2026年高考数学一轮复习专练：球的切、接问题（附答案）

§7.2球的切、接问题

【重点解读】球的切、接问题是历年高考的热点内容，一般以客观题的形式出现，考查空间想象能力、计

算能力.其关键点是利用转化思想，把球的切、接问题转化为平面问题或特殊几何体来解决或转化为特殊几

何体的切、接问题来解决.

■落实主干知识.

一、正方体与球

1.内切球：内切球直径2R=正方体棱长

2.棱切球：棱切球直径2/?=正方体的面对角线长

3.外接球：外接球直径2/?=正方体体对角线长75a

二、长方体与球

外接球：夕卜接球直径2R二体对角线长VQ2+力2+c2（a,c分别为长方体的长、宽、高）.

三、正棱锥与球

1.内切球：V正梭修寺表片为底力（等体积法），/■是内切球半径，力为正棱锥的高.

2.外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为日半径为/，卡二（小火）2十/（正棱锥外

接球半径为R,高为力）.

H

四、直棱柱的外接球

球心到直棱柱两底面的距离相等，直棱柱两底面外心连线的中点为其外接球球心.R2=ey+,（直棱柱的

外接球半径是R,高是/?,底面外接圆半径是「）.

五、圆柱的外接球

R=*）2+r2（R是圆柱外接球的半径,。是圆柱的高，r是圆柱底面圆的半径）.

六、圆锥的外接球

R2=（h-R）2^r（R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高,r是圆锥底面圆的半径）.

・探究核心题型•

题型一外接球

命题点1补形法

例1⑴古代数学名著《九章算犬・商功》中，将底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为

“阳马”.若四棱锥A48C。为“阳马”，PA_L平面力，44=8C=4,PA=3,则此“阳马”外接球

的表面积为（）

A.---D.417T

2B.等

答案D

解析由于PA_L平面ABCD,AB,AOu平面ABCD,所以PAIAB,PAA.AD,

由于四边形ABC。是矩形，所以A8_LAO,

所以AB,AD,PA两两互相垂直，

所以四棱锥P-/WCO可补形为长方体，且长方体的体对角线为PC=V32+42+42=V41,

所以外接球的直径2Rg,

所以外接球的表面积为4兀2=41九.

(2)已知三棱锥S-A8C的四个顶点都在球。的球面上，且S4=BC=2,SB=AC=yfj,SC=AB=VS,则球O

的表面积是.

答案8K

解析将三棱锥S-A8C放入长方体中，设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,如图所示，

(a2+5=5,

贝II]a2+c2=7,

(分+c2=4,

则O2+Z>2+C2=8,

因为球。的直径即为长方体的体对角线，

则球。的半径为号正二企，

所以球。的表面积是47tX(鱼)2=8兀

思维升华满足下列条件的可以补成长方体

(1)(墙角模型)三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，如图①.

（2）三凄锥的四个面均是直角三角形，如图②.

（3）（对棱模型）三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图③.

跟踪训练1在三棱锥尸-AAC中，PAJ_平面ABC,AB=BC=CA=2&,且三棱锥P-/WC的体积为:若

三棱锥P-A8C的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A.4兀B.—C.87tD.16兀

3

答案D

解析•・♦三棱锥P-A8C的体积为L

.\!XyX（2V2）2XPA=1,

・・・弘二殍，将三棱锥补成三棱柱，可得球心为三棱柱外接球的球心，球心到底面的距离d等于三棱柱的高

PA的一半当，

•.•△A8C是边长为2或的正三角形，

•••△48C外接圆的半径片平，

・•・球的半径为R3dz+T（等+（学）\2,

・••该球的表面积为4兀X2?=16兀

命题点2定义法

例2（2024.六盘水模拟）如图，在四面体48co中，ZACB=ZADB=90°f48=2,则四面体A8CD外接

球的表面积为（）

答案B

解析设。是A4的中点，

连接OC,OD,如图所示，

由4C8=/AO8=90°,

得OA=OB=OC=OD,

所以。是四面体外接球的球心，且半径为0A=08=0C=0Z）=/B=l,

所以外接球的表面积为4元X正=4兀

思维升华到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则

球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可.

跟踪训练2已知菱形A3c。的边长为2,N8=60。.将沿AC折起，折起后记点8为P,连接

PD,得到三棱锥P-AC。，如图所示，当三棱锥的表面积最大时，三棱锥P-AC。的外接球体积

为（）

A.—B.—C.2鬲D.—

333

答案D

解析由题意可得，△ACO,△ACP均为边长为2的等边三角形，△幺。，△QC。为全等的等腰三角形，

则三棱锥P-ACO的表面积

S=2S心ACD+2S&PC[尸2X[X2X2Xy+2x|x2X2sinZPCZ>2V3+4sinZPCD<273+4,

当且仅当sinZPCD=l,即PC_LCQ时，

三棱锥P-ACD的表面积取最大值，

此时△PAO,△PCO为直角三角形，

PD=\iPC2+CD2=2^2,

取口）的中点O,连接OA,0C（图略），由直角三角形的性质可得QA=OGO£>=OP=a,

即三棱锥尸-ACO的外接球的球心为0,

半径R=y/2,

故外接球体积占，义（戊六中.

命题点3垂面法

例3（2024•双鸭山模拟）已知四面体A8CD的各顶点均在球。的球面上，平面A8C_L平面BCD,

AB=BC=AC=CD=2,BCA,CD,则球O的表面积为（）

A.—B.8兀C.—D.12兀

33

答案C

解析如图，取BC的中点E,8。的中点尸，所以尸为△3C。的外心，

连接AE,EF,设△AOC的外心为G,

因为AB=BC=AC=2,

即△ABC为等边三角形，

所以点G在AE上，连接。G,OF,

贝ij06_1_平面ABC,O/_L平面BCD,

因为平面/WC_L平面BCD,所以OG_L。/,

因为△ABC为等边三角形，E为8c的中点，

所以4E_L8C,

因为平面ABC_L平面BCD,平面ABCCI平面BCD=BC,AEu平面ABC,

所以AE_L平面8C。，贝ijAE〃。/

又“u平面BCD,所以AE1EF,

同理E/U.平面ABC,所以EF//OG,

故四边形。GE尸是矩形.

由BCLCD,可得BD=^JBC2+CD2=2y[2,

故。尸二或，

又OF=EG=-AE=-ABs\n60°=—,

333

设球。的半径为R,则收=0。2=0尸+*毛，

所以球O的表面积S=4兀R2=等.

思维升华找两个三角形的外接圆的圆心，过圆心分别作这两个三角形所在平面的垂线，两垂线的交点就

是球心.

跟踪训练3在三棱锥A48C中，NR4C=90。，PA=PB=PC=BC=2,则三棱锥P-A8C外接球的表面积

为（）

A41rn81T111T八161T

A.—B.—------L）.

3333

答案D

解析如图，设Oi是BC的中点，连接OM,OiP,由于NBAC=90。，

所以是△ABC的外心，ON=O|B=OC

由于PA=PB=PC=BC=2,Oi是8c的中点，

贝ljPOilBC,POi=V3,O\A=\,

22

贝|JP0l+O]A=PA,贝ljPO|_LO|A.

又。科08。=0|,OlA,BCu平面ABC,

所以2。1_1_平面ABC,而DOC平面PBC,

所以平面P8C_L平面ABC.

由于△PAC是等边三角形，设。是△P8C的外心，连接,0",OC,则OP=OB=OC,

又因为。在POi上，PJrUOB=OC=OA,

则。也是三棱锥P-A8C外接球的球心.

设外接球的半径为r,根据等边三角形的性质可知尸02二|。砂=苧，

2

所以外接球的表面积为4/=4冗X（苧）二等.

题型二内切球与棱切球

命题点1内切球

例4（2025・洛阳模拟）已知一圆台容器的上、下底面中心分别为3，且彷。2=1。8，上、下底面

半径分别为2,12,在圆台容器内放置一个可以任意转动的球，则该球表面积的最大值为（）

A.967tB.1927CC.4871D.2487t

答案B

解析如图所示，

根据题意可知OiA=2,028=12,0）02=1073.

设圆台容器内能放置的最大球的球心为O,且与下底面和母线A6分别切于O2,C,

因为lanZABO2=—^-=y/3,

12-2

所以/ABO2=60°,所以/。4。2=30。，

所以可知球的半径

A

R=00i=02Bmn30°=12X^=4/3,

此时球的直径为2/?=8V3<OI（?2=1（）\/3,

即此时球与圆台容器上底面不相切，因此圆台容器内能放置的最大球的表面积S=4兀笈=192兀

命题点2棱切球

例5一个正四棱锥形骨架的底边边长为2,高为VL有一个球的表面与这个正四楂锥的每条楼都相

切，则该球的表面积为（）

A.46兀B.4兀C.4V27TD.3兀

答案B

解析如图所示，

D

因为正四棱锥底边边长为2,高为低，

所以0B=y[2,SB=2,

。到S3的距离为":也普二1,

SB

同理。到SC,S0,S4的距离为1,易知。到AB,8C,C。，D4的距离也为I,

所以。为球的球心，所以球的半径为1,

所以球的表面积为4兀.

思维升华多面体内切球的球心与半径的确定

(1)内切球球心到多面体各面的距厘均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.

(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合.

(3)正凄锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合.

(4)体积分割是求内切球半径的通生做法.

跟踪训练4(1)已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的

体积为()

A.—B.4/5兀C.8V6rtD.—

33

答案D

解析设正方体的棱长为a,则6/=24,解得用2.

又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长即为球的直径长，所以球的半径长是鱼,

所以此球的体积为(注)3二等

(2)将一个母线长为3cm,底面半径为1cm的圆锥形木头加工打磨成一个球状零件，则能制作的最大

零件的表面积为()

A.2兀cm2B.兀cm2

C.—cm-D.—cnr

答案A

解析原问题可转化为求该圆锥的内切球表面积，该内切球的半径与该圆锥轴截面的内切圆半径相等.

A

画出该轴截面如图，

由母线长为3cm,底面半径为1cin可得该圆锥的高/『库『=2&(cm),

设内切球的半径为r,则有SX2X272=jX3r+1X3r^-jX2r,

解得l孝cm,则内切球表面积，即最大零件的表面积为4兀M=2兀(cnf).

■微拓展

多球堆叠相切问题

多球堆叠相切问题关键是连接各球的球心，通过研究球心连接成的几何体解题.

典例(1)把4个半径为2的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个，下层放三个，四个球两两相切，在这

四个球所形成的空隙中放入一个小球，则此小球的最大半径为.

答案V6-2

解析如图，点E为下层三个球中的一个球的球心，连接各球的球心，可得到棱长为4的正四面体，这个

正四面体的外接球的球心。就是放入空隙的最大半径的小球的球心，

连接0E,0E与球石的交点为K,正四面体的外接球半径R=、/，gP0E=y/6,故OK=VS-2,所以所求

的最大半径为逐・2.

(2)两球Oi和。2在棱长为2的正方体的内部，且互相外切，若球。|与过点A的三个面相

切，球。2与过点G的三个面相切，则球。1和。2的表面积之和的最小值为()

A.3(2-A/3)TTB.4(2-x/3)n

C.6(2-遍)兀D.12(2-V3)n

答案D

解析如图，

设球a和。2的半径分别为门和门，故OM=V3n,02G=M,0i02=n+r2,ACi=2>/3=V3n+V3r2+

ri+T2,贝|JA+「2:”"故两球表面积之和为4兀*+4兀以=4加斤+r^）>47t—*兀信）

1+V3

=12（2-6）”当且仅当r1二七=号时取等号）

课时精练

［分值：52分］

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

I.设正方体ABCD-Ai囱的棱长为1,则其棱切球的表面积是（）

A.nB.2nC.87tD.12n

答案B

解析正方体的棱切球的直径力正方体的面对角线，设棱切球的半径为R，则（2/?y=12+］2=2,解得R等,

所以其棱切球的表面积S=4TTR2=2兀

2.各棱长都相等的四面体的内切球和外接球的体积之比为（）

A.1：27B.1：9C.1：3D.9：1

答案A

解析易知正四面体的内切球球心与外接球球心重合，设正四面体的内切球半径为r,外接球半径为R,

正四面体各面面积为S,则由正四面体的体积得V=1SrX4=1s（/e^r）=>/?=3r,所以正四面体的闪切球和外接

球的体积之比为名，*3=1:27.

33

3.一个侧棱长为2V5的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的菱形（TAEC,

其中。4=2,则该直棱柱外接球的表面积为（）

A.8兀B.16兀D.647r

答案C

解析由已知O'A'=O'C'=2,NC'0'4'=45。，

根据斜二测画法的性质可得，

该直棱柱的底面OA=2,OC=4,OC±OA,OC//AB,OA//BC,

所以该直棱柱的底面为长为4,宽为2的矩形，其体对角线4G-J22+42+@瓜）2s,所以该直棱柱

外接球的半径R=2&，则该直棱柱外接球的表面积S=4TC/?2=4兀X8=32兀.

4.（2024・重庆模拟）已知直三棱柱A5C-A囚G中，底面边长分别为近,3,高AA=2&,则该三棱柱的

外接球的表面积为（）

A.57rB.20兀C.空GD.44兀

3

答案B

解析不妨设AB=AC=V3,BC=3,

由余弦定理可得

,AB2+AC2-BC21

cosA=—————=—

2ABAC2

且4£（0,兀）,则,

所以△MC的外接圆半径片套方内，

可得该三棱柱的外接球的半径

V5,

所以该三棱柱的外接球的表面积为4•2=20兀

5.」知三棱锥S-ABC中，SA_L平面ABC,SA=4,BC=26ZBAC=60°,则三棱锥S-A8C外接球的表面积

为（）

A.32nB.64nC.80兀D.1287c

答案A

解析△A8C中，I3C=2y[3,ZB/\C=60°,设△ABC的外接圆半径为r,根据正弦定理有

BC_273

2r=-：=4,/.r=2,

s\x]Z.BACsin600

如图，设点O为八八/?。的外心，。为三棱锥外接球的球心，

•••SA_L平面ABC,：.OOi//SA,且OS=OA,

AOO^SA=2,

在RtZ\AO。中，A0i=r=2,00产2,ZAO\O=90°,：.AO=2y/2,

即三棱锥外接球的半径为2V2,

，外接球的表面积为4兀・（2a）2=32兀.

6.（2025・常德模拟）如图，现有棱长为6cm的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥4-EFG,且

E,F、G分别为棱AA,43，AQi上靠近A的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰

品的体积的最大值为（）

A270口3

A.----cm

2B.36ncm，

c12573n3

C.-----cmD.72兀cm3

2

答案B

解析由题意知4E=AI二AG二|cm,

设点A,到平面EFG的距离为d,

而EF=EG=FG=^-cm,

5.A.£FG=1X乎X乎Xsin600=^(cm2),

2228

由匕梭锥E”产三枝锥…FG，得区义沁义汽义争，解得智5,

棱长为6cm的正方体的内切球的半径为3cm,

棱长为6cm的正方体体对角线的长度为6V3cm,

因为36孚手＞3

所以所求球形饰品的体积最大时即为棱长为6cm的正方体的内切球，则该球形饰品的体积的最大值为

$rX3’=36兀(cm，.

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.正四棱锥尸-A8CO的底面边长为2,外接球的表面积为20九，则正四极锥RA8c。的高可能是（）

A.V5+1B.V5-1

C.V54-V3D.V5-V3

答案CD

解析依题意，外接球的球心可能在正四棱锥内，也可能在正四棱锥外，如果球心在正四棱锥内，如图1,

其中彷是正方形A8CO的中心，。是外接球的球心，

1*11

是正四棱锥，

・・・POi_L平面ABCD,BO\=V2,

设外接球的半径为R.

贝ijBO=PO=R,4冗/?2=20兀，R=yf5,

在中，00\7B02一耐,P。产P0+。。尸而+V3;

如果球心在正四棱锥外，如图2,

图2

P0kPO-OOi

=V5-V3.

8.如图，在直三棱柱A8CA出6中，AA尸2,AB=BC=\,NA8G120。，点E是侧棱83上的一个动点，下

列结论正确的是（）

%二二二/

A4

A.直三棱柱的侧面积是4+2V3

B.直三棱柱的外接球表面积是8兀

C.直三棱柱的内置球的最大表面积为4兀

DAE^ECi的最小值为2V2

答案ABD

解析对于A,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AI3I3CCOS120°=3,

所以4C=V5,所以直三棱柱的侧面积为2X（1+1+75）=4+275,A正确；

对于B,由正弦定理可得底面△ABC的外接圆半径r尸二金茄=1,易知直三棱柱A8CX由iG的外接球球心

OlliJL4”

到底面ASC的距离为I,

所以外接球半径R=J*+1?=近,所以外接球表面积为4兀代=8兀，B正确；

对于C,若内置球与上、下底面相切，则半径为1；

若内置球与三个侧面相切，由截面图可知，该球半径等于△ABC的内切圆半径-2,

由三角形面积公式可得打（1+1+炳/2苫><1X1Xsin120°,解得少牛，

因为n二包|31,所以直三棱柱的内置球的最大半径为浮，

2

所以直三棱柱的内置球的最大表面积为4X（宇）兀=（21-12百）兀，C错误；

对于D,将侧面