第五章 第3节 简单的轴对称图形-垂直平分线和角平分线（7类热点题型讲练）解析版

第03讲简单的轴对称图形一垂直平分线和角平分线（7类热点

题型讲练）

学习目标

1.理解线段的垂直平分线的概念；

2.掌握线段的垂直平分线的性质定理及逆定理；（重点）

3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算.（难点）

4.经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理；（重点）

5.能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题.（难点）

思维导图

简单的轴对称图形

一垂直平分线和角平分线

II

线段的垂直平分线（简称中垂线）角平分线的性质

知识清单

知识点01线段的垂直平分线（简称中垂线）

定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线.

性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

作法：作已知线段的垂直平分线.

知识点02角平分线的性质

1.角是轴对称图形，角平分线所右的直线是它的对称轴.

2.性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

3.作已知角的角平分线.

题型精讲

题型01根据线段垂直平分线的性质求解

【例题】（2024八年级下•全国•专题练习）如图，在8VAC）中，4c边上的垂直平分线OE交4c于

点、D,交AC于点E,AC=15cm,二ABE的周长为24cm,则A8的长为.

【答案】9c5/9厘米

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质.先根据线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线二的点到线段

两端的距离相等”可得8£=CE,再利用乂用?的周长为24cm,即可求出人/?的长.

【详解】解：团OE是8c的垂直平分线，

^BE=CE,

团一,钻石的周长=A8+AE+8E=A8+AE+CE=A8+AC,

团4c=15cm,-ABE的周长为24cm,

团4?+15=24,

解得45=9,

故答案为：9cm.

【变式训练】

1.（2024•山东滨州•一模）如图，在y5c中，4=90。，分别以点4和点C为圆心，大于的长为半径

2

画孤，两弧相交于M,N两点；作直线交48于点E.若A3=16,AC=8,则址:长为

【答案】10

【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、勾股定理，先根据作图痕迹得MN垂直平分BC,则有8E=CE,

冉利用勾股定理求解即可.

【详解】解：连接CE,

根据作图痕迹得MN垂宜平分4C,

^BE=CE,

0/46=16,AC=8,

团在RtACE中，AE=16—BE,

则由勾股定理得AE2+AC2=CE2,HP(16-BE)2+82=BE2,

解得5£=10,

故答案为：10.

2.：23-24八年级下•四川雅安•阶段练习)如图所示，在A8C中，DM、硒分别垂直平分相和AC,交BC

(2)若VAOE的周长为19cm，求BC的长度.

【答案】⑴115。；

(2)19cm.

【分析】此题主要考杳线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，线段的垂直平分线上的点到

线段的两个端点的距离相等.

(1)根据以人班分别垂直平分力3和AC,可知4。=8DAE=EC,进而得到/8=/84O,ZC=ZE4C,

即可求解；

(2)依据。M、EN分别垂直平分48和4。，得出AE=EC,进而得到BC的长即VAOE周长.

【详解】(I)解：团OM、EN分别垂直平分A3和AC,

0AD=BD,AE=EC,

团NB=N8AO,NC=NEAC,

0ZBAC=NDAE+/BAD+/CAE,

0ZBAC=ZDAE+ZB+ZC；

乂巨NBAC+N8+NC=180。，ZZ）AE=50°,

0ZMC=il5°.

（2）解：（3VA£）E的周长为19cm,

团AD+AE+DE=19cm,

由（1）知，AD=BD,AE=EC,

0BD+DE+EC=19,即8C=19cm.

题型02线段垂直平分线的实际应用

【例题】（23-24八年级下•河北保定•阶段练习）如图，政府计划在A8,C三个村庄附近建立一所小学，且小

学到三个村庄的距离相等，则小学应建在（）

A

A.A8。三边垂直平分线的交点B.A8C三条角平分线的交点

C.»8c三条高所在直线的交点D._48C三条中线的交点

【答案】A

【分析】本题考查了线段垂直平分线.上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键.

【详解】团小学到三个村庄的距离相等，

团小学应该修建在々ABC的三边的垂直平分线的交点，

故选：A.

【变式训练】

1.（23・24八年级下•河南郑州•阶段练习）如图，A,B,C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活,

现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（）

A.AC,两边垂直平分线的交点处B.AC,8c两边中线的交点处

C.AC,8C两边高线的交点处D,/区两内角平分线的交点处

【答案】A

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线性质定理是解题的关键.

【详解】解：A,B,C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三

个小区的距离相等，

团文化广场应建在AC,8c两边垂直平分线的交点处，

故选:A.

题型03作垂线（尺规作图）

【例题】（23-24八年级下•广东佛山・期中）如图.在中.ZC=9O°.

⑴尺规作图：作边A8的垂直平分线，交8c与点。，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）

⑵若NA8C=38。，求NC4。的度数.

【答案】（I）见解析

⑵14。

【分析】此题考查了三角形内角和定理，尺规作垂直平分线以及性质，等边对等角等知识，

（1）根据线段中垂线的作法作出图形；

（2）首先根据三角形内角和定理得到NC48=180。-NC-N8=52。，然后根据垂直平分线的性质得到

AD=BD,求出ND4B=NABC=38。，进而求解即可.

【详解】（1）如图所示，

（2）（21ZC=90O,ZABC=38°

0ZCAB=180°-ZC-ZB=52°

团。E垂直平分AB

田AD=BD

0ZAMB=ZABC=38°

0ZC4D=/CAB-4DAB=14°.

【变式训练】

1.（23-24八年级上•江苏徐州•期中）如图，某社区要在居民区48所在的直线上建一图书室E并使图书

室E到本社区两所学校C和。的距离相等.已知C4_LA8,DBA.AB,垂足分别为A,B,且A8=2.5km,

C4=1.5km,BD=1.0km.

AB

D

C

⑴请用直尺和圆规在图中作出点E（不写作法，保留作图痕迹）;

⑵求图书室E到居民区A的距离.

【答案】（I）见解析

⑵1km

【分析】本题考查了作图•垂直平分线，勾股定理的应用：

（1）连接C。，作C。的垂直平分线交AB于点E,根据垂直平分线上的点到两端的距离相等，点E即为所

求作；

（2）设图书室上到居民区A的距为Akm,利用勾股定理建立方程求解即可.

【洋解】（1）解：如图，点E即为所求作.

（2）解：设图书室E到居民的距为xkm,即AK=.rkm,E8=（2.5-x）km,

-CA1AB,DB1AB,

:.ACAE=ZDBE=90°,

CE=DE,

•••由勾股定理得，AC2+AE2=DB2+EB2,HP1.52+X2=（2.5-A）2+I2,

解得：x=l

,图书室E到居民区A的距离为1km.

2.（23-24八年级上•辽宁鞍山•阶段练习）如图，某居民小区在三栋住宅楼A,B,。之间修建了供居民散

步的三条绿道，小区物业打算在绿道内部修建一个凉亭，按照设计要求，凉亭到三条绿道的距离相等，请

在图中标注凉亭的位置，保留作图痕迹，并说明设计理由.

【分析】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握角平分线的性质.作NA8c的平分线8以

NAC3的平分线CF,酩交CF于尸，点P即为凉亭的位置.

【详解】解：作/A8C的平分线BE,NAC8的平分线。广，BE交CF于P,如图：

理由：跖平分N48C,

了.尸到48的距离等于P到8C的距离；

同理尸到8C的距离等于。到AC的距离；

P至I」A8的距离等于P到BC的距离,也等于P到AC的距离;

一.尸到三条绿道的距离相等.

题型04根据角平分线的性质定理求解

【例题】（23-24八年级下•广东茂名•期中）如图，OP平分/AOB,PC工OB,如果巾=6,那么点尸到04

的距离等于.

—

B

【答案】6

【分析】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质推出叨=尸C.

过P作尸”_LQ4于〃，由角平分线的性质推出尸"=尸。=6,即可得到点，到04的距离等于6.

【详解】解：过。作于”，

0P平分NA08,PCA.OB,

:.PH=PC=6t

「•点。到。4的距离等于6.

故答案为：6.

【变式训练】

1.（23-24八年级下•江西吉安•阶段练习）如图，4。是A8C的角平分线，DEJ.AB于点E,若AC=6.DE=2,

则.ACQ的面积为

【答案】6

【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.

过点。作D/IAC于点尸，由角平分线的性质可知。£=OF,再由三角形面积公式即可得出结论.

【详解】过点。作0/1AC于点产，

团4D是ABC的角平分线，DEJ.AB,DE=2,

⑦DF=DE=2,

0AC=6,

[?]S.=-ACDF=-x6x2=6

|«/ivr-nlz2

故答案为：6.

2.（23-24八年级下•河南郑州•阶段练习）如图，已知。是NA08平分线上一点，N4OP=15。，CP〃OB交

04于点C,PD1OB,垂足为。，且PC=6,贝hOPC的面积等于.

【答案】9

【分析】本题考查角平分线的性质、平行线的性质、含30。角的直角三角形的性质和等腰三角形的判定，解

答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

过点P作PELOA于点E,然后根据平分线的性质可知夕£=PD,再根据平行线的性质和角平分线的性质,

可以得到NECP的度数，从而可以求得尸E的长，本题得以解决,

【详解】解：过点尸作F点E,如图所示,

OP平分/人。8,PDLOB,PEA,OA,ZAOP=\50,

ZAOB=30°,ZCOP=ZPOD=\50,PD=PE,

CP//OB,

:.AECP=ZA0B=3(r,ZPOD=ZCPO=ZAOPf

PC=6,N尸EC=90°,

:.PE=3,OC=PC=6,

PCO的面积=BoCPE=gx6x3=9；

故答案为：9.

题型05根据角平分线的性质定理证明

【例题】(23-24八年级上•广东广州•期中)如图，四边形A8CO中，4=NC=90°,点E为BC上一点,DE

平分/ADC,且AE平分N84O.

⑴求证：EDLAEx

(2)求证：点月为BC的中点.

【答案】(I)证明过程见解析

(2)证明过程见解析

【分析】(1)根据角平分线的定义可得NE4O=：NBA。，NEDA=〃ADC,再根据平行线的判定与性质

22

可得NB4O+NA£>C=180。，从而可得NE4O+NE£)A=9()。，再利用三角形内角和定理求得NAED=90。，即

可得出结论；

(2)过点石作E/14)于点F,根据角平分线的性质可得"=£C,EF=EB,即可得出结论.

【详解】(1)证明：团。七平分NA0C,AE平分NK4Z),

0ZEAD=-ZBAD,ZEDA=-ZADC

22t

(3NB=NC=90°,

BAB//DC,

0ZE4D+ZADC=18O°,

02ZE4D+2ZEDA=180°,即NMD+/EZM=90°,

回ZAED=180°-(ZEAD+NED4)=180。-90°=90°,

回EDA.AE；

(2)证明：过点上作EFSAO于点匕

^EFIAD,ZC=90°,OE平分/ADC,

0EF=EC,

^EF±AD,2B90?,AE平分

(3£F=£B,

0EB=EC»

即点E为4C的中点.

【点睛】本题考查角平分线的定义及性质、平行线的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质

是解题的关键.

【变式训练】

1.(23-24八年级上•湖北恩施•期末)教材第56页拓广探索12题：

E

AA

⑴如图，在ABC中，A。是它的角平分线

①求证：今理■二AB

~AC；

②另一方面，我们进一步探索，可以证明泮=黑.

°ACD

请你选择上述两结论中的其中一个进行证明；

⑵由（I）的探索我们可以得到关于A8C的角平分线4。的一个性质，请你总结这个性质（结合图1表述）；

⑶运用你所得到的结论完成下列证明：如图2,AD是NB4C的平分线，CE〃/V）交朋的延长线于点E.求

丁BDBA

证：——.

CDEA

【答案】（I）证明见解析；

⑵三角形•个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例（答案不唯一，合理即可）；

（3）证明见解析.

【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形面枳公式等知识点，掌握等高（同高）的两个三角形的

面积比等于底边之比是解题的关键.

（1）①由角平分线的性质得£>E=OF，再根据三角形的面积公式即可解答；（2）直接根据三角形的等面积

法即可解答;

（2）直接根据（1）总结归纳性质即可；

（3）先根据角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定可得=再根据（1）的结论即可

解答.

【详解】（1）①证明：过。作OE_LA3,DFVAC,

团AD是角平分线，DE工AB,DF1AC,

0DE=DF,

ABD=-2ABDE*zic,S2ACD=-ACDF,

Q—AB,DE<D

0^n=2________=丝.

凶&1AC,

◊VAC。_AC-DFc

2

②证明：过4作AHJ_8C于点H,

=-BD»AH,S=-CD*AH,

M/Ai/o/izD2ACf)2

Q-BD-AHppi

4*2_BD

121二...----------.

SVACD-CD-AHCD

2

(2)解：三角形一个角的平分线分对•边所成的两条线段与这个第的两边对应成比例(答案不唯一，合理即

可).

(3)证明:mAO是/朋C的平分线，

^ZBAD=ZCADf

^AD//CE,

(3NfiA3=NE,ZCAD=ZACE,

0ZE=ZACEz

(21AC=AE,

团AD是,A8c的角平分线，

ABBD

0---=---,

ACCD

BDBA

0---=---.

CDEA

2.(22-23八年级上•上海普陀・期中)如图，在A8C中，A。是N8AC的平分线.

⑴在线段A。上任意取一点尸，过点尸作MNSA。，交A8于点M,交AC于点N,通过这样的作图能得

到结论M尸=可，那么依据是.

(2)如果N8=60。，CE平分NAC8交回于点E,且4。、CE相交于点F,求证：FE=FD.

(3)如果4C8=100。，在边AB上截取一点E,连接。石，使NACE=20。，连接OE.请直接写出NADE的

度数.

【答案】⑴三线合一

(2)见解析

(3)乙4。£=10。

【分析】(I)根据题意可得NAJWV=N/WM，得出NAAW=N/VW,根据等腰三角形的性质却可求解；

(2)过点尸作尸MJLA8,7W18C,垂足分别为M.N,连接M,证明回加包WW(AAS),即可得证；

(3)设/BAD=ZCAD=a,NAOE=P,根据三角形的外角的性质得出NBED=«+/?,NDEC=。一/+20。,

延长AC至G,过点。分别作ARECAC的垂线，垂直分别为M,MP,证明OE平分/BEC,进而即可求

解.

【详解】(1)解：国4。是/胡C的平分线，MNJ.AD,

回NMAF=NNAF/MFA=乙NFA=90°

中ZAMN=ZANM

^AM=AF

^MN±AD

⑦MF=FN(三线合一)，

故答案为：三线合一；

(2)过点尸作/MJ_A8,EV_L8C,垂足分别为M,N,连接商

团CE平分/AC8,AO是N8AC的平分线,

回所平分/A8C,

0FM=FN,

0Z4BC=6O°,

团ZMFN=180°-60°=120°,

0Z1EFD=ZAFC=180°-(/B4C+ZFC4)

=B0°-1(ZfiAC+ZAC5)

o

=1^0°-lx(180-60°)

=120°,

中NEFD=/MFN,

I?1/EFM=/DFN,

在4EFM与ADFN中,

ZEMF=NON/

<NEFM=NDFN,

FM=FN

。川(AAS),

0FE=FD:

(3)

(3AD是N7MC的平分线，

0Z5AD=ZC4D,

设N8AO=NC4P=a,AADE=p

团N8£Q=N84O+N4OE=a+N4»：=a+/,

0Z4CE=2O°,

o

^ZBEC=ZBAC+ZACE=2a+20f

0ZDEC=NBEC-/BED

=(ZBAC+ZACE)-/BED

=2a+2O°-(cz+Z?)

=cr-/?+2O°,

如图，延长AC至G,过点。分另J作人aECAC的垂线，垂直分别为M・MP,

[21ZACE=20°,Z4CT=100°,

^:.ECD=ZDCG=S00,

团CB是NECG的角平分线，

^DNIDP,

0DN-DP,

回AD是N84C的角平分线，

又NPJ_AC,OM_L48,

®DP=DM,

田DN=DM,

团ED是N8EC的角平分线，

©ZBED=/DEC,

团a+/?=a-/?+20。，

回£=10。,

即NAOE=10°.

【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，综合运用以

上知识是解题的关键.

题型06角平分线的性质实际应用

【例题】（23-24八年级下•陕西西安•阶段练习）如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现决定在

其中修建一个亭子，使亭了-中心到二条马路的距离相等，则亭了应建在（）

A.在边AC,两条高的交点处

B.在边AC,两条中线的交点处

C.在边AC,6c两条垂直平分线的交点处

D.在NA8C和NAC8两条角平分线的交点处

【答案】。

【分析】

本题考杳了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，理解角平分线的性质是解题的关键.

根据角平分线的性质求解即可.

【洋解】解：团亭子中心到三条马路的距离相等，

团亭子中心就是A8C的三个内角的平分线的交点，

因此，A、B、C三个选项都不符合要求，

设/A8C和NAC8两条角平分线的交于点P,作八8于点E,PEJ.BC于点、E,P尸上AC于点F,

如图所示，

E

团BP平分48C,PD1AB,PEIBC,

团PD=PE,

同理可得：PE=PF,

0PD=PE=PF,

即点〃到三边的距离相等,

亭子应建在点尸，因此，。选项正确.

故选：O.

【变式训练】

1.：23-24八年级下•陕西西安•阶段练习）如图，直线a,b,c,表示三条相互交叉的公路，交点为三个小区,

现拟建一个超市，要求它到三个小区的距离都相等.则可以供选择的地址有（）

B.2处C.3处Q.4处

【答案】A

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质.由三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等即可求解.

可供选择的地址只有1个.

题型07作角平分线（尺规作图）

【例题】（23-24八年级下•辽宁沈阳•阶段练习）如图1,两条交叉马路QM,ON中间区域建有A,B两个温

室花房.现要在两条马路。3，QV之间的空场处建鲜花交易中心P,使得交易中心P到两条马路QM,ON

的距离相等，且到两个温室花房儿8的距离也相等.如何确定交易中心P的位置?如图2,利用尺规作图

求作点P（不写作法，保留作图痕迹）.

图1图2

【答案】见解析

【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的实际应用，解题的关键是熟练掌握角平:分线和垂直平分

线的性质.作NMCW的平分线和线段AA的垂直平分线，则交点即为所求点P.

【变式训练】

1.（2024•广东茂名•一模）如图，已知CA=CB,/4。。是的一个外角.

⑴请用尺规作图法，求作射线。，使CP平分NACO.（保留作图痕迹，不写作法）

（2）证明：CP//AB.

【答案】（I）见解析

（2）见解析

【分析】本题考查了角平分线的尺规作图以及平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

（1）以C为圆心，任意长为半径画弧交AC和。。于点M和M再以点M和N为圆心，大于WN的一半为

半径画弧，两弧交于一点P,连接CP,即可作答.

（2）因为C4=C8,得N4=NABC,根据外角性质，得44+ZA8C=NACO=244CP,根据内错角相等

两直线平行，即可作答.

【详解】（1）解：如图所示：

A/

BCWD

(2)解：0C4=CB,

0Z4=ZABC.

回N4+NA4c=2N4=NA8,CP平分NACQ.

QZACP=/DPC,ZACP+ZDPC=2ZACP=ZACD.

0Z4=Z4CP.

^CP//AB.

2.(23・24九年级下•湖北恩施•阶段练习)如图，AB//CD,以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分

别交AB,AC于E,F两点，再分别以石，尸为圆心，大于尸长为半径作圆弧，两条圆弧交于点尸，作

射线AP，交CD于点、M.

⑴若46=110。，求NM43的度数；

(2)若CN_L/W,垂足为N,求证：△ACN之△MCN.

【答案】⑴NM48=35。：

(2)证明见解析.

【分析】此题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义，解题的关键是

熟练掌握知识点的应用.

(1)由AB〃C。可求出NC43=70。，再根据作图可知AM是NAC4的平分线，从而求解；

(2)通过43平分/。8,^ZCAM=ZMAB,由4B〃C。，则NM48=NCM4,故有N0W=NCMN,

又CV_LAM,则有NANC=NMMT,最后根据AAS即可求证；

【详解】(1)团48〃CD,

0ZACD+ZC4B=180°,

又e/4C0=UO。，

[?1ZC4B=700,

由作法知，4M是NC4B的平分线，

ZMAB=-ZCAB=35°•

2

(2)证明：团/W平分NC46,

(3NC4M=NM48,

团AB〃CO,

回=

QKAN=NCMN,

又RCN_LAM,

⑦ZANC=NMNC,

在ZSAav和△MCN中，

/ANC=4MNC

</CAN=NCMN,

CN=CN

回一ACN-MCN(AAS).

强化训练

一、单选题

1.（23-24八年级上•浙江温州•阶段练习）如图，^BAC=}OO°,AB>AC.若“尸和NQ分别垂直平分.和AC,

则/PAQ的度数是（）

A.20°B.60°C.50°D,40°

【答案】A

【分析】

此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.由/84C=100o.A3»A。，可求得N8+NC的

度数，根据线段垂直平分线的性质，可得AP=8P,AQ=CQ,继而求得N84P+NCAQ的度数，则可求得答

案.

【详解】

解：□ZBAC=1(X)°,AB>AC,

0ZB+ZC=180°-ZBAC=80°,

0MP和NQ分别垂直平分AB和4C,

^AP=BP,AQ=CQf

国NBAP=NB,ZCAQ=ZC,

团/BA尸+NC4Q=80。，

0ZPAQ=ZBAC-（ZBAP+ZCAQ）=20°.

故选:八.

2.（22-23八年级上•湖北武汉•期末）如图，A8C中，NBAC=90。,BC=5,AC=3,48=4,点。是

NABC,4CA的角平分线的交点，则点。到3。的距离为（）

【答案】A

【分析】

本题主要考查了角平分线的性质，先利用角平分线的性质得出。七=。产=£心，再根据等面积法计算即可.

【详解】解：如图所示，过点。作作OE、DF.QG分别垂直于AC,AB、BC,垂足分别为£、F、G,

连接A。

ZAC8与/A8C的角平分线交于点D,

：.DE=DF=DGt

S/^BC=S.ABD+SgCD+S^CD

^-ACDF+-ABDE+-BCDG=-ABAC

2222

W（AC+AC）OG=6,

6DG=6，

0DG=1,

团点D到BC的距离为1,

故选：A.

3.：22-23九年级上•浙江杭州•期中）如图在A8C中，边AB,力。的垂直平分线交于点P,连结解，CP,

若乙4=50。，则N8PC=()

A.100°B.95°C.90°D.50°

【答案】A

【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分

线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

连接A尸，延长5P交AC于。，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质证得

ZACP-^CAP,根据二角形外角的性质即可求出^BPC.

【详解】解：连接AP,延长8P交AC于。，

国点P是AB,AC的垂直平分线的交点，

:.PA=PB=PC,

:.ZABP=ZBAP,ZACP=ZCAPt

NBPC=NBAC+NBAP+ZCAP=ZBAC+NBAC=2NBAC=2x50°=100°,

故选:A.

4.（2024•海南省直辖县级单位•模拟预测）如图，在一48C中，AB=AC,N8=54。，以点C为圆心，C4长

为半径作弧交A8于点。，分别以点A和点。为圆心，大于《AO长为半径作弧，两弧相交于点E,作直线CE,

交AB于点、F,则NAb的度数是（）

c

A.25°B.20°C.18°D.15°

【答案】C

【分析】本题考查尺规作图，等腰三角形、直角三角形的性质，掌握等腰三角形、直角三角形的性质以及

尺规作图的原理是正确解答的前提.

由尺规作图可得再根据等腰三角形、直角三角形的性质进行计算即可.

【详解】解：由作图可得，CF上AB于^F,

:"BFC=90P,

ZBCF=90°-ZB=36°,

又AB=AC,ZB=54°,

/.Z4CT=ZB=54°,

/.ZACF=54°-36°=18°,

故选：C.

5.（23-24七年级下•江苏苏州•阶段练习）如图，在A8C中，ZBAC=90°,A。是高，HE是中线，C77是

角平分线，CF交AD于点、G,交BE于点、H,下面说法正确的是（）

①..ABE的面积=Z\BCE的面积；②ZAFG心GF；③4X6=2/43；@AF=FB.

A.①③④B.①②④C.①②③D.③④

【答案】C

【分析】根据的是中线，得到.4^的面积的面积，可判断①正确；根据N84C=90。，A。是高，

得乙4R7=90。—ZACENQGC=90。—N8CE,ZACB=900-ZDAC=ZFAG,结合CF是角平分线，可证

ZACF=NBCF,继而得到乙4/G=/QGC,ZACI3=2ZACF,结合N4G厂=NOGC可得44人7=46”，

继而判定②正确；根据NAC3=2NACF,^\CB=ZFAG,可判定NE4G=2NACV,故③正确；过点”作

于点M,结合E4_LAC,ZACF=ZBCF,得到必=FM,根据直角三角形斜边大于直角边，得

到尸=可判断④错误，解答即可，本题考查了三角形的高线、中线、角的平分线，直角三角形

的特征，熟练掌握相应知识是解题的关键.

【详解】团友:是中线，

团.ABE的面积=△BCE的面积，

13①正确；

0Z5AC=9O°,A。是高，

0ZAFG=90°-AACF/DGC=90°-ZBCF,ZACB=90°-ADAC=ZMG,

田。7是角平分线，

0Z4CF=ZBCF,

^ZAFG=ZDGC,ZACB=2ZACF,

^ZAGF=ZDGC

^ZAFG=ZAGF,

团②正确；

^ZAC13=2ZACF,ZACB=ZFAGf

^ZFAG=2ZACF,

故③正确；

过点尸作在MJ.AC于点M,

^FAIAC,ZACF=NBCF,

回£4=RW,

根据直角三角形斜边大于直角边，

0FB>FM=FA，

回④错误，

二、填空题

6.（22-23八年级上•甘肃平凉・期末）如图，在二ABC中，OE是AC的垂直平分线，AE=3cm,△ABD的

周长为13cm,则A8C的周长.

A

Ef

B，~~龙------

【答案】19cm/I9厘米

【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解答本题的关键.根据。月是AC的

垂直平分线，AE=3cm,可得石C=A石=3cm,AD=DC,再根据△A8O的周长为13cm,可得

AB+AD+I3D=\3cm,从而可得答案.

【详解】解：团。石是AC的垂直平分线，AE=3cm,

0EC=AE=3cm,AD=DC,

又叵△的周长为13cm,

AB+AD+BD=\3cm,

团Cg8c=AB+8。+。。+AE+EC=AB+BD+AD+AE+EC=13+6=19（cm）,

即ABC的周长为19cm.

故答案为：19cm.

7.（23-24九年级下•北京•阶段练习）如图，在Rt,A8c中，？390?,以点A为圆心，适当长为半径画弧，

分别交A3、AC于点。,E,再分别以点。，石为圆心，大于goE长为半径画弧，两弧交于点八作射线所

交边8c于点G,若BG=1,AC=4,则.ACG的面积为

【答案】2

【分析】本题考查了基本作图以及角平分线的性质.利用基本作图得到AG平分/3AC,利用角平分线的

性质得到G点到AC的距离为1,然后根据三角形面积公式计算ACG的面枳；

【详解】解：由作图得4G平分/84C,

l?lZfl=90o,

・•.G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1,

0ACG的面积=；x4xl=2；

故答案为：2.

8.123・24八年级上•山东日照•期末）如图,金2的面积是12,AB=8,NC4B的平分线交BC于点。，M,

N分别是线段人。，AC上的动点，则CM+MN的最小值是.

N,

M

AB

【答案】3

【分析】本题考查角平分线的性质，点到直线的距离垂线最短，过M作M/_LAC,过M作M£_LA8,根

据角平分线性质得到=M/，结合垂线段最小过C作C"_LA8即可得到最小距离点即可得到答案；

【详解】解：过M作Mb_LAC,过M作ME_LA8,

I3AD是/CAB的平分线，MFLAC,MELAB,

回（CM+MN）1nhl=CM+MF=CM+ME,

回当C、M、£三点共线时最小，

过C作C〃_LA4,即可得到（CM+MN*。=CH,

aKBC的面积是12,AB=8,

故答案为：3.

9.（23-24八年级下•陕西咸阳•阶段练习）如图，在中，/4=100。，点。是8C上的一点，BD,CD

的垂直平分线分别交A8,AC于点匕凡则N£D「=.

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等，也考查了

等腰三角形的性质.先根据线段的垂直平分线的性质得到E6=ED尸。=尸。，则根据等腰三角形的性质得

至］/EBD=NEDB,NFDC=NFCD,然后利用平角的定义得

ZEDF=180°-（ZEDB+ZFZX?）=18O°-（ZB+ZC）,利用三角形内角和定理得到/8+/。=180。-44,所

以ZEDF=ZA.

【详解】解：回8。，的垂直平分线分别交48,AC于点E,F,

团EB=ED,FD=FC,

0NEBD=4EDB,乙FDC=4FCD,

0ZEDF=\SOQ-(ZEDB+ZFDC)=180。一(N8+NC),ZB+ZC=180°-Z4,

0ZEDF=ZA=1OO0.

故答案为：100。.

10.(2023•四川泸州,二模)如图，己知线段48=6,点P为线段A8上一动点，以M为边作等边jBC,

以PC为直角边，4CPE为直角,在.PBC同侧构造口△PCE,点"为EC的中点，连接A",则A用的最

【分析】

本题考查全等三角形判定及性质，等边三角形性质，直角三角形斜边中线性质，角平分线性质等.连接

™,BM,并延长6M至尸，由直角三角形的性质得出夕例=CW=；CE,证明BCMWBPM(SSS),由

全等三角形的性质得出NC8M=NP3M=30。，当时，AM最小，则可得出答案.

【详解】

解［?连接PM,BM,并延长至尸，

0ZCPE=9O°,M为CE的中点，

0P.W=CM=-CE,

2

12等边,PBC,

0BC=PB,NPBC=60。,

团BM=BM,

(3..8CMgBPM(SSS),

团NC8M=NP8M=30°,

团M在NPBC的角平分线BF上运动，

当/W_L4”时，AA；最小，

0AM=—AB=—x6=3,

22

故答案为：3.

三、解答题

II.（23-24九年级上•山东青岛•阶段练习）小8是两个村庄，0、L2是两条马路.为发展经济，提高农民

收入，镇政府决定建立•个蔬菜批发市场，选址要使市场到两条马路和两个村庄的距离都相等.请你用尺

规在图中找出市场的位置.（不用写作法，但是要保留作图痕迹）

一

【答案】见解析

【分析】本题主要考查了线段垂直平分线和角平分线的实际应用，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，

到两个村庄的距离相等，则蔬菜批发市场在线段A8的垂直平分线上，到两条马路的距离相等，则蔬菜批发

市场在〃、L2夹角的角平分线上，据此作图即可.

【详解】解：如图所示，作线段A4的垂直平分线和〃、L2夹隹的角平分线，二者的交点P即为所求.

12.（23-24八年级上•重庆江津•期中）如图，在》8。中，ADJ.BC,所垂直平分AC,交AC于点R交

BC于点、E,且BD=DE，连接

（I）求证：AB=EC,

⑵若ABC的周长为42cm,AC=16cm,求。。的长.

【答案】（1）见解析

（2）13cm

【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离

相等是解题的关键；

（1）根据线段垂直平分线的性质得到AE=ECA8=AE,等量代换证明结论；

（2）根据三角形的周长公式得到A6+BC+4C=42cm,根据A8=EC,8。=OE计算，即可得到答案.

【详解】（1）证明：回Ek垂直平分4C,

团AE=EC,

^ADJ.BC,BD=DE，

BAB=AE,

团A8=EC.

（2）解：团二ABC的周长为42cm,

（3A8+8C+AC=42cm,

0AC=16cm,

0AB+BC=26cm,

回AB=EC,BD—DE,

^DC=DE+EC=-BE+AI3=-（BC-CE）+AB=-（BC-AB）+AB=-（AI3+BC）=\3cm.

2222

13.（23-24八年级下•广东深圳•阶段练习）如图，在A8C中，A8的垂直平分线E厂交8。于点£,交A8于

点巴。为线段a1的中点，BE=AC.

⑴求证：AD1BC.

⑵若N8AC=75。，求N7?的度数.

【答案】（1）见解析

（2）35°

【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质及三角形内角和：

（1）连接AE,利用线段垂直平分线的性质证得AE=3E,再根据等腰三角形的三线合一性质即可求证结

论；

（2）由三角形的外角的性质，ZAEC=2ZB,在，A8C中，利用三角形内角和即可求解；

熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键.

【详解】（1）证明：连接AE,

A

AE=BE，

,.•BE=z4C,

/.AE=ACi

。是的中点，

ADIBC.

（2）AE=BE,

:.ZBAE=ZB,

团由三角形的外角的性质，以EC=2/B,

,：AE=AC,

/.ZC=Z4EC=2ZB,

在ABC中，ZBAC=75°,

.•.34+75。=180。，

/.ZB=35°.

14.（22-23八年级上•辽宁营口•期中）感知：如图1,A。平分/B4C,Zfi+ZC=180°.?B90?

探究：如图2,AO平分N8AC,Z£?+ZC=180°.ZB<90°,求证：DB=DC.

图1图2

【答案】证明见解析

【分析】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，过点。作于E,DFLAC交

AC的延长线于F,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得DE=DF,通过导角证明/B=ZFCD,

进而得出DFC^DEB(AAS),即可证明Q4=OC.

【详解】证明：如图，过点。作D/14c交AC的延长线于尸，

c/

AEB

(3AD平分/班C,DE-LAB,DFJ.AC,

团DE=DF,

aZfi+ZACD=180°,ZACD+ZFCD=180°,

0Zfi=ZFCD,

在△。尸。和.DEB中,

ZF=NDEB

4FCD=2B,

DF=DE

(3.r)FC^..DEB(AAS),

6DB=DC.

15.(23-24八年级下,河南郑州•阶段练习)如图，在ABC中，AC/C8,DM、£7V分别垂直平分AC和8C,

交AB于点、M、N,垂足分别为点。、E,分别延长OM和硒，相交于点足八年级的小明同学非常喜欢钻

研数学问题，在学习线段垂直平分线时，他发现NMCV与NACB存在一定的数量关系，于是他通过举例的

⑴当NAC8=100。时，/MCN=；当NAC8=80。时，/MCN=

(2)当ZAC8=〃?时，求4/CN的度数(用含机的代数式表示，写出推理过程).

⑶当Z.DFE=50°时，4MCN=。.

【答案】(1)20°,20°

(2)2"18()。或180。-2〃2

(3)80

【分析】本题考查三角形内角和定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等，注意分类讨论是解题的

关键.

(1)先根据三角形内角和定理求出NA+N4,再根据垂直平分线的性质得出M4=MC,NB=NC,根据等

腰三角形的性质得出4=NA/C4,ZB=Z/VCB,最后通过等量代换及角的和差关系即可求解：

(2)同(1),分〃亚90。与加＜90。两种情况，画出图形，分别计算即可；

(3)根据四边形内角和为360度求出NAC3,再利用(2)中结论求解.

【详解】⑴解：当ZAC8=100c时，

4+N8=18()。一ZAC8=180°-1(0°=80°,

DM、硒分别垂直平分4c和