二次根式的乘除（学案）-2025-2026学年苏科版八年级数学下册

苏科版八年级数学下册第11单元二次根式

11.2二次根式的乘除一一题型分类精讲

教材版本：苏科版（2024新教材）内容范围：11.2二次根式的乘除难度系数：约0.65

一、核心知识点梳理

1.二次根式的乘法法则

y/axyfb=y/ab（a>0,d>0）

语言表述：两个非负因数的算术平方根的积，等于这两个因数的积的算术平方根。

逆向应用（枳的算术平方根的性质）：y^b=VHxVS（a>0,b>0）

利用该性质可以将被开方数中的“平方数（或平方式）”开出来，从而化简二次根式。

2.二次根式的除法法则

7a4-Vb=4（a>0,/）>0）

语言表述：两个非负因数的算术平方根的商，等于这两个因数的商的算术平方根。

逆向应用（商的算术平方根的性质）：J|（=G+VF（a20,b>0）

3.最简二次根式

满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：

①被开方数不含分母（被开方数的因数是整数，因式是整式）；

②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

要点提示：分母中含有根号不是判断最简二次根式的条件一一分母有理化是对运算结果的规

范要求。最终的运算结果笠要是最简二次根式，又要保证分母中不含根号。

4.分母有理化

把分母中的根号化去，叫做分母有理化。常用方法：将分子和分母同乘一个恰当的二次根式

（分母的有理化因式），利用（TH）?=Q（Q>0）化去分母中的根号。

二、题型分类讲解

【题型一】最简二次根式的识别与化简

解题策略：

1、先看被开方数是否含分母（分数或小数），含分母的一定不是最简二次根式；

2、再看被开方数中是否含有能开得尽方的因数（如4、9、16、25等）或因式（如。2,。4,/丫2

等）。

【例1•基础】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）

A.VHB./C.V03D.V7

答案:D

变式训练1-1下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.V8B.V6C.A/14D.V05

答案：B、C

变式训练1-2下列二次根二。中，是最简二次根式的是（）

A.我B.V12C.y/xy^D.%2+9

答案：D

变式训练1-3在S宙，"TI,-V25^（a>0）四个式子中，最简二次根式有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案：A

【题型二】二次根式的乘除法运算

题型分析依据：2022版课标明确要求“能用二次根式的乘除法法则进行简单运算”，属于“掌

握”层次的核心考点。近五年期末考试中该题型以解答题为主，分值约占6—10分，是整套

试卷中二次根式相关题目的核心得分点。

解题策略：

乘法：系数与系数相乘，根号与根号相乘（即返xVF=®最后结果化为最简二次根式；

除法：可利用除法法则转化为被开方数相除，或写成分式形式后约分化简；分母含根号时必

须进行分母有理化。

【例2•基础】二次根式的乘法运算

计算：V3XV27

答案：9

变式训练2-1计算：V2XV8

答案：4

变式训练2-2计算：2V3X3V6

答案：18V2

变式训练2-3计算：715x712

答案：6V5

【例3•中等】二次根式的除法运算

计算：詈

规范解答：

解：748^3=716=4

变式训练3-1计算：等

答案：6

解析：等“2+2=回=6

变式训练32计算:

里v6x显

答案：3

解析：718-4-6x3=79=3

变式训练3-3计算：JI

答案：与

解析：用=炉=[=得=亨

【例4•中等】综合乘除混合运算

计算：V6xV24-V3

规范解答：

V6xV2--V3=V6X23=V4=2

变式训练4-1计算：V20xV5-V2

答案，5V2

解析：V20xV5-；-岳，20x5+2=V50=V25xV2=5V2

变式训练4-2计算：S国+企xJ

答案：近

解析：V18^V2xJ|=J18x1^2=V3

变式训练4-3计算：V24-^2V3x>/18

答案：6

解析：V244-2V3x^=V24+VHx同=-24+12x18=V36=6

【题型三】分母有理化

题型分析依据：分母有理化是二次根式运算结果规范化的核心要求，在近五年中考和期末考

试中属于高频考点。常出现在化简求值题或分母含根式的运算题中，一般有单一分母有理化

和复合分母有理化两种考查形式。

【例5-中等】分母有理化（分母为单项根式）

化简：气

规范解答：

2xV5_2V5

岳x岳一飞~

变式训练5-1化简：专

答案：v

解析；=T

变式训练5・2化简：萦

答案：f

变式训练5-3化简：信

答案：f

【例6•提优】分母有理化（分母为二项根式）

化简：康

规范解答：

1_IX（逐-VS）—a

V5+V3-（V5+V3）（\^5-V3）-2

变式训练6-1化简：高

答案：安

绍桁1—1x73+1》—6+1

解析：-（V3-1）（V3+I）-2

变式训练6-2化简：号

答案：行+四

变式训练6-3比较灰一花与通一2的大小。

答案：V6—V5<>/5-2

解析：分别取倒数并有理化。

急=乃+代

矗=祈+2

V6>2,

所以，V6-V5<>/5-2

三、易错题型辨析

【易错点1】混淆化简方向——错误拓展公式

错例：Vaxyjb=7axb当a、b为负数时仍沿用。

错因分析：未关注法则的成立条件QNO,b>0.被开方数必须非负，否则不能直接合并。

【易错点2】化简不彻底

错例：V48=V16V3=V16xV3=4V3o若停在闻不化简，则结果不规范。

【易错点3】除法运算中b=0

错例：造错误地直接运用除法法则。

错因分析：分母不能为零，且8=0。除法法则要求b>oa

正确解法：使用除法法则前必须先判断b>0o若b=0,原式无意义。

四、巩固练习（19题，分层训练）

基础达标（1一7题，建议8分钟完成）

1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.V20B.£C.Va2+4D.V4a

2.计算依X同的结果是（）

A.5B.10C.10V5D.100

3.化简同的结果为o

4.计算：V18-i-V2=o

5,把+化为最简形式：________。

77

6.计算：y/3Xy/12=。

7.一个长方形的长为我cm,宽为&cm,这个长方形的面积为cm2<,

能力提升（8—15题，建议12分钟完成）

8.下列计算正确的是（）

A.V5+V2=V7B.、旧xV3=V6

C.V4-x/2=V2D.J（-2）z=-2

9,计算隼的结果是（）

V6

A.2B.4C.A/2D."

10.若。=&+6,b=鱼—遮，求ab的值。

11.化简：=o

12.计算：3显*遮=。

13.计算：闻+遥xj=。

14.化简：高=----。

15.已知直角三角形的两条直角边长分别为VT5和26，求该直角三角形的面积和斜边长。

思维拓展（16—20题，建议10分钟完成）

16.己知X=6+企4=百一企，求t2-y2的值。

17.y/nxVTP=27>求正整数"的值。

18.己知a为正整数，,2471为整数,求a的最小值。

19.观察下列各式：”|=26，口^=3月户^=4/

（1）请你猜想第n个等式（用n表示），

（2）利用上述规律计算：99+3的值。

五、巩固练习参考答案

1.C

2.B

3.5V2

4.3

5,红7

6.6

7.4

8.B