深圳市龙岗区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题（解析版）

2024-2025学年第一学期学科素养期中诊断

九年级数学（第一章〜第五章）

说明：全卷共6页，满分100分，考试时长90分钟.请在答题卡上作答，在本卷上作答无

效.

第一部分选择题

一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）

1.隋朝时期的青瓷高足盘是湖北省博物馆重要馆藏文物之一，具有极高的历史价值、文化价值.如图所示,

关于它的三视图，下列说法正确的是（）

正面

A.主视图与左视图相同B.主视图与俯视图相同

C.左视图与俯视图相同D.三种视图都相同

【答案】A

【解析】

【分析】此题主要考查了简单组合体的三视图，根据三视图的定义求解即可.

【详解】这个几何体的主视图与左视图相同，的视图与主视图和左视图不相同.

故选：A.

2.关于工的一元二次方程*2+以-10=0的一个根为2,则人的值为（）

A-3B.2C.3D.7

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查一元二次方程的解，把x=2代入方程中，求解即可.

【详解】解：•••一元二次方程一+反一10=（）的一个根为2,

・•・22+2/）-10=0»

/.b=3.

故选:C

3.如图，在矩形498中，对角线NC,BD交于点、O.若N4O9-50。，则ZNO3的度数为（）

AD

A.65°B.50°C.25°D.20°

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形外角和的性质，掌握矩形的性质得到

ZOAD=ZODA,运用三角形外角的性质计算是解题的关键.

根据矩形的性质可得04=0。，由等边对等角得到NO4O=NO。力，因为NN。"是V力。。的外角，所

以根据三角形外角和的性质即可求解..

【详解】解：•.•四边形力8c。是矩形，对角线4C,BD交于点,0,

•••0A-OD,

:"OAD=40DA,

•・•/力。8是丫40。的外角，

NA（）D=AOAD+NODA=2ZODA=50°,

：.NADB=25°,

故选：C.

4.如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中过点8和8的两条线段（两条线段的另一端在刻度尺上

分别对应3和5）相互平行，若点4在数轴上表示的数是-2且点力与刻度尺上的0刻度重合，则力B的

长度是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了数轴两点间的距离，平行线分线段成比例定理等知识，根据题意，设点6在数轴上表

示的数为X，再根据平行线分线段成比例定理列方程求解即可，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的

关键.

【详解】解：设点8在数轴上表示的数为X,

•・•点A在数轴上表示的数是-2,图中的两条线段相互平行，

8—x5—3

.F二壬，即24-3H,

解得：x=4,

A=4-（-2）=6.

故选：D.

5.宽与长的比等于1二1（=0.618）的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.世界上

很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如古希腊的帕提依庙等.如图，帕

提侬神庙平面图的长约为30米，则它的宽约为（）

C.21.21米D.48.54米

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了黄金分割的概念以及黄金矩形，依据宽与长的比等于0.618）的矩形称为黄金

矩形求解即可，掌握相关知识是解题的关键.

【详解】解：:宽与长的比等于0.618）的矩形称为黄金矩形，帕提侬神庙平面图的长约为30

米，

・•・它的宽约为：30x0.618=18.54（米）,

故选:B.

6.七巧板是一种拼图玩具，体现了我国占代劳动人民的智慈.如图，是一个由“七巧板”地砖铺成的地板,

一个小球在该地板上自由地滚动，并随机停留在某块地砖上，已知小球停在任意一点的可能性都相同，那

么小球停在4号地砖上的概率是（）

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求

事件（力）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（/）发生的概率.根据几何

概率的求法：小球落在4号地砖上的概率就是4号地砖的面积与总面积的比值.

由''七巧板”地砖的特点设===ACLFC,AC=FC=CE=2a,

・•・4号地砖的面积为"，整个正方形的面积为2x,4E•Cb=2x,x4。x2。=8a2,

22

・••小球停在4号地砖上的概率是二=,，

8/8

故选D

7.如图，V力BC与VDEE是位似图形,点O是位似中心.若。力=24。，V/3C的周长为4,则

">£尸的周长为（）

A.6B.8C.9D.12

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查位似图形的性质，根据题意，得到△/BCs^DEF,从而确定相似比，进而利用两个

相似三角形的周长比等于相似比列式求解即可得到答案，熟记位似图形的性质是解决问题的关键.

【详解】解：•.•V48C与VOEP是位似图形，点。是位似中心，

:YABCSMDEF,

•••0A=2ADf

ABOAOA2C_2

--=---=-------=—,即(ln-yA-B-C——

DEODOA+AD3CVD£F3

...当V4BC的周长为4时，VDEF的局长为6,

故选：A.

8.我国古代数学家赵爽（公元37世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的

几何解法.以方程/+5%一14=0即工"+5）=14为例说明，记载的方法是：构造如图面积是

（x+x+5『的大正方形.同时它又等于四个矩形的面积加上中闰小正方形的面积，即4x14+5?=81，因

【解析】

【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景.根据题意，画出方程--3、-10=0,即3)=10的

拼图过程，由面积的关系可得出答案.

【详解】解：方程/一3工-10=0,即x(x-3)=10的拼图如图：

*

中间小正方形的边长为：x-(x-3)=3,其面积为：3x3=9,

大正方形的面积为：(X+X-3)2=4X(X-3)+9=4X10+9=49,其边长为7,

因此，A选项所表示的图形符合题意，

故选：A.

第二部分非选择题

二、填空题(本大题有5小题，每小题3分，共15分)

9.己知：=一，则一的值为

b3a

【答案】j##0.5

【解析】

【分析】本题考查了比例的性质：设a=2k,则6=3%,代入即可求解，掌握比例的性质是解题的关键.

【详解】解：..•£二：,

b3

设。=2%,则6=3%,

b-a3k—2k1

:•---=------=—,

a2k2

故答案为：~.

10.为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满88元以上都可以获得一次转动转盘的机会.如图

Q）所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品.转动转盘若干次，其中指针落入

优胜奖区域的频率如图“）所示，则转盘中优胜奖区域的圆心侑近似为度.

【解析】

【分析】本题考查了根据频率估算概率，理解图1）中折线的含义，可得转盘中优胜奖的概率，由360x

概率可得扇形圆心角，掌握频率估算概率，根据概率计算圆心角的方法是解题的关键.

根据图“）可得频率稳定在0.2,即转盘中优胜的概率为0.2,根据360X概率可得优胜区的圆心角，由

此即可求解.

【详解】解：由图（6）可得频率稳定在0.2,即转盘中优胜的概率为0.2,

.•.转盘中优胜奖区域的圆心角近似为360。x0.2=72。，

故答案为：72.

11.关于x的一元二次方程/+2计4=0有两个不相等的实数根，则左的取值范围是.

【答案】左〈1.

【解析】

【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论.

【详解】•・•关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，

/.△=22-4xlxk>0>

解得：k<1,

故答案为kvl.

【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式.熟

知“在一元二次方程ax2+bx+c=0（aw0）中，若方程有两个不相等的实数根，则4=6?—4ac>0”是

解答本题的关键.

12.图（“）是燕尾夹，图S是燕尾夹简化的示意图，夹臂4C,8力可分别绕点M,N旋转，不考虑

夹臂的粗细，且此时夹嘴闭合（即C,。两点重合），AM=BN=20mm,CM=DN=\5mm,

W=8mm.如图（c）,当夹子完全张开时（即48两点重合），夹嘴间的距离C。的长为

mm.

B

图（c）

【答案】14

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的判断和性质,掌握两边对应成比例，其夹角相等的两个三角形相似是解

题的关键.

AMBN

根据题意，可得4。二8。,——=----，/-A=ZJ,由此可得V4MVSV4cO,根据相似三角形的性

ACBD

AMMN

质，对应边成比例得到,由此即可求解.

ACCD

【详解】解：如图所示，连接CZ）,

AM=BN=20mm，CM-DN-15mm，MN-8mm，

；.AM+CM=BN+ND,即=

AMBN

——=——，/A=Z-A，

ACBD

:.VAMN尔ACD，

AM_MN

~AC~~CD

AC=AM+CM=20+15=35〃]〃？，

AM20

故答案为：14.

13.如图，在正方形力8c。中，£是。。边上一点且满足/。8£=30。，将V8CE沿折叠得到

△BUE,CE与对角线BD交于点F,则而的值为.

【答案】避二1

2

【解析】

【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，延长

EC,交氏4的延长线于点G,根据正方形的性质和折叠的性质得出NG=N3£G=NGBE=60。，得

到VEG8是等边三角形，设C£=x,BG=BE=2x,DC=BC=&，再证明VOE/sv^G/7,即

可求解，掌握相关知识是解题的关键.

【详解】解：延长EC',交A4的延长线于点G,如图：

•・•四边形N4CE是正方形，

/.AABC=ZC=90°,DC//AB,DC=BC,

•・,/CBE=3M,

・•・乙GBE=90°-NCBE=60°,/CEB=90°-Z.CBE=60°

由折叠可得：/GEB=/CEB=60。,

・•・乙G=180°-NGBE-4GEB=180°-60°-60°=60°,

・•・VEGB是等边三角形,

・•・BG=BE,

在RWBCE中,NCBE=30°,

设CE=x，则BE=2x,BC=瓜,

：.BG=BE=2x,DC=BC=6X，

VDC//AB,即。后〃G8,

:,乙DEF=4BGF,/FED=/FGB,

・•・NDEFsVBGF,

.DFDEDC—CE瓜-x_6—1

~GB-2x-2’

故答案为：追二1.

2

三、解答题（本大题有7小题，共61分）

14.解一元二次方程：

（1）X2+2X=0;

（2）X2-6X-391=0.

【答案】（1）玉=0,X2=-2；

（2）再=23,x2=-17.

【解析】

【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的解法是解题的关键.

（1）直接用因式分解法求解即可；

（2）用配方法求解即可.

【小问1详解】

解：/+2X=0,

x（x+2）=0,

.•・1=0或x+2=0,

解得：％=0,x[=—2；

【小问2详解】

解：X2-6X-391=0，

AX2-6X=39I.

"-6X+32=391+32,

A（x-3）2=400,

x-3=±20,

；・x-3=20或x-3=-20,

解得：X1=23,x2=-17.

15.化学实验课上，杨老师带来了Mg（镁）、A1（铝）、Zn1锌）、Cu（铜）四种金属材料及其元素卡

片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后

用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气.（根据金属活动顺序可知Mg、Al、Zn可以置换出氢气，而Cu

（1）小云随机从中抽取一张卡片，抽到“A1”的概率为:

（2）小云随机从中抽取一张卡片，记下金属后，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张，请用列表或画树

状图的方法求小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率.

【答案】（1）

4

⑵—

16

【解析】

【分析】（1）根据概率公式计算即可求解；

（2）画出树状图，根据树状图即可求解：

本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键.

【小问1详解】

解：小云随机从中抽取一张卡片，抽到“A1”的概率为!，

4

故答案为：；;

【小问2详解】

解：用4B、C、。分别表示Mg、Al、Zn、Cu,画树状图如下:

开始

小云ABCD

小南ABCDABCDABCDABCD

由树状图可知，共有16中等结果，其中小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的结果有9种，

9

・•・小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率为一.

16

16.如图，在平行四边形44co中，NBDC=90。,E是力。边上一点，延长8E与CO的延长线交于点

F,连接力歹.

（I）请从下列条件中选择一个能证明四边形/是矩形的条件，并写出证明过程；

①AE=DE；②BF=BC；③AE=BE.

（2）若四边形尸是矩形，且力8=3,AD=5,求四边形A8CF的面积.

【答案】（1）①，证明见解析；

（2）四边形/5CQ的面积S为1B.

【解析】

【分析】（1）由平行四边形的性质得力8〃CO,则=/E,而N4EB=NDEF,AE=DE,

即可证明△4BE丝△。庄1,得AB=DF,则四边形48Z犷是平行四边形，由/5。。=90。，得

ZBDF=90°,则四边形力8。歹是矩形；

⑵由DF=CD=4B=3,得CF=6,根据勾股定理求得BDABC^-CD?=4,则

S」8Q（Z8+CE）=18.

【小问1详解】

证明：选①，理由如下：

•/四边形ABCD是平行四边形，

・•・AB//CD,

・•・/ABE=NDFE,

•・•£是力。边的中点,

AAE=DE,

在YABE和△。在1中,

NABE=ZDFE

-ZAEB=NDEF,

AE=DE

・•.VABE©/DFE(AAS),

・•・AB=DF,

VAB//DF,AB=DF,

・•・四边形18。尸是平行四边形，

•・•/BDC=90°,

・•・/BDF=90°,

・•・四边形力加正是矩形.

【小问2详解】

解：•・•四边形力8c。是平行四边形，

AAB=CD,BC=AD=5,

VAB=DF，

DF=CD=AB=3,

.\CF=DF+CD=3+3=6,

(BDC=90°,BC=AD=59CD=3,

BD=yjBC2-CD2=5/52-32=4,

AB//CF,

.\5=-5Z)(^5+CF)=-x4x(3+6)=18,

・•・四边形483的面积S为18.

【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、梯形

的面积公式等知识，证明是解题的关键.

17.已知甲商品每件的进价为20元，售价为每件40元.

(1)若商场计划对甲商品降价促销，预备从原来售价的每件40元进行两次调价后将售价降为每件32.4

元.若甲商品两次调价的降价率相同，求这个降价率：

(2)经调查，甲商品每降价1元时，每月可多销售10件.已知甲商品在原售价为每件40元时的月销售量

为100件.若商场希望甲商品该月的获利为2250元，请问甲商品在原售价的基础上应降价多少元？

【答案】（1）这个降价率为10%

（2）甲商品在原售价的基础上应降价5元

【解析】

【分析】本题主要考杳一元二次方程的运用，理解下降率的计算方法，一元二次方程与销售利润的数量关

系，掌握运用一元二次方程解下降率，销伐利润的方法，理解其中的数量关系的列式与计算是解题的关

键.

（1）甲商品两次调价的降价率相同，这个降价率为x,根据两次降价，列式求解即可；

（2）设甲商品每降价。元，则每月可多销售10。件，可得降价后每件的利润为40-。-20=（20-。）

（元），此时的销售量为（100+10。）件，由此列式求解一元二次方程即可.

【小问1详解】

解：甲商品两次调价的降价率相同，这个降价率为4,

...40（1-x）2=32.4,整理得，l-x=±0.9,

...X,=0.1=10%,“2=19=190%（不符合题意，舍去），

.•.这个降价率为10%；

【小问2详解】

解：•.•甲商品每降价1元时，每月可多销售10件，

•••设甲商品每降价。元，则每月可多销售1（）。件，

.•・降价后每件的利润为40-。-20=（20-。）（元），此时的销售量为（100+10。）件，

.•.（20-6r）（100+10a）=2250,整理得，^-10674-25=0,

解得，/=。2=5,

.•.甲商品在原售价的基础上应降价5元.

18.综合与实践

背晚上小明在广场上散步，如图所示，AB,C。是广场上的两根电线杆，小明站在

景点、E处,在两盏路灯4,。的照射下，地面上形成了他的两个影子E4,EG.

13

、，‘

、，,

'、

Ac

r

GE

(a)(b)

素

材两盏路灯8,。的高均为10m,两盏路灯相距40m,小明的身高E/为1.5m.

1

素

材A,C,E,G,"在同一平面内，电线杆和人均垂直于地面.

2

问

题小明在广场中走动时(始终保证影子EG,EH不为G),两个影子端点间的距离G〃是

提否会发生改变？

出

叵题解决

任

(1)如图(b),当小明影子EG长为4.5m时，此时小明到电线杆CO的距离EC

务计算

为多少？

1

任

(2)小明在广场上走动的过程中两个影子端点间的距离G"是否会改变？若G，

务说理

的长不变，请求出G”的长；若G〃的长度发生变化，请说明理由.

2

任

(3)小明在广场的某个位置向上跳起再落下，在该过程中G"最长达到10m,请

务拓展

直接写出小明从起跳到落下的过程中，头顶距离地面的最大高度.

3

120

【答案】(1)25.5m；(2)G”的长不变，GH=——m；(3)头顶距离地面的最大高度为2m

17

【解析】

【分析】（1）证明VGbEsvG。。，运用相似三角形的性质即可得出结论:

EHEGAECE

(2)连接GH,证明——=—,得出一=—,根据N/EC二NGE”,证明VGHEsVOE,得

AHCGEHEG

,ACCEACCECE+EGCGCD1020AC_20

出---=----求出----+1t=——+11=-------------=——=——=——=一得出

GHEGGHEGEGEGEF1.53GH~S

即可求出结果;

ACCEACCE,CE+EGCGCD

(3)由YGHESVCAE,得出一=—得出-----4-1t=——+1=-------------=——=——即

GHEGGHEGEGEGEF

且S+l二人2,根据G4=10m,CE=25.5m,4C=40m,求出结果即可.

GHEF

【详解】解：（1）根据题意可得：EFPCD,

:NGFEs'GDC,

.EF_EG

"CD~CG，

•/EG=4.5m,EF=1.5m,CD=10m.

1.54.5

—=——,

10CG

解得：CG=30

・•・EC=30-4.5=25.5(m)

・•・此时小明到电线杆CD的距离EC为25.5m；

（2）GH的长不变，连接GH,如图所示：

根据题意可知：EF〃AB,EF//CD,

AHEFs4HAB,

.EFEH

,•方一而‘

EFEG

根据解析（）可知:

1~CD~~CG

VAB=CD,

.EH_EG

AHCG

即

~EH~~EG

EH^AEEG+CE

EHEG

、AE,CE

1+=1+,

EHEG

AE_CE

市一法’

AAEC=4GEH，

NGHEsvCAE，

AC_CE

~GH~~EG

AC.CEyCE+EGCGCD1020

GHEGEGEGEF1.53

AC20।17

-1—，

GH33

a，i

GH=—AC=—x40=——(m)；

17171717

(3)同(2)可得VGHESYC4E,

.AC_CE

,'GH~'EG

:•江+1二军+『四股二生二生

GHEGEGEGEF

ACiCD

即-----+1=——

GHEF

解得：EF=2,

，此时小明头顶离地面的最大高度2m.

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，比的基本性质，根据题意证明三角形相似，利用比例式

求解是解题的关键.

19.综合与探究

【定义】我们把关于x的一元二次方程ax?+6x+c=o与以2+bx+a=0（QCWO,QHC）称为一对

“友好方程”

【示例】如2_?+7工一3=0的“友好方程”是一3工2+7工+2=0.

（1）写出一元二次方程12/一7上+1=0的“友好方程”是.

【探究】

（2）已知一元二次方程12^—7l+1=0的两根为％=；，、2=（,请求出它的“友好方程”的两个根.

【猜想】

（3）当△=〃一4*N0时，方程ad+/JX+C=0的两根X1,当与其“友好方程”。丫2+人工+〃=0的两

根与，4之间存在的一种特殊关系为.（qcwO,awe）

【证明】

:方程。/+云+。=0的两根为王=I三，与=-b-y/b2-4ac

2a

方程ex2+人工+a=0的两根为当="—~，①；...

2c

（4）请完成上述填空①，并补全证明过程.（备注：证明一组关系即可）

【拓展】

（5）已知关于x的方程2024/+瓜—。=0的两根是玉二-1,X2=-l—,请利用上述结论，直接写出

关干x的方程c（x——云+6=2024的两根.

2

【答案】（1）X-7X+12=0：（2）X3=3,X4=4；（3）互为倒数（4）匕=土亚三还证明见解

2c

析；（5）Xj=0,x2=2025.

【解析】

【分析】本题考杳了新定义下一元二次方程根与系数的关系，求根公式的应用，倒数的定义等知识，掌握

相关知识是解题的关键.

（1）根据“友好方程”的定义即可得出答案；

（2）根据“友好方程”的定义得出方程12/一71+1=0的“友好方程”，求解即可;

（3）（4）根据求根公式得出方程“2+云+0=0的两根为x-七及其“友好方程”,^+瓜+^二。的

两根为七，与，再求得8/3=1，即可得出答案；

（5）先根据“友好方程”的根的特点求出-52+^+2024=0,即仃2一床-2024=0的两根为

^=-1,x2=2024,将待求方程变为c（x—I）?—〃（x—1）—2024=0,把x-l看成一个整体即可求解.

【详解】解：（1）依题意可得：

一元二次方程12/一7工+1=0的“友好方程”是--7工+12=0,

故答案为：x2—7x+12=0：

(2)X2-7X+12=0，

/.(x-3)(x-4)=0,

解得：£=3,儿=4；

(3)(4)•・•A=〃—4ac20时，

・•・方程ad+以+c=o的两根为占=土亚三，土正三

12a22a

方程“2+6+勾_0的两根为巧=+"，ac,上匠三

32c42c

.-b-^yjb2-4ac-b-yjb2-4ac

..…一-------------£一

(询2-("2_4或)2

2a-2c

b2-(b2-4ac)

4QC

_b2-b2+4ac

4ac

=1,

-b-y/b2-4ac-b+^b2-4ac

同理:=------------------------------------------

2a2c

(-/?)-\yjb2-4acj

2a-2c

b2-(b2-4ac)

44c

_b2-b1+4ac

4ac

=1>

・••方程QX?+bx+c=0的两根X1,工2与其“友好方程"CX?+6X+Q=0的两根毛，之间存在的i种特

殊关系为互为倒数，

故答案为：互为倒数，匕二土亚三还；

2c

(5)•・・关于》的方程2024/+及一。=0的两根是玉二-1,七=97，

，方程2024/+/JX—C=0的“友好方程”—eV+&+2024=0，即ex?-云―2024=0的两根为

x,=-1,x,=2024,

设y=.”l

・・・c(x—1)2—笈+8=2024,即c(x—if—b(x—1)—2024=0可化为：

cy2-by-2024=0，

/.V]=-1,y2=2024,

・・・工一1二-1或1=2024,

解得：x,=0,X2=2025.

20.综合与探究

如图，在平行四边形48co中，E,9分别是边3C,。。上的点，AE与BF交于点P.

(!)【特例感知】

如图(。)，若四边形/BCQ是正方形，当=时，则线段NE与4户的数量关系是；

(2)【深入探究】

如图(力)，若四边形488是菱形，B.N4PB=ND,则线段/£与8尸满足怎样的数量关系？

请证明你的猜想;

关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路.请选择其中一种思路解决问题.

思路一思路二

如图，在8c边上取一点用使如图，在CB的延长线上取一点N使，

AM-AB»AN=AE...........

a/S

BMECNREC

(3)【类比迁移】

如图(c),若四边形/8CQ是菱形，E为8C的中点，ZJP5=ZC=60°,请求出一的值；

BF

(4)【联系拓广】

如图(")，在平行四边形49CZ)中，AD=3,AB=4,ZC=60°,尸是边的中点，当点E在直

线3c上运动，且直线力上与直线所夹的锐角为60。时，请直接写4七的长.

思路二:

4E34

AE=BF,证明见详解(3)［例±迁移］方=5(4)［联系拓广的长为］或8

【解析】

【分析】(1)［特例感知］根据正方形的性质可得

AB=BC=CD=AD,AABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°,当=时，即

4P5=90。，可得/B4E=NCBF,可证V/8E名VBCA&IS),由此即可求解；

(2)［深入探究］思路一：四边形,48。。是菱形，可得

AB=BC=CD=AD,AABC=ZADC,ABAD=ZBCD,4BPCD,4DPBC,根据/4P8是三角

形的外角，AB//CD,可证NBEP=NCFB,如图，在8C边上取一点用使,则

AM=BC,可证乙4ME=NC,由此可证VZMEgVBC/（44S）,即可求解：思路二：由思路一可得

NAEB=/ABP=/CFB,在C8的延长线上取一点N使，AN=AE,可得/ABN=NC,可证

Y4BN4BCF（AAS）,由此即可求解：

（3）［例比迁移］如图所示，连接BD交4E于点M,可得△8C。是等边三角形，/BAE=£EBP,可

证VNBA/gV8Cr（4S4）,得到8尸=40,再证△8EMSZ^^M，可得竺=:，空=］,即

MA24E3

4E3

—由此即可求解：

AM2

J»AJ

（4）［联系拓广］先通过作辅助线汽;求出8/的长度，然后证明V/18/SV8",由一=—=—求

BFBCFC

出,〃和引，进而由△力G/为等边三角形得到力G和G8的长度，再证明VB/ESVG48,由对应边成比

E'EAE

例求得8E和4E的长度，继续证明VG48sV4£E,由——=——求出££,继而得到89的长度.

ABGB

【详解】解：（1）［特例感知］

•••匹边形/8CO是正方形，

AB=BC=CD=AD,ZABC=4BCD=ZCDA=NO力8=90。,

当N/PB=NO时，即/4P8=90。，

•••AE_LBF，

:.NBAP+/ABP=NABP+/CBF=90°,

：.NBAE=4CBF,

在RtVABE和R/V4W中，

ZABE=ZBCF=90°

•、AB=BC,

NBAE=/CBF

：.VABE4BCF（SAS）,

：,AE=BF,

故答案为：AE=BF；

（2）［深入