二次根式和最简二次根式-【暑假预习】新八年级数学（北师大版）

第五讲二次根式和最简二次根式

【学习目标】

认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质：利用二次根式的性质将二次根式化为最简二

次根式.

【基础知识】

1.二次根式的定义：我们把形如比7（〃却）的式;子叫做根式；〃叫做被开方数；j叫做二次根号；

根式有意义的条件是：被开方数大于等于0,根式为零被开方数为0；

2二次根式的性质：①G0,而，。（双重非负性）②“8J。（〃女））

3.最简二次根式：①被开方数不含有分母（小数）；②被开方数中不含有可以开方开得出的因数或因式;

【考点剖析】

考点一：二次根式定义

例I.若二次根式Jl+2x有意义,则x的取值范围为（）

A.x>—B.x<--C.x>-—

222

【答案】C

【解析】

依题意l+2x30,解得豆-一，故选C.

2

考点二：二次根式的非负性

例2.若丫=Jx-3+J3-X+2：则xy=.

【答案】9

【解析】

解：y=JK+JH+2有意义，

必须X-3>0,3-x>0,

解得：x=3,

代人得：y=0+0+2=2,

:.xy=32=9.

故答案为：9.

考点三：二次根式的性质及应用

例3.（1）先化简，再求值：〃+，1一2〃+/,其中a=1007.

如图是小亮和小芳的解答过程.

(1)的解法是错误的;

（2）化简：J（万-5.=;

（3）先化简，再求值：2a+&—Ga+9，其中。=一2019.

【答案】⑴小亮;⑵5—万;（3）-2016

【解析】

（1）Vtz=1007,

/.l-a=-1006<0,

••〃+—+cr=a+J（1-c/）~-ci+\\-ci\=ci+ci—\.=2a-1

=2x1007-1

=2013.

・••小亮的解法是错误的；

（2）J（兀-5）2=|>一5|=_（乃-5）=5-4

（3）•・•[—-2019，

Atz-3=-2022<0,

则原式=24+J（。一3）2

=2。+|。一3|

=2a-（a-3）

=a+3

=-2016.

考点四：实数的大小比较

例4.（1）把|-3|,0,-2,百表示在数轴上（无理数近似表示在数轴上），并比较它们的大小，用“v”号连

接.

~~~~~4~0~1~2~3~4~5^

【答案】数轴表示见解析，-2<0<6<卜3|

【详解】

解：在数轴上表示为:

」u"内甲」

用“V”连接为：-2<0<6<卜3].

（2）在数轴上标出下列各数，然后用“V”连接起来：

-2,5/2,0,|-3|,-（-4.5）

【答案】数轴见解析,-2<0<V2<|-3|<-（-4.5）

【详解】

解：如图：

-20卜4-I，）

_i_।——।_------1__L-e_j_

-5-4-3-2-IOI2345

用“V”连接为：-2<0<V2<|-3|<-（-4.5）.

考点五：

例5.（1）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）

A.>/24B.>/36C.D.y/x2+4

【答案】D

【详解】

人、病=26不是最简二次根式，不符合题意：

B、A=6不是最简二次根式，不符合题意；

。、=M不是最简二次根式，不符合题意;

。、J7北是最简二次根式，符合题意；

故选：。.

（2）化简JI2的结果是（）

A.473B.3&C.2GD.2"

【答案】C

【详解】

解：疵=仄5=4攻5=后\艮2百，

故选：c.

（3）把化成最简二次根式为.

【答案】空

5

【详解】

解：卜丁京Th

故答案为：拽.

5

（4）化简：7327=•

【答案】4xV2x

【详解】

解：，32父=J16X2x\]x2»x=4xq2x，

故答案为：4x位.

【真题演练】

1.下列代数式能作为二次根式被开方数的是（）

A.3-7tB.aC.a2+lD.2x+4

【答案】C

【解析】解：A、3-7c<0,则3-a不能作为二次根式被开方数，故此选项错误;

B、a的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；

C、a?+l一定大于0,能作为二次根式被开方数，故此选项错正确；

D、2x+4的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；

故选：C.

2.下列根式中，是二次根式的是（）.

A.itB.-C.D.V12

【答案】D

【解析】

A.a不符合题意，故此选项不正确；

B.g不符合题意，故此选项不正确；

C.根号下小于零不符合题意，故此选项不正确;

D.Ji，符合题意，故此选项正确：

故选D.

3.下列各式:、户工，4b+2（b"）,J—（3X—1）2，J（—，旧-4ac，其中是二次根式的个数有

()

A.2个B.3个C.4个.D.5个

【答案】B

【解析】

CT1，4b+2（b>2）,J1_g）,符合二次根式的形式，故是二次根式;

—的被开方数小于等于0,当小于。时无意义，不是二次根式；

Jb2—4ac被开方数不确定，不是二次根式；

故选:B.

4.使J7二T有意义的工的取值范围是（）

A.x<\B.x<\C.x>\D.x>1

【答案】C

【解析】

jrn",被开方数x-i之。

解得：x>\

故选c

5.要使代数式&二有意义，则x的取值范围是（）

A.x>2B.x<2C.x>2D.x<2

【答案】C

【解析】

解：根据题意，得X-2..0,解得，X..2.

故选C.

6.下列式子中，。不可以取1和2的是（）

A.y/5aB.J〃+3C.+]

【答案】D

【解析】

A.由5介0,所以,心0,故选项力可取1和2；

B.由〃+3K),所以生-3,故选项8可取1和2；

C.由。2沙,所以〃+］多，故选项。可取1和2；

2

D.由一一K)且在0,所以〃<(),故选项。不可取1和2；

a

故选：D.

7.说明命题“好=葭是假命题的一个正确的反例是()

A.a=3B.a=-3C.a=0.3D.a=0

【答案】B

【解析】

解：・・・值■二a,

・••及0,

故此命题是假命题的反例就是a是一个负数，

故答案为：B.

8.若代数式虫土1有意义，则实数x的取值范围是.

x+3

【答案】X..-1

【解析】

解：•・•代数式』史有意义，

x+3

x+1>0,x+3/O,

解得：x—1>xw—3,

・•・实数X的取值范围是：x>-l；

故答案为：x>-\.

9.已知x,y是实数，且满足y=Jx-2+,2-x+,，则五的值是_

8

【答案】g

2

【解析】

fx-2>0

解：•・•由二次根式的定义得八，解得：x=2,

2-x>0

y=0+0+—,即：y=—,

88

故答案为：一.

2

10.下列各式：4a>\Jx+1»»\[\6»%，一；1'+2,Jl-2x(x>g),^_2-a2»

哪些是二次根式？哪些不是？为什么？

【答案】见解析

【解析】

解：屈'朽石是二次根式，因为它们都含有二次根号，且被开方数都是非负数；

我虽然含有根号，但根指数不是2,所以不是二次根式：

不含二次根号，不是二次根式；

2

对于G，dx+I，不能确定被开方数是非负数，当。<0时〃■无意义；当x+lvO时，Jx+1无意义,

所以6，JTT7不一定是二次根式；

对于JN，因为T<0,所以JR没有意义，故不是二次根式；

对于因为l-2x<0,所以JT二五无意义，故不是二次根式；

对于后彳，无论。取何实数，-2-/总是负数，石万没有意义，故不是二次根式；

综上所述：JIZ,Ja?+2是二次根式,及,Jx+1'‘我’一彳>,Jl—2xx>—,J_2-/

2IZ,

不是二次根式.

11.当4=2,力=1.5时，求下列代数式的值.

(1)a2+2ab+b2

(2)13ab+。出1.

【答案】(1)12.25；(2)7；

【解析】

解：(I)当。=2,力=1.5时，原式=22+2x2x1.5+1.52=12.25：

(2)当a=2,〃=1.5时，原式=J3x2xl.5+2xl.5+l=7.

12.平面直角坐标系中如果任意两点A、B的坐标分别为(X1,yi)、(X2,丫2),,则A、B两点之间的距

离可表示为,耳:J(x2_X])2+(y：)_y)~；在平面直角坐标系中，

(1)若点c的坐标为(3,4),O为坐标原点，则C、O两点之间的距离为.

(2)若点E(-2,3)、F(4,-5),求E、F两点之间的距离.

【答案】(1〉5；(2)10.

【解析】

（1）因为0点为原点，所以点。为（0,0,）,由题意可得|c*J（0-3）:（0-4）』,故答案为

5.

（2）根据题意可得归目=，［4一（一2）『+（-5—3）2=Vioo=io,故答案为io.

13.若实数a,b,C满足|a・a|+屈工=+

（1）求a,h,c；

（2）若满足上式的a,c为等腰三角形的两边，求这个等腰三隹形的周长.

【答案】⑴a=75，b=2,c=3；（2）0+6.

【解析】

解：（1）由题意可得：c-3>0,3-c>0,

解得：c=3,

A|a-V2l+Vb^2=0t

则a=72，b=2；

（2）当a是腰长，c是底边时，等腰三角形的腰长之和：Q+及=2&V3,不能构成三角形，舍去；

当c是腰长，a是底边时，任意两边之和大于第三边，能构成三角形，

则等腰三角形的周长为：72+3+3=72+6,

综上，这个等腰三角形的周氏为：血+6.

【过关检测】

1.说明命题“府=葭是假命题的一个正确的反例是（）

A.a=3B.a=-3C.a=0.3D.a=0

【答案】B

【解析】

解：

・••年0,

故此命题是假命题的反例就是a是一个负数，

故答案为：B.

2.若#是二次根式'则a,b应满足的条件是（）

A.a,b均为非负数B.a,b同号

C.a>0,b>0D.—>0

b

【答案】D

【解析】

解•：根据二次根式的意义，被开方数：K）;乂根据分式有意义的条件，原0.故选D.

b

3.『的值是（）

A.y/3B.3C.±3D.9

【答案】B

【解析】

解：原式=（百『二3

4.下列说法中，正确的是（）

A.无理数就是开方开不尽的数

B.若疝另>0,则色0

C.如果a=b,那么ac=bc

I

D.若一=1,则〃与力互为相反数

a

【答案】C

【解析】

解：A.无理数是无限不循环小数，包括开方不尽的数，故A错误；

B.a+5>0,・・・。>-5,故4错误；

C.如果。=/?,根据等式的性质可得。c=〃c,故C项正确；

D.，=1,则〃=匕且启0,故选。错误；

故选：C.

5.若代数式正在实数范围内有意义，则工的取值范围为（）

x-\

A.x>0B.x>0C.A#）D.

【答案】D

【解析】

根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，可知x-1和，x>0,解得疟0且"1.

故选D.

6.当式子反TT的值取最小值时，a的取值为（）

1

A.0B.——C.-1D.I

2

【答案】B

【解析】解：I,4+120,

・•・12。+1=0时为最小值.

即：为+1=0,

1

••(I=-------

2

故逃B.

7.在平面直角坐标系中，点M(a,b)的坐标满足(a-3)2+疝万=0,则点M在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

解：•・•(a-3)2+“一2=0,

/.a=3,b=2,

・,・点M(3,2),

故点M在第一象限.

故选：A.

8.已知X、为实数，y=J』+万工+4,则V的值等于()

A.8B.4C.6D.16

【答案】D

【解析】

VA-2>0,即应2,①

x-2>0,即烂2,②

由①②知，x=2；

/.j=4,

/.y=42=16.

故选：D.

9.若J(>_3)2+…=0,则化简旧的结果是()

A・--------上5・士----I・----U・士----

3333

【答案】A

【解析】

•・•府可+|。-4|=0

Ab-3=0,a-4=0

a=4,b=3,

・2_26

,,日飞=7TK

故选A.

10.已知J赤是整数，则正整数n的最小值为一

【答案】5

【解析】

•••阿1二2屈，且J荻是整数，

・・・2后是整数，即5n是完全平方数；

，n的最小正整数值为5.

故答案为：5.

11.为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至

1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用表示算数平方根.我国使用根号是由李善兰

(1811-1882年)译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为：原耳+

则图2所示题目(字母代表正数)翻译为，计算结果为.

等

V今

今

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于

」