第二十一章 一元二次方程 知识点分类练习 （含答案）2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十一章一元二次方程知识点分类练习

知识点一元二次方程的定义

1.下列方程中，是一元二次方程的是()

A.X2+-^

XT

B.ax2+bx

C.(x-l)(x+2)=l

03x2-2;9Tp2=0

2.下列方程是关于x的一元二次方程的是()

A.x1+^=0

B.ax2+bx+c=0

C.4X2-2X=\

D.3x2-2xy-5y2=Q

3把一元二次方程x(x+l)=3x+2化为一般形式，正确的是()

4/+4/3=03£+2什2=0

C..f-3xT=0D..r2-2x-2=0

4若关于x的方程(0-2)/+〃?厂3=0是一元二次方程，则m的取值范围是________.

5一元二次方程a(x+l)2+b(x+l)+c=0化为一般式后为3丫+级-1=0、试求。2+庐-/的值的算术平方根.

知识点二一元二次方程的解法

1下列一元二次方程中，没有实数根的是()

2A-06..J十4人一1-0

C.2X2-4X+3=0D.3X2=5X-2

2.一元二次方程炉-尸；=0配方后可化为()

33知心，X2是关于x的方程，一6一2=0的两根，则下列结论一定正确的是()

4修分28巧+必>0

C.X\,x2>0。巧<0处<0

4下列方程，适合用因式分解法解的是()

A.X2-4Y/2X+1=0B.2X2=X-3

C.(x-2)2=3.r-6£>„r2-!0.r-9=0

5用配方法解方程『+8厂9=0,变形后的结果正确的是()

力.0+4)2=-96.(%+4)2=-7

C.(X+4)2=25D.(X+4)2=7

6己知关于x的一元二次方程（（。+1谭+2&+（〃+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（）

A.1一定不是关于x的方程/+加+片0的根

B.0一定不是关于x的方程/+后+。=0的根

C.1和-1都是关于x的方程/+以+〃=0的根

0.1和“不都是关于X的方程f+力x+“=0的根

7四位同学在研究函数尸/+反+c（b,c是常数）时，甲发现当x=l时，函数有最小值;乙发现-1是方程加+版+-0

的一个根；丙发现函数的最小值是3；丁发现当x-2时，y-4.已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则

该同学是（）

A,甲B.乙C.丙D.T

8方程4『=5戈-1的两根为xi,X2,则町.丫2-修-、2的值是（）

A.-1B.1C.13D.-13

9m知方程F+6x+〃=0可以配方成（x+〃M=5,则以m,n为两边长的直角三角形的第三边的长为_________

10若I。-4|+好口=0,,且一元二次方程自2+ax+b=0有实数根，则k的取值范围是_________

11若x2-mx-15=（x+3）（x+n）,则nm的值为

12用因式分解法解方程5（x+3）-2x（x+3尸0,可把其化为两个一元一次方程_________和再求解.

13如果一元二次方程的两根互为相反数，那么m=；如果两根互为倒数，那么n=

14解下列方程：

⑵2产-7广4=0;

(3)2/-4%-8=0.

15用配方法证明：不论x,y取何实数时，代数式/+/+入-4尸＞7的值总不小于常数2.

16在解方程/+3+%0,小张看错了p,解得方程的根为1与-3；小王看错了q,解得方程的根为4与2这个方

程的根应该是什么？

17关于x的一元二次方程&/+及+[=0

⑴当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；

(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a,b的值，并求此时方程的根.

18若方程：2XMLI=0的两根为x和X2,不解方不程求引+对的值.

19三角形两边长分别是6和8,第三边长是FT6x+60=0的一个实数根，求该三角形的第三条边长和周长.

20利用判别式判断下列方程的根的情况:

⑴"-3九十0;

(2)16^-24x4-9=0;

(3)X2-4A/2X+9=0;

(4)3『+10=2/+8%

21已知a,b,c是AABC的三边长，且6f2+/>2+c2-6a-8b-10c+5()=0.

⑴求a,b,c的值；

(2)判断AABC的形状.

知识点三一元二次方程的实际应用

1某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均月增长率为x,则

由题意得方程为

4200(l+x)2=10()0

B.2()()+200x2xx=1000

C.200+200x3xx-1000

D.200+200(1+x)+200(1+x)2=1000

2某市2018年投入教育经费2500万元，预计2020年要投入教育经费3600万元，已知2018年至2020年的教

育经费投入以相同的百分率逐年增长，该增长率为()

A.10%B.20%C.30%D.40%

3在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场.设有x个队参赛，根据题意，可列方

1)=36Z?.-x(.r+1)=36

C.x(x-1)=36D.x(x+1)=36

4某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数

目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43,则这种植物每个支干长出的小分支个数是()

A.4B.5C.6D.7

5从一块长30cm宽12cm的长方形薄铁皮的四个角上，截去四个相同的小正方形，余下部分的面积为296cm2,

则截去小正方形的边长为()

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

6两个连续的奇数的积为195,设较小的奇数为x,则依题意可列方程为.

7一个直角三角形的两条直角边长之比为5：12,斜边长为26,则这个直角三角形的面积为.

8某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出(3

50-10a)件，但物价局限定匐牛商品加价不能超过进价的20%,若商店计划要赚400元，需要卖出________件商品，

每件商品应售价为________元.

9某小会议室的地面为长方形，长比宽多2m,如果用384块边长为25cm的正方形瓷砖恰好铺满整个地面，则

这个小会议室的长和宽分别是.

10“绿水青山就是金山银山''的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行，某自行

车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价，已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100

元销售7辆获利相同.

⑴求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？

(2)若该型号自行车进价不变，按⑴中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每

月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大最大利润是多少？

知识点一

1.C2.C3.D

4.m#2

5.整理aCrH)2+/j(x+l)+c=0得

ax2+(2Q+6)X+(a+b+c)=0,

J!IJ(a=3,2a+b=2,a+b+c=-l,

解得a=3,b=-4,c=0.

：.a2+b2-c2=9+\6=25,

•・•届+/72y2的值的算术平方根是5

知识点二

1.C2.B3.A4.C5.C6.D7.B8.A

9.5或V7

1()k*且厚0

1110

12x+3=05-2x=0

1301

14.(1)X2-4X-1=0

x2-4x+4=5

02)2=5

x-2=±V5

解得勺=-6+2网=6+2

(2)2产-7L4=0

(2t+I)(t-4)=0

片一%=4

(3)2A2-4X-8=0

r-2x-4=0

(X-1)2=5

XT=±V5

解得X]=75+1/2=-6+1

15证明：•••/+/+入-4歹+7

=(X+1)2+G*-2)2+2>2,

故不论x、y为何实数，

代x2+r+2x-4jH-7>2立

16解：由题意得(q=-3x1=-3,p=-(-2+4)2,，方程为记一左川加,,解得x=3或x=-1.

17解:⑴醉0,

24。

=(4+2)2-4a

=42+4。+4-4。

=d+4,

•・,次>0,

・♦•方程有两个不相等的实数根;

（2）.・.方程有两个相等的实数根,

若b=2,a=l.则方程变形为占2升1=0,解得A,=X2=-L

18解：因为方程2『-3xT=0的两根为xi和X2,由根与系数的关系知

31

月+'2=3占工2=一9

所以舟命（阜弁齐2超

=[5+必）2-2修必]2-2（町必）2

=G)‘2X(-；)]-2x(一；)

161

"1?

19解：：f-16X+60=0,

『T6X+82=4,

(1)2=4

x-8=±2

•3=]0内2=6,

①当x=l()时,6+8>l(),

・••三角形周长为6+8+10=24.

②当x=6时,6+6>8,

,三角形周长为6+6+8=20.

答：该三角形第三条边长为10或6.当第三边长为10时，周长为24；当第三边长为6时，周长为20.

20解：:(1)2¥2-3X-1=0.

•:A=(-3)2-4X2X(-|)=21>0,

・•・方程有两个不相等的实数根；

(2)16^-24%+9=0,

△=(-24)2-4x16x9=0,

•••方程有两个相等的实数根;

(3)/-4缶+9-0,

・；"㈠物2_4x1x9=-4<0,

工方程无实数根；

(4)3『+10=2『+8x化成一般