分式方程的概念、解法、应用（专项训练）-苏科版八年级数学下册【含答案】

专题02分式方程的概念、解法、应用

目录A题

型建模-专项突破

题型一、分式方程的概念与识别（常考重点）

题型二、分式方程的解法（必考重点）

题型三、分式方程的解法找错问题（常考重点）

题型四、分式方程的无解（增根）问题（常考重点）

题型五、根据分式方程解的情况求值（常考）

题型六、分式方程的实际应用——古代数学文化问题（常考重点）

题型七、分式方程的实际应用——行程问题（常考重点）

题型八、分式方程的实际应用——工程问题（常考重点）

题型九、分式方程的实际应用——销售问题（常考重点）

题型十、分式方程的实际应用——和差倍分问题（常考重点）

B综合攻坚・能力越升

A题型建模•专项突破

题型一、分式方程的概念与识别（常考重点）

1.下列方程中是分式方程的是（）

A.2=3B.»y=2C.2D.々=1

5423x-2

2.下列方程中不是分式方程的是（）

A.1+"3B.-^+」r=2

3.给出下列方程：©X2-2X=1；②宇一1=早；③/-2/=0；

x4x3

④;/-1=0.其中是分式方程的是（）

A.②③B.①②C.①③D.②④

题型二、分式方程的解法（必考重点）

试卷第1页，共10页

4.解分式方程1=一合时,去分母变形正确的是（）

A.2-6x+2=-5B.6x-2-2=-5

C.2-6x-l=5D.6x-2+l=5

5.解方程：

(1)&=告；

6.解方程:

(2)773+7^3=7^9-

题型三、分式方程的解法找错问题（常考重点）

7.同学们，在学习路上，我们犯各种各样的错误是在所难免的.其实，这些错

误并不是我们学习路上的绊脚石.相反，如果我们能够聚焦错误、分析错误、发

散错误以及归类错误，那么我们就能够以错误为梯，补齐短板，进而大幅提升学

习效益.小王在复习时发现一道这样的错题:

解方程：1-丹=卢

2x-21-A

一.x+3-2x

解：-2（.二1）一口①

1-（X+3）=-4X（2）

I-x-3=-4x③

-x+4x=-l+3（4）

3x=2⑤

x=:⑥

（1）请你帮他找出这道题从第步开始出错；

（2）请完整地解答此分式方程

8.对于分式方程」7=」1+1,小叶同学的求解过程如下.

x-1x-1

解：第一步：方程两边乘

（D,得

试卷第2页，共10页

(x-l)x-!-=(x-l)x-^-+l.

x-1x-\

第二步：l=x+l.

第三步：X=O.

第四步：检验：当x=0时，

所以，x=0是分式方程的解.

小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答：

(1)小叶的解法从第步开始出现错误，错误的原因是

(2)请写出正确的解答过程.

9.(1)解方程：^--1=^-.

x-1x-1

(2)下面是小颖同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务:

2X

---+1=----

x+1x-\

解：去分母，得2(x-l)+l=x(x+l),第一步

去括号，得2x-2+l=/+x,第二步

移项，得2》-丁_》=2-1第三步

合并同类项，得-/+产1,第四步

任务：

①填空：上述解题过程中，第一步是依据进行变形的，第

步出现错误，错误的原因是：:

②请直接写出该分式方程的正确解；

③除了任务中出现的错误外，请根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要

注意的事项提出一条建议.

题型四、分式方程的无解(增根)问题(常考重点)

10.若关于x的分式方程联=3言无解，则k的值为()

X—1XIX-1IX

A.-3B.-3或一5C.1或一3D.1或一5

试卷第3页，共10页

11.若关于x的分式方程=-2=4有增根，则它的增根是____

戈-22一x

12.分式方程工+F=4无解，则〃的值为______.

x-22-x

题型五、根据分式方程解的情况求值(常考)

1C—I4|一X2+xX2-1

13.已知4=------------

x-4x2-8x+16

(1)化简分式彳;

(2)若关于x的分式方程：《斗+宁”=1的解是非负数，求〃?的取值范围.

x-l1-X

m+4

14.已知关于x的方程黑+匕

X2-9

(1)若冽=4,解这个分式方程;

(2)若原分式方程有增根，求〃?的值.

15.已知关于x的分式方程咨-3=1.

(1)若方程的增根为1=1,求。的值；

(2)若方程有增根，求。的值；

⑶若方程无解，求。的值.

题型六、分式方程的实际应用一古代数学文化问题(常考重点)

16.我国明代《永乐大典》中记载了“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各

值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文.问绫、罗尺价各儿

何？’'其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈(1丈=10尺)，已知绫布和罗布分

别出售均能收入896文，一尺绫布和一尺罗布一共需要120文.问两种布每尺各

多少钱？”设绫布有工尺，则可列方程为()

896…896l…八896896

A.旬120=B.120----=-----

3()-.rxx30-x

「896…896-些—2。=此

C.——+120=——D.

30—rrr30+丫

17.《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，全书共收集了246个数学问

题，分为九章，内容涵盖了算术、代数、几何等多个领域.其中记录的一道题译

为现代文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多

一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的

2倍，求两匹马的速度.设慢马的速度为x里/天，则可列方程为()

试卷第4页，共10页

啊一些+39009006

A.——=-----+2

x2xx-1x+3

C.叫心-3c900,900,

D.—+1=—+3

x2xx2x

18.《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译文为把

一份文件用慢马送到900里外的城市需要的时间比规定时间多2天；如果用快马

送，所需时间比规定时间少3天，已知快马速度是慢马速度的2倍，求规定时间

是多少天？

题型七、分式方程的实际应用——行程问题（常考重点）

19.在百米赛跑上，甲乙同向运动，甲以4m/s的速度匀速运动，乙在甲跑了2

秒后也开始以一定速度匀速运动，若要使得两者同时到达，设乙的速度为mi/s,

可列出关于X的方程为（）

100100c100100

A,》2=4B-x-2=4

C100r100理+=理

C.------2=——D,2

x4x4

20.“歼-10”战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三

代战斗机.宋文疆生于云南省昆明市，是“歼70”战机的总设计师，被誉为中国“歼

-10之父”，“阵风”战机，作为法国达索公司的杰作，与“台风”和“萨博JAS-39”并

驾齐驱，被誉为战机界的“欧洲三雄”，对比两种战机，“歼TO”战机以其超过音

速的速度优势,速'阵风”战机的L2倍,已知力地与5地的直线距离300公里,若

“阵风”战机在3地先1分钟起飞飞往4地，“歼-10”战机才开始从4地起飞飞往

8地，则它们同时到达各自的目的地，求“歼-10”战机的速度是每小时多少公

里？

21.随着L3级自动驾驶技术的日趋成熟，首批获批的两种车型北汽极狐阿尔法S

和长安深蓝SL03分别在北京、重庆指定区域上路试点运行.经测试，长安淡蓝

SL03的最高车速是北汽极狐阿尔法S的。，两车均以最高车速行驶时，长安深蓝

O

SL03行驶100公里所用的时间比驾驶北汽极狐阿尔法S行驶120公里所用的时

间多30分钟，求长安深蓝SL03的最高车速是多少公里/时？

试卷第5页，共10页

题型八、分式方程的实际应用一工程问题（常考重点）

22.由于平台优化派单算法及改善交通工具，某外卖小哥现在每小时比原来可多

送3件外卖，送40件的时间比原来少用了3小时.设原来平均每小时送x件外

卖，依题意，可列方程为（）

23.为了改善部分经济困难家庭的居住条件，果市计划在一定时间内完成100力

平方米的保障房建设任务.后来市政府调整了计划，不仅保障房建设任务比原计

划增加了2。％,而且还要提前1年完成建设任务.经测算，要完成新的计划，平

均每年需要比原计划多建设10万平方米的保障房，那么按新的计划，平均每年应

建设多少万平方米的保障房？

24.我国自主研发的“GC2-2000型快速换轨车采用先进的自动化技术，能精准

高效地完成更换铁路钢轨的任务.一个工作队人工更换钢轨，每小时更换钢轨的

长度是一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的长度的g，这个工作队人工更换

40km钢轨所用时间比“GC2-2000型快速换轨车更换58km钢轨所用时间多

Hh.求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米.

题型九、分式方程的实际应用——销售问题（常考重点）

25.乳制品产业通过特产店渠道提升品牌和附加值，一家特产店计划从本地奶制

品厂采购两款热销产品：奶片和酸奶.已知奶片每件的进价比酸奶每件的进价少

4元.该店用120元购买奶片的件数，恰好等于月160元购买酸奶的件数.

（1）求奶片和酸奶每件的进价各是多少元；

（2）第一批采购的奶片和酸奶很快售完,现该店准备再次购进这两种商品共70件、

恰逢厂家调价：奶片在第一批进价的基础上打9折，酸奶在第一批进价的基础上

提价5%,按照此价格采购，总费用不能超过960元，此次采购中最多可以购进

试卷第6页，共10页

酸奶多少件.

26.科技改变生活，随着自动驾驶技术的不断升级，对高精度传感器的需求日益

增加.某自动驾驶技术公司需要采购a8两种型号的激光雷达传感器.已知用

1800元购买力型激光雷达传感器的数量与用3000元购买B型激光雷达传感器的

数量相等，且B型激光雷达传感器的单价比A型激光雷达传感器的单价多400

元.

(1)求48两种型号激光雷达传感器的单价各是多少元？

(2)该公司需要购买48两种型号的激光雷达传感器共20个，且购买8型激光

雷达传感器的数量不少于力型激光雷达传感器数量的3倍.求购买48两种型

号的激光雷达传感器各多少个时.，总费用最少？总费用最少是多少元?

27.春季是新鲜草莓上市的主要季节，甲、乙两人去某水果超市购买相同单价的

奶油草莓，甲用120元购买的草莓比乙用210元购买的草萄少3kg,求这种草莓的

单价.以下是小华和小丽所列的两个方程，请回答下列问题.

।止120,210._120_210

小华：——+3=——；小丽:

xxy\+3

(1)小华所列方程中的x表示，小丽所列方程中的7表示；(填序号)

①草莓的单价②甲用120元购买草莓的质量③乙用21。元购买草莓的质量

(2)请从以上两个方程中，任选一个解方程，并求出这种草莓的单价.

(3)丙也到该水果超市购买相同单价的奶油草莓，他发现还有一种单价为40元的

白草莓也不错，于是决定搭配购买两种草莓共6kg,且奶油草莓的数量不超过白

草莓数量的2倍，求买两种草莓各多少kg才能花费最少，最少费用是多少元？

题型十、分式方程的实际应用——和差倍分问题(常考重点)

28.某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹.已知甲种机器人每小时

比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种

机器人3小时分拣的数量少120件.

(1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？

(2)为应对快递高峰，站点对机器人进行技术升级.升级后，甲机潜入每小时分

拣的包裹数量是乙机器人的1.2倍.若升级后的甲、乙两种机器人各自分拣7200

件包裹，且乙机器人比甲机器人多用3小时，求升级后，乙机器人较升级前每小

时多分拣多少件包裹？

试卷第7页，共10页

29.随着新能源汽车使用的日益普及，某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充

电桩，本次购买单枪充电桩花费5万元，双枪充电桩花费4.5万元，已知双枪充电

桩单价是单枪充电桩单价的1.5倍，若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩

的数量多8个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价.

30.某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻

器.若购买甲种滑动变阻器用了1620元，购买乙种用了3600元，购买的乙种滑

动变阻器的数量是甲种的2倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵5元.

（1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价；

（2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过4800元，那么

该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？

B综合攻坚•能力跃升

31.下列方程中，不是分式方程的是（）

cX4;

A.-+x=\B.ry=15

x

c.x-iX

32.已知分式色心〃均为常数）满足下列表格中信息，则下列结论中错

误的是（）

X的取值-21mn

分式的值无意义10-1

A.a=2B.6=9

12

33.在解分式方程时,去分母后所得结果正确的是（）

m+3m—3

A.l-2(/w+3)=m2-9B.m+3-2=0

C.w-3-2(,«+3)=OD.w-3-2(m+3)=；r/2-9

34.若方程上7=2+'7有增根，则。的值为（）

x-4x-4

A.-4B.4C.3D.2

Xft）

35.若关于x的分式方程：T=（x1）（=2）有增根，则〃?的值为（）

试卷第8页，共10页

A.0B.3C.-1D.1

36.解分式方程：

37.已知关于x的分式方程看=2.

(1)当。=1时，求分式方程的解.

(2)若该分式方程有增根，求4的值.

38.随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机

从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米.若采用传统车辆匀速

配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配

送多0.1小时.

(1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时；

(2)若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品,0.2小时后接到医院通知，

急救药品需要在10分钟以内(含10分钟)送达，则无人机的速度至少要提高到

多少千米/时，才能完成此次配送任务.

39.我们把形如工+弛(。、b不为零)，且两个解分别为内=。，的方

x

程称为“十字分式方程”.

5ix5

例如：工+-=6为“十字分式方程”，可化为x+——=1+5,.1.^=1,X2=5.

XX

再如：x+g=-5为“十字分式方程“，可化为x+(—2)：(-3)=(_2)+(_3),.-.x,=-2,

£=-3.

应用上面的结论，解答下列问题：

Q

⑴若丁+-=-6为“十字分式方程”，则占二,x2=；

X

(2)请利用上述方法求“十字分式方程”."230=4的解；

(3)若“十字分式方程-6的两个解分别为％=〃?，/=〃，求/+/的值.

40.狮猴桃被誉为“维C之王”，其中含血清素可以稳定情绪，丰富膳食纤维能促

进心脏健康.在泰顺擀猴桃销售旺季时，爸爸妈妈让他们的两个孩子泰泰与顺顺

试卷第9页，共10页

去物猴桃市场采购相同价格的同一种掰猴桃.泰泰用240元买的掰猴桃数量比顺

顺用300元买的掰猴桃数量少10JT.

⑴求这种擀猴桃的单价.

(2)两人第二次再去采购该种掰猴桃时，每斤单价比上次少了2元.两个人购买

方案不同如图所示.他们想通过这两次购买体验，作为数学项目化学习的一个素

材，探究谯的购买方案更加合算.计算得泰泰两次购买的源猴桃平均价格是一元/

斤，顺顺两次购买的笏猴桃平均价格是一元/斤.

(3)泰泰和顺顺通过这次购买物猴桃的项目化学习，总结出连续购买某种商品更

合算的方案，并迁移联想到爸爸的加油习惯是按照同样的金额加油，而妈妈总是

说“把油箱加满”.他便要建议父母按相同的—(填“金额”或“油量”)加油更合

算.请你通过计算说明理由.

试卷第10页，共10页

1.D

【分析】分式方程的定义为：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.分母不含未知数的方

程是整式方程.

【详解】解：A选项，分母为5和4,都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求；

B选项，方程是二元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求；

C选项，分母为2和3,都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求；

D选项，分母为x-2,含有未知数x,符合分式方程的定义，

2.D

【分析】依据“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”逐•判断选项.

【详解】解：A选项：分母含未知数/,是分式方程；

B选项：分母含未知数x,是分式方程；

C选项：分母含未知数人是分式方程：

D选项：所有分母中均不含未知数，不是分式方程；

3.B

【分析】分式方程是分母中含有未知数的方程，判断每个方程是否含有分母且分母中含有未

知数.

本题考杳了分式方程的概念，熟练掌握相关内容是解题的关健.

【详解】解：:方程①X2-2X=-中，右边分式分母含有未知数4,

X

・••①是分式方程.

...方程②竽-=空中，左边分式分母4.V含芍未知数X,

4x3

•••②是分式方程.

方程③X4-2X2=0中没有分式，是整式方程，

③不是分式方程.

...方程④lv2-l=0中，1是常数系数，没有分母含有未知数，

二④不是分式方程.

・•.是分式方程的是①②.

故选：B.

4.A

【分析】本题考查通过去分母将分式方程转化为整式方程，方程两边同乘各分母的最筒公分

答案第1页，共22页

母，即可去分母.

【详解】解：方程两边同乘2—6x,^2-6x-(2-6x)x—L-=--2—x(2-6^),

5x-\2-6x

整理可得：2-6x+2=-5

故选：A.

5.(1»=4；

o

⑵崂.

【分析】(1)方程两边同乘最简公分母x(x-l),转化为一元一次方程，然后解方程并检验

即可;

(2)方程两边同乘最简公分母(X-2)(X-3),转化为一元一次方程，然后解方程并检验即

可.

【详解】(1)解：-4=^-3,

xx-\

4(x-l)=3x,

4x-4=3x,

4x-3x=4,

x=4,

检验：当x=4时，x(x-l)^O,

•••原分式方程的解为：x=4；

(2)解：-2^r-=-74+2,

x-2x-3

2x(x-3)=7(x-2)+2(x-2)(x-3),

2x2-6.r=7x-14+2(x2-5x+6),

2X2-6X=2X2-3X-2,

-3x=-2,

2

x=—,

3

7((7A7R

检验：当工=彳时，(x-2)(x-3)=--x-1=-^^0,

2

是原分式方程的解.

答案第2页，共22页

6.(l).r=0

(2)原方程无解

X7

【分析】(1)对于分式方程」7+广二=2,解题思路是先将分式方程变形，确定最简公分

x-1I-x

母为X-1，两边同乘最简公分母化为整式方程，求解整式方程后进行验根，确定原方程的解.

|212

(2)对于分式方程1+—7=「；，解题思路是先对分母因式分解，确定最简公分母

x+3x-3x-9

为(x+3)(x-3),两边同其最简公分母化为整式方程，求解整式方程后验根，判断原方程解

的情况.

x2

【详解】(1)解：—+：—=2,

x-11-x

————=2,

x-1x-1

方程两边同乘(X-1),得

x-2=2(x-l),

x—2,=2x-2,

x-2J=-2+2,

-x=0,

x=0,

检验：当x=0时，x-l=-1^0,

故原分式方程的解为x=0.

方程两边同乘(x+3)(x-3),得

(x-3)+2(x+3)=12,

x-3+2x+6=12,

3x+3=12,

3x=9,

x=3,

检验：当x=3时，(x+3乂x-3)=0,

因此x=3不是原分式方程的解.

答案第3页，共22页

故原分式方程无解.

7.⑴②

（2）见解析

【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键.

（1）根据去分母，两边同时乘2（x7）,即可确定；

（2）先去分母，再解一元一次方程，最后检验.

x+3_2x

【详解】⑴解:

~2X-2~~T^

x+3-2x

2(x-l)x-\，

去分母得：2（x-l）-（x+3）=-4x,

这道题从第②步开始出借,

故答案为：②.

x+3_2x

（2）解:

2X-2-T^7

x+3-2x

2(1)

去分母得：2（x-l）-（x+3）=-4x,

去括号得：2x—2—x—3=-4x,

移项、合并同类项得：5x=5,

系数化为1得：x=i,

检验：当X=1时，x-1=0,

.•"=1是原方程的增根，故无解.

8.（1）

一；去分母时方程右边的常数项1没有乘以公分母（工-1）

⑵

无解，过程见解析

【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程需要把方程两边同时乘以公分母化为整式

方程，求出的整式方程的解要代入公分母检验是否增根.

（1）根据解分式方程的步骤可知小叶在第一步去分母时发生了错误，小叶去分母时方程右

边的常数项1没有乘以公分母

答案第4页，共22页

（2）根据解分式方程的步骤求出方程的解，再把求出的解代入公分母检验是否增根.

【详解】（1）解：小叶在第一步去分母时发生了错误，

去分母应把等式的两边同时乘以公分母（x-1），

小叶去分母时方程右边的常数项1没有乘以公分母

故答案为：一，去分母时方程右边的常数项1没有乘以公分母（x-l）；

（2）解：—=—+1.

x-\x-\

去分母得：l=x+（x-l）,

去括号得：1=X+X-1，

移项得：x+x=l+l,

合并同类项得：2x=2,

系数化为1得：x=l,

检验：当4=1时，X-1=0,

.・”=1是原分式方程的增根，

・•・原分式方程无解.

9.（1）x=2（2）①等式的基本性质2；-；第二项1没有乘（丁-1）②x=3③解

分式方程必须检验（答案不唯一）

【分析】本题考查了解分式方程，解题关键是掌握解分式方程的一般步骤是解题关键.

（I）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，检验的解方程步骤求解即可；

（2）观察解方程的过程，找出每一步变形的依据，出现错误的步骤，写出正确的解答过程,

检验即可.

【详解】解：（1）方程两边同乘得x（x+l）-，-1）=3,

去括号，得/+x-r+l=3,

22

移项,x+x—x=3—\f

合并同类项，得x=2,

检验，当x=2时，X2-1=22-1=3*0,X-1=2-1=1^0,

所以，x=2是原分式方程的解；

（2）①根据等式的基本性质2：等式两边同时乘（或除）相等的数或式子，两边依然相等，

答案第5页，共22页

2x__

可得'7+l=—；的等号两边同时乘(/一1)'i52(x-l)+x2-l=x(x+l),

x+\x-1

故小颖同学解分式方程的第一步出现错误，错误的原因是第二项1没有乘(•--1),

故答案为：根据等式的基本性质2：一：第二项1没有乘(丁-1)；

②方程两边同时乘得2*-1)+/-1=旧+1)，

去括号，得2x-2+Y一］=,/+工，

移项，^2x-x+x2-x2=1+2,

合并同类项，得工=3,

检验，当x=3时，x+l=3+l二4±0,x-1=3-1=2工0,

故该分式方程的解是x=3：

③解分式方程时还需要注意的事项是必须确保分母是有意义的，

即解分式方程必须检验.

10.B

【分析】本题考查分式方程无解的问题，先将分式方程化为整式方程，分式方程无解分为两

种情况，一是所得整式方程无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，分情况讨论求解

即可.

6x+3k..

【详解】解：给分式方程777=777——7两边同乘最简公分母MxT)

人1AIA1I人

去分母得：6x=x+3-Zr(x-l)

去括号得：6x=x+3-kx+k

移项合并同类项得：(k+5)x=k+3

•••原分式方程无解

，分两种情况讨论：

①当4+5=0时，即〃=-5,此时整式方程变为0"=-2,整式方程无解.，因此原分式方程

无解•，符合要求：

②当"5工0时，即女工-5,整式方程的解为x=JA4-3

k+5

・•・原分式方程无解，

•••》为增根，原分式方程的增根为x=0或x=l

答案第6页，共22页

当x=0时，—=0,解得*=-3,符合要求；

k+5

当x=l时，--=1,整理得k+3=k+5,等式不成立，无解.

k+5

综上，上的值为-3或-5.

11.x=2

【分析】分式方程的增根是使分式方程最简公分母为0的未知数的值，根据增根的定义即可

求解.

【详解】解：对于分式方程：-2=/-,

x-22-x

它的最简公分母为工-2,

分式方程的增根使最简公分母为0,

则％-2=0,

解得x=2.

12.7

【分析】将分式方程化为整式方程，分式方程无解说明该解为原分式方程的增根，求出增根

后代入整式方程即可求得参数。的值.

【详解】解：原分式方程可变形为二-二=4,

x-2x-2

方程两边同乘最简公分母(1-2),得7-。=4"-2),

•••原分式方程无解，

.•.x-2=0,即x=2是原分式方程的增根，

将x=2代入整式方程7-。=4(》一2),得

7-tz=4x(2-2),

解得：a=7.

(2)且〃？w2

【分析】本题考查了分式的化简，解分式方程.

(I)根据分式的除法进行计算即可求解；

(2)先解分式方程，根据分式方程的解是非负数，得出xNO,根据分式有意义的条件得出

xwl,进而解不等式即可得出〃?的范围.

答案第7页，共22页

x-+xx--\x(x+l)(A-4)2X(X-4)x2-4x

【详解】(1)解：A

x-4A;2-8x+16x-4(x+l)(x-l)x-\x-\

(2)/—4x+/2m

1,

x-\\-x

x2-4x-x2+2m=x-\

1+2/w

x=--------

•••分式方程的解是非负数,

/.x>0,且x工1,

,匕40且上包工1

55

解得〃？N-g且加工2,

・'•的取值范围〃［之一;且机h2.

14.(l)X=y

4

(2)〃?的值为2,--

【分析】本题考杳了分式方程的求解及增根的概念和应用.

(1)将加=4代入原方程，通过去分母化为整式方程求解，最后检验解的合理性；

(2)先解分式方程得到用小表示的x,根据原分式方程有增根得到x=±3,旦用〃表示的x

的式子的分母〃?+1=0,分情况讨论确定出机的值即可.

【详解】(1)解：将〃?=4代入方程」—十一1=之二,

x+3x-3x-9

为41_8

^7+3+7^3-X2-9*

解得x=q17,

经检验：当工=不时，x2-90»

?是原方程的根.

m1_w+4

(2)解:

x+3x-3x2-9

4m+1

解得”

/〃+1

答案第8页，共22页

4?H+14（小+1）-3/3

x=--------=---------——=4---------,

m+1w+1"i+l

•••原分式方程有增根，

:.x=±3,

当x=3时，4一一J=3,解得〃?=2,

w+l

当x=-3时，4—3=-3,解得

W4-17

4

••.〃?的值为2,

15.（1）67=1

⑵4=1

（3）a=-2或a=1

【分析】本题考查的是分式方程的无解问题.

（1）原方程化为整式方程，然后代入增根求解即可；

（2）由增根求出x的值，然后代入化简后的整式方程即可；

（3）方程无解，可分为有增根和化简后的整式方程无解两种情况求解即可.

Y—/73

【详解】（1）解：=

x-\X

去分母得：x（x-a）-3（x-l）=x（x-l）,

去括号得：x2ax3x\3=x2x»

方程整理，得（〃+2）x=3.

••・x=l是原分式方程的增根，

」.（a+2）x1=3,

解得。=1.

（2）解：y-3=i,

x-\X

方程整理，得（a+2）x=3.

因为原分式方程有增根，所以x=0或x-l=O,

解得x=0或x=1.

••・x=0不可能是整式方程+2）x=3的根，

•••原分式方程的增根为x=l,所以（a+2）xl-3,

答案第9页，共22页

解得。=1.

GX~a3.

(3)解：-------=1,

x-1X

方程整理,得(a+2)x=3.

①当"2=0时，整式方程(〃+2)x=3无解,

此时。=-2；

②当〃+2Ho时，要使原方程无解，则x=0或X-1=0.

由(2),得“=1.

综上所述，4=-2或1=1.

16.B

【分析】根据“绫罗各一尺总价120文”的等量关系列方程.

【详解】解：丈=1()尺，

二•绫罗总长度为3x10=30尺，

•••设绫布有x尺，

・•・罗布长度为(30-力尺,

•••绫布总售价为896文,

二•绫布每尺价格为年文，

同理可得，罗布每尺价格为普■文,

3()-x

•••绫、罗各一尺共值钱120文，

896896

---+-----=120

x30-x

移项整理得120-些=著-

x30—x

17.A

【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，设慢马的速度为x里/天，则快马的

速度为2x里/天，根据规定时间相等可得方程，关键是正确理解题意，找出题H中的等量关

系.

【详解】设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为2x里/天，

根据题意，得：--1=^+3,

Xlx

故选：A.

答案第10页，共22页

18.规定时间为8天

【分析】此题考查了分式方程的应用，设规定时间为x天，快马速度是慢马速度的2倍，据

此列分式方程，解方程并检验即可.

【详解】解：设规定时间为x天,

900.900

由题意得:户2=^

解得x=8,经检验x=8是所列方程的根，且符合题意

答：规定时间为8天.

19.D

【分析】根据甲乙的出发时间和同时到达的条件，找时间等量关系列方程即可，总路程为

100米，利用时间=路程+速度表示两人走完全程的时间，再根据时间关系列方程.

【详解】解：••・百米赛跑总路程为100m,甲的速度为4m/s,

•••甲走完全程的总时间为竽s

4

•••乙比甲晚出发2s,且两人同时到达终点，乙的速度为.vm/s,

二乙走完全程的时间为Ms,乙的运动时间加上晚出发的2s等于甲的总运动时间,

x

i—wlOOc100

因此列方程得--+2=——.

x4

20.“歼-1()”战机的速度是每小时3600公里

【分析】设“阵风”战机的速度是xkm/h，则“歼TO”战机的速度为1.2xkm/h,根据题意“阵

风”战机在8地先1分钟起飞飞往力地，“歼-10”战机才开始从力地起飞飞往8地，则它们

同时到达各自的目的地建立方程求解即可.

【详解】解：设“阵风”战乱的速度是xkm/h,则“歼战机的速度为L2xkm/h,

小所*组3003001

由题尽得‘七一而'

解得x=3000,

经检验，x=3000是原方程的解，且符合题意,

.-.1.2x=3600,

答：“歼TO”战机的速度是每小时3600公里.

21.长安深蓝SL03的最高车速为50公里/时.

【分析】设北汽极狐阿尔法S的最高车速为x公里/时，则长安深蓝SL03的最高车速为

O

公里/时，根据“长安深监SLU3行驶100公里所用的时间比驾驶北汽极狐阿尔法S行驶120

答案第11页，共22页

公里所用的时间多30分钟''列出分式方程，据此求解即可.

【详解】解：设北汽极狐阿尔法S的最高车速为x公里/时，则长安深蓝SL03的最高车速为

♦公里/时，

O

100120八，

，IfS

根据题意得5x，

-X

8

解得x=80,

经检验，x=80是原方程的解，且符合题意，

180=50,

8

答：长安深蓝SL03的最高车速为50公里/时.

22.B

【分析】设原来每小时送工件外卖，先表示出现在每小时送的外卖数量，再根据“时间=总

件数+每小时送件数”分别表示出原来和现在送40件外卖所用的时间，最后根据时间关系列

方程即可.

【详解】解：•••原来平均每小时送x件外卖，现在每小时比原来多送3件，

现在平均每小时送(x+3)件，

・•・原来送40件外卖所用时间为40竺小时，现在送40件外卖所用时间为40二一小时，

•••现在送40件的时间比原来少用3小时，

•••原来所用时间-3=现在所用时间，

即列方程得4丝0-3=—40

xx+3

23.

按新的计划，平均每年应建设30万平方米的保障房

【分析】设出原计划平均每年建设的保障房面积，然后可表示出新计划平均每年建设的保障

房面积，根据原计划完成时间比新计划完成时间多1年的等量关系列出分式方程，求解后得

到新计划平均每年建设的保障房面积.

【详解】解：设原计划平均每年建设x万平方米保障房，则新计划平均每年建设(工+10)万

平方米保障房，

根据题意得，100.100x(1^^,

xx+10

答案第12页，共22页

方程两边同乘x(x+10),得100(x+10)-120x=x(x+10),

展开并整理得Y+30x-1000=0,

因式分解得(x-20)(x+50)=0,

解得芭=20,x2=-50(不符合实际题意，舍去)，

经检验，当x=20时，r(r+10)^0,

.•.x=20是原分式方程的解，

则新计划平均每年建设面积为20+10=30(万平方米).

答：按新的计划，平均每年应建设30万平方米的保障房.

24.一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2km

【分析】根据题意，以换轨时间建立等量关系列分式方程求解即可.

【详解】解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨xkm,则工作队人工每小时更换钢

轨］km,

4058,,

根据题意得IX，

-X

2

解得“2,

经检验，x=2是原分式方程的解，且符合题意，

答：一辆该型号快速换领车每小时更换钢轨2km.

25.(1)奶片每件进价为12元，酸奶每件进价为16元

⑵最多可■以购进酸奶34件

【分析】(1)设奶片每件进价为x元，酸奶每件进价为(x+4)元，根据题意得出方程

型=岑，求解方程即可；

xx+4

(2)设酸奶购进〃?件，贝J奶片购进(70-〃?)件，根据题意得出不等式，求解该不等式即可.

【详解】(1)解：设奶片每件进价为x元，酸奶每件进价为卜+4)元，

根据题意可得方程型=将，

xJ+4

解得x=12,

经检验，x=12是原方程的解，且符合题意，

答案第13页，共22页

故奶片每件进价为12元，酸奶每件进价为16元.

(2)解：设酸奶购进，〃件，则奶片购进。()-〃?)件，

根据题意可得16x(1+5%)6+12x0.9x(70—〃。V960,

解得〃?(34,

故最多可以购进酸奶34仁.

26.(1)力型激光雷达传感器的单价是600元，4型激光雷达传感器的单价是1000元

(2)购进力型激光雷达传感器5个，则购进“型激光雷达传感器15个，总费用最少，总费用最

少是18000元.

【分析】(1)设力型激光雷达传感器的单价是x元，则8型激光雷达传感器的单价是(x+400)

元，根据“用1800元购买力型激光雷达传感器的数显与用300()元购买B型激光雷达传感器

的数量相等”，列分式方程求解即可：

(2)设购进4型激光雷达传感器加个，根据“购买8型激光雷达传感器的数量不少于彳型

激光雷达传感器数量的3倍”列不等式求出m的取值范围，设总费用为卬元，求出w关于m

的一次函数解析式，然后根据一次函数的性质求解即可。

【详解】(1)解•：设4型激光雷达传感器的单价是x元，则4型激光雷达传感器的单价是

(x+400)元.

18003000

由题意得一=——

xx+400

解得x=600

经检验，x=600是原方程的解

600+400=1000(元)

•••A型激光雷达传感器的单价是600元，B型激光雷达传感器的单价是1000元.

(2)解：设购进/型激光雷达传感器用个.则购进R型激光雷达传感器(20-〃?)个.

由题意得20-m>3m

解得m<5

设总费用为卬元

w=600〃?+1000(20-///)=-400m+20000

vk=-400S0

答案第14页，共22页

•••库随的增大而减小

vm<5

当加=5时，w取得最小值，最小值为-400x5+20000=18000元

20-5=15（个）

二购进4型激光雷达传感器5个，则购进8型激光雷达传感器15个时，总费用最少.

总费用最少是18000元.

27.⑴①，②

⑵这种草蒋的单价为3（）元

⑶奶油草分的数量为4kg,白草莓的数量为2kg时花费最少，最少费用是200元

【分析】（1）根据分式方程并结合题意分析，即可■求解：

（2）根据分式方程的解法求解即可；

（3）设两种草特的总费用为，"，奶油草蒋的数量为则白草蒋的数量为（6。），先列出

不等式求出”的取值范围，再列出卬与。的函数关系式，最后根据一次函数的性质即可求解.

【详解】（1）解：小华所列方程中的x表示草莓的单价，小丽所列方程中的N表示甲用12。

元购买草莓的质量，

故答案为：①，②；

120+3x=210

3x=210-120

3x=90

x=30,

经检验，x=30是原方程的解，

,这种草莓的单价为30元；

（3）解：设两种草莓的总费用为卬，奶油草莓的数量为。，则白草莓的数量为（6-。）,

由题意得。42（6—。），

解得。44,

w=30。+40（6-。）=-10。+240,

v-10<0,

答案第15页，共22页

••・卬随。的增大而减小，

.♦.当4=4,6-a=2时,卬最少，最少费用为-10x4+240=200（元），

答：奶油草莓的数量为4kg,白草筵的数量为2kg时总花费最少，最少费用是200元.

28.（1）甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹

（2）升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣180件包裹

【分析】（1）设乙每小时分拣量为未知数，根据数量关系表示出甲的分拣量，利用题干给出

的数量关系列一元一次方程求解；

（2）设升级后乙每小时分拣量为未知数，根据“乙分拣7200件用时一甲分拣7200件用时

=3小时''列分式方程求解，再计算乙升级后比升级前多分拣的数量即可.

【详解】（1）解：设乙种机器人每小时分拣工件包裹，则甲种机器人每小时分拣（》+50）件

包裹•,

根据题意得：2（x+50）=3x-120,

解得x=220,

则x+50=220+50=270,

答：甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹:

（2）解：设升级后乙机㈱人每小时分拣V件包裹，则升级后甲机器人每小时分拣L2），件包

裹,

解得y=400,

检验：当，二400时，1.2丁=480。0,

所以y=400是原分式方程的解,

贝IJ400-220=180（件）,

答：升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣180件包裹.

29.单枪充电桩单价为2500元，则双枪充电桩单价为3750元

【分析】根据题意，假设单枪充电桩单价为x元，则双枪充电桩单价为L5x元，列出分式方

程求解即可.

【详解】解：假设单枪充电桩单价为x元，则双枪充电柱单价为L5人•元,

5000045000.

根据题意，得方程-----------=8，

答案第16页，共22页

20000

化简得-----=8,

x

解得x=2500,

经检验，x=2500是分式方程的解，

则1533750,

答：单枪充电桩单价为2500元，则双枪充电桩单价为3750元.

30.（1）甲种涓动变阻器的单价为45元/个，乙种滑动变阳器的单价为50元/个

（2）最少可以购买40个甲种滑动变阻器

【分析】（1）列分式方程解决问题；

（2）列一元一次不等式解决实际问题.

【详解】（1）解：设甲种滑动变阻器的单价为x元/个，

+4c16203600

由题意得02----