第3章《二次根式》全章提升练习-2026-2027学年湘教版八年级数学下册

第3章二次根式

3.1二次根式的概念及性质

课时1二次根式的概念及性质

刷基础

知识点1二次根式的概念

I下列各式：①②";③泞;④4-3-*⑤,二次根式有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

2下列各式中，一定是二次根式的是（）

A.\[a+\B.y[a-\

Cy/a—lD.yJa2+2a+2

知识点2二次根式有意义的条件

3下列各数中，使得号有意义的x的值是（）

A.I.5B.-lC.-3D.-9

4若后不"不有意义，则x的值是____.

5下列二次根式中，当x取何值时，各式有意义？

2

（1）V3-2A*;（2）VX+1;(3)AvGf.

知识点3（何2=40沙）

6卜夜）’的算术平方根是)

A.75,-V7C.V7D.iV7

7（5可=_,（~|V3）2=_.

知识点4

8若斤>=x-1,则x满足的条件是（）

A.x>1B.x<lC.x>1D.x<l

9化简：J（2一灼2=。

10已知实数a,b在数轴上的位置如图所示，则化简历了+好于-2的结果为

_1.a1bA一4

-101

刷易错

易措点利用必=IaI化简时，不考虑被开方数a的范围致错

11求代数式。+”2-数式的值.其中a=・2021.以下分别是小亮和小芳的解答过程.

小亮：原式：=4+/([_〃)2=.+~=1.

小片：原式：=。+1-。)2=〃+。-1=-4043.

(1)—的解法是错误的.

(2解误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：.

⑶求代数式。+2“/一6。+9的值,其中a=-2021.

刷提升

1化简74^-12x4-9-(后五)■■得()

A.2B.-2C.-4x+4D.4x-4

2若等式而F+向在实数范围内成立，其中a,X,y是两两不同的实数，则土毋值

是()

A.3B.1C.2D.1

JD

3已知a,b满足等式/+6〃+9+口=0,贝！]42。2262。23=_

4已知n是正整数，WF石是整数，则满足条件的所有n的值为一.

5若J(5-a)2+5=4,则a的取值范围是___

6已知a,b满足｛Q-a)2=a+3,7a-b+\=a-b+],贝IJab的值为

7若m满足关系式y/3x+5y-2-m+j2x+3y-〃?=J199r-y-Qx-[99+y,则m=.

8【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平

方.

推理说明：

解设m,m+l是连续的正整数(m3).

令q=m(m+l),所以q+m+l=m(m+l)+m+1=(«?+1)2,

所以对于任意两个连续的正整数，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方.

【类比猜想】(1)小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方.

请你推理说明；

【深入思考】(2)若p=yj(i+2n+y/t/-2w(in,n为两个连续奇数,0<m<n,q=mn),试推理说明p一定是偶数.

刷素养

核心素养运算能力［难］先观察卜列等式，再回答下列问题：

②"蕤=1+9强=+

(1请你根据上面三个等式提供的信息，猜想小+F处结果,并验证；

(2请你按照上面各等式反映的规律，计算：呼。仿照上面三个等式写出过程);

(3请你用含n(n为正整数)的式子表示上面各等式反映的规律.

课时2积的算术平方根及最简二次根式

刷基础

知识点1积的算术平方根Vab=\［aVb(a>0.b>0)

1下列式子正确的是()

A.届内J

B.7(-9)x(-4)=V=9x7=4=(-3)x(-2)=6

z2

C.y/x+y=Vx^+y[^=x+y

D.J(-7)2x6=775

2计算^(-7)2x16x2的结果是()

A.7V32B.-7V32C.28V2D.-28V2

3若y!-ab=y[ir成立，则()

A.a>0,b>0B.a>0,b<0

C.a>(),b>0D.a>0,b<0

4设&用含a,b的式子表示依，则下列正确的是()

A.3abB.2abC.ab2D.a2b

5计算：

(1)7(-144)X(-49)=;

(2)7672X52-672X32=.

知识点2最简二次根式

6下列各式①逐②余③尸子怎惟，⑤&r〉0)中，是最简二次根式的有()

A.I个B.2个C.3个D.4个

7写出一个二次根式，使这个二次根式化成最简二次根式后，与右的被开方数相同，这个二次根式可以是.

（写出满足条件的一个即可）.

8若y>0,则二次根式Q溟化为最简二次根式为一.

9若后中钉是最简二次根式，则m的值为n的值为一

1（）下列各式中，哪些是最简二次根式’，哪些不是?对不是最简二次根式的式子进行化简.

⑴①⑵报3）&4）出

（5）V25a3；⑹卡;⑺，。+砂；⑻力>

11已知a,b是整数，如果步工是最简二次根式，求句丽的值及其平方根.

刷提升

1已知a>0.那么押可化简为（）

A.byf-abB.-[Vab

b

C.-7yj-abD.7y[-ah

bb

2已知k,m,n为整数，若配=15砺,/1^=6百,则k,in,n的大小关系是（）

A.k<m<nB.m=n<k

C.m<n<kD.m<k<n

3若二次根式6^5是最简二次根式，则最小的正整数a的值为—

4已知m为正整数，若,189〃?是整数,则根据7189m=V3x3x3x7m=35/3x7〃?可知m有最小值3x7=21.设n为正

整数.若科是大于1的整数，则n的最小值为_,最大值为_.

5若等式>J2x2-x3=与成立，则x的取值范围是—•

先来看一个有趣的现象：居4月=2/•根号里的数2经过适当地演变，意跑倒了根号的外面，我们

不妨把这种现象称为''穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如屈=3间心出等.

(常青想:忌=_，并验证你的猜想.

(2清用只含一个正整数n(论2)的式子来表示含有上述规律的等式.

(3请你再写出1个具有''穿墙”性质的数.

刷素养

7我们知道，任意一个二次根式&(n为正整数)都可以进行这样的分解：5=加”(p,q是正整数，且"q).在

立的所有这种分解中，如果w—/最小，我们就称后W是心的最佳分解，并规定：/〃)=：例如代可以分解

成VTxg,应x#或显然VJxy是后的最佳分解，此时尸(⑵=：.

(1)直接写出旧的最佳分解：一,F(24)=;

(2)若正整数m,n满足F(m)=l,尸(〃尸，，且35<m+n<40,求F(m+n)的值.

O

3.2二次根式的乘法和除法

课时1二次根式的乘法

刷基础

知识点1二次根式的乘法迎・V^=V^(a>0,b>0)

1化简逐的结果是()

A2B在C*D二

A。2比2。210

2[2025湖南常德质检]下列运算正确的是()

A.V2xV3=V5B.9V3

C.V6XV2=12D.V24

3下列各数中，与虫的积仍为无理数的是()

A.B.V8C.V18D.V0?8

4V50-皿的值是一个整数，则正整数a的最小值是—.

5比较大小：5V2_V13.

6计算：

(i)0xV5x机;(2)2后VTo^；

⑶”.2x102x7571^；

(4)^V12X(-V27)X(-^V49);

⑸府2gx卜凋.

7先阅读下面的材料，再解决问题.

形如雇±2盯的化简,只要我们找到两个数a,b(a>b>0),使a+b=m,ab=n,这样(O+(〃)~=用而.逐=赤于

ni±2yfn=J(G士％>=^/a±Vb.

举例：化简J8+2后.

解：令m=8,n=15.

因为3+5=8,3x5=15,

所以(V3)~+(V5)2=8,V3XV5^VT5,

所以J8+2/B=/(4+6)2=73+75.

运用上述方法化简：

(l)V7+2Vl0;(2)/3-2V2.

知识点2二次根式乘法的应用

8已知三角形的一边长为公/因,这条边上的高为:倔铲，求此三角形的面积.

课时2二次根式的除法

刷基础

知识点1商的算术平方根旧瓢0,b>0）

14化简的结果为（）

A3式3V2「3p.3

A—Bo--CyD.2

2若僧~目x+y=5厕x的取值范围是（）

A.x《B.^<r<5

C.沁<7D.|<x<7

3已知所0,化简二次根式X/M结果是—.

知识点2二次根式的除法%=由生0,b>0）

4下列各式计算正确的是（）

A.论=4B.754^=76

D-4e7a

C.V30-V6=5

5若mn>0,m+n〈0厕化简夜琳］亍___

6计算:

知识点3二次根式除法的应用

7如果一个三角形的面积为WI一边长为6那么这条边上的高为（）

A.4B.2C.V2D.2V2

已知一个圆的半径为Ecm,一个长方形的长是©兀cm,若圆的面积与长方形的面积相等，则长方形的宽为

9在一条传输带上，有一件物品随传输带在14夜秒的时间内匀速前进了56米，传输带与物体之间没有相对滑

动，求传输带的速度.

3.3二次根式的加法和减法

课时I二次根式的加法和减法

刷基础

知识点I被开方数相同的二次根式

1下列各组二次根式化简后能够合并的是()

A.26与V6B.

c•一也与上D.与y/Sa(a)O)

2若最简二次根式历可以与合并，则a的值是()

A.5B.4C.2D.1

知识点2二次根式的加减运算

3若"42=何，则表示实数a的点会落在数轴的()

①②③④

・•-一、♦•一.、■■-一-

/■、，、，、,、、

I■%V9V\9\V/、»

-6i23

A.段①上B.段②上C.段③上D.段④上

4—与的和为有理数(只写一个答案).

5计算：(1)V32-J^-4V03+Vf7.

(2)(回瓜)-(3卜今

(3)3岳-5岳+7VI五.

知识点3二次根式加减运算的应用

6将图(1)中的长方形沿虚线分成B,C两部分，恰与正方形A拼接成如图(2)的大正方形.如果正方形A的面积

为2,拼接后的大正方形的面积为5,则图(1)中原长方形的长是—.

图⑴图⑵

7已知三角形的三条边长分别是35《，求三角形的周长【结果要求化简)，并选取一个数值代入使得周

长的结果为整数.

刷易错

易错点误将化成最简二次根式后被开方数不同的二次根式进行合并

8计算：\<T8+V98+V27.

解：原式=3近+7应+375①

=1072+3732

=(10+3)后5③

=13V5.@

(1)以上解答过程中，从一开始出现错误；

(2请写出本题的正确解答过程.

刷提升

1.^xV4x+6xJ^-4x返的值一定是()

A.正数B.非正数C.非负数D.负数

2若a和b都是正整数且a<b,a和也是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为()

①只存在一组a和b使得夜+gn以

②只存在两组a和b使得口+点=6;

③不存在a和b使得折=0而

A.IB.2C.3D.0

3已知两个二次根式：同■，㈠GK)),将这两个二次根式进行如下操作：

第一次操作：将同与近的和记为M”差记为Ni；

第二次操作：将Mi与Ni的和记为M2,差记为Nz；

第三次操作：将Mz与N2的和记为M3,差记为N;..;以此类推.

下列说法：①当x=l时,N2+M+M+M=30；②必2=64m;③此“％+1=22〃8为自然数).其口正确的有

()

A.0个B.1个C.2个D.3个

4在VT,衣,V3,...,睡觉1999个数中，与aU而可以合并的共有个.

5已知rR71^=10、则x等于_____

6已知a,b是有理数，a(V5T)+b(3+&)=5+3&,求\[a+b^y/ab-b-h的值.

7若:5+6的整数部分用a表示，小数部分用b表示，3-6的整数部分用c表示，小数部分用d表示，求ab-c

d的值.

刷素养

8【阅读学习】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如

22

3+26=（1+五）;善于思考的小明进行了以下探索：设a+b应=（〃?+〃・夜）~（其中a,b,m,n均为整数），贝第

a+b-V2=w2+2/r+2V2mn,所以。=/〃2+2〃2力=20111.这样小明就找到了一种把形如（。+6/5的式子化为平方式的方法.

【解决问题】⑴当a,b,m,n均为正整数时，若遮=（〃?十少6）：用含m,n的式子分别表示a,b.

（2刷用⑴的结论，找一组正整数ab,m,n（n#n）,使得a+b-V5=（〃升力成立，且a+b+m+n的值最小.

(3化简:J7+V21-愀

课时2二次根式的混合运算

刷基础

知识点1二次根式的混合运算

1计算争x（5+VJ）的结果是（）

A.2B.22

C25+2V3Z）.25-2A/3

2若要在（5代-⑸包的中填上一个运算符号，使il算结果最大，则这个运算符号应该填（）

A.+B.-C.xD.+广L/\

（mNn）,

3对于任意的正数m,n,定义一种新的运算“*”：加*几=则计算3*8+27*2的结果为一

4计算：

(1)3V24-9

7

⑵(V5+V5)(石-0)-(V5+1).

(3)(V48-VT7)-V3+

（4）（1J+O—I>/3-2I-（r-3.14）°.

5某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为71^也宽AB为7T直町现要在长方

形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（45+1）见宽为（m-1）九

（1张方形ABCD的周长是多少?

(2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m?的地砖，要铺完整个通道，则

购买地能需要花费多少元？

知识点2分母有理化

6将f化简为。+b近其中a,b为整数，则a+b的值为()

A.5B.3C.-9D.-15

7化简力+…+板07％26=一，

8已知尸看尸缶，求下列各式的值：

(1)A-2+2X>H-/1

⑵(H)(㈢・

大招专题1二次根式的化简求值

刷难关

母选学大招1运用二次根式的非负性求值

1⑴已知x,y是有理数，若尸乃：尸一4,求xy的平方根；

(2)已知2a2-44+4=2-5迎-3、求a+b的值.

母选学大招2运用数形结合法化简

2如图，点P在数轴上对应的数为x,且点P在A,B两点之间化简：Ix-2|-氐奇+V5?药豆

夕一」」一

T012345

母选学大招3巧用乘法公式化简求值

3已知x=V6+2^=论-2,求代数式x2-孙+/的值.

子题练变式

4若。=应+75力=厕/力-而3的值为

母题学大招4巧用分母有理化化简求值

5已知7P贝I」后庐巨的值为.

子逸练变式

6已知产岩产泉浣.求3--2收3)/的值.

母选学大招5巧用整体代换化简求值

7请阅读下列材料：

问邈：已知尸石+2,求代数式f-4尸7的值.

小明的做法：根据.尸石+2得（广2）2=5,所以4"4=5,所以3张=1.把3叙的值整体代入，得

F-4.L7=1-7=-6.即把已知条件适当变形，再整体代入解决问题.

仿照上述方法解决问题：

⑴已知尸^^-3,求代数式.r2+6x-8的值；

⑵已知广竽、求代数式/十"的值.

第3章二次根式考点练习

考点1二次根式的概念与化简

1若式子标5有意义，则m的取值范围是（）

A.m<-B.m>C.w>|D.m4

2K列二次根式中，与C能够合并的是（）

A."B.V6C.V8D.y[i2

3实数a,b在数轴上的对应位置如图所示，则而可的化简结果是（）

ab

B.III[II.

-3-2-1012

A.2B.2a-2C.2-2bD.-2

考点2二次根式的运算

4下列运算正确的是（）

4a+V5=V55.V2XV5=7TO

C.2-V2=lDj（-5）2=-5

5若4=五力=6,贝!]J^=（）

A.2B.4C.V7D.V2

6估计41（0+6）的值应在（）

AS和9之间B.9和10之间

CIO和11之间D.11和12之间

7计算：I1-V5I+24；+六一

考点3二次根式的应用

g阅读下面材料：

将边长分别为a.a-跖a+2〃,a+3VZ的正方形面积分别记为Si,Si,S3,S4.

22

则s2-S\=（t7+V^）-a

=[（6/+VS）+a],[（a+Vd）-«]

=（2a+Vb）-y[b

=b+2ay/b.

例如：当a=l,b=3时,52^=3+2-73.

根据以上材料解答下列问题：

⑴当a=l,b=3时,S3-S2=_,54-§3=_；

⑵当a=l,b=3时把边长为（“+〃〃的正方形面积记作Sn+i,其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出

S”+「S〃等于多少吗?并说明你的猜想；

（3）当a=l,b=3时，令-S],，2==3-%内=$4备…，tn=Sn+i・Sn,且六八+2+4+…+“o,求T的值.

第3章二次根式章节测试

一、选择题（本大题共3（）分，每小题6分）

1下列二次根式中属于最简二次根式的是（