2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷01（人教A版范围：选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册全部）（解析版）

高二数学下学期期末模拟卷01(人教A版)

全解全析

第I卷(选择题)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.(5分)已知函数/(幻的导函数为尸Q),若lim叵等^二一3,则r(2)=()

Ax-»0A”

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】D

【解题思路】利用导数的定义计算进行求解.

【解答过程】由=—=

AXTO△入Ax

则/(2)=lim*2+唱-/(2)=3

故选：D.

2.(5分)已知随机变量X〜N(2,/),若P(XW0)=0,2,则P(X24)=()

A.0.8B.0.7C.0.3D.0.2

【答案】D

【解题思路】根据题意结合正态分布的对称性运算求解即可.

【解答过程】因为X〜N(2,O2),P(X<0)=0.2,

所以P(XN4)=P(X<0)=0.2.

故选：D.

3.(5分)甲乙丙等5人站在一排，且甲不在两端，乙和丙中间恰好有两人，则不同排法共有()

A.24种B.16种C.12种D.8种

【答案】B

【解题思路】由分步乘法计数原理即可求解.

【解答过程】因为甲一定在乙丙之间，否则将在两端，先排乙丙有A专种排法，

其次选一人在乙丙中间有G种排法，

然后乙丙中间排序有A界中排法，

最后另一人选在排头排尾有6种排法，

1/14

共A犯从犯2=16种排法.

故选:B.

4.（5分）已知随机事件力，B,P（A）=P（8口）=:，P（砸）=）,则P⑻等于（）

/J,

A.：B.C.（D.T

【答案】C

【解题思路】先利用条件概率的性质得「仅月）=4,再利用条件概率公式求得P（B）=a最后利用对立事件

概率公式求解即可.

【解答过程】因为尸（雨）=4所以P（期）=1"=g,

所以P（而）=）P@）=1x（i-l）=i所以P（B）=黯=j=*

所以P（0）=1—P（耳）=1-；=（

故选：c.

5.（5分）假设有两个分类变量X,y,它们的可能取值分别为"],不｝和｛71，及｝，其2x2列联表为

yiyi合计

aba+b

cdc+d

合计a+cb+dQ+b+c+d

以下各组数据中，对于同一样本能说明X与丫有关系的可能性最大的一组为（）

A.Q=2,b=3,c=3,d=7B.Q=l,b=4,c=2,d=8

C.a=l,b=4,c=4,d=1D.Q=9力=l,c=4,d=1

【答案】C

【解题思路】计算各选项中-点|的值，比较大小，即可得答案.

【解答过程】计算各选项中|三-三的值，值越大，说明相应的两个分类变量有关系的可能性越大:

la+bc+d

对于A,ac_2__3__

a+bc+d-5-10-

2/14

ac_9__4

对于D,

a+bc+dTo-5

由于江盍＞0,

故选:C.

6.(5分)2023年第5届藏博会在拉萨举行，藏博会上本地核桃油深受大家喜爱，某商家统计了最近5个

月销量，如表所示：

时间X12345

销售量w万

5.74.83.83.22.5

瓶

若y与x线性相关，且线性回归方程为夕=-0.8x+a,则下列说法不正确的是()

A.由题中数据可知，变量y与x负相关B.样本中心点为(3,4)

C.可以预测当％=6时销量约为1.8万瓶D.线性回归方程夕=—0.8尤+&中&=6.4

【答案】C

【解题思路】对于A,利用表中的数据变化情况分析判断，对干B,利用计算平均数即可求出样本中心点,

对于C,利用回归方程可求出预测值，对于D,利用回归方程一定过样本中心点即可求解.

【解答过程】对于A,从表中的数据看，y随工的增大而减小，所以变量y与％负相关，所以A正确，

5.7+4.8+3.84-3.2+2.5

对于B,3=】+2+；+4+5=3,歹==4,则样本中心点为(3,4),所以B正确,

5

对于C>当％=6时，y=-0.8x6+6.4=1.6,

所以可以预测当％=6时销量约为1.6万瓶，所以C错误,

对于D,由选项B可得4=-0.8x3+&,得&=6.4,所以D正确.

故选:C.

7.(5分)袋中装有大小相同的3个红球和3个白球，每次从中不放回摸出一个球，直到3个红球全部摸出后

就停止.设随机变量X表示停止摸球时摸到白球的个数，则E(X)=()

11c12-23c9

A-TB-Tc-wD-4

【答案】D

【解题思路】先确定随机变量X的可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据期望公式计算E(X).

【解答过程】随机变量X表示停止摸球时摸到白球的个数，则X的可能取值为0,1,2,3.

P(X=0)表示在摸出3个红球时停止摸球，没有摸到臼球的概率.

3/14

则P3=。)=*条

P（x=1）表示在摸出3个红球时停止摸球，且只摸到1个白球的概率.

则P(X=1)=空警3x3x6_3

6x5x4x3-20'

PQ：=2）表示在摸出3个红球时停止摸球，且摸到2个白球的概率.

则-2)-比空四_3X3X24-216_

__±

-，)-A5-6XSX4X3X2720IO-

PQ：=3）表示在摸出3个红球时停止摸球，且摸到3个白球的概率.

则P（x=3）二笔i

2,

期望E(X)=0X*+1X4+2XV+3XT=*

故选:D.

8.（5分）关于x的不等式e2a+*Inx+2以对""e（o,i）恒成立，实数。的取值范围为（）

A.-r°B.[—^+°°)

C.(-oo,0]D.[0,+oo)

【答案】B

【解题思路】利用同构得到黑〈给，当QNO时，满足要求，当a<o时，令则/'（hu:）V/（2a+%）

在（0,1）上恒成立，求导后得到函数单调性，从而得到2a>lnx-x,构造g（x）=Inx一心求导得到单调性,

进而得到一142。<0,得到答案.

„Inx2a+x

【解答过程】由e2a+x-In%</+2以可得当<卷1

elnx、e2a+x

当a20时，旨<0，舞詈>0,不等式黑V2a+x

e2a+x在（0,1）上显然成立;

当a<0时，令/(%)=则f(lnx)<f(2a+%)在(0,1)上恒成立,

由/'（4）=?，在4£（一8,1）上r（“）>0，所以f（x）在（一8,1）上单调递增,

又xW(0,1)时，Inxe(—oo,0),2a+xe(—00,1),

所以只需Inx<2a+x在（0,1）上恒成立，即2Q>Inx一%恒成立..

令g(x)=lnx-x,则g(x)=?>0,即g(盼在(0,1)上单调递增,

其中g(l)=Ini—1=-1»故2a>g(l)=-1,所以此时有-1<2a<0.

综上，a之一j.

4/14

故选：B.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

9.（6分）下列说法中正确的是（）

A.对于独立性检验，公的值越大，说明两事件相关程度越大

B.以模型y=ce-去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=lny,将其变换后得到

z=0.3x+4,则c,/c的值分别是e，和0.3

C.若变量y和％之间的样本相关系数为丁=一0.99,则变量y和x之间具有很强的线性相关性，而且是负相

关

D.通过经验回归方程9=法+4及系数&可以精确反映变量的取值和变化趋势

【答案】ABC

【解题思路】根据独立性检验、上线性回归方程以及回归直线方程相关知以逐项进行判断.

【解答过程】对于4根据独立性检验的性质知，/的值越大，说明两个事件的相关程度越大，A正确；

对于B,由、=ce"L两边取自然对数得Iny=Inc+kx,设z=Iny,则2=女工+5（;，

Fhz=0.3x+4,得毋;石；，则K.3，B正确;

对于C,由变量y和x间的样本相关系数r=-0.99,得变量y和％间具有很强的线性相关性，且是负相关，C

正确；

对干D,通过经验回归，=+6及系数可以预测变量的取值和变化趋势，D错误.

故选：ABC.

10.（6分）某商场的抽奖区有红、黄、绿三个不透明的盒子，其中红盒内有3个红球、2个黄球和1个绿

球，黄盒内有2个红球、1个绿球，绿盒内有1个红球、2个黄球.规定第一次先从红盒内任取1个球，再

将取出的球放入与球同色的盒子中，第二次从被放入球的盒子中任取1个球.规定每次抽球均能获得优惠

券，抽到红球获得1张优惠券，抽到黄球获得2张优惠券，抽到绿球获得3张优惠券，每张优惠券的金额

相同，顾客最终获得的优惠券张数为两次抽球所得的优惠券张数的和，则下列说法正确的是（）

A.在第一次抽到黄球的条件下，第二次仍抽到黄球的概率是［

B.顾客最终获得6张优惠券的概率是今

C.第二次抽到红球的概率是5

5/14

D.若第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为今

【答案】AD

【解题思路】在第一•次抽到黄球的条件下，第二次抽黄盒中共有4个球，里面黄色的球为1个，利用古典

概率可对A判断；顾客最终获得6张优惠券顾客需要抽到2个绿球，从而可对B判断；利用金概率公式可

对C判断求解；结合C项利用贝叶斯公式即可对D判断求解.

【解答过程】A：在第一次抽到黄球的条件下，第二次抽黄盒中共右4个球，里面黄色的球为1个，所以抽

到黄球的概率为P=?故A正确；

B：顾客最终获得6张优惠券顾客需要抽到2个绿球，则第一次抽到绿球的概率为幺第二次在绿盒中抽到

O

绿球的概率为:，所以顾客最终获得6张优惠券的概率为［x；=2,故B错误：

C：设第一次从红盒中抽到红球为4事件，第一次从红盒中抽到黄球为8事件，第•次从红盒中抽到绿球为。

事件，

第二次从红盒抽到红球为公事件，第二次从黄盒抽到红球为々事件，第二次从绿盒抽到红球为的事件，设

第二次抽到红球为。事件，

3131212111

MP(4)=-=P(Ai\A)=-=~,P(B)w，=P(Q=P(Ci|C)=0

所以P(D)=PG4)PG4I|4)+P(B)P(8I|B)+P(C)P(CI|C)=U+U+:X”2故C错误;

D：第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为「崂黑°)=解故D正确.

故选：AD.

11.(6分)已知函数f(x)=ae2i+(a-2)e“一x,则()

A.当函数人无)是单调函数时，。£(一8,0)

B.若。=2,则f(x)的最小值为:+M2

C.若义%)恰有两个零点，则Qa(O,I)

D.当a=1时，曲线y=f(%)有且仅有I条过原点的切线

【答案】BCD

【解题思路】求出函数/lx)的导数，举例说明判断A：求出最小值判断B：利用导数结合零点个数求出范围

判断C；设出切点坐标，利用导数探讨方程解的集数判断D.

【解答过程】函数/(无)=。©2乂+(口—2)1—%的定义域为/?,

6/14

求导得r(x)=2ae2x+(a—2)ex—1=(aex—l)(2ex+1),

对于A,当a=0时，f(x)<0,函数/(%)是单调函数，A错误；

对于B,当@=2时,f\x)=(2ex-l)(2ex+l),

可得/(%)在(一8,1ng)上单调递减，在(Ing,+8)上单调递增，f(z)min=/(ln1)=1-ln1=^+ln2,B正确；

对于C,当QWO时，f(x)在R上递减，函数/(%)至多有1个零点，不合题意；

当a>0时，当xvln^时，r(x)vO；当x>ln：时，f(x)>0,

函数/(%)在(-8,吗)上递减,在(g+8)上递增,/(x)mIn==1-十+lna,

由/(%)恰有两个零点，得l-5+lnQ<0,函数g(Q)=1—5+Ina在(0,+8)上单调递增，g(l)=0,

因此0VaV1,此时f(—1)=2++1=2+£—：+1>0，令人(%)=%—1—Inx,%>1,

求导得人'(%)=1—g>0.函数力(*)在(1,+8)上单调递增，h(x')>h(1)=0,

即当文>1时，x>1+Inx,/(In1)=ae2]na+(a-2)eln«-ln^=+3-1-ln^

=3+^-ln|>ln|+1-ln^+3>0,函数/(x)在(-8,吟)与(吟+8)上各有1个零点，从而0<Q<1,

CE确；

对于D,当Q=1时，函数/'(%)=e2*—e*—x,求导得尸(冗)=2e2x—e*—1,

令过点(0,0)的直线与曲线y=f(x)相切的切点为一eJ),

则切线方程为y-(e2t—以-t)=(2e2t-ef-l)(x-t),即有一小2「一-t)=-t(2e2t-ef-1),

整理得(2t-l)e，-t+l=0,令0(£)=(2£-1户一£+1,求导得0(t)=(2t+1)1—1,

当£W—g时，(p,(t)<0,令y=(2£+l)e，—l,t>—g,求导得y=(2t+3)e，>0,

即函数S'(t)在(一/+8)上单调递增，而。(0)=0,则当t<0时，<0；当£>0时，在。)>0,

函数(p(t)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，(p(t)min=0(0)=0，

即方程(2£—l)e，-t+1=0有唯一解£=0,则曲线y=f(x)有且仅有1条过原点的切线，D正确.

故选:BCD.

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)在®—⑨4的展开式中，常数项为.

7/14

【答案】-96

【解题思路】写出(3%y的展开式通项公式，求出常数项为-=—96.

【解答过程】(3%一舟)4展开式通项公式为77+1=CJ(3x)4-r(-2x4)r=CZ-34T・(-2)”4一,

令4一》=0得r=3,所以常数项为％=Ci-3•(-27=-96.

故答案为：一96.

13.(5分)已知函数/(x)=2x+lnx,则曲线y=/"(%)在(1/(1))处的切线方程为.

【答案】3x-y-l=0

【解题思路】求出导函数，根据导数的几何意义得出切线的斜率，代入点斜式方程，即可求出切线方程.

【解答过程】由八%)=2x+In娘得尸(无)=2+3.・/⑴=3.

v/(l)=24-Ini=2.

所以曲线y=/(x)在(1/(1))处的切线方程为y-2=3(%-1),

即3x—y-1=0.

故答案为：3%-y-l=0.

14.(5分)如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点。出发，每次向左移动的概率为彳，向右移动的

概率为今若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则P(X>0)=

«3

-5-4-3-2-i0i23456x

【答案】《

【解题思路】首先设该质点向右移动的次数为匕贝小〜8(5*),然后根据已知找到满足条件的V的取值，进

而根据二项分布求解概率即可.

【解答过程】设该质点向右移动的次数为匕则y〜B(5,g,丫=0,1,234,5,

若X=y—(5—丫)=2丫-5>0,则满足条件的丫的值为3,4,5,对应X的取值分别为1,3,5.

所以P(X>0)=P(X=1)+P(X=3)4-P(X=5)=P(Y=3)+P(Y=4)+P(Y=5)

3245

=Cix(l)x(1)+C^x(l)x(1)+(1)=n.

故答案为：ZT.

8/14

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.（13分）为了推动智慧课堂的普及和应用，4市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统

计数据如下表：

经常应用偶尔应用或者不应用总11

农村学校40

城市学校80

总计100160

（1）补全上面的列联表;

（2）依据小概率a=0.005的独立性检验，能否判断学校所在区域对智慧课堂的应用有影响？

附:二记悬悬两

其中几=a+b+c+d.

a0.1000.0500.005

2.7063.8417.879

xa

【答案】（1）答案见解析

（2）学校所在区域对智慧课堂的应用有影响.

【解题思路】（I）根据表格数据直接计算即可；

（2）利用卡方公式计算出卡方值，再对比表格数据即可.

【解答过程】（1）补全的列联表如下：

经常应用偶尔应用或者不应用总计

农村学校404080

城市学校602080

总计10060160

（2）零假设Ho：学校所在区域对智慧课堂的应用无影响.

根据列联表中的数据，经计算得到

0160x（20x40-40x60）232

10667

*=-100760x80X80-=可">7879=xo.o35

9/14

;根据小概率a=0.005的独立性脸验，我们推断Ho不成立，因此能判断学校所在区域对智慈课堂的应用有

影响.

16.(15分)已知(2一％)6=Qo+“6+。2必+…+Q6%6(%€R).

(1)求该二项展开式中二项式系数最大的项；

⑵求出|+出|+…+EI的值.

【答案】⑴一160%3

(2)665

【解题思路】(I)由题知n=6,结合二项式系数最大项为中间项，从而可求解.

(2)利用赋值法分别令x=。和x=1即可求解.

【解答过程】(I)由二项式通项公式可得：7vH=媒・26-匕(一%户=《-26-匕(-1产/,

因为九=6为偶数，所以二项式系数最大项为中间项，即第与+1=4项，

所以口=Cl-23-(-l)3-x3=-160x3,

综上：二项式系数最大项为一160炉.

(2)由题可得令％=0,则劭=26=64,

令X——1，则(2+I)6=«0—al+。2—。3+。4一。5+。6=|。()|+|。1|+\a2\+…+|距|，

所以1。11+|。2|+…+1。6|=-64=729-64=665.

17.(15分)“爱国、敬业、诚信、友善”是社会主义核心价值观个人层面的价值准则.某学校为加强对学生

的教育，倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶

矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：

76656

售出水量%

(单位：箱)

165142148125150

收益y

(单位：元)

(1)求收益y关于售出水量x的回归直线方程，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？

(2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生

考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级从第201名到500名的同学，获二等奖学金300元；

考入年级501名及以后的特困生不获得奖学金.甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为|,获二等奖学金

10/14

的概率均为看不获得奖学金的概率均为白如果已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的,

•3XD

求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望

_15-15

AVXtyt-nxyAVV〜

附：-------,a=y—bx,x=6,y=146,>x/y,=4420,>%？=182

>媚一位2=i=i'=i=l

【答案】⑴》=20x+26,186

(2)分布列见解析，600

【解题思路】(1)求出发a,从而求出回归方程，将％=8代入求出即可；

(2)计算对应的概率的值，求出其分布列和期望值即可.

，4"处,"+在》/Z.XrZ々%-5到4420-5x6x146on

【解答过程】(1)力={]._5/=182-5X62=20,

a=y—bx=146—20x6=26,

y=20x+26,

当x=8时，y=20x8+26=186(元)，

即某天售出8箱水的预计收益是186元.

(2)X的取值可能为0,300,500,600,800,1000,

441A-14R

P°：=°)=运X送=—,P(X=300)=C2x-xH=-,

r241612i

P(X=500)=Clx-x-=-,P(X=600)=(1)=-,

P(X=800)=C1lx1|x-2=-4,P(X=1000)=(?12)=-4,

即X的分布列为

X03005006008001000

1681614-1-

P

225457591525

X的数学期望

E(X)=0x+300x+500x+600x1+800x+1000x=600(元).

18.(17分)已知函数/(%)=/―1+”ln(l+%),

(1)若/•(》)在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；

(2)当Q=1时，若对任意X€(—1,+8),不等式f(x)-%2+2wbe'+lnb恒成立，求实数b的最小值:

11/14

(3)若/(%)存在两个不同的极值点孙M,xi<x2,且求实数m的取值范围.

【答案】(呢,+8)

(2)1

⑶,m<|+ln2}

【解题思路】(1)/(为在定义域内单调递增等价于r。)>o恒成立，分离参数转化为最值问题求解；

(2)由1+ln(%+1)W尻"+Inb,构造同构函数g(£)=t+Int,利用g(t)的单调性求解；

(3)由极值点得双变量勺,%2之间关系，将竽通过变量代换转化为关于修的函数，利用导数判断单调性求

八2

其最值情况即可求解.

【解答过程】(1)由题f(x)的定义域为(一1,+8),/(无)=2%+£n02x+W工0在(一1,+8)恒成立,

且广(x)=0的解不连续，

2

Ma>[—2x(1+X)]max—[—2(X+0+|

所以Q的取值范围是L，+8)；

(2)当a=l时，不等式可化为l+ln(%+l)Vbe*+lnb,变形为％+1+ln(x+1)Wbe*+Ing/),

令0(t)=t+】nt,求导得g<t)=1+>0，所以g(t)=t+在(0,+8)上是增函数，

xx

故。+1+ln(x+1)<be+皿人吟,即g(x+1)<g(be"),即%+1<bet

所以对任意％G(-l,+oo),不等式/(x)-X2+2<bex+Inb恒成立，即?<b对任意欠G(-l,+8)恒成立，

x+1~~X

令力(%)=—>xW(—1,+8),则八口)=w，xW(—1,+co),

所以当(—1,0)时,九'(%)>0,则h(x)单调递增；

当口€(0,+8)时,/TQ)<0,则M%)单调递减，

所以九max(x)=h(0)=1，即满足不等式的实数b的取值范围为匕>1,

所以b的最小值为1；

(3)因为/'(%)存在两个不同的极值点<X2,

所以由广㈤=2%+W=空空=0可得占,%2是方程2/+2%+a=。的两根，

所以A—4—8a>0,%i+4=-L%I%2=5，且—1VV—一,Vx2V。，

所以％1%2=]>0,故0<a<T，

12/14

又由/Qi)<m%2可得m<华2

42

/(X1)好一1+aln(1+Xi)1,aln(l+xi)2xi(-l-xi)ln(l+xi)i.、

而7sGT=I"=l—%]+—T77=l-不+-----------二l-孙+2xiln(l+不)，

令0(x)=l-x+2xln(l+

则0'。)=-l+2ln(l+%)+总=£+2ln(l+x)=l一击+2ln(l+x),

vxE(-l,-l),AX+1G(O,1),即Ww(4,+8),ln(X+l)V0,

则砥x)=l一等+2ln(l+%)<0,所以9(%)在区间(一1,一9)上单调递减，

所以有@(乃=j+ln2,即等>|+ln2,

所以实数m取值范围<|+ln2}.

19.(17分)现有甲乙两个盒子，甲盒中装有除颜色外其他都一样的1个红球和2个黑球，乙盒中装有除

颜色外其他都一样的2个红球和1个黑球.现从这两个盒子中各任取一个球，交换之后放入另一个盒子中去,

称为1次球的交换的操作，如此重复n次这样的操作后乙盒子中红球的个数记为丫门

⑴求PpG=1)；

(2)求七的概率分布列并求出E(X2);

⑶证明：E(Xn+1)=1+我X")，(n>2,nGN)

【答案】H

(2)分布列见解析,y

(3)证明见解析•

【解题思路】(1)事件“X1=1”即经过1次交换后乙盒子中只有一个红球；

(2)依题意可知刈的所有可能取值为0,1,2,3,分别求其概率，然后写出分布列，再求数学期望即可；

(3)依题意可知Xn+i的所有可能取值为0,I,2,3,分别求其概率，再根据P(X〃=O)+P(Xn=1)+P(Xn

=2)+P(Xn=3)