高一数学培优课 空间角的求法

培优课空间角的求法

课标要求1.理解异面直线所成的角、直线与平面所成角、二面角的概念.2.掌握

三类空间角的常用求法.

一、异面直线所成的角

例1如图，已知在三棱锥人一BCO中，AO=1,BC=小，且AO_L3C,30=勺，

J3

4。=竽，求异面直线AC与8。所成的角的大小.

解如图，取A&A。，DC,8。的中点分别为E,F,G,M,连接£/，FG,

GM,ME,EG.

1

则

MG统-6c

2EM星AD

因为4O_LBC,所以EM_LMG.

在RtAEMG中，

有EG=M1j+图=L

由图可知，NErG为异面直线AC与8。所成的角（或补角）.

在△£：/（；中，因为E/=：8。=乎，

FG=^AC=£,

所以E产+FG?=EG2,

所以E/LLRS,AC1BD.

所以异面直线AC与所成的角的大小为90°.

思维升华求异面直线所成的角的方法

求异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生三角形，主要有三种方法：（1）直

接平移法（可利用图中己有的平行线）；（2）中位线平移法；（3）补形平移法（在已知图

形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线）.

训练1如图，在每个面都为等边三角形的四面体S-4BC中，若点E,产分别为

SC,AB的中点，试求异面直线E/与S4所成的4J.

解如图，连接CFSF,

设四面体S—ABC的棱长为〃，

贝！］SF=CF=^-a.

因为E为SC的中点，

所以EFLSC.

在Rt/XSEF中，SE=；SC=%,

所以EF=、S产-SE?=冬.

取S8的中点为。，连接EQ,FD,贝ijFO〃SA,

所以N。在为异面直线EF与SA所成的角（或补角）.

因为BC=SA=cii

而产Q〃SA,且尸。=；SA,ED//CB,且ED=；CB,

所以FD=ED=^a,

所以Fa+ED2=EF2.

故是等腰直角三角形，可得NEFO=45。，

即异面直线E尸与S4所成的角是45。.

二、直线与平面所成的角

例2如图，在三棱锥P-A8C中，PA=AC=BC,出_1_平面ABC,NAC8=90。,

0为PB的中点，则直线CO与平面B4C所成角的余弦值为（）

答案B

解析如图，取PC的中点E,

C

连接OE,贝IJOE〃台C.

・・・%_L平面ABC,BC平面ABC,

：.PALBC.

又AC_L8C,ACQPA=A,AC,必u平面玄C,

・・・3C_L平面PAC.

又OE"BC,・・・。七_1_平面%C,

・・・NOCE为直线C。与平面%C所成的角.

设PA=AC=BC=2,

则。E=l,CE=®0C=小,

・・・cosNOCE=^=坐

思维升华求斜线和平面所成的角的步骤

（1）作（或找）：作（或找）出斜线在平面上的射影，作射影要过斜线上斜足以外的一点

作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要

与题目中己知量有关，这样才能便于计算.

（2）证：证明某平面角就是斜线和平面所成的角.

（3）算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.

训练2（多选）己知正方为ABCD-AIBIGOI,则下列说法正确的是（）

A.直线BC\与DAi所成的角为90°

B.直线BCi与CAi所成的角为90°

C.直线BG与平面BBDD所成的角为45。

D.直线BG与平面ABCD所成的角为45。

答案ABD

解析如图，连接4。，在正方形A/OQi中，ADiA.DA]f因为所

以8G_LD4i,所以直线8G与04所成的角为90。，故A正确；

在正方体A8C。-AIBCIOI中，CO_L平面6CC8,又8。平面6CCi8i,所以

COJ_8G.连接8C,则因为C£>nBC=C,CD,B\C平面OCBiAi,

所以8GJ_平面。C8i4,又C4平面OC8A1,所以8G_LC4,所以直线8G

与C4所成的角为90。，故B正确；

连接4G,交3。于点O,则易得OG_L平面连接O及因为08平

面BBTDTD,所以0C」08,ZOBCi为直线BCi与平面BBIDID所成的角.设正方

61

体的棱长为。，则易得8。=也小。。=、言，所以在为△BOG中，OCifCi,

所以NO8G=30。，故C错误；

因为GC_L平面A8CD所以NC3G为直线8cl与平面ABC。所成的角，易得

NC8G=45。，故D正确.

三、二面角

角度1定义法

在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图,

NAOB为二面角的平面角.

例3如图，在三棱锥V—A8C中，VA=AB=VB=AC=BC=2,VC=5求二面

角丫一48一。的大小.

解取48的中点。，连接口，CD,

•・•在中，VA=VB=AB=2f

•••△弘8为等边三角形，

・・・V7)J_4B且VD=小,

同理CD上AB,CD=小,

・・・NVQC为二面角V—48—C的平面角，

而△VQC是等边三角形，ZVDC=60°1

・•・二面角丫一48一。的大小为60°.

思维升华利用二面角的定义，在二面角的棱上找点，过点在两个平面内作棱的

垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角，解题时应先找平面角，再证明，最

后在三角形中求平面角.

角度2垂面法

过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面各有一条交线，这两

条交线所成的角即二面角的平面角.如图，N40B为二面角。一/一夕的平面角.

例4如图，将正方形48C。折成直二面角A-8D-C,则二面角A-CO-B的

余弦值为（）

答案B

解析・・•以正方形4BCO的对角线为棱折成直二面角,

.••平面,平面BCD.

连接4C交8。于点0,连接A。，则AOJ_BQ,

「平面A8DH平面A0平面ABD,

・・・AOJ_平面8CQ,：.AO-LCD,

取CO的中点用，连接OW,AM,

贝40M//B3

・・・OM_LCO,・・・CO_L平面AOM,

・•・ZAMO即为二面角A-CD-B的平面角.

不妨设正方形45co的边长为2,

则A0=啦，OM=1,

.,.AM=、2+1=小.

0My[3

/.cosZAMO=3,

思维升华二面角中如果存在一个平面与棱垂直，且与二面角的两个半平面都相

交，那么这两条交线所成的角即为该二面角的平面角.

角度3垂线法

过二面角的一个面内异于棱上的点A向另一个平面作垂线，垂足为由点B向

二面角的棱作垂线，垂足为。，连接A0,则NAOB为二面角的平面角或其补角.

如图，NA08为二面角。一/一夕的平面角.

例5如图，平面尸内一条直线AC,AC与平面。所成的角为3()。，AC与棱8。所

成的角为45。，求二面角。一/一夕的大小.

解如图，过A作A/LLBO,产为垂足，作AE1平面a,E为垂足，连接跖,

CE,

贝！1AELL3。，AEQAF=A,AE,AFu平面AEE.・.3。_1_平面4E凡

・・・8DJ_平面AEF,

又EF平面AEF,，BD上EF,

：.为二面角a—/一夕的平面角.

依题意知NAC尸=45。，NACE=30。，

设4C=2,

：.AF=CF=y[21AE=1,

AE__1__啦

：.sinZAFE=kg=2'

：.ZAFE=45°.

・•・二面角夕一/一夕的大小为45°.

思维升华如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，

可过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，通过证明线面垂直，可证明两垂足的连

线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角.

角度4射影面积法

若多边形的面积为S,它在一个平面内的射影图形的面积为6,且多边形与该平

面所成的二面角为。，则cos

例6在四棱锥力中，四边形ABC。为正方形，以，平面4BCD,PA=AB

-a,求平面P8A与平面0DC所成二面角的大小.

解如图，・・・%_!_平面ABC，AD平面A8CD

：.PAA.AD.

又且用CIA8=A,以，AB平面以B,

・・・AQ_L平面PAB,

同理8。_1_平面PABf

•••△PCQ在平面PBA上的射影为△以及

设平面PBA与平面PCD所成的二面角的大小为<9,

12

._SAPAB呼y]2

••COSu-TS"8iXaXy/2ac2,

A<9=45°.

故平面PBA与平面PCD所成的二面角的大小为45°.

思维升华应用射影面积法的两种情况：

(1)二面角所涉及的两个多边形面积易求，可用射影面积法.

(2)二面角是无棱二面角且棱很难找出，导致不易做出二面角的平面角.

训练3如图，已知矩形A8CO的两边AB=3,AD=4,%_!_平面ABC。，且必

4

=亍则二面角A-BD-P的正切值为()

A.J

C--2

B

解析如图，过点A作AO_L3O,交30于点O,连接尸O,

B

4

•・•矩形A8CD的两边A8=3,AQ=4,B4_L平面ABC。，且布=亍

22

.*.BD=yj3-h4=5tPOLBD,

：.APOA是二面角A-BD-P的平面角.

・sABAD12

・・A。-BD—5，

4

PA51

：.tanZPOA=^=^2=y

~5

；・二面角A—BD—P的正切值为

【课堂达标】

1.直线/与平面a所成的角为70。，直线/〃相，则，〃与a所成的角等于()

A.20°B.70°

C.90°D.110°

答案B

解析•・•/〃〃?，

・•・直线/与平面a所成的角等于m与a所成的角，

又直线/与平面。所成的角为70。，

Am与a所成的角为70°.

2.在正方体ABC。-4BICIOI中，E,尸分别是棱44,48的中点，则异面直线

与G。所成角的大小是（）

、兀C兀

A%Bq

C.|

答案D

解析如图，在正方体中，连接48,CDi,且CQiGGO=O.因为E,尸分别是

棱A4,的中点，所以EfWAB又43〃COi,所以E歹〃CDi,所以NC。。

即为异面直线EF与GD所成的角（或补角）.

因为四边形CODQ为正方形，所以NCOO=当

所以异面直线石歹与G。所成角的大小为与

3.已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为2加，则侧面与底面所成的二面

角的大小为.

答案60°

解析正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为2加，则底面边长为25，底面

积为12,

所以正四棱锥的高为3.

所以侧面与底面所成的二面角的正切值为市，故祈求的二面角的大小为60。.

4.如图所示，AB是。。的直径，出_1_。0所在的平面，C是圆上一点，且NABC

=30°,以=",则直线PC和平面ABC所成角的正切值为.

p

B

答案2

解析因为B4_L平面ABC,

所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影，

所以/PC4即为PC和平面ABC所成的角.

在Rt△外。中，因为4。=%8=沙4

pA

所以tanZPCA=~T7,=2.

AC

--------------------------课时精练---------------------------

一、基础巩固

1.若斜线段AB的长是它在平面a上的射影的长的2倍，则A3与平面a所成的角

是（）

A.60°B.45°

C.30°D.120°

答案A

解析斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形.

如图所示，NA8。即是斜线段A8与平面a所成的角.

因为48=28。，

A

所以cosZ.ABO=~^=~2,

所以NABO=60。.

2.在三棱柱ABC-A\B\C\中，AAiA.AB,A4_LAC.若AB=AC=AA\=1,BC=p,

则异面直线4c与所成的角为（）

A.60°B.30°

C.90°D.45°

答案A

解析,・,几何体是棱柱，

则直线4C与8C所成的角就是异面直线4。与BiG所成的角.

在三棱柱ABC—48Q中，AAilAB,A4JLAC,连接84（图略）,

AB=AC=AA\=1,

*••BA\—CAi=y[^,又BC=yf^>.

•••△3C4是等边三角形，

・•・异面直线4c与囱G所成的角为6（）。.

3.已知平行六面体ABCD-A\B\C\D\的底面ABCD是菱形，且NCiCB=NGCO

=ZBCD=60°,则直线AC\与直线BD所成的角的大小为（）

A5

答案A

解析如图，连接AC交6。于点O,

连接8G,OG,CiD.

♦：CD=CB,CCI=CIC,NGCD=/CiCB,

AACDCI^ACBCI,

DC\=C\B.

•・•底面ABC。是菱形，

/.OB=ODt：.OCiLBD.

a

：AC±BDfACHOC\=Ot

AC,OCiu平面4CG,

・・・8。_1_平面ACC

AACilBD,

・,・直线AG与直线BO所成的角的大小为参

4.在正方体A8C。一A出GOi中，85和平面ACD所成角的余弦值为（）

A*B雪

C.|D坐

答案D

解析如图，不妨设正方体的棱长为1,

上、下底面的中心分别为。，O,连接OOi,OD1,

则0。〃3囱，OiO和平面AC。所成的角就是BBi和平面ACQi所成的角，即

则CQSNOODI

5.如图，在四棱锥P-ABC。中，以，底面4BCZ）,底面/WC。是边长为1的正

方形，%=1,则侧面PCQ与底面ABC。所成的二面角的大小是（）

p

A.3O0B.45°

C.60°D.90°

答案B

解析・.,ai_L底面A8CQ,COu平面48C。,

又底面48C7）是正方形，

：.CD±ADt

又%GAD=A,PAtAOu平面必O,

••・C0_L平面PAD,

：.CDLPD,

可知NPZM为侧面PCD与底面A3c。所成的二面角的平面角.

在Rt△%。中，由%=AO=1,

可得NPD4=45。.

即侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是45°.

6.如图，若平面a〃平面夕且两平面间的距离为10,AC是夹在这两个平面间的线

段，且长为20,则AC与这两个平面所成的角为.

答案30°

解析如图，过A作平面尸的垂线A3,垂足为8,

因为a〃夕，则AB=10.

连接8C,则NAC8即为AC与平面所成的角.

因为△ABC是直角三角形，

4D1

所以sinNAC8=77=7.

AC乙

因为NAC8是锐角，

所以NAC8=300.

7.如图，在长方体48CD—48GQi中，A8=3,4。=4,A4i=2,则二面角C一

B&-D的正切值是_______.

3

答案-

4

解析由长方体特点可知，8囱_L平面4BCD

又BC平面ABC。，BD平面ABC。，

：.ZCBD即为二面角C-BBLD的平面角.

又CD=AB=3,BC=AD=4,BC上CD,

・・・tan/CBQ=,=*

8.已知在如图所示的四面体ABC。中，A8_L平面BCD,8CJ_CO且8C=CQ=1,

AO=小，则二面角B-CD-A的正切值为.

答案1

解析・.・AB_L平面8CD,CD平面3CQ,

J.ABA.CD,

又灰:JLCQ,ABDBC=BfAB,BC平面ABC,

・・・COJ_平面ABC,ACD1AC,

・•・NAC8为二面角B-CD-A的平面角.

V5C1CD,

・•・BD=、BC2+CD2=8

•・・A8_L平面BCD,

：.ABKAA—BD2=1,

在RtZXABC中，tanNAC3=5c=1.

9.如图所示，在正方体ABC。一ASCQi中，E是棱。。।的中点.求直线3E和平

面A8B14所成的角的正弦值.

解如图，取A4的中点M,连接EM,BM.

因为E是/)"的中点，四边形AOQMi为正方形,

所以EM//AD.

又在正方体48co—A山iGDi中,

AO_L平面ABBiA],

所以EM_L平面ABBIAI,

从而直线BM为直线8E在平面ABB\A\上的射影,

NEBM即为直线8E和平面ABB\A\所成的角.

设正方体的棱长为2a,

则EM=AD=2at

BE=yj(2〃)2+⑵)2+片=3”

EM2

于是在RtABEM中，sinNE8M=^=w，

15匕J

2

即直线BE和平面ABBA所成的角的正弦值为?

10.在四面体A—8CO中，已知棱AC的长为啦，其余各棱长都为1,求二面角4

—CD—3的余弦值.

解如图，由已知可得4O_LOC,

又由其余各棱长都为I,

得aBCQ为等边三角形，

取CO的中点E,连接8£,则8EJ_CQ,

在平面AOC中，过E作4。的平行线交AC于点凡

连接8F,则N3E/为二面角A—CO—8的平面笼.

•・・EF=]BE=*,BF=*,

1.31

./E产+B^—B产尹15西

,,cosNBEF-2BE-EF2X武义厂3'

乙22

即二面角A-CD-B的余弦值为坐

二、综合运用

11.如图，在正方体A8CO—中，七是棱CG的中点，则平面AGE与平

面ABCD的交线与直线CiDi所成角的正切值为（）

5

2

-

--

A.23

C.|

D.2

答案A

解析延长。if与直线CD相交于尸，连接4E

则平面ADiE与平面ABCD的交线为A凡

又,：C\D\〃CD,

：.ZAFD为平面AUE与平面ABCD的交线与直线GU所成角,

•・•£是棱CG的中点，ZDD1//CC1,

：・CD=CF,

AD=\_

tanZAFD=~DF~2'

12.如图，在四棱锥V—A3C。中，四边形ABCO是正方形，△明。是正三角形,

平面侬。J_平面ABCD,则二面角A-VD-B的余弦值为.

答案呼

解析如图，取V。的中点E,连接4E,BE,则AE_LVD

•・•四边形ABC。是正方形，：.AB1AD.

又平面平面ABC。，AB平面48CQ,平面幺。A平面A8CQ=A。,

・・・A8_L平面%。，则ABLAV,：.ZVAB=90°,

・・•△以。是正三角形，四边形A8CO为正方形，

・•・由勾股定理,可知比＞=耳4炉+/1。2="482+监占丫8.

：.BE±VD,

・・・NAE8就是所求二面角的平面角.

AA

在RtZXBAE中，NBAE=90。,AE=4AD=#AB,BE=

AE_A/21

.*.cosZAEB=~BE~7

即所求二面角的余弦值为粤.

13.如图，在四棱锥产一A3CO中，％_L平面43CD,ABA.AD,ACLCD,ZABC

=60°,PA=AB=BC,七是PC的中点.

(1)求08与平面外。所成的角的大小;

(2)证明：4E_L平面pC。；

⑶求二面角A-PD-C的正弦值.

⑴解在四棱锥P-ABCD中，B4_L平面43C。，A3平面43CD,故PA±ABf

又AB_LgPAQAD=A9

从而A3_L平面PAD,

故P8在平面PAD内的射影为布，

从而NAPB为PB与平面应。所成的角，

在RtZXBAB中，AB=PAf故NAP8=45。，

所以尸B与平面附。所成的角的大小为45。.

(2)证明在四棱锥P-ABCD中，附_L底面ABCDCDu平面ABCO,故CQJ_%,

又CD工CA,PAOCA=A9PAfC4u平面朋C,

所以CQJ_平面B4C,所以CQJ_AE,

因为AB=8C,NA8C=60。，

所以AC=A8,

所以PA=ACf

又£为PC的中点，

所以AE_LPC,

又CDCPC=C,CD,PCu平面PCD,

所以AEJ_平面PCD.