八年级数学上册暑假预习：勾股定理的应用（原卷版）

第03讲勾股定理的应用

心如识点福理

1、创设问题情境，引入新课：前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？

例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？根据题意，

（如图）AC是建筑物，则AC=12米,BC=5米,AB是梯子的长度.所以在RtZXABC中，AB=AC+BC=122+52=132：

所以至少需13米长的梯子.

2、引入新课：蚂蚁怎么走最近

出示问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面周长等于18厘米.在圆行柱的底面A点有一只蚂蚁，

它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？（n的值取3）.

（I）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？

（小组讨论）

（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B点的最短路线是什么?你画对了吗？

（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（学生分组讨论，

公布结果）我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA,将圆柱的侧面

展开（如F图）.

我们不难发现，刚才几位同学的走法：

（l）A-A'-B；（2）A-B‘一B；（3）A-*D-*B；

（4）A—-►B.哪条路线是最短呢？你画对了吗？

第（4）条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.②、做一做：教材14页。李叔叔随身只带卷尺检测

AD,BC是否与底边AB垂直，也就是要检测ZDAB=90°,/CBA=90°.连结BD或AC,也就是要检测

△DAB和ACBA是否为直角三角形彳艮显然，这是一个需用勾股定理的逆定理来解决的实际问题.3,讲授新

课：例这是一个滑梯示意图若将滑道AC水平放平刚好与AB一样长，已知滑梯的高度=3M,CD=IM,试求

滑道AC的长。

解：设滑道AC的长度为x,则AB的长度为x米，AE的长度为（x-1）米。在Rtz^ACE中，由勾股定

理得：//二即("I)?+3]=/

解得x=5故滑道AC的长度为5米。

4、随堂练习：

1.甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东

行走.1时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进.上午10：00,甲、乙两人相距多远？2.

如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入

一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？

1.分析：苜先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型.解：（如图）根据题意，可知A是甲、乙的出发点,

10：00时甲到达B点,则AB=2X6=12（千米）;乙到达C点，则AC=1义5=5（千米）.

在Rl^ABC中，BC=AC+AB=5+12=169=13,所以BC=13千米.即甲、乙两人相距13千米.

2.分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是•个取值范闱而不是固定的长度，

所以铁棒最长时，是插入至底部的A点处，铁棒最短时是垂直于底面时.解：设伸入油桶中的长度为x米，

则应求最长时和最短时的值.（l）x=l.5+2,x=6.25,x=2.5所以最长是2.5+0.5=3（米）.（2）x=1.5,最短是

1.5+0.5=2（米）.答：这根铁棒的长应在2〜3米之间（包含2米、3米）.

3.试一试（课本P15）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一

个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根

芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？我们

可以将这个实际问题转化成数学模型.

解：如图，设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，由勾股定理可求得（x+l）=x+5,x+2x+l=x+25

解得x=12则水池的深度为12尺，芦苇长13尺.

5、'保时小结这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题.我们从中可以发现用数学

知识解决这些实际问题，

|X例1.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相聚8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到

另一棵树的树梢，至少飞了()米.

、［例2.如图，为了测量池塘。勺宽度。石，在池塘周围的平地上选择了A、B、C三点，且A、。、E、

C四点在同一•条直线上，ZC=90°,已测得A8=l(X)m,BC=6()m,AD=20m,EC=l()m,则池塘的宽

度DE(

B.60inC.50mD.40m

、例3.如图，小华将升旗的绳子拉紧到旗杆底端点从绳子末端刚好接触到地面，然后折紧绳子使其

末端到点处，点力到地面的距离C。长为2m,点。到旗杆AB的水平距离为8m,若设旗杆的高度48长

为am则根据题意所列的方程是(

8*8m-HC

22:

A.(x2)I8=x(xI2)-I82

222

C.X+8=(X-2)D.X2+82=(X+2)-

>例4-如图，圆柱的底面半径为3cm,高为4m”,一只蚂蚁从A点沿着圆柱的侧面爬行到与点A相对

的8点，则最短路线长为()

B

A.（6+4乃）B.2的+/c，C.IncmD.5兀cm

｝例5.如图，牧童在A处放牛，牧童家在8处，A,8处距河岸0c的距离AC、的长分别为5km

和10km,且C,。两点的距离为8km,天黑前牧童从A处将牛牵到河边饮水再回家，那么牧童最少要走的

距离为（）.

DC河岸

IB

A.15kmB.16kmC.17kmD.18km

I\例6・如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个"半圆柱''而

成，中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，其边缘4B=CO=20m.小明要在43上选取一点E,

能够使他从点Q滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（）m.（仄取3）

A.30B.28C.25D.22

Dj例7.甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40km/h.甲客轮用l.5h到达点4乙客轮用

2h到达点&若A,B两点的直线距离为100km,甲客轮沿着北偏东30。的方向航行，则乙客轮的航行方向

可能是（）

A.南偏西30。B.北偏西30。C.南偏东60。D.南偏西60。

L〉例8-如图，ACA.BC,一架云梯AB长为25米，顶端A靠在墙AC上，此时云梯底端S与墙角。距

离为7米，云梯滑动后停在OE的位置上，测得AE长为4米，则云梯底端3在水平方向滑动的距离8。为

B.6米C.8米D.10米

9.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1,A和8是这个台阶两个相对

的端点，A点有一只蚂蚁，想到8点去吃可口的食物.则这只蚂蚁沿着台阶而爬行的最短路程是

（）

A.6B.8C.9D.15

'例10.已知圆柱形茶杯的高为12厘米，底面直径为5厘米，将长为20厘米的筷子沿底面放入杯中,

筷子露在杯子口外的长度是工厘米，则工的取值范围是（）厘米.

A.无法确定B.x>lC.x>8D.8>x>7

.某航空公司经营中有A、B、C、D这四个城市之间的客运业务.它的部分机票价格如下：A-

B为2000元；A-C为1600元；A-D为2500元；B-C为1200元；（2-口为9。0元.现在已知这家公司

所规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B・D的机票价格（）

A.1400元B.1500元C.1600元D.1700元

.如图，长方体的长、宽、高分别是6,3,5,现一只蚂蚁从A点爬行到8点，设爬行的最短路

线长为。，则/的值是（）

A.130B.106C.100D.86

例13.如图，以RQA5C各边为边分别向外作等边三角形，编号为①、②、③，将②、①如图所示

依次叠在③上，已知四边形EMNC与四边形MPQN的面积分别为96与76，则斜边8。的长为（)

D.16

，跟踪就练

一、单选题

1.如图，小明和小华同时从A处分别向北偏东60。和南偏东30。方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s,

则20s后他们之间的距离为（）

北

2.如图，一棵大树在一次强台风中在距地面8m处折断，倒下后树顶端着地点4距树底端8的距离为15m,

则这棵大树在折断前的高度为（）

A.12mB.17mC.23mD.25m

3.如图，有一个水池，水面是一边长为8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面I尺，.如果把

这根芦苇拉向水池的一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（）尺

.

D.9

4.如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为10cm,底而周长为12cm,在圆柱的下底面的内壁A处有一只蚂蚊,

它想吃到在杯内离杯上沿2cm的点E处的一滴蜂蜜，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（）

A.2761cmB.25/34cmC.4VL3cmD.10cm

5.如图，一架长25米的梯子44,斜靠在竖直的墙上，梯底端离墙7米，若梯子顶端下滑4米至C点，那

么梯子底端将向左滑动（）米.

6.如图，城南大道MN的同一侧有A、8两个社区，CAIMN^C,DB1.MN于D,C、。两点相距5km,

已知C4=1km,08=3km.现要在CO上建一个社区服务站£使得4、8两社区到七站的距离相等，则CE

的长是（）km.

MeEDN

A.2B.3.3C.2.5D.2.8

7.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔，则一条长16c〃?的直吸管

露在罐外部分。的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）

A.4<a<5B.3<a<4C,2<a<3D.i<a<2

8.一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2,A和H是这个台阶两个相对的端点，A点有

一只蚂蚁，想到8点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到5点最短路程为（）

A.x/48?B.25C.30D.35

9.在A地有甲、乙两支部队，接到命令后分别沿着东北方向与西北方向参加长江大堤的抗洪抢险.行进的

速度都为每小时60千米，结果甲、乙两支部队分别用了1小时和1小时20分赶到指定的地点B处和C处,

则BC之间的距离为（）千米.

A.80B.60C.100D.120

10.如图所示，在长方形A6C。中，AO=6,A6=10,若将长方形A3c。沿DE折叠，使点C落在八。边上

的点F处，则线段CE的长为（）

二、填空题

11.如图，一棵大树在离地面6米高的8处断裂，树顶4落在离树底部C的8米处，则大树数断裂之前的

高度为.

12.如图是一块长、宽、高分别为4cm、2cm和1cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A

处，沿着长方体木块的表面爬到长方体木块上和顶点A相对的原点8处吃食物，那么它需要爬行的最短路

径的长是

13.学习完《勾股定理》后，尹老师要求数学兴趣小组的同学测量学校旗杆的高度.同学们发现系在旗杆

顶端的绳子垂到了地面并多出了一段，但这条绳子的长度未知.如图，经测量，绳子多出的部分长度为1

米，将绳子沿地面拉直，绳子底端距离旗杆底端4米，则旗杆的高度为米.

厂/

14.一个无盖的圆柱形杯子的展开图如图所示，现将一根长18cm的吸管放在杯子中，则吸管露在杯了•外面

的部分至少有—cm.

15.如图，在渔船上的渔民在人处看见灯塔M在北偏东6()。方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向

航行，半小时后到达8处，在B处看见灯塔M在北偏东15。方向，此时灯塔M与渔船的距离是_____海里.

16.如图，圆柱形容器中，高为&7几底面周长为24°〃,在容器内壁离容器底部25?的点3处有一蚊子，此

时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿女m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为一“〃(容

器厚度忽略不计).

17.云顶滑雪公园是北京2022年冬奥会7个雪上竞赛场馆中唯一利用现有雪场改造而成的一下图左右两幅

图分别是公园内云顶滑雪场U型池的实景图和示意图，该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱

12

而戌，它的横截面图中半圆的半径为一m,其边缘A4=CD=24m,点E在。。上，CE=4m.一名滑雪爱

7V

好者从点人滑到点E，他滑行的最短路线长为_________机.

云顶滑雪场U型池实景图云顶滑雪场U型池示意图

18.如图，小明家（A）在小品家（B）的正北方，某日，小明与小凫约好去图书馆（D）,一小明行走的

路线是ATC—D,小亮行走的路线是BTC—D,已知A8=3km,BC=4km,CD=5km,ZABC=90°,已

知小明骑自行车速度为akm/分钟，小亮走路，速度为0.1km分钟。小亮出发20分钟后小明再出发，若小

明在路上遇到小亮，则带上小亮一起去图书馆，为了使小亮能坐上小明的顺风车，则a的取值范闱是

C

三、解答题

19.《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载的一道“折

竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？''其大意是：一根竹子高1丈，折断后竹

子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是多少？（其中丈、尺是长度单位，1丈=10尺.）

20.如图，烟台市正政府决定在相距50km的A、3两村之间的公路旁E点，修建一个大樱桃批发市场，且

使C、D两村到月点的距离相等，已知。AIAA于人CB\AB=^B,OA=30km,C/?=20km,那么大樱桃

批发市场E应建什么位置才能符合要求？

21.如图，甲乙两船从港口4同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东40。航行，乙船向南偏东50。航

行，4小时后，甲船到达C岛，乙船到达3岛，若C3两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？

22.一梯子AC长2.5m,如图那样斜靠在一面墙上，梯子底端离墙0.7m.

(1)这架梯子的顶端离地面有多高？

⑵设梯子顶端到水平地面的距离为m,底端到垂直墙面的距离为〃，若生，根据经验可知：当2.7vav5.6

n

时，梯子最稳定，使用时最安全.若梯子的顶端下滑了0.4m,请问这时使用是否安全.

23.伊通河，是长春平原上的千年古流，是松花江的二级支流，它发源于吉林省伊通县境内哈达岭山脉青

顶山北麓，如图，在伊通河笔直的河流一侧有一旅游地C,河边有两个景点A、及其中AB=AC,由于某

种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个景点，(A、H、〃三点在同一直

线上)，并新修一条路C〃，测得