高考数学一轮复习 第十章 第4节 随机事件与概率-含解析

第4节随机事件与概率

9课标要求1.结合具体实例，理颦样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系.了解随机

事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算.2.结合具体实例，理解古典概型，能计

算古典概型中简单随机事件的概率.3.通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.4.结合实例,

会用频率估计概率.

一不竺主干梳理基础落实»>»>>»—1------------------Y

知识梳理—鬻

关键词含义

随机试验E的□±:的基本结果，常用s

样本点

表示样本点

样本空间□i样木点的集合，常用Q表示样本空间

如果一个随机试验有〃个可能结果

有限样

<»1,（02,…，（0n,则称样本空间Q={®,0）2,*,•,Mn}

本空间

为有限样本空间

样本空间。的国上耍，常用大写字母

随机事件

A,B,C,…表示

基本事件只包含一个样本，点的事件

必然事件每次试验E々的事件

不可能事件每次试验固定不发4；的事件

2.两个事件的关系和运算

事件的关系和运算含义符号表示

包含关系4发生导致8发生AG8

相等关系B^A且A^BA=B

并事件（和事件）A与8至少有一个发生从08或4+8

交事件（积事件）A与八同时发生或A3

互斥事件A与4不能同时发生AAB=0

互为对立事件A与B有且仅有一个发生AC\B=0,AUB=Q

3.古典概型

（1）古典概型的特征

①有限性:样本空间的样本点只有回个；

②等可能性:每个样本点发生的可能性团.

(2)古火概型的概率公式:设试验E是古典概型，样本空间。包含〃个样本点，事件A包含其中的攵个样本点,

则定义事件4的概率P(4)=回匕回啸.其中,〃(4)和〃(。)分别表示事件A和样本空间。包含的样本点个

nn(P)

数.

4.概率的基本性质

⑴对任意的事件4都有PC4)20;

(2)必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即Pto)=l,P(0)=();

(3)如果事件A与事件B互斥，那么尸(AUB)=圆

(4)如果事件A与事件8互为对立事件,那么P(8)=1-P(A),P(4)=

⑸如果AQB,那么P(A)WP(8),由该性质可得,对于任意事件A,因为此A£。,所以OWP(A)WI;

(6)设A,8是一个随机试验中的两个事件,我们有P(AU8)=ERJ

5.频率和概率

随着试验次数〃的增大,频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率后(A)会逐渐口I事件A发

生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，可以用频率八(A)估计概率PC4).

I常用结论与易错提醒，

若事件事,42,…,4两两互斥，则尸(A1UA2U…UA“)=P(4)+P(A2)+…+P(A.).

断自测

1.思考辨析(正确的打“，”，错误的打"x”)

⑴事件发生的频率与概率是相同的.(*)

(2)两个事件的和事件是指两个事件同时发生.(*)

(3)若4U8是必然事件,则4与8是对立事件.(*)

(4)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.(*)

2.(人A必修二P235Tl改编)一个人打靶时连续射击两次，与事件“至多有一次中靶”互斥的事件是(B)

A.至少有一次中靶B.两次都中靶

C.只有一次中靶D.两次都不中靶

解析射击两次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或两次都不中靶”，与该事件不能同时发生的是

“两次都中靶”.

3.(人A必修二P244例12改编)为了推广一种新饮料,某饮料生产企业开展了有奖促销活动:将6罐这种饮

料装一箱,每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐,则能中奖的概率为;.

解析从6罐饮料中随机抽出2罐的种数为15,两罐都不中奖的种数为6,故两罐都不中奖的概率为

JLOO

故中奖的概率为11=:.

4.抛掷一枚骰子，记A为事件”出现的点数是奇数”，8为事件”出现的点数是3的倍数”，则户(AU

£J)=；,PUAW=2.

36

解析抛掷一枚骰子，出现点数的样本空间是{1,2,3,4,5,6},共6个样本点，事件AUB={1,3,5,6},共4个

样本点，故巴AU8)=W事件AflB={3},共1个样本点，故PC4n8)=；.

36

—L««««考点突破能力提升_:-----------c

考点一事件的关系

【例I】(1)抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,若事件4="向上的点数为3"，8="向上的点数为6"，C=

“向上的点数为3或6”，则有(D)

A.4GBB.CE5

C.AC\B=CD.AUB=C

解析事件A发生，事件8一定不发生,A不正确；事件C发生，事件8不一定发生，但事件8发生，事件C

一定发生，所以3=C,B不正确；事件A和事件B不能同时发生，即ACA=0,C不正确；事件八或事件3发生，

则事件。一定发生，反过来，事件C发生，一定是事件A或8发生，即4U8;C,D正确.

(2)(多选)从装有大小和形状完全相同的3个红球和3个白球的口袋内任取3球,那么下列各对事件,互斥而

不互为对立的是(BD)

A.至少有1个红球与都是红球

B.恰有1个红球与恰有2个红球

C.至少有1个红球与至少有1个白球

D.至多有1个红球与恰有2个红球

解析选项A,“至少有1个红球”与“都是红球”这两个事件,都包含“都是红球”的事件，故不是互斥

事件，故A错误；

选项B,“恰有1个红球”与“恰有2个红球”为互斥事件，除了这两个事件外，任取3个球还包含“恰有0

个红球”与“恰有3个红球”两个事件，故“恰有1个红球”与“恰有2个红球”不是对立事件，故B正确;

选项C,“至少有1个红球”与“至少有1个白球”都包含“恰有1个红球”与“恰有2个红球”两个事件,

故不是互斥事件，故C错误；

选项D,“至多有1个红球”与“恰有2个红球”为互斥事件，除了这两个事件外，任取3个球还包含“恰有

3个红球”这一事件，故“至多有1个红球”与“恰有2个红球”不是对立事件，故D正确.故选BD.

I思维升华〉

事件关系判断的策略

(1)判断事件的互斥、对立关系时一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有

且仅有一个发生，则这两个事仲为对立事件，对立事件一定是互斥事件，反之不成立.互斥事件是不可能同时

发生的事件，但也可以同时不发生;对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即

有且仅有一个发生.

(2)判断事件的交、并关系时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部

结果，必要时可列出全部的试验结昊进行分析.也可类比集合的关系，运用Venn图分析事件.

【跟踪训练1](1)(2026・广西桂林月考)从1,2,3,4,5,6这六个数中任取三个数,下列两个事件为对立

事件的是(C)

A.“至多有一个是偶数”和“至多有两个是偶数”

B.“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”

C.“至少有一个是奇数”和“全都是偶数”

D.“恰有一个是奇数”和“至多有一个是偶数”

解析从1,2,3,4,5,6这六个数中任取三个数，可

和1个偶数,3个奇数和()个偶数，“至多有一个是

⑵(多选)下列结论正确的有(ABC)

A.若A,8互为对立事件,尸(A)=1,则P(B)=0

B.若事件A,B,C两两互斥,则事件A与8UC互斥

C.若事件A与B对立,则P(AU8)=1

D.若事件A与8互斥，则它们的对立事件也互斥

解析由题意得，P(8)=l-P(A)=0,故A正确；若事件人民C两两互斥，则事件人从。不可能同时

件A与BUC也不可能同时发生，贝[事件A与BUC互斥，故B正确；若事件A与8对立，则P(AU

B)=P(A)+P⑻=1,故C正确；若事件4,A互斥但不对立，则它们的对立事件不互斥，故D错误.故选ABC.

考点二概率的基本性质

【例2】某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位,设特等

奖1个,一等奖10个,二等奖50个设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为4,8C,求：

(1)P⑷,P®,P(C);

(2)1张奖券的中奖概率；

(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.

解⑴易知尸⑷二喘？

P(8)二士,P(C)=±.

10020

(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.

设“1张奖券中奖”这个事件为历则M=AUBUC.

因为A,B,C两两互斥，

所以P(M)(AU8UC)=P(A)+PB)+P(C)=-10--50=—.

10001000

故1张奖券的中奖概率为热.

1000

(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件M则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对

立事件，

=+=1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为鬻.

\1000100/10001000

【变式探究】(变设问)本例题条件下，求1张奖券不中奖的概率.

解“1张奖券不中奖”和“1张奖券中奖”是对立事件，所以概率P=1-氤=^.

I思维升华,

求复杂互斥事件概率的两种方法

将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的概率

直接法

的和,运用互斥事件慨率的加法公式计算

先求此事件的时立事件,再用公式P(/)=I-P(万

间捶法卜*求得.即运用逆向思维(正难则反),特别是“至

多”“至少”型题目.用间接法较为简便

【跟踪训练2】(1)(多选)中国篮球职业联赛中，某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如

表，

投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数

1005518

记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A投中三分球为事件B,没投中为事件C,则(ABC)

A.PU)=0.55B.P(B)=0.18

C.P(C)=0.27D.P(BUc)=0.55

解析由题意可知P(A)=盖=0.551(8)=瑞=0.18,•・•事件AU8为事件C的对立事件，且事件A,从。两两

互斥，JP(C)=1-P(AU3)=1-P(A)-尸(3)=0.27,・(3UC)二尸(3)+P(C)=0.45.

(2)为有效落实家校共育,某校派出教师进行家访，了解家庭对孩子的教育情况.一个月内派出的教师人数及

其概率如表所示，

派出人数34526

概率0.360.30.20.04

则该校本月至多派出3名教师进行家访的概率为“.

解析由题表得，该校本月至少派出4名教师进行家访的概率为0.3+0.2+0.04=0.54,所以至多派出3名教师

进行家访的概率为1-0.54=0.46.

考点三古典概型

角度」简单的古典概型的概率

【例3](1)(2025•广东佛山二模)学校举办篮球赛,将6支球队平均分成甲、乙两组，则两支最强的球队

被分在不同组的概率为(C)

A.；B：C.1D.g

解析由题意可知，两支最强的球队被分在不同组的分组组数为玛鬣，所有的分组组数为喘，结合古典概型

的概率计算公式可得满足题意的概率P=萼=W.故选C.

C65

(2)(2026•T8联考)1个质点从平面直角坐标系中某点A出发,每次等可能地向上或向下或向左或向右移动

1个单位长度,求该质点经过4次移动后回到点A的概率.

解移动四次，样本空间的样本点总数为〃=4、256,每个样本点出现的可能性相等，且为有限个.

记质点经过4次移动后回到点A为事件从要4次回到起点人见向左移动次数与向右移动次数相等，且向上

移动次数与向下移动次数相等，包含下列情况:①4次移动中向上、下、左、右各一次;②向上和向下各2次;

③向左和向右各2次.

所以事件B包含的样本点个数为〃尸A：+2第=36,所以巴切=三=1所以该质点经过4次移动后回到点A

角度2古典概型的交汇问题

[例4](I)从集合｛1,2,4｝中随机抽取一个数a,从集合｛2,4,5｝中随机抽取一个数b,则向量m=(a,b)与

向量俨(2,-1)垂直的概率为(B)

A.-B-C.-D.-

9933

解析从集合｛1,2,4｝中随机抽取一个数从集合｛2,4,5｝中随机抽取一个数从可以组成向量m=(a,b)的

个数是3x3=9,其中与向量比(2,-1)垂直的向量是止(1,2)和止(2,4),共2个，故所求的概率为P=|.

(2)已知圆C:(心加2+()，㈤2=16,其中a,b为抛掷两枚骰子出现的点数,直线/:尸》,M="圆。上至少有3个

点到直线/的距离为2"，则P(M)=.

18

解析由题意知，圆心C(a,A),H,要满足圆C上至少有3个点到直线/的距离为2,即满足圆心C到直线/

的距离小于等于2,即更普W2,样本空间。的样本点个数为〃(Q)=36,M=｛(1,1),(2,1)｝,〃(M)=2,由古典

概型的概率计算公式可知,P(M)=嘤=白.

71(0)18

思维升华〉

古典概型中样本点个数的探求方法

(1)列举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举的问题.

(2)树状图法：适合于有顺序且较为复杂的问题.

(3)排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识.

【跟踪训练3】(1)某学校为了搞好课后服务工作，教务科组建了一批社团，学生们都能自主选择自己喜欢

的社团.目前话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团分别还可以再接收1名学生，恰好含甲、乙的4名

同学前来教务科申请加入,按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团

的概率为(C)

A.-B.=C.-D.-

4568

解析4名同学分别进入话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团共有A：=24种选法，其中甲进街舞社团,

乙进书法社团或摄影社团有最A>4种选法，由古典概型的概率计算公式可得，甲进街舞社团，乙进书法社团

或摄影社团的概率尸=三二；.

246

(2)从1,2,3,4,5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除的概率为(D)

A.—B-C.—D.-

10S105

解析从1,2,3,4,5中任选3个不同数字组成一个三位数，有Ag=5x4x3=60种可能.要使该三位数能被3整

除，只需数字和能被3整除，所以数字为1,2,3时，有A；3x2xl=6种可能;数字为1,3,5时，有A§=3x2xl=6

种可能；数字为2,3,4时，有A*3x2xl=6种可能；数字为3,4,5时，有Ag=3x2xl=6种可能，共24种可能.所以

该三位数能被3整除的概率为意=|.

⑶设a,b是从集合{1,2,3,4,5}中随机选取的数,则直线y=ax+b与圆^+/=2有公共点的概率是

解析直线y-ux-^b与圆上十)?二2有公共点，等价~<V2,等价「W2”'十2,f(a,〃)力仁

v-Udz^+!=l

{1,2,3,4,5}},〃(0)=25,设4={(。1)|从<24+2,。,人£{1,2,3,4,5}},当b=\时,a=l,2,3,4,5;当h=2

时,a=l,2,3,4,5;当b=3时,o=2,3,4,5;当b=4时,。=3,4,5；当b=5时,a=4,5.故〃(4)=19,所以十(4)=嘤=

n(。)

色即直线)=”+〃与圆/+户2有公共点的概率是得

课时作业

［基础巩固］

一、单项选择题

I.某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线生产7nm规格的芯片.现有25块该规格的芯片,其中来自甲、乙、

丙的芯片数量分别为5块、10块、10块.若甲、乙、丙生产的芯片的优质品率分别为0.8,0.8,0.7,则从这25

块芯片中随机抽取一块，芯片为优质品的概率是(A)

A.0.76B.0.64C.0.58D.0.48

解析出题可知，甲、乙、丙生产的芯片的优质品总数为5x0.8+10x0.8+10x0.7=19,根据古典概型的概率计

算公式可得该芯片为优质品的概率为黑=0.76,故选A.

2.(2025•山东泰安模拟)在一次随机试验中，三个事件41,4,4发生的概率分别是0.2,0.3,0.5,则下列选项

正确的是(C)

A.4+4+4是必然事件

B.A1+A2与4是互斥事件，也是对立事件

C.P(Ai+4)W0.5

D.P(启+4)=0.8

解析对于A选项，事件4+4+小表示至少有一个事件发生，但若事件之间有交集，则事件发生的总概率可

能小于1,所以A+Az+A，不一定是必然事件，A错误；

对于B选项，因为(4+4)ClAa不一定是不可能事件，所以Ai+A2与4不一定互斥，B错误；

对于C选项，P(Ai+4)=P(A1)+P㈤)-P(4CIA2)=0.5-PUiCIA2)W0.5,C正确;

对于D选项,P(42+&)=P(4)+P(AO-P(A2nA3)=0.8-P042nA3)W0.8,D错误.故选C.

3.抛掷一个质地均匀的骰子两次，记第一次得到的点数为第二次得到的点数为b,则函数

/W二#+^^区+c没有极值点的概率为(A)

A.-B—C.-D.-

418363

解析f[x}=x2+2(ix+b,若/(x)没有极值点，则/=4c『-4bW0,即/Wb.由题意知，所有的样本点共36个，其中

满足〃的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),共9个.所以=+

364

4.从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形,则所得三角形是直角三角形的概率为(C)

A.—3B-1C.-3D.—9

102510

解析从正六边形的6个顶点中任取3个，有髭=20(个)三角形，其中每边对应2个直角三角形，如图，例如

RS8DE和RIAAOE,共有2x6=I2(个)，所以所求概率为匕=2

205

5.口袋里装有1红、2白、3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中取出2球，事件4二“取出的2球同色”，

事件B:“取出的2球中至少有1个黄球”，事件“取出的2球中至少有1个白球”，事件又“取出的2

球不同色”，事件A“取出的2球中至多有1个白球”.下列选项正确的是(C)

A.P(A+8)=P(A)+P(8)

B.P(C)+P(D)=1

C.P(CUE)=1

D.P⑻=P(C)

解析依题意P(A)=C^=:，。⑻=1聪=:，0(A)+P(3)=：；>1,而P(Ai3)WLA不正确；尸(C)=版=

c615c6515

|,P(D)=1-P(A)=9P(C)+P(Z))>1,B不正确；事件C是含有I个白球与含有2个白球的两不互斥事件的和,

OXO

事件E是含有1个白球与没有白球的两个互斥事件的和，事件CUE是必然事件，因此P(CUE)=1,C正确；

因为P(B)W，P(C)W，所以P(8)HP(C),D不正确.

6.(2026•广东茂名月考)在一个箱子中放5个白球,3个红球,摇匀后采用不放回方式随机摸球3次,每次一

个，第3次摸到红球的概率是(A)

A.1B-C慨D.j

8162824

解析第3次摸到红球，分三种情况讨论：只有第3次摸到红球;前2次有一次摸到红球且第3次一定摸到红

球；摸到3次红球.记第3次摸到红球为事件A,则p(A)二展史坐蜉史缎=2.故选A.

AgR

二、多项选择题

7.从5名女生和4名男生中任选两个人参加某项活动，有如下随机事件:A="至少有I名女生”，3=“至少

有1名男生”，C="恰有1名男生”，。二“两名都是女生”，所“恰有1名女生”，下列结论正确的是(AD)

A.C=E

B.A=B

c.onEW。

D.8与O互为对立事件

解析对于A,“恰有1名男生”与“恰有1名女生”是同一个事件，即。=E,A正确；

对于B,事件A=“至少有1名女生”包含“1名女生和1名男生”“两名女生”两种情况，事件8=“至少有

1名男生”包含“1名男生和1名女生”“两名男生”两种情况，故从B错误；

对于C,事件。="两名都是女生"，事件上=“恰有1名女生”="1名女生，1名男生”，这两个事件互斥，故

OCIE=0,C错误；

对于D,样本空间("两名女生”“1名女生，1名男生”“两名男生故3与。互为对立事件，D正确.

8.某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第1号车站(首发站)乘车,假设每人自第2号车站开

始,在每个车站下车是等可能的，则(ABD)

A.甲、乙两人下车的所有可能的结果有9种

B.甲、乙两人同时在第2号车站下车的概率为:

C.甲、乙两人同时在第4号车站下车的概率为:

D.甲、乙两人在不同的车站下车的概率为g

解析对于A,甲下车的情况有第2号车站，第3号车站，第4号车站，共3种，同理可得，乙下车的情况数也

是3,则总情况数为3x3=9,故A正确；对于B,甲、乙两人同时在第2号车站下车的情况数为1,则概率为也

故B王确；对于C,甲、乙两人同时在第4号车站下车的情况数为1,则概率为右故C错误；对于D,甲、乙两

人在相同车站下车的情况数为3,则在不同车站下车的情况数为9-3=6,即概率为，故D正确.故选ABD.

三、填空题

9.某博物馆有四个不同的展馆，甲、乙各选2个去参观,则两人选择的展馆中恰有一个馆相同的概率为.

解析记事件A为“两人选择的展馆中恰有一个馆相同”，则尸(Z)二晟+晟==g所以P(A)=1-

C4c4。4c4363

p(彳)=|.

10.从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为1

解析从正方体的8个顶点中任选4个，取法有髭=70(种).其中4个点共面有以下两种情况：U)所取的4个

点为正方体同一个面上的4个顶点，如图①，有6种取法；(2)所取的4个点为正方体同一个对角面上的4个

顶点，如图②，也有6种取法.

所以所取的4个点在同一个平面的概率P士

7035

四、解答题

11.某市4,8两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,8中学推荐了3名男生、4

名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女

生中随机抽取3人组成代表队.

(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；

(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,求参赛女生人数不少于2的概率.

解(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名，入选代表队学生全从8中学抽取(等价于A中学没有学生入

选代表队)的概率为黑|=击，因此,A中学至少有I名学生入选代表队的概率为1-击=盖・

(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A,记“参赛女生有2人”为事件从“参赛女生有3人”为

事件C,则P(8)=粤=3P(°=粤=/由互斥事件的概率加法公式，得P(A)=P⑻+P(C)]+：=£故所

求事件的概率为士

12.某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产

品为优质品.现用两种新配方(分别称为A配方和8配方)做试验、各生产了100件这种产品，并测量了每件产

品的质景指标值，得到如表所示试验结果.

(I)分别估计用4配方、3配方生产的产品的优质品率;

（-2,t<94,

（2）已知用〃配方生产的一件产品的利润），（单位:元）与其质量指标值,的关系为>=2,94<t<102,估计用