2026年高考数学一轮培优练习（新高考）函数的概念及其表示（学生版+解析）

第二章函数

§2.1函数的概念及其表示

【考情分析•探规律】

考点三年考情(202L2024)命题趋势

2024•全国新I卷、2024•上海卷、会用符号语言表达函数的单

考点1直接求

2023•北京卷2021•全国甲卷、2021•浙江调性,掌握求函数单调区间的基本

函数值

卷方法，理解函数最大值、最小值的

考点2函数的概念、作用和实际意义，会求简单

2022•北京卷

定义域与值域函数的最值

【知识梳理】

1.函数的概念

一般地，设48是非空的______,如果对于集合A中的一

概念x,按照某种确定的对应关系力在集合B中都有____确定的数y和它

对应，那么就称A-8为从集合A到集合8的一个函数

对应关系

三要

定义域工的取值范围

素

值域与x对应的y的值的集合伏x)|x£A}

2.同一个函数

(1)前提条件：①定义域;②对应关系.

(2)结论：这两个函数为同一个函数.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有、图象法和列表法.

4.分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这

种函数称为分段函数.

(2)分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等

于各段函数的值域的—.

「‘盛际葭蓟

I

「i直逅三次藐希研函薮］二孤而骸堇哀而一不数「

:2.注意以下儿种特殊函数的定义域：

|（1）分式型函数，分母不为零的实数集合.

!（2）偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.

：（3双幻为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为I的实数集合.

I

1（4）若凡'•）=/,则定义域为3»0｝.

【随堂训练】

1.思考辨析（在括号内打“#或“X”）

（iyu）=qH+q—是一个函数.（）

（2）函数就是定义域到值域的对应关系.（）

（3）若A=氏8=｛小＞。｝，/：入一了=园，其对应是从A到8的函数.（）

（4）若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数.（）

2.以卜.图形中，不是函数图象的是（）

3.（多选）下列选项中，表示的不是同一个函数的是（）

A产钻与产接

B.），=f与y=（x-l）2

3=石呜y=x

Dj=1与y=jf0

4.已知函数人幻=｛蓝［袅?］,则欧_2））=.

扇藉雕亍加7丽T瓦希瓦]

：(1)求函数定义域之前,尽量不要对函数的解析式进行变形，以免引起定义域的变化.：

1(2)用换元法求值域或解析式时，一定要根据原函数和定义域求出新变量的范围.I

(3)f((p(x))的定义域是指x的取值范围而不是(p(x)的取值范围.

(4)分段求解是解决分段函数的基本原则，已知函数值求自变量值时，易因忽略自变量的取值

；范围而出错.

II

【必练核心题型】

题型一函数的概念

例1.(多选)下列选项中正确的是()

A.函数人X)=2一y的定义域为[0,+oo)

X十1

B.函数./U)的图象与丁轴最多有一个交点

C.函数y=亲与函数)，=x—1表示同一个函数

D.对于任何•个函数,如具因变量)，的值不同，则自变量x的值一定不同

|【解题技巧】函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法

!(I)函数概念中有两个要求：①A.B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二

I

!个集合B中有且只有一个元素与之对应.

(2)两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数.

变式1.函数“幻=吃+1心—1)的定义域为()

X-Z

A.(l,+oo)B.(l,2)U(2,+oo)

C.(-oo,l)D.(0,2)U(2,+oo)

变式2.(多选)下列命题中是假命题的是()

A.函数)=2x*£N)的图象是一条直线

B"r)=Vx-3+y/2-x是函数

C.若函数J。)的定义域为LI,2),则函数*x+l)的定义域为(0,3)

D7U)=x+1和g⑺=/+｝是同一个函数

题型二函数的解析式

例2.已知川一sinx)=cos?、,求於)的解析式；

(2)已知/12+2)=./+2,求於)的解析式；

(3)已知人大)是一次函数且1)—2/U-1)=2戈+17,求J(x)的解析式;

(4)若对任意实数x,均有加)一纨-x)=9x+2,求人工)的解析式.

【变式训练】

变式1.(多选)下列命题中正确的有()

A.若一次函数於)满足用(幻)=4》+3,则函数段)的解析式为/)=2x+l

B.若.*3')=炉+4x,则函数_/U)的定义域为(0,+8)

C.若/-=/一点，则函数/(制的解析式为/U)=r+3x

D.若函数J[x｝满足关系式/U)+/6)=3x,则J[x)=^—x

题型三分段函数

>2—2Vxv1

一’则下列关于函数./U)的结论正确的是()

(一人I乙,Xe

AJU)的定义域为R

B./U)的值域为(-8,4]

C.若人幻=2,则x的值是一企

D./x)<l的解集为(一1,1)

例2.定义max｛。力｝=｛？；;，'设函数./U)=x+1,g(x)=(x+1尸,记函数尸(x)=max伏x),g(x)｝,

且函数F(x)在区间[〃7川内的值域为[0,1],则n-m的最大值为()

A.lB.：C.-D.2

24

【变式训练】

变式L己知函数於梵，

则7U)=2”是“x=-1”成立的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

变式2.(多选)(2024・朝阳模拟)函数I法称为狄利克雷函数，对于狄利克雷函

数，下列结论正确的是()

A.D(Z)(2))=D(Z)(V2))

B./Xx)的值域与函数/(x)=安的值域相同

C.D(X)T^D(—X)

D.对任意实数x,都有O(x+l)=O(x)

变式3.已知函数4<1，则f(/《))=；若火则。的取值范围

是

第二章函数

§2.1函数的概念及其表示

【考情分析・探规律】

考点三年考情(2021—2024)命题趋势

2024•全国新I卷、2024•上海卷、会用符号语言表达函数的单

考点1直接求

2023•北京卷2021•全国甲卷、2021•浙江调性,掌握求函数单调区间的基本

函数值

卷方法，理解函数最大值、最小值的

考点2函数的概念、作用和实际意义，会求简单

2022•北京卷

定义域与值域函数的最值

【知识梳理】

1.函数的概念

一般地，设人，8是非空的实数集,如果对于集合八中的任意一个数

概念x,按照某种确定的对应关系力在集合B中都有唯二确定的数)，和它

对应，那么就称力A-8为从集合A到集合8的一个函数

对应关系y=fix),x^A

三要

定义域工的取值范围

素

侑域与x对应的)，的值的集合伏X冰£4}

2.同一个函数

(1)前提条件：①定义域相同;②对应关系相同.

(2)结论：这两个函数为同一个函数.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有解近达、图象法和列表法.

4.分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这

种函数称为分段函数.

(2)分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等

于各段函数的值域的并集,

「T互际融1

I

「i直逅三次藐希研函薮］二孤而骸堇哀而一不数「

:2.注意以下儿种特殊函数的定义域：

I(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.

!(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.

：(3次幻为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为I的实数集合.

I

1(4)若凡'•)=/,则定义域为3»0｝.

【随堂训练】

1.思考辨析(在括号内打“#或“X”)

(iyu)=qH+q—是一个函数.()

(2)函数就是定义域到值域的对应关系.()

(3)若A=氏8=｛小>。｝，/：入一了=园，其对应是从A到8的函数.()

(4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数.()

【答案】(l)x(2)x(3)x(4)x

x—3>0,

【解析】(1)错误.c八无解，可知其说法错误.

2-x>0

(2)错误.根据函数的概念不知其错误.

⑶错误.集合A中的元素0在集合4中无元素与之对应.

(4)错误.只有两个函数的定义域，对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数.

2.以下图形中，不是函数图象的是()

【答案】A

【解析】根据函数的定义对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应,A选项中存在

一个自变量对应两个函数值，所以A不是函数图象.

3.(多选)下列选项中，表示的不是同一个函数的是()

A•尸辐与尸Ji

B.y=W与y=(x~I)2

C.y=G^与y=x

D.y=1与y=x°

【答案】BCD

【解析】对于A选项j=叵的定义域是［-3,33=的定义域是［-3,3),并且三=

X\3—戈V3-X

层,所以两个函数的定义域相同，对应关系相同,所以是同一个函数；

对于B选项,两个函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数；

对于C选项,)，=疗=以所以两函数的对应关系不同，所以不是同一个函数；

对于D选项,)，=1的定义域是R»，=x°的定义域是{巾¥0},两个函数的定义域不同，所以不是同

一个函数.

4.已知函数外)=应：&］,则心一2))=-----------.

【答案】1

【解析】因为八-2)=(-2产=4,所以欧—2))=*4)=10以4=1.

「1爵尾痂丁而1ST喜谪百

|⑴求函数定义域之前，尽量不要对函数的解析式进行变形，以免引起定义域的变化.

!(2)用换元法求值域或解析式时，一定要根据原函数和定义域求出新变量的范围.

;(3)f((p(x))的定义域是指x的取值范围而不是(p(x)的取值范围.

(4)分段求解是解决分段函数的基本原则，已知函数值求自变量值时，易因忽略自变量的取值

J范围而出错.

I

【必练核心题型】

题型一函数的概念

例1.(多选)下列选项中正确的是()

A.函数./U)=2-的定义域为［0,+oo)

X十1

B.函数./U)的图象与)，轴最多有一个交点

c.函数)，=??与函数)'=1一1表示同一个函数

D.对于任何一个函数,如昊因变量)，的值不同，则自变量x的值一定不同

【答案】ABD

【解析】对于A,由题意解得xK),A正确；

(x>0,

对于B,由函数的定义知，函数图象至多与y轴有一个交点,B正确；

对于C,函数的定义域为(一co,-1)U(—1,+8),函数的定义域为R,故这两个

函数不是同一个函数,C错误；

对于D,函数中一个x值只能对应一个>>值，如果)，值不同，则x的值一定不同.D正确.

例2.若函数次r)的定义域为(12)、则函数人2丫)的定义域为.

【答案】你m

【解析】若函数凡0的定义域为(1,3),

则在42x)中2A£(1,3),解得工£&5

薜蔽不亍盲薮需艾及痛而不南薮血商二不法薮筋添]

|(1)函数概念中有两个要求：①A,B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二

II

I个集合B中有且只有一个元素与之对应.

I

(2)两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数.

[菱式旃了

变式I.函数/U)=」：7+ln(x—l)的定义域为()

X-Z

A.(l,+8)B.(l,2)u(2,4-00)

C.(-oo,l)D.(0,2)U(2,4-oo)

【答案】R

【解析】因为y(x)=」~；+：n(x—1),

所以要使函数有意义，则｛:二;:工

解得x>l且*2,

所以人幻的定义域为(l,2)U(2,+s).

变式2.(多选)下列命题中是假命题的是()

A.函数)，=2x(x£N)的图象是一条直线

B./(x)=Vx-3+72-1是函数

C.若函数以)的定义域为(-1,2),则函数贝x+1)的定义域为(0,3)

DJU)=x+：和g(/)=/+：是同一个函数

【答案】ABC

【解析】对于A,因为函数J，=2A(X£N)的定义域为N,所以其图象是由离散的点(整点，横坐标

和纵坐标都是整数)组成的,A错误；

对于B,因为要使VT右与有意义，则匕二:年£不等式组无解，所以由函数的定义可得

/U)=，x—3+，2—%不是函数,B错误；

对于C,由於)的定义域为(-1,2)可得一即-24<1做危+1)的定义域为(一2』)。

错误；

对于D,两函数的定义域都是(一oo,0)U(0,+oo),且对应关系相同，故这两个函数是同一个函

数,D正确.

题型二函数的解析式

例2.已知41—sinx)=cos2x,求於)的解析式；

⑵已知/(/+2)=.d+*求段)的解析式；

⑶已知7U)是一次函数且3«r+1)一纨工一l)=2x+17,求7U)的解析式；

(4)若对任意实数%均有危)一2/(—x)=9x+2,求©)的解析式.

解析

(1)(换元法)设l-sinx=r,.'e[0,2L

则sinx=1—t,

V/(l—sinx)=cos2x=1—sin2x,

/.//)=1-(l-r)2=2/-?/e[0,2].

即yU)=2x-f(0GE2).

(2)(配凑法》(/+—=£+或=①+-2一1

又“+或'2卜.巨=2,

当且仅当，即x=±l时等号成立.

设+专则仑2,••次)=产一2(仑2),

­\f(x)=x2—2(x>2).

(3)(待定系数法)•・&•)是一次函数，

可设fi_x)=ar+Z?(t#0),

・・・3[a(x+l)+b]-2[a(x-l)+b]=2x+17,

即办+(5。+〃)="+17,

ci—2,,a=2,

解得

.5a+b=17,b=7.

•；/U)=2X+7(AVR).

(4)(解方程组法):/U)—2A一幻=9x4-2,①

・・・贝一刈一羽0=9(—*)+2,②

由①+2x②得一3凡¥)=一%+6,

••・/U)=3x—2(x£R).

【解题技巧】函数解析式的求法

⑴配凑法.(2)待定系数法.⑶换元法.(4)解方程组法.

【变式训练】

变式1.(多选)下列命题中正确的有()

A.若一次函数段)满足加x))=4x+3,则函数於)的解析式为於)=2x+l

B.若./(3')=1+4心则函数/U)的定义域为(0,+8)

C.若/-=/一点，则函数/(幻的解析式为/U)+3x

D.若函数/U)满足关系式/U)+〃■(?)=3/,则y(x)=|—x

【答案】BCD

【解析】对于A,设＜x)=h+b,

则/(x))=k(辰+方)+6=&+奶+儿

因为用U))=4x+3,

k2=4,

所以

、kb+b=3.

f或k=-2,

解得

U=i,b=-3,

故函数7U)的解析式为｛x[=2x+l或/U)=-2r—3,A错误：

对于B,令£=3"厕x=log3s0),

则向)=(log3t)2+41og3s0,

故函数的定义域为(0,+8),B正确：

对于c/x-；)=必一2-(x-3(/+l+-=(x-3](x-D2+3

且T的取值范围是R，

所以J(x)=x(x2+3)=V+3x,C.正确；

对于D,由_/U)+?/G)=3.G

得/6)+2^)=；

联立解得/U)=j-x,D正确.

题型三分段函数

工2—2VXV1

(_；+2；>1'则下列关于函数«幻的结论正确的是()

A：/U)的定义域为R

B段)的值域为(-8,4］

C.若./U)=2,则x的值是一夜

D：/U)<1的解集为(一1,1)

【答案】BC

%2—2vxv1

{\1'的定义域是［—2,+8),故A错误；

当一24vl时段)=*,值域为［04］,当应1时府)=一X+2,值域为(一8刀,故儿0的值域为(一

8,4］,故B正确；

当应1时，令./U)=r+2=2,无解，当一24<1时，令危)=/=2,解得工=一或,故C正确：

当一2£vvl时，令危)=『vl,解得(—1,1),当应1时，令Q)=-x+2vl,解得x£(l,+oo),故

fix)<l的解集为(一1,1)口(1,+8),故D错误.

例2.定义max{a,b?设函数_/U)=x+1,g(x)=(x+1尸,记函数F(x)=maxL/U),g(x)},

I。,U/v4/

且函数尸(x)在区间［孙川内的值域为［0,1］,则n-m的最大值为()

37

A.lB.-C.-D.2

24

【答案】D

【解析】令危)沟(%),即％+以-1尸,解得一1人0；

令心)<g(x),即x+l<(x+1产,解得.r<-1或M,

((x+l)2,X<-1,

所以F(.v)=max{/x)^(x)}=<x+1,-1<x<0,

(0+1)24>0,

F(x)的图象如图所示，

又尸(0)=尸(-2)=1尸(-1)=0,

要使函数F(x)在区间［〃?,川内的值域为［0,1］,

当n=0时,一1；

当m=—2时,一1</?<0,

则当n=0,m=—2时.〃一加取得最大值2.

霹画谕1万丽藏求后而施颌丽原花

：(I)求函数值：当出现f(