2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷【北京专用测试范围：人教A版必修第二册 平面向量的概念-空间直线、平面的垂直】全解全析

高一数学下学期第三次月考模拟卷（北京专用）

全解全析

（考试时间：120分钟,分值：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教A版必修第二册6.1平面向量的概念-8.6空间直线、平面的垂直。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.AB+CE-CB=（）

A.AEB-BEc.一而D.-BE

【答案】A

【详解】AB+CE-CB=[7B-CB]+CE='AB+~BC+CE=JE.

2.已知复数Z满足（l+i）z=|2i],则Z的虚部为（）

A.1B.-1C.iD.-i

【答案】B

【详解】由（l+i）z=|2i|,得到z=寻湍蔷=1，

所以z的虚部为-1,

故选：B.

3.己知a,仅是两个不同的平面，6，〃是两条不同的直线.下列四个命题：

①若aLPymLaynA./3,则〃7_L〃

1/16

②若a工0,加_La,m±n,则〃J~/

③若a!!p,m/la,mUn，则nllp

④若aC0=m,m//n,则或nll13

其中所有真命题的序号是()

A.①②B.③④C.①@D,①④

【答案】D

【详解】对于①：因为。，尸，〃，夕，所以直线〃i，〃的方向向量是平面)的法向量，由两

个平面垂直，

所以这两个平面的法向量也垂直，即这两条直线也垂直，故①正确：

对于②：由aJ_/，加J.a,则〃?//4或〃?u/?,而加J_〃，则不能判断〃_L〃，所以②不正确；

对干③：若〃?//a,〃?//〃，则〃〃夕或〃u[,所以结论不一定成立，故③不正确；

对于④：a[\p=m,m//n,若〃Sa,则M/a；若〃ua,则nllp,所以④正确；

故选:D.

7T

4.在△ABC中，a=5b=l,A=-,则8=()

3

兀7T兀5兀

A.-B.-C.-D.----

6436

【答案】A

【详解】因为〃=6，b=],所以8＜力二工，

3

卜V3I

在A/IB。中，由正弦定理可得」一二」一,所以一■=/?]，

sinAsinBsin—'

3

解得sinB=！,所以8=?.

26

故选：A.

5.已知非零向量满足7=2标，则明=2"是“卜叫=2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2/16

【答案】C

【详解】充分性

」知|刈2=2存5,\a-b\i=\a\l-2d^+\bf

代入|歼=2,石,得|（一5『=2万万一2解5+防『=|1|2

若日|=2,则|2-月『=2?=4,因此H-B|=2,充分性成立.

必要性

2—B『二一22石+忖/二|B『=4

因为b是非零向量，所以151=2,必要性成立.

综上，加|=2是|万-$|=2的充要条件.

故选：C

6.古希腊数学家阿基米德的一个重要数学发现是“圆柱容球”，即当球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的

22

高均相等时，球的体积是圆柱体积的不，且球的表面积也是圆柱表面积的大.如图所示，在一个“圆柱容

33

球”的模型中，若球的体积为8遥兀，则该模型中圆柱的表面积为（）

A.18KB.24加C.307rD.36兀

【答案】D

【详解】解：可设球的半径为〃，则根据题意可知圆柱的底面半径也为〃，

•・,圆柱的高等于直径，，圆柱的高等于2〃，

:球的体积为86兀，6兀，

/.r->/6»

二.WI柱的表面积公式为S=TH二x2+2兀厂-2r=6nr2=6兀x（=36兀.

3/16

故选：D.

7.已知正方形48CQ的边长为1,E为线段4B的中点,/为CQ边上的动点，则丽.方的取值范围为

()

111「11]「11]「1「

A.——B.——C.——D.——,1

L44J42」122」L2J

【答案】C

【详解】以z为坐标原点，为工轴，力。为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则,4(0,0),4(1,0),4；，。),设厂

_________/1

=(1,0),EF=Z--,1

1_11

则EF•AB=t——G

22'2

故选：C

8.函数/(x)=sin2xtanx是()

A,奇函数，且最小值为0B.奇函数，且最大值为2

C.偶函数，且最小值为0D.偶函数，且最大值为2

【答案】C

【详解】由题可知，/(x)=sin2x-tanx的定义域为“+”关于原点对称,

2

且/(X)=sin2x-tanx=2sinxcosx,=2sinx,

cosx

而/(-工)=25出2(—)=25m。=/(幻，即函数/")为偶函数；

所以fW=2sin2x=1-cos2x,x^—+kn,keZ,Xcos2xe(-l,l],

4/16

UP/（x）=l-cos2xe[0,2）,可得函数/（x）最小值为0,无最大值.

故选:C

9.如图，矩形"C。中，48=8,力。=6,"、％分别为边8。、。。上的动点，且MN=4.则|西+网

的最小值为（）

A.8B.16C.4vliD.875

【答案】B

【详解】取线段的中点。，连接力。、OC.AC,如下图所示:

因为CM_LCN,所以OC=2A7N=2,

因为四边形ZBCO为矩形，则==寿=10,

因为而+丽=（前+两）+（而+砺）=2血，

所以|西+祠=2|附=2国+西22（西一函）=2x（10—2）=16,

当且仅当％与南方向相反时，等号成立，故4W+/N的最小值为16.

10.公元3世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似地表示圆的周长.如图所示，他首先在圆内画

一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近于圆的周长.

刘徼在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失

矣.”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元.小牧通过圆内接正〃边形，使用刘徽割圆

术，得到兀的近似值为（）

5/16

・o•。

).2兀

A.2/7sin—B.2/Jsm—

n

.71.2兀

C.wsin—D.n-sin——

nn

【答案】C

【详解】如图，圆的内接正多边形被半径分成〃个如图所示的等腰三角形,

作于点〃，则

设半径为〃的圆内接正〃边形的周长为乙，圆的直径为，/,

则,40=BO=r,

A7T/iHTL

在RS%。"中，sinZAOH=—,即sin-=——，所以/”二〃sin-,

AOnrn

7TTT

即AB=2AH=2r-sin—,所以L=〃・48=〃•2尸•sin—,

nn

又因为，/=2,•，所以”「士吗

.兀

=/?-sin-

d2rn

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

…COS6Z1…

11.已知--------------=-,则tana=___________.

4sina-2cosa3

【答案】4

4

【详解】由----竺£-----二」得3cosa=4sin。-2cosa,

4sina-2cosa3

6/16

即4sina=5cosa，

ri八ll-sina5

由题意cosawO,所以tana=------=—

cosa4

12.如图，在正方体4BCO-44GA中，异面直线34与。。所成角的大小为.

【详解】解：在正方体49CO-44G。中,

因为，

所以NAA出=?即为异面直线84与DD1所成的角,

所以异面直线BA,与所成角的大小为&.

4

故答案为：£

4

13.如图，在正四棱台438-44&。中，44=2,AB=6,若该四棱台的体积为里I,则该四

3

棱台的外接球表面积为

【详解】已知4与=2,AB=6,则上底面积5=4,下底面积S=36,体积双I/7,

3

由棱台体积公式得当叵=；力(4+36+V4x36)n526=52。=＞力=百，

7/16

设外接球球心P到下底面中心0的距离为K，则尸到上底面中心O｛的距离为百±X，

由正四棱台的上下底面都是正方形可得。4=3拒，G4=日

设外接球半径为R,则R2=x2+(372)2=(V3±x)2+(75丫.

[3

展开并化简：x2+18=x2±2>/3x+5=>13=±2y/3x=>x=一尸(负值舍去),

2V3

则R?+*等

4/=4兀.箜二蟹

最终外接球表面积:

123

38571

故答案为:亍

14m知函数/(x)=4sin(&x+0)4>0,口>0」向的部分图象如图所示.则①二,夕=

【答案】①.2②.三

【详解】由图可得4二/一(工。一£]=W，即7=兀=生，即0=2；

212/2co

由图可得~Y^x2+e=5+2E(kGZ),即(p=一~半+2%兀(％£Z),

—II兀,,57r5n

又陷〈5,故。=一7+271=3.

8/16

15.如图所示，已知△048,由射线04和射线及线段力占构成如图所示的阴影区（不含边界）.

（1）若。为△048重心，若丽=工方+>砺，则2x+y=

（2）已知下列四个向量:

①西=2夕+砺：

---3—1—

@0M2=-OA--OB-

---1—2—

③。％=5。4+§。3；

---I—-2—

@0M4=-0A+-0B.

对于点落在阴影区域内（不含边界）的点有

【答案】①.1②.M，%

【解析】

【详解】由。为△048重心，则丽=2万+!砺，而砺=1况+歹砺,

33-

所以x=V=1,则2x+y=2xl+2=l；

333

若丽“屈+〃砺，要使M在图中阴影区域,则。+〃>1且m>0,〃>0,

由西二2况+砺，则2+1=3>1,即此在阴影区域,

由瓯=之力」方,其中一;<0,即加2不在阴影区域，

43

127

[f]OM^=-OA+-OB,则一+—=7>1,即“3在阴影区域，

23236

---1一2一I?

由。“4=-0A+-0B,则§+§=1，即也不在阴影区域，

综上，M],M3.

三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（13分）已知函数—C0S）

sinr

9/16

(1)求/(X)的定义域；

⑵若/⑹二3叵，且。£仔,兀，求cos。和tan。的值.

【答案】(1){X|XWE,%£Z}；

(2)cus6=—tan0——2.

5

【详解】(1)依题意，sinxwO,所以XWE("EZ).

所以函数/(x)的定义域为{工卜。〃兀,〃wZ}.

(2)f(x)=----------=-----=sinx,XHE(AEZ).

sinxsinx

由f(6)=半,得sin6=22叵.

又因为(],兀)，所以cos8=-\/l_siif8=-《"g=_*.

2yf5

广广，，sin0s-

所以tan8ZJ==—产=-2.

cost/。5

~~5

17.(14分)已知向量值=0,2),d=(-l,2),c=(3,4)

⑴求与不=(1,2)垂直的单位向量，以及£+书与"的夹角余弦值；

(2)求满足a=mb+nc的实数m>n；

⑶若伍+付/42八可，求实数上

【答案】⑴单位向量是(-半书和(咨-斗夹角余弦值为?

12

(2)^=-，«=-;

JJ

,4

(3)k『

【详解】⑴设与1(1,2)垂直的单位向量为(,")，则"I解得(》/)=1-芈悟］或

x+y—1133

10/16

z\(26⑸

(4，7)=­，--；

x7

——/-—("+b)，c4x44

a+6=(0,4),c=(3,4),则cos(a+/),c)=―^n=i=——r=—.

'/〃+4H4x55

4

3+5与5的夹角余弦值为

(2)由"-〃力_+〃-c，得(/1,2、)二叫<一l,2、)+〃/(3,、4),则｛11=-m+3n,解得：5

2=2m+4n2

n=—

5

(3)因为(£+%)〃Qfc；+沅=(1+3h2+44),2S-a=(-3,2),

所以(1+34>2+3(2+44)=0,解得：k=­.

12.(13分)如图，已知在直三棱柱力8。一4片6中，AC=3,AB=5,BC=4,44=4,点。是

的中点.

(1)求证：4CJ/平面

(2)求证：力C_L平面88£C；

(3)求三棱锥4-8C。的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析(3)8

【详解】(1)连接30,交于E,连接。E.

11/16

直三棱柱48C—44G中，侧面38CC为矩形，所以点£为BG中点.

因为点。是的中点，所以DE//AC1.

又DEu平面。。四，力。1(7平面。。4,所以4CJ/平面CQB「

(2)直三棱柱力BC-44cl中，G。，平面/8C,因为力Cu平面/18C,所以GC_L/C.

在△/"(?中，AC=3.AB=5,BC=4,AC24-BC2=AB2，所以力CJ_4C.

因为CC，BCu平面BBC©,ClCHBC=Ct

所以力C_L平面88£C.

(3)过点。作C/l/B.

即5二生

5

直三棱柱/8C-44G中，4/_L平面4〃C,因为。下，45u平面所以

A}A1CF,

因为44，/8u平面3々4彳，AiAC\AB=A,所以C/1平面BB/M，

12

则CF=—即为点C到平面BB0A,也即平面44。的距离.

又L向。=—x5x4=10,

12/16

v-V

yBCDVC-gD=-S-CF=-xlOx—=S.

t3A'B'D35

故三棱锥4-的体积为8.

sin/i+sinB

19.(15分)已知△/BC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且tanC=

cosA+cosB

(1)求。的值.

(2)设△48。的外接圆半径为心内切圆半径为广.

若R=4JJ，r=5求△力3c的周长；

【答案】(1)C=y

(2)30

■、d、L.、I厂sinJ+sin8,sinCsinJ+sin8

【详解】(1)因为tanC=---------------,即Ht--=------------,

cosJ+cos4cosCcos4+cos3

整理可得sinCcosb—sin8cosc=sirt^cosC—sinCcos/,即sin(<?—/?)=sin(/I—C),

因为48,CW(0,TC),则C-8w(—兀，兀)，A-Ce(-n,n),

则。一8二力一。或。一8+4—。=兀或C—B+4一。二一兀，

即,4+8=2。或8—4二一兀(舍去)或8—4=兀(舍去),

且,4+B+C=3C=n,解得C=」.

3

(2)由题意可知：SA的弓如空《("》”•，

/7,

则r=77——7——=5/3,可得ob=2(Q+b+c),

2(a+6+c)'

又因为c=2RsinC=12,则。6=2(。+6+12),

由余弦定理可知C?:/+〃一2abcosC=a2+b2-ab^

整理可得(。+力y=c2+3ab=144+6(a+b+12),

可得(〃+/?>-6,+/?)-216=0,解得。+/)=18或。+力=一12(舍去)，

所以MBC的周长C&48C=〃+〃+c=3()；

20.(15分)如图，在四棱锥。-43。。中，底面49CD为正方形，P4上平面4BCD,AEtPB.

13/16

（1）求证：AE1PC；

（2）求证：直线4E不可能与平面尸CQ平行；

（3）空间中是否存在球O,使得四棱锥P-力BCO的顶点均在此球面上？若存在，确定球心。的位置（结

论无需证明）；若不存在，说明理由.

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

（3）存在，球心O的位置位于尸。的中点.

【详解】（1）由尸4_1_平面/BCD，8Cu平面45CQ，则P/_L8C，

又AB上BC,4BcPA=A,48,0Zu平面则8cl平面尸

又,4Eu平面P4B,所以8cl4E,又因为PBcBC=B,

PB,BCu平面PBC,所以为E_L平面尸8C,又PCu平面尸8C,

所以NEJ.PC.

（2）证明：过E点、作EF//BC交PC/点、F,连接。/，如图，

由BC1平面048,又彳。〃8C，则。彳_1,平面产力B，

14/16

又,4£u平面218,所以。/JL,4£,即==,

2

乂4£_1平面PBC,乂EFu平面PBC,所以4EJ.EF,&I-ZAEF=-,口EF<BC=DA

2

所以四边形AEDF为直角梯形，则AE的延长线与DF的延长线必交于一点，

又DFu平面POC,从而得证直线AE不可能与平面PCD平行.

（3）存在，球心。位于尸C的中点处.

理由如下：将四棱锥P—/8CQ的补成长方体PNS7—45