实际问题的具体情境中，理解公因数和最大公因数的意义，明确其现实背景与数学价值，发展数感和模型意识。

2.经历探索求两个数的公因数和最大公因数方法的全过程，通过独立思考、合作交流，掌握列举法、筛选法、短除法（介绍性了解）等多种策略，并能根据数的特征灵活选择简便方法，发展推理意识和策略意识。

3.能运用公因数和最大公因数的知识解决简单的实际问题，体会数学与日常生活的紧密联系，提升应用意识。

4.在探究过程中，感受数学思考的条理性与严谨性，体验数学学习的探索乐趣与合作价值。

（二）教学重难点

1.教学重点：理解公因数和最大公因数的意义；掌握求两个数最大公因数的基本方法。

2.教学难点：理解公因数和最大公因数的本质属性（即两个数公共因数的集合中的最大者）；探索并理解求最大公因数的多种方法及其内在联系；能根据具体情境灵活运用概念和方法解决问题。

三、教学理念与策略选择

本设计秉持“以学生为中心，以问题为导向，以素养为旨归”的教学理念，贯彻以下策略：

1.情境驱动，概念建构：创设真实的、富有挑战性的问题情境，驱动学生产生认知冲突和探索需求，在解决问题的过程中主动建构数学概念，实现“数学化”过程。

2.探究本位，方法多样：将课堂还给学生，设计开放性的探究任务，鼓励学生运用已有知识，通过独立思考、小组合作等多种路径探索求最大公因数的方法，尊重并欣赏方法的多样性，在交流比较中实现方法的优化与内化。

3.技术赋能，直观支撑：合理运用几何直观（如方格纸、拼图）和信息技术（动态演示），帮助学生将抽象的数的关系可视化，降低思维坡度，深化概念理解。

4.联系对比，结构生成：将新知识（公因数）与旧知识（因数）进行结构化联系，将易混概念（最大公因数与最小公倍数）进行系统性对比，引导学生在知识网络中定位新学内容，构建良好的认知结构。

5.分层应用，拓展思维：设计基础性、综合性、拓展性等多层次的应用练习，满足不同学生的学习需求，在解决实际问题的过程中实现思维的进阶与素养的提升。

四、教学准备与资源支持

1.教师准备：多媒体课件（含情境动画、互动练习、方法演示等）；探究学习任务单；用于板贴的卡片（数字、因数集合图等）。

2.学生准备：课前复习如何找出一个数的所有因数；方格纸（或印有方格的学习单）；直尺。

3.环境准备：学生4-6人为一合作小组，便于开展讨论与探究活动。

五、教学过程实施与评析

第一课时：概念建构与方法初探

（一）情境激疑，提出问题（预计用时：8分钟）

1.情境呈现：

课件动态出示：小明家准备将贮藏室地面铺上正方形地砖。贮藏室长16分米，宽12分米。市场上有多种边长为整分米的正方形地砖（边长从1分米到6分米不等）。

2.问题驱动：

师：请同学们担任“家装设计师”，帮小明家选择合适的地砖。要求地砖必须是正方形，边长为整分米数，并且铺设时要用整块的地砖，不能切割。你可以选择边长是多少分米的地砖呢？请将你的想法在准备好的方格纸上画一画、算一算。（方格纸每格代表1平方分米，长16格，宽12格）

3.自主尝试与初步感知：

学生独立操作（画图或计算），教师巡视，选取不同方案（如边长1dm,2dm,4dm等）的学生代表准备分享。

4.交流分享，聚焦核心：

生1：我选边长1分米的地砖，沿着长边能铺16块，宽边能铺12块，一共需要16×12=192块，正好铺满。

生2：我选边长2分米的地砖，长边铺16÷2=8块，宽边铺12÷2=6块，也正好铺满。

生3：我试了边长3分米的地砖，16÷3除不尽，不行。

生4：我试了边长4分米的地砖，16÷4=4，12÷4=3，可以。

生5：边长5分米、6分米都不行。

师：（板书可行的边长：1，2，4）为什么边长是1、2、4分米的地砖就能恰好铺满，而3、5、6分米就不行呢？这背后的数学道理是什么？

引导学生发现：地砖边长要能同时整除贮藏室的长（16）和宽（12）。换句话说，地砖边长必须是16的因数，也必须是12的因数。

师：既是16的因数，又是12的因数，这样的数，我们给它起个什么名字好呢？

自然引出“公因数”的概念。揭示课题：今天我们就来研究两个数“公有的因数”——公因数，以及其中最大的那个——最大公因数。

设计意图评析：从真实的“铺地砖”问题切入，将抽象的数学概念植根于具体情境。学生通过画图、计算等操作活动，亲身感知“正好铺满”的条件限制，为理解“公因数”概念积累了丰富的感性经验。“起名字”环节，激发学生参与概念生成的主动性，使概念学习自然而不生硬。

（二）合作探究，建构概念（预计用时：15分钟）

1.任务一：揭示概念内涵

师：我们已经找到了16和12的公因数有1、2、4。你能用集合图的方式清晰表示出16的因数、12的因数以及它们的公因数吗？请小组合作完成。

学生在任务单上分别写出16的所有因数（1，2，4，8，16）和12的所有因数（1，2，3，4，6，12），尝试用两个相交的集合圈表示。

展示学生作品，规范韦恩图的画法。明确交集部分{1,2,4}就是16和12的公因数。其中最大的公因数是4。

师：4就是16和12的最大公因数。我们可以用“（16，12）=4”来表示。请齐读：16和12的最大公因数是4。

师：回到地砖问题，如果只考虑铺得整齐美观，不考虑价格，你会建议小明家选择边长多少的地砖？为什么？（选择边长4分米的，因为用的地砖块数最少，更省事美观。）这体现了最大公因数在解决最优化问题中的应用价值。

2.任务二：深化概念理解

师：请再找一找下面每组数的公因数和最大公因数。

（1）6和9

（2）5和7

（3）8和16

学生独立完成，小组交流。

全班反馈：

组（1）：6的因数：1,2,3,6；9的因数：1,3,9；公因数：1,3；最大公因数：3。

组（2）：5的因数：1,5；7的因数：1,7；公因数：1；最大公因数：1。

师：像5和7这样，公因数只有1的两个数，我们称它们为“互质数”。它们的最大公因数就是1。

组（3）：8的因数：1,2,4,8；16的因数：1,2,4,8,16；公因数：1,2,4,8；最大公因数：8。

师：观察这组数，8和16是什么关系？（倍数关系）当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是谁？（较小的那个数）为什么？

引导学生总结发现：两个数互质，最大公因数是1；两个数成倍数关系，最大公因数是较小的数。

设计意图评析：韦恩图的引入，将集合思想直观地应用于因数研究，帮助学生清晰把握公因数的“公共”属性。通过三组具有典型关系的数的练习，让学生在对比中发现规律，不仅加深了对公因数概念的理解，更初步感知了特殊情况下求最大公因数的简便方法，为后续方法优化埋下伏笔。联系情境解释选择边长4分米地砖的合理性，使概念学习回归应用，体现数学价值。

（三）探索方法，发展思维（预计用时：12分钟）

1.方法初探：列举法

师：我们是如何找出16和12的最大公因数的？回顾一下步骤。

师生共同梳理：先分别找出两个数所有的因数，再找出它们公有的因数，最后确定最大的公有因数。这种方法叫做“列举法”。

板书：列举法：一列举，二找公，三定大。

巩固练习：用列举法找出18和27的最大公因数。学生独立练习后汇报，强调有序、不遗漏。

2.方法优化：筛选法

师：用列举法求最大公因数，步骤清晰，但有时略显繁琐。比如求36和54的最大公因数，它们的因数都比较多。有没有更快捷的方法呢？请观察，要找的是“最大”的公因数，我们是否一定要先找出所有的公因数？

启发：可以从较大的数的因数中，按从大到小的顺序去“筛选”，看它是否也是另一个数的因数。

以36和54为例演示：先想54的因数中较大的有哪些？54本身是吗？（54不是36的因数）27是吗？（27不是36的因数）18是吗？（18是36的因数吗？36÷18=2，是！）所以，18就是36和54的最大公因数。

师：这种方法，我们称之为“筛选法”。它的关键是“从大到小试”。当两个数较大时，筛选法有时更高效。

尝试练习：用筛选法找出60和48的最大公因数。

3.方法拓展：短除法（介绍性了解）

师：数学上还有一种更通用、更简洁的求最大公因数的方法，叫做“短除法”。它就像除法竖式的一种变体。

课件动态演示用短除法求18和27最大公因数的过程：

1.4.先用18和27公有的因数3去除，18÷3=6，27÷3=9；

2.5.再用所得的6和9公有的因数3去除，6÷3=2，9÷3=3；

3.6.直到所得的商（2和3）只有公因数1为止。

4.7.把所有的除数乘起来：3×3=9，得到（18，27）=9。

师：短除法的原理是“用公有质因数连续去除”，它不仅能求出最大公因数，还能帮助我们更深入地理解两个数的因数构成。现阶段我们主要了解它的形式和基本步骤，未来学习了质因数分解后，会理解得更透彻。感兴趣的同学可以在课后深入研究。

设计意图评析：方法教学遵循“基本—优化—拓展”的层次。首先扎实掌握基础且通用的列举法，确保所有学生掌握基本技能。进而引导学生反思列举法的不足，自然产生优化需求，自主探索或接受更高效的筛选法，培养策略意识和优化思想。短除法作为拓展性内容引入，不要求所有学生掌握，但为学有余力的学生打开一扇窗，体现分层教学理念，也建立了与后续知识的联系。

（四）巩固应用，内化新知（预计用时：5分钟）

1.基础应用：找出下面每组数的最大公因数。

（1）10和15（2）14和28（3）9和10

要求：先判断两个数的关系，再选择合适的方法快速求出最大公因数。

反馈时，重点让学生说清判断依据和方法选择理由。

2.情境应用：有两根木料，一根长18米，另一根长24米。现在要把它们锯成同样长的小段，每段必须是整米数，且没有剩余。每段最长可以是多少米？一共能锯成多少段？

引导学生将“同样长”、“整米数”、“没有剩余”转化为求18和24的公因数问题，“最长”即求最大公因数。（18，24）=6。总段数：(18÷6)+(24÷6)=7段。

设计意图评析：基础练习强调对特殊关系的识别和方法的灵活选择，促进知识向技能的转化。情境应用题是“铺地砖”问题的变式，旨在检验学生能否从新情境中抽象出最大公因数模型，实现知识的迁移应用。通过对比“铺地砖”和“锯木料”，提炼其共同数学模型，强化模型意识。

第二课时：综合应用与思维拓展

（一）回顾梳理，构建网络（预计用时：5分钟）

师：上节课我们认识了公因数和最大公因数，学会了哪些求法？它们各自有什么特点？

师生共同梳理：

1.概念：公因数（公有），最大公因数（最大）。

2.关系特例：互质→最大公因数是1；倍数→最大公因数是较小数。

3.方法：

1.4.列举法：通用，清晰，适合数小。

2.5.筛选法：高效，适合找最大，需有序思考。

3.6.短除法：通用，简洁，为后续学习奠基。

师：今天，我们将运用这些知识去解决更复杂、更有趣的问题。

（二）分层练习，深化理解（预计用时：20分钟）

1.综合层：

（1）判断对错，并说明理由。

*两个不同的质数，它们的最大公因数是1。（）

*所有偶数的最大公因数是2。（）

*1和任何非零自然数的最大公因数都是1。（）

*两个数的最大公因数一定比这两个数都小。（）（针对“8和16”反例）

（2）填空。

*A=2×3×5，B=2×5×7，那么A和B的最大公因数是（）。（渗透用公有质因数乘积求最大公因数的思想）

*一个数既是36的因数，又是60的因数，这个数最大是（）。

2.应用层：

（1）分组问题：五年级一班有男生24人，女生18人。体育课上，老师要将男、女生分别分成若干小组进行活动，要使每组人数相同，每组最多可以有几人？这时男、女生分别被分成了几组？

（关键：男生组内人数是24的因数，女生组内人数是18的因数，且要“相同”和“最多”，即求24和18的最大公因数。（24,18）=6。男生组数：24÷6=4；女生组数：18÷6=3。）

（2）裁纸问题：一张长方形彩纸，长60厘米，宽45厘米。要把它裁成大小相等的正方形小纸片，且没有剩余。小正方形的边长最大是多少厘米？至少能裁出多少块？

（与基础情境类似，但增加了“至少多少块”，需先求最大公因数（60,45）=15，再求块数(60÷15)×(45÷15)=12块。）

3.拓展层：

（1）探索规律：观察下面每组数的最大公因数，你有什么发现？

*（3，5）=1（6，10）=2（9，15）=3（12，20）=4

*（4，9）=1（8，18）=2（12，27）=3（16，36）=4

引导学生发现：如果两个数同时扩大相同的倍数（0除外），它们的最大公因数也扩大相同的倍数。或者说，如果A和B的最大公因数是C，那么aA和aB的最大公因数就是aC。

（2）挑战问题：有三根铁丝，长度分别是12米、18米和30米。现在要把它们截成同样长的小段，每段最长几米？一共可以截成多少段？

（从求两个数的最大公因数延伸到求三个数的最大公因数。引导学生类比迁移：先求12和18的最大公因数6，再求6和30的最大公因数6，所以每段最长是6米。总段数：(12+18+30)÷6=10段。此题为选做，供学有余力者挑战。）

设计意图评析：分层练习设计满足不同认知水平学生的需求。综合层通过辨析和填空，深化对概念内涵、外延及与相关概念（质数、偶数）关系的理解。应用层设计“分组”、“裁纸”等贴近学生生活的新情境，巩固建模能力。拓展层引导学生探索数学规律，并尝试解决三个数的最大公因数问题，实现思维的纵向延伸，培养探究精神和初步的归纳推理能力。

（三）联系对比，融会贯通（预计用时：8分钟）

师：我们学习了最大公因数，以后还会学习最小公倍数。它们之间有什么联系和区别呢？让我们通过一个具体例子来初步感知。

出示：求12和18的最大公因数和最小公倍数。（后续知识，此处仅作初步感知）

引导学生利用已学知识找出12和18的公因数{1,2,3,6}，最大公因数是6。

师：猜想一下，什么是公倍数？什么是最小公倍数？请你试着找出12和18的几个公倍数，看看最小的那个是多少。

学生尝试列举：12的倍数有12,24,36,48...；18的倍数有18,36,54...；发现36既是12的倍数又是18的倍数，且是其中最小的一个。

师：36就是12和18的最小公倍数。请观察，最大公因数6和最小公倍数36之间，和原来的两个数12、18之间，有没有什么关系？大胆猜一猜。

（学生可能发现：6×36=216，12×18=216。即：两数之积=最大公因数×最小公倍数。此规律可作为趣味发现，不作硬性要求，旨在建立知识联系，激发后续学习兴趣。）

师：在应用上，最大公因数常用于解决“分物”、“裁切”这类“等分、整除”问题；而最小公倍数常用于解决“相遇”、“周期”这类“重合、同时”问题。我们在以后的学习中会深入体会。

**设计意图评析**：在单元内进行前瞻性对比联系，将最大公因数置于“因数与倍数”更大的概念体系中进行审视。通过具体实例的初步感知，帮助学生区分易混概念，并激发对两者关系的猜想，为后续学习最小公倍数做好认知和心理上的铺垫，促进知识网络的形成。

（四）总结反思，评价提升（预计用时：7分钟）

1.知识盘点：通过今天的学习，你对公因数和最大公因数有了哪些新的认识？在解决问题的方法和策略上有什么收获？

2.自我评价：

1.3.我能清晰说出公因数和最大公因数的意义。☆☆☆☆☆

2.4.我能根据数的特点，灵活选择合适的方法求出两个数的最大公因数。☆☆☆☆☆

3.5.我能发现并利用互质、倍数等关系快速判断最大公因数。☆☆☆☆☆

4.6.我能将生活中的“等分、整除”问题转化为求最大公因数的问题并解决。☆☆☆☆☆

学生进行自我涂星评价。

7.课后延伸：

1.8.必做：完成教材课后练习，并搜集一个生活中应用最大公因数解决问题的实例。

2.9.选做：（1）研究用“短除法”求两个较大数（如72和96）的最大公因数。（2）探索：如果两个数的和是50，它们的最大公因数是5，那么这两个数可能是多少？（有多种可能）

设计意图评析：引导学生从知识和策略方法两个维度进行总结，促进元认知发展。设计多维度的自我评价量表，将学习目标具体化、可视化，帮助学生清晰了解自己的学习状况，发挥评价的激励与导向作用。分层作业设计既保障基础巩固，又提供探究空间，满足个性化发展需求。生活实例的搜集任务，引导学生用数学眼光观察世界，持续培养应用意识。

六、板书设计规划

（第一课时板书）

找最大公因数

一、意义

公因数：两个数公有的因数。

最大公因数：公因数中最大的一个。

例：16和12

16的因数：1,2,4,8,16

12的因数：1,