第二十一章 四边形 单元试卷-2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十一章四边形单元同步培优测试卷

（时间：90分钟满分：100分）

一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中,

只有一项是符合题目要求的）

1.如图，菱形dBCO中，对角线4C、BQ相交于点O,H为4。边中点，菱形4BCD的周长为20,

则。”的长等于（）

A.2.5B.3C.4D.3.5

2.卜列说法中错误的是（）

A.多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形

B.四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形

C.多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形

D.多边形是三角形，但三角形不一定是多边形

3.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O,4c=6仃，«6,

点P是4c上一动点，点E是48的中点，则PD+PE的最小值为（）

A.3^3B.C.3D.GV2

4.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是平行四边形，若A,C两点的坐标分别为

（3,0）,（1,2）,贝gABCO的周长为（）

c.4百D.6+2^

5.如图，在直角坐标系中，菱形OACB的顶点O在原点，点C的坐标为（4.0），点"的

D.7§

6.如图，在等腰三角形4BC中，^ABC«90S。为4c边上中点，过，点作0£«LOF交48于上,交

BC于F,若48的长为8,则四边形BFD£的面积为（）

A.14B.16C.18D.20

7.如图，O48C。中，AB>10,E、F分别是4。、OC的中点，若EF=7,则四边形EdCF

的周长是（）

C.29D.31

8.如图,CD是RSABC的中线,ZACB=90°,ZABC=25°,则NADC的度数为()

D

B

A.60°B.50°C.65’D.55°

9.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O,DHJ_AB于H,连接OH,ZDHO

=a,则NDAB的度数是（）

A.aB.2aC.90,-aD.90°-2a

10.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=2,ZABC=60°,E,F是对角线BD上的动点,

且RF=DF,M.N分别是边AD.边RC上的动点.有下列四种说法：

①存在无数个平行四边形MENF：

②存在无数个矩形MENF；

③存在无数个菱形MENF；

④存在无数个正方形MENF.

其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）

11.如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O且AC=12,如果NAOD=60。，贝UDC二.

12.如图，四边形ABCD为正方形，4ADE为等边三角形，AC为正方形ABCD的对角线，则

ZEAC=

13.如图，在口ABCD中，AB=2cm,AD=4cm,AC1BC,则△DBC比△ABC的周长长

14.如图，在周长为600米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长

15.如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线〃、b上，且a〃b,Zl=60°,则N2的度数

为

AE

16.如图1,一个菱形可以分割成八个全等的等边三角形，按图2所示的方式（不重叠无缝隙摆放

在矩形纸片ABCD内，顶点E,F,G,H,M,N均恰好落在矩形ABCD的边上，若菱形的边

长为4,则FG的长为,BC的长为

ANMD

S1S2

三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52

分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，BE//DF.求证：BE=DF.

D

7

18.若多边形的内角和与外角和之比为2求它的边数.

19.如图，在dBCD中，45—24,AD-7,AC>25.求的面积.

20.如图，在正方形ABCD口，E为AB边的中点，G,F分别为AD,BC边上的点，若AG=1,

BF=2,ZGEF=90°,求GF的长.

21.如图，长方形48C。中，MOD=120°，48=6,求长方形48CD面积.

22.如图，从一个大正方形中裁去面积为15c"和24c〃J的两个小正方形，求留下部分的面积.

23.如图，在矩形ABCD中，8c■8,rXBD,30。，若点M、N分别是线段DB、ABh

的两个动点，则求AM>MN的最小值.

AN13

第二十一章四边形单元同步培优测试卷

（时间：90分钟满分：100分）

一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中,

只有一项是符合题目要求的）

1.如图，菱形中,对角线AC、8。相交于点O,H为,4。边中点，菱形的周长为20,

C.4D.3.5

【答案】A

【解析】【解答】解：..［皿:。是菱形,

・・人。二5,^AOD=90%

又•“为4。边中点，

故选A.

【分析】根据菱形性质可得=5,^\OD=90a,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的

一半即可求出答案.

2.下列说法中错误的是（)

A.多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形

B.四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形

C.多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形

D.多边形是三角形，但三角形不一定是多边形

【答案】D

【解析】【解答】解：A、多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形，正确，故A不符合题

意；

B、四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形，正确，故B不符合题意；

C、多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形，正确，故C不符合题意；

D、三角形是多边形，但多边形不一定是三角形，故D符合题意.

故选：D.

【分析】在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，由此即可判断.

3.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O,AC=，BD=6,

点尸是4c上一动点，点E是AB的中点，则PD+PE的最小值为（）

A.3^3B.6\分C.3D.66

【答案】A

【解析】【解答】解：如图，连接DE,

由两点之间线段最短得：当点D.P.E共线时，PD+PE取最小值，最小值为DE,

V四边形AUCD是菱形，AC=6vl，8。■6,

.AB-AD.0B=；BD=3.0A=；4C=36・AC1BD，

AAB=y/OA2+OB2=6，

AU=d。・BD=6，

^ABD是等边三角形，

•••点£是48的中点，

C=：A8=3,DEJ.A8，

2Z

•.DE=一花=V6-3=373，

即PD+PE的最小值为3、存，

故答案为：A.

【分析】由三角形的三边关系可得当点P在DE上时，PD+PE的最小值为DE的长，由菱形的性

质可得AO=CO=3j5,B0=D0=3,AC垂直BD,AB=AD,由锐知三角函数可求一・60«,

证明△八。。是等边三角形，由等边三角形的性质可得DE垂直AB,即可求解。

4.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是平行四边形，若A,C两点的坐标分别为

(3,0),(1,2),则口ABCO的周长为()

C.46D.6+2、石

【答案】D

【解析】【解答】解：过C作CE_LOA于E,

VC(1,2),

AOE=I,CE=2,

•tCO=70E?+CE2=Ji7+22=g

VA(3,0),AOA=3,

•・•四边形ABCO是平行四边形，

・・・AB=OC=、5BC=OA=3,

ABCO的周长=2(OA+OC)=6+2Vg.

故答案为：D.

【分析】过C作CEJ_OA于E,在RSOCE中，用勾股定理求出OC的值，然后根据平行四边

形的性质并结合四边形的周长等于相邻两边之和的2倍可求解.

5.如图，在直角坐标系中，菱形OACB的顶点O在原点，点C的坐标为(4,0)，点B的

纵坐标是-1,则菱形OACU的边长为()

A.3B.75C.5D.

【答案】D

【解析】【解答】连接AB交OC于点M,

•・•四边形OACB是菱形，

AOM=CM=§OC=：x4=2,OC±AB,

•・•点B的纵坐标是-1,

2222

***0B=VOM4-BM=V2+I=VS，即：菱形的边长为V5.

故答案为：D.

【分析】连接AB交0C于点M,根据菱形的性质得OM=2,OC1AB,再根据勾股定理，即可

求解.

6.如图，在等腰三角形40c中，LABC«90S。为4c边上中点，过。点作DE«LDF交48于£,交

BC于F,若A8的长为8,则四边形BFDE的面积为（)

A.14B.16C.18D.20

【答案】B

【解析】【解答】解：连接如图所示:

等腰直角三角形△A8C中，。为dC边上中点,

•*-BD1AC,BD*CD=AD,LABD=45%

・・“■45%

ArABD.”,

又；DELD孔

♦UDF=^LEDB♦LBDF,90",

FDC=乙EDB，

在aEDO和△FOC中，

£EBD="

BD=CD,

LEDU=LFDC

：・dEDB£AFDC（.l5.1h

・•・四边形8卜的面积=：1工九，

•・78的长为8,

•'•AB-BC-8,

・•・四边形8FD£的面积=；6.MBC=5X1X8X8=16»

故答案为：Bo

【分析】根据直角三角形的特点和证明等腰三角形三线合一的特点，易证△EOOWAFDC,从而

可得四边形8FDE的面积二；二」最后再根据三角形的面积公式，代入数据即可去接

7.如图，UMBC0中，48=10,BC,6,E、F分别是初、DC的中点，若EF=7,则四边形E4CF

的周长是（）

【答案】C

【解析】【解答】解：:四边形4SC0是平行四边形，BC,6,

CD=AB-10,AD=BC二6,

•・•£、/；分别是d。、DC的中点,

，EF是2HCD的中位线,

•'•AK=24D=3»CP==5,

=7,

：.AC=2EF二14,

・"A+AC+CF+£F=3♦14+5+7=29,

・•・四边形EdC'F的周长为2%

故答案为：C.

【分析】利用平行四边形的性质可得CO=AB=10,AD=BC=6,再证出EF是二ACO的中位

线，可得4E=；4O=3，UF=；C"=5，再求出4C=2£尸二14,最后利用四边形的周长公式

及等量代换求出四边形E4CF的周K为29即可.

8.如图，CD是RSABC的中线，ZACB=90°,ZABC=25°,则NADC的度数为（）

A.60°B.50°C.65,D.55°

【答案】B

【解析】【解答】解：:CD是RsABC的中线,ZACB=90°,

ACD=BD,

AZBCD=ZABC=25°,

，ZADC=ZBCD+ZABC=50°,

故答案为：B.

【分析】根据直角三角形斜边中线定理得出CD二BD,再根据等边对等角得出NBCD二NABC=25。,

再根据三角形外角定理得出ZADC=ZBCD+ZABC=50°,即可得出答案.

9.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O,DHJ_AB于H,连接OH,ZDHO

=a,则NDAB的度数是（）

A.aB,2aC.90,-aD.90°-2a

【答案】B

【解析】【解答】解：•・•四边形ABCD是菱形,

AOB=OD,AC1BD,AB=AD,

AZABD=ZADB,

VDH1AB,

・・・OH=OB=；BD,

VZDHO=a,

・•・ZOHB=90°-ZDHO=90°-a,

ZABD=ZOHB=ZADB=90°-a,

ZDAB=180°-ZABD-ZADB=180°-90°+a-900+a=2a.

故答案为：B.

【分析】根据菱形的性质可得OB=OD,AC1BD,AB=AD,由等腰三角形的性质可得NABD

=ZADB,由直角三角形斜边上中线的性质可得OH=OB=；BD,易得ZOHB=90。-Q,ZABD

=ZOHB=ZADB=90°-a,然后根据内角和定理进行计算.

10.如图，在平行四边形ABCD中,AD=2AB=2,ZABC=60°,E,F是对角线BD上的动点，

且BE=DF,M,N分别是边AD,边BC上的动点。有下列四种说法：

①存在无数个平行四边形MENF：

②存在无数个矩形MENF；

③存在无数个菱形MENF；

④存在无数个正方形MENF.

具中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】【解答】解：如图，连接AC交BD于点O,

当MN经过点。时，

•・,四边形ABCD是平行四边形，

•••ADIIBC,BO=DO,

乙DMO・^BNO.LMDO=tNBO,

MDOSANBO(AAS),

••MO=NO,

vBE=DF,

EO=FO,

四边形MENF是平行四边形，故①正确；

当MN经过点0且MA=8£JW,

由①得，四边形MENF是平行四边形，

四边形MENF是矩形，故②正确；

当MN经过点0且MN1时，

由①得，四边形MENF是平行四边形，

四边形MENF是菱形，故③正确;

要使四边形MENF是正方形，则MN经过点0旦MA」80,MA=8D,

此时有且只有一个正方形MENF,故④错误.

故答案为：C.

【分析】当MN经过点0时，利用平行四边形的性质，通过AAS判定△MDOmaNO。，得到

MONO,即可证得四边形MENF是平行四边形，又点E、F为动点，故存在无数个平行四边形

MENF,①正确；在①的基础上使二BD,即可证得四边形MENF是矩形，故存在无数个矩

形MENF,②正确；在①的基础上使MN_LBD,即可证得四边形MENF是菱形，故存在无数个

菱形MENF,③正确；要使四边形MENF是正方形，则MN经过点O且MN_L8D,MN二BD,

此时有且只有一个正方形MENF,故④错误.

二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）

11.如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O且AC=12,如果NAOD=60。，则DO.

【答案】6y^3

【解析】【解答】解：•••四边形ABCD是矩形，

・・・OA=OD=W=；xl2=6,ZADC=90°,

VZAOD=60°,

?.△AOD是等边三角形，

AD=0A=6,

・・DC=V4C2-AD2=V122-62=6百

故答案为：6\,3.

【分析】由矩形的性质可得OA=OD=BAC=：X12=6,NADO90。，结合NAOD=60。可得

△AOD是等边三角形，则AD-OA—6,然后利用勾股定理进行U算.

12.如图，四边形ABCD为正方形，4ADE为等边三角形，AC为正方形ABCD的对电线，则

ZEAC=

【答案】105°

【解析】【解答】解：•・•△ADE为等边三角形，

AZEAD=60°,

•・•四边形ABCD为正方形，

・•・ZDAC=45°,

・•・ZEAC=NEAD+NDAC=105°.

故答案为105°.

【分析】因为止方形的对角线互相平分，且每个内角是90。，故NCAD=45。，乂因为等边三角

形三个角相等，均为60。，所以/DAE=60。，ZEAC=ZCAD+ZDAE=600+45°=ID5°.

13.如图，在。ABCD中，AB=2VT3cm,AD=4cm,AC1BC,则△DBC比△ABC的周长长

【解析】【解答】解：在口ABCD中，VAB=CD=2cm,AD=BC=4cm,AO=CO,BO=DO,

VAC1BC,

•••AC=4AR?一DC?=6cm,

OC=3cm,

•*«BO=7OC2+BC2=5cm,4g+BC?

BD=10cm,

・•・△DBC的周长-△ABC的周长=BC+CD+BD-(AB+BC+AC)=BD-AC=1()-6=4cm,

故答案为；4.

【分析】根据平行四边形的性质得至UAB=CD=2cm,AD=BC=4cm,AO=CO,BO=DO,根

据勾股定理得到0C=3cm,BD=10cm,于是得到结论.本题考查了平行四边形的性质，勾股定理,

熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.

14.如图，在周长为600米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长

【答案】300

♦■

中，组水渠.占

【解析】【解答】解：一

//泉渠也条7渠;\…,

B....中点C

如图，点D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，

・・・DE、EF、DF为△A8C的中位线，

的周长为600米,

・・・AB+BC+AC=600,

•DE++DF=；(A8+BC+的=300,

・•・水渠的总长为300米.

故答案为：30().

【分析】根据三角形中位线定理得到OE+EF+DF=；a/?，Bd+AC），即可得到答案.

15.如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a〃b,Zl=60°,则N2的度数

为1

【答案】60

【解析】【解答】解：延长AB交直线b于点F,如图所示:

Va//b,

AZAFC=Z1=6O°.

因为四边形ABCD是矩形,

AAB//CD,

・•・Z2=ZAFC=60°.

故答案为：60.

【分析】延长AB交直线b于点F,利用平行线的性质求得NAFC的度数，再次利用平行线性质，

即可得到N2的度数.

16.如图I,一个菱形可以分割成八个全等的等边三角形，按图2所示的方式（不重叠无缝隙摆放

在矩形纸片ABCD内，顶点E,F,G,H,M,N均恰好落在矩形ABCD的边上，若菱形的边

长为4,则FG的长为，BC的长为

ANMD

【解析】【解答】解：如图，连接FN交EK于点O,过点O作PQ_LBC于点P,交AD于点Q,

，NQPB二90。，

•・•四边形ABCD是矩形，

.,.ZA=ZB=90°,

・•・四边形ABPQ是矩形，

・・・AB=QP,

•・•△ENQ和^EFK都是全等的等边三角形，

・•・ZEFK=ZENK=60°,EF=FK=NK=EN=EK=2,

・•・四边形ENKF是菱形，

o

ANF1EK,,OF=ON=&FN,ZEFN=jZEFK=30,

：•_o户li1一产仃，

VOG=OK+KG=1+4=5,

,**FG=，0G2+OF号4+3=2夕，

•/SA0FG=10PFG=10F0G,即2V7OP=5V3,

・方智

・・・AB=PQ=2OP=汨卫,

VOP//BE,

GOP^AGEB,

・RE_EG即丝_6

•切-尔即洛IF

.・.RF=3VJI

:.AF二AR-RF=5vJI.3vJI=2跃

・•・ANREN?—22-

VAD/7BC,EN〃GH,

AZANE=ZCGH,

在乙ANE和^CGH中,

ZJ4=Z.C

UNE=£CGH,

EN=GH

.*.△ANE^ACGH(AAS),

，CG=AN二圾

・•・BOBF+FG+GC£+2、，,4=4Z

Fi

故答案为:2"

【分析】连接FN交EK于点0,过点O作PQ1BC于点P,交AD于点Q,先证明四边形ABPQ

是矩形，得出AB=QP,根据△ENQ和八EFK都是全等的等边三角形，求出四边形ENKF是菱形，

得出NF_LEK,OE=OK=^EK=1,OF=ON=^FN,ZEFN=^ZEFK=30°,然后根据勾股定理求出

OF、OG长，然后在RSOFG中，根据勾股定理求出FGK；在RsOFG中，根据等积法求出

OP长，则可得出AB长，证明AGOPs/\GEB,列比例式求出BE长，则可得出AE长，在RlAAEN

中，根据勾股定理求出AN长，然后根据AAS证明△ANEg△CGH,得出CG=AN,最后根据

线段间的和差关系求BC长即可.

三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52

分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，BE〃DF.求证：BE=DF.

【答案】证明：•・•四边形ABCD是平行四边形，

ABC=AD,BC〃AD,

AZACB=ZDAC,

•・・BE〃DF,

AZBEC=ZAFD,

.*.△CBE^AADF,

ABE=DF.

【解析】【分析】先证BC=AD,ZACB=ZDAC,NCEB=/AFD,根据AAS证出△BEC^ADFA,

从而得出BE=DF.

18.若多边形的内角和与外角和之比为；,求它的边数.

【答案】解：设该多边形的边数为n

则7

2

解得:n=9.

故它的边数为9.

【解析】【分析】根据多边形的内角和与外角和之间的关系列出有关边数n的方程求解即可.

19.如图，在04BC0中，48=24,4。=7,AC=25.求048。〃的面积.

D

【答案】解：•・,四边形ABCD是平行四边形,

••AU-CD-24,

］。=7,AC-25,

AD7+Dd=49+576=625，

-AC7=25?=625，

.AC2=DA1+CD"

.•.△40C是直角三角形，即W是直角，

・・.OAHC〃是矩形,

A^CABCD■舫•DC■7X24«168.

【解析】【分析】由平行四边形的对边相等得AB=CD=24,然后由勾股定理的逆定理判断出

ZD=90°,从而根据有一个是直角的平行四边形是矩形可得四边形ABCD是矩形，进而根据矩形

的面积等于长乘宽可得答案.

20.如图，在正方形ABCD口，E为AB边的中点，G,F分别为AD,BC边上的点，若AG=1,

BF=2,ZGEF=90°,求GF的长.

【答案】解：:正方形ABCD,

AZA=ZB=90°,ZAEG+ZAGE=90°,

•・•ZGEF=90°,

AZAEG+ZBEF=90°,

AZAGE=ZBEF,

/.△AEGsZXB卜E,

YE为AB边的中点，

GA：AE=BE：BF,

AE=BE=,1x2=72，GE=<1+2=仃，EF=,2*4=瓜，GF=<3+6=3.

另法：取GF的中点H,连接EH,

・・・GA〃BF,GF和BA不平行,

・•・四边形GABF是梯形，

,EH二色噢（梯形中位线定理），

VGA=