《整式的乘除》压轴题综合测试卷-七年级数学下册专项提升练（浙教版）

第3章整式的乘除压轴题综合测试卷

【浙教版2024]

参考答案与试题解析

第I卷

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）（24-25七年级卜•浙江宁波•期末）如图，有三张止方形纸片①、②、③，将三张纸片按照如图

所示的方式放置于一个长方形ABCO中，已知中间重叠部分四边形EFG”恰好是一个正方形，记图中两块未

被覆盖的阴影部分面积分别为$和52,已知力。=3,AB=4,若要知道品和S2的面积差，只需要知道（）

A.正方形①的边长B.正方形②的边长

C.正方形③的边长D.正方形EFG”的边长

【答案】C

【分析】本题考查了列代数式,整式的混合运算，延长FM交8C于点N,则右上角未被覆盖部分阴影部分的

面积品=S④+S⑤，分别设正方形①、②、③的边长分别为a、b、c,正方形的边长为d,表示出S1,

S2,再作差即可得解，掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：如图，延长FM交BC于点N,则右上角未被覆盖部分阴影部分的面积品=S@+S⑤,

设正方形①、②、③的边长分别为a、b、c,正方形EFGH的边长为d,

则a+Z?-d=3,Of=PH=a-d,08=4—a,PO=3-a,MN=4—(a—d+b),NQ=3一

(a-d+c),

:$=OFxOB+MNxNQ=(a—d)(4—a)+[4—(a—d+b)][3—(a—d+c)]=(a—d)(4—a)+

3-(a-d+c),S2=PDxPH=(3-a)(a-d),

:$—S2=(a—d)(4—a)4-3—(a—d+c)—(3—a)(a—d)=(a-d)+3—(a—d+c)=3—c

故要知道Si和S2的面积差，只需要知道。的值即可，即要知道正方形③的边长，

故选：C.

443322

2.(3分)(24-25七年级•福建国门•阶段练习)已知a=2255,&=33,c=55,d=66,则a、b、c、d

的大小关系是()

A.a>b>c>dB.a>b>d>cC.b>a>c>dD.a>d>b>c

【答案】A

【分析】先变形化简Q=22S5=(225)11,Z?=3344=(334)",c=5533=(553)U,d=6622=(662)H,比

较II次事的底数大小即可.

【详解】因为a=2255=(22s)U,ZJ=3344=(334)U,c=5533=(553)U,d=6622=(662)”,

因为兽=55x雪=55x(5)2=55乂翁>i,

66，66，636

所以553>662,

所以(553)”>(662)II,

故55-33>6622即c>d；

同理可证a>8,b>c

所以a>b>c>d,

故选A.

【点睛】本题考查广暴的乘方的逆运算，熟练掌握舞的乘方及其逆运算是解题的关键.

3.(3分)(24-25七年级上•湖南长沙•阶段练习)已知la-b=5,且c-ZJ=10,则a?+b2+c2-ab-ftc-ac

等于()

A.105B.100C.75D.50

【答案】C

(分析]由己知Q-8=5,c-b=10,两等式左右两边分别相减，可得到Q一c=-5,将a?+b2+c2-a/?-

bc-ac,利用完全平方公式，变为?(a-b)2+(b—c)2+(Q—c)2],再将上面的式子的值代入，问题得解.

【详解】解：*.*a—b=5,c—b=10,

/.G-c=-5,

即：a2+b24c2—ab-be-ac

=b)2+(b-c)2+(Q-c)2]

=|X[52+(-10)2+(-5)2]

=75,

故答案为：C.

【点睛】本题主要考查完全平方公式，将a?+b2+c2-ab-be-ac变为］（a-b）2+（b-c）2+（a-c）?］是

难点.

4.（3分）（2020•甘肃天水・中考真题）观察等式：2+22=23-2：2+22+23=24-2：2+224-23+24=

25-2；…已知按一定规律排列的一组数:21。。,2叫21。2,…,2吗22。。,若21°°=S,用含S的式子表示这组

数据的和是（）

A.2s2-SB.2S2+SC.2S2-2SD.2S2-2S-2

【答案】A

101102

【分析】由题意得出21°°+2+2+…+2】99+2200=2100(1+2+…+2"+210°),再利用整体代入思

想即可得出答案.

【详解】解：由题意得：这组数据的和为:

2103+2101+2102+…+2199+2200

=2100(1+2+-+2"+2100)

=2l00(l+2101-2)

=2100(2101-1)

=2100(2100x2-1)

V2100=S,

:.原式二S(Sx2-1)=2S2-S,

故选:A.

【点睛】本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，整体代入思想，同底数幕的乘法的逆用，解题的关键

是正确找到本题的规律：2+22+23+...+2"-1+2"=2"+1-2,学会探究规律，利用规律解决问题，属于

中考填空题中的压轴题.

5.（3分）（24-25七年级・四川眉山・期中）观察下列各式:

(X-l)(x+1)=X2—1;

(X-l)(x2+%+1)=x3—1；

(%-l)(x3+x2+x+1)=x4-1：

2019432

根据规律计算：22022_22021+2202。_2+2-2+2-2的值是()

A.B.22023_1C.一22023

3

【答案】A

【分析】根据题中规律用一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大I,减数都

nn-1

为I,即可得到规律为。一l)(x4-X+/-2+…+/+%2+X+1)=xn+l_],利用规律，当％=_2,

汽=2022时，代入其中即可求解.

本题考查了平方差公式、及数字类的规律题，解题的关键是认真阅读，总结规律，并利用规律解决问题.

【详解】解：由(％-1)(%+1)=炉一1；

(X-1)(X24-X+1)=X3-1：

(x-l)(x3+%2+x4-1)=x4—1：

观察发现：(X-l)(xn++xn~2+-+x34-x2+x+1)=xn+l-1,

当《=-2,n=2022时，得

(-2-1)(22022-22021+22020-22019...-t-24-23+22-2+1)=(-2)2023-1,

22023

:.22°22_22021_|_22020_2201924_23+2-2+l=-严"1_WUi_2+l

-3-33

:.22°22_22021_|_22020_2019_23+22-2=-1=

233

故选：A.

6.(3分)(24-25七年级•重庆沙坪坝•开学考试)在数学学习中，复杂的知识往往都是简单的内容通过一

定的规则演变而来的.例如对单项式X进行如下操作：规定%=必=工，且满足以下规律：

。2=2。］,a?=2a2，。4=2a3，…，Qn=-1，•••

匕2=瓦+1，匕3=西+1，匕4=&+1，…，bn=bn_1+1,

。1=急C2=Q2%二嘉,C4=Q4》4，…

其中〃为正整数，以此类推：

①&8=128x：②^⑦+以+"+…+b15=15%+105：③当％=1时,cn=：-④当％=1时，q+

11

C2+C3+C4+-+C20=^+^X4.以上说法正确的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

n1

【分析】由题意知，将九=8代入即=2a〃-J=2~x,可判断①的正误；由b=bn_14-l=x+n-l,

瓦+Z)2+63+匕4+…+瓦5=x+x+l+x+2+…+x+14,计算求解，可判断②的正误；由当X=1时,

c=ab=2x2=4,与c?=；一-7=；工4矛盾，可判断③的正误；由口+c?+C3++…+c?。=：-

22222+241

乙+乙一2+…+上一上+22+24X2+26X3...+218X9+22°X10,记S=22+24X2+26x3...+218x

3351921

9+220x10,则22s=24x14-26x2...+220x9+222x10,3S=222x10-22-24-26218-220,

记7=2?+24+26...+218+22°,则2?7=24+26...+218+220+222,37=222—22,即T=S=

代入计算求解，进而可判断④的正误.

•5*5

【详解】解：•・4=X,

23

a2=2al=2x,a3=2a2=4x=2x,a4=2a3=8%=2x,...

n_1

.*.an=2an_i=2x,

，a8=27x=128x,①正确，故符合要求；

Vfci=x,

x

b2=^1+1=+1»坛=62+1=%+2，/)4=b3+l=x+3,...

••匕n=一i+l=%+〃-1,

+/72+坛+瓦+…+瓦5=工+工+1+工+2+…+x+14=15x+1+2+3+…+14=15x4-

105,②正确，故符合要求；

当x=1时，c2=a2b2=2x2=4,

,:C2=-------=2H4,

z22+24

•••③错误，故不符合要求；

n1

当x=lU'J,an=2,bn=n,

Ci=—=,Co=2x2=22,C3=—=,C4=2?x4=2，x2,…，Ci0=—■—=---------,

11X3132J3X5354iy19x211921

20

C2Q=2X10,

Ci+C7+C3+C4+…+CJQ=————4-•••4---------4-22+2，x2+26x3...4-2^^x94-22°x10»

记S=22+24X2+26X3…+2】8X9+220x10,则22s=24x1+26x2...+220x9+222x10,

：.22S-S=24x1426x2...4220x94222x10-22-24x2-26x3...-218x9-220x10,

：.3S=222xl0-22-24-26218-220,

记7=22+24+26...+218+22°,则22T=24+26...+218+220+22Z,

20222461820

...22?_?=24+26...+218+2+2-2-2-22-2,

.•.37=222—22,即r=

3

.c22246182022222

••3=2X10-2-2-2...-2-2'—2X10—'2-29

339

q+C2+C3+c4H--------1-C2Q=1一/+S

20222x10222-22

=--+-----------------

2139

2010-1-4

=77+x41-77x4+o

21399

,8+8宣,29户”1I，

・••④正确，故符合要求；

故选：C.

【点睛】本题考查了实数运算，数字的规律探究，塞的乘方的逆运算.解题的关键在于根据题意推导规律.

7.（3分）（24-25七年级・广西育宁・期末）《庄子》中“一尺之梗，日取其半，万世不竭'’的意思是：一根

一尺长的木棒，今天取它的一半，明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……，这样取下去,

永远也取不完.如果将这根木棒的长度看成单位“1”，用两种不同的方法表示被取走木棒长度的总和，即：

被取走木棒长度的总和=1一剩余木棒的长度，例如：取第一次得:=1-1:取第二次得：+（以"=1-6）：

33

取第三次得:+针+Q）=1-Q）；……若以°=办则（3卡（旷+c广+…+©。。用含的

式子表示为（）

A.2m+1B.m-m1C.1—m2D.m2—m+1

【答案】B

【分析】本题考查数字类规律探究，根据G）”。=得到=[Q）5（，]2=m2,利用G）"+Q）52+Q）53+

•••+（»。=]+G）+（＞+…+住户+住广+…+（3°°T+。+（丁+•••+G）5°进行求解即可.

八、

【详解】解：:G）50=m,

啕、像

，G广+G）52+（必+.+Q）100=1+（；）+（»+…+G）50+C广+…+©°°…G）+

=m-ml

故选B.

8.(3分)(24-25七年级•重庆•期中)已知多项式P=/+y2,Q=2x-2y+a,7=孙+6(小〃为常

数)，下列说法：

其中正确的个数是()

①当QW-1时，无论x,取何值，都有P-QNO；

②若Q+2b=2,且2P+Q+2T=0,则％+y=0；

③若a=2b,则存在整数x,y,使得P+Q-2T=1；

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】本题主要考查了整式的混合运算，完全平方公式，平方的非负性等知识点，结合已知，依次对各个

选项进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性进行判断即匕，熟练掌握配方法的步骤是解决此题的关

键.

【详解】VP-Q=(x24-y2)-(2x-2y+a),

P—Q=x2—2x+1+y2+2y+1—a—2=(x—l)2+(y+I)2—(a+2)

V(x-l)2>0,(y+l)2>0

•・•当a<-1时,2+a<l,

(2+Q)N—1,

/.(x-l)2+(y+I)2-(a+2)>-1,即P—QN—l,故①错吴

•・・2P+Q+27=0,

/.2(x2+y2)十(2x-2y+a)+2(xy+d)=0,

A(x+y)2+(x+1)2+(y—1)2+Q+2b-2=0,

*：a+2b=2,

：.(X+y)2+(X+1)2+(y—1)2=0,

•\x+y=0,x+1=0,y—1=0,故②正确：

P+Q—27=/+p+2%_2y+a-2(xy+b)=(%—y)2+2(%—y)+a—2b,

设％—y=7几，

，P+Q—27=m2+2m+a—2b,

'•a=2b,

；・P+Q-2T=病+2m=(m+1)2-i,

，要使P+(2-2T=m2+2m=i；m+I)2-1=1,

.*.?n=-1+A/2,

.：x,y是整数，x-y=m,而m=-l±&不是整数,

・••不存在整数，y使得P+Q—2T=1,故③错误，

综上所述，正确的有1个，

故选:B.

9.（3分）（24-25七年级下•浙江金华•期末）如图，有三张边长分别为a,b,c的正方形纸片A,B,C,

将二张纸片按图1,图2两种不同方式放置于同一长方形中.记图1中阴影部分周长为，I，面枳为S］；图2

中阴影部分周长为，2,面积为S2,若（丝y=3（Sz-Si）,则/，与c满足的关系为（）

D.6b=7c

【答案】C

2

【分析】本题考查了整式混合运算在面积中的应用，分别用含小儿。的式子表示出Zl“2，Si，52,代入（铝）=

3（52-1）进行运算，即可求解；能表示出各个量，正确进行整式运算是解题的关键•

【详解】解：由图可知，长方形的长为Q+b,宽为Q+C,

0=(a+b—c)+(a-c)+b+c+(Q—8)+(a+c-b)=4a,

Si=(Q+b)(a+c)-a2-h2-c2=ah+ac-b2+be-c2,

l2=2a+2c+2b+2(Q+c-b)=4(a+c),

22

S2=b(a+c—b)+c(b-c)+c(tz—c)=ab+ac-b+2bc-2c,

2

:.Sz-=be—c,Z2—=4c,

・••(空)2=3(S2-SI),

4c2=3(be-c2)»

解得匕=江，§P3b=7c,

3

故选：c.

10.(3分)(2022•重庆・二模)对于五个整式，A：2x2；B：x+1；C：-2x；D：y2；E：2%-y有以下

几个结论：

①若y为正整数，则多项式力+D+E的值一定是正数；

②存在有理数，y，使得力+〃+2£,的值为一2；

③若关于》的多项式M=3(A-B)+m-B-C(m为常数)不含工的一次项，则该多项式M的值一定大于一3.上

述结论中，正确的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】根据整式的乘法混合运算，及完全平方公式为非负的特点，结合特殊值代入法求解.

【详解】解：①B•C+A+。+E=-2x(x+1)+2x2+y24-2x-y=y2-y,

当y=l时，8-C+4+D+E=0.故①是错误的；

②当4+O+2E=-2,

即2/+y2+2(2X-y)=-2,

A2(x+I)2+(y-I)2=1,

当”=一1时，y=0或者y=2.所以②是正确的.

③；M=3(力-+

=3(2x2-x-1)+m(x4-1)•(-2x)

=(6—2m)x2+(—3—2rn)x—3,

TM不含x的一次项，

.,.-3—2m=0,

.*.m=—1.5,

・・・M=9x2-3工一3,.••③是错误的；

综上，只有②是正确的.

故选：B.

【点睛】本题考查整式的乘法运算，完全平方公式，代数式求值，熟练掌握整数的乘法运算法则是解题的关

键.

填空题(共6小题，满分18分，每小题3分)

11.(3分)(24-25七年级下•河北保定•期中)观察下列等式，解答后面的问题:

第I个等式：22-0x4=4；

第2个等式：32-1x5=4；

第3个等式：42-2x6=4；

第4个等式：52—3x7=4；

(I)第5个等式是；

(2)根据上述规律猜想第〃个等式是(用含〃的等式表示).

【答案】62—4x8=4(n+I)2—(n-1)x(n+3)=4

【分析】(1)结合题意，发现数字规律即可求解；

(2)由变化规律可知，第〃个等式左边的被减数为(几+1)2,减数为(九-1)x5+3),右边均为4,即可求

解.

【详解】解：(1)依据规律可知，

第5个等式：62—4x8=4,

故答案为：62-4X8=4；

(2)由变化规律可知，第〃个等式左边的被减数为(几十1尸，减数为(九一1)x(〃+3),右边均为4,

猜想第〃个等式：(九+I)2-(n-1)x(n+3)=4,

(n+I)2-(n-1)x(n+3)

=(n2+2n+1)—(n2+3n—n-3)

=4,

故猜想成立，

故答案为：(n+l)2-(n-1)x(n+3)=4.

【点睛】本题考查了数字规律的探索，完全平方公式和多项式的乘法；解题的关键是通过示例归纳出数字变

化规律.

12.(3分)(24-25七年级下•四川巴中•期中)已知2*+2-3*2=36工-3,则％=.

【答案】8.

【分析】根据积的乘方和哥的乘方的逆运算，把等式变形，根据指数相同求解即“J.

【详解】解：2、+2.3/2=36*-3,

根据积的乘方和箱的乘方，等式可变形为：(2x3)x+2=(62尸-3,

即2+2=62X~6,

x4-2=2x—6,

解得，x=8

故答案为:8.

【点睛】本题考查了事的运算的逆运算，解题关键是把等式恰当变形，依据底数相同，指数也相同列方程.

13.(3分)(24-25七年级下•安徽滁州•期中)已知X=28+2”.

(I)若乃=m2,则自然数m=；

(2)若％+2〃是一个完全平方数，则自然数〃=.

【答案】4812

【分析】本题考查了同底数'标的乘法，暴的乘方的应用；

(1)根据题意得出28(1+23)=32,进而即可求解;

<2)根据完全平方公式得出4十2"=(24)2十2・24.26+2%进而得出2n=(26)2,即可求解.

【详解】(1)因为％=62,所以28+2”=租2,

所以28(1+23)=m2,所以162x32=m2,

所以482=病,

所以自然数m=48；

故答案为：48.

(2)x+2n=(24)2+2-24-26+2n,

，只有2n=(26)2时，原式为完全平方数，即自然数九=12.

故答案为：12.

14.(3分)(24-25七年级下•浙江金华•阶段练习)“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将不

重复的数字1〜9填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于21,若每个圆圈上的四个

数字的平方和分别记4、B、C,且A+B+C=41L如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为工、y、

x+y,则x+y=____；xy=.

【答案】918

【分析】根据％、y、X+y的位置可知这三个数每个都加了两次，三个圆圈上的数字之和是63,彳巨是1〜9这9个

数字之和是45,所以可得x+y+(x+y)=18,从而求出％+y的值；因为"+2?+3?+4?+5?++6?+

72+82+92=285,4+8+C=411,可以得到/+y2+(%+y)2=126,配方得(％+y)2-2xy+

(x+y)2=126,把x+y=9代入即可求出盯的值.

【详解】解：•••每个圆圈上的四个数字的和都等于21,

二三个圆上的数字之和应为3X21=63,

其中的无、y、x+y这三个数每个都加了两次，

•••1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,

:45+X+y+(%+y)=63,

则有2(x+y)=63-45,

解得：x+y=9；

•••每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、B、C,且4+8+0=411,

:.I2+22+324-42+52+62+72+82+92+x2+y2+(%4->,)2=411,

vI2+22+32+42+52+62+72+82+92=285,

.../+丫2+(无+y)2=411-285,

x2+y2+(x+y)2=126,

整理得：x2+y2+2xy-2xy+(x+y)2=126,

(x+y)?—2xy+(%+y)2=126,

,••%+y=9；

•••92-2孙+92=126,

•••81-2xy+81=126,

:.2xy=36,

解得：xy=18.

故答案为：9；18.

【点睛】本题考查了整式的运算、完全平方公式以及有理数的乘方运算.解决本题的关键是理解％、y、x+y

这三个数每个都加了两次，并且能把/+/凑成完全平方式.

2

15.(3分)(24-25七年级下•浙江金华•期末)将多项式a/+bx+c(aH0)变形为a(x+m)+几的形式,

这样的方法叫做配方法.利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大(小)值.例如：x2-4x-5=

%2-4%+22-22-5=(%-2)2-9,

-2/之0,.♦.(%—2尸—9N-9,•,.当％=2时，多项式/-4%-5有最小值-9.

已知a,b为实数，多项式(％+3)(3X+a)展开后X的一次项系数为m,多项式(3%+2)(%+匕)展开后“的一次

项系数为n,且zn,n均为正整数，则当根+几=17时，a匕的最大值为.

【答案】3

【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，多项式乘以多项式，根据题意得出m=a+9,

n=3/?+2,进而根据m+ri=17,可得Q=6-3A,然后得出，根据配方法，即可求解.

【详解】解：:(x+3)(3%+a)=3%2+(Q+9)%+3Q

=a+9,

■:(3x+2)(%+b)=3x2+(3b+2)x+2b

An=3Z?+2

V?n+n=17

+9+38+2=17

.\a=6-3b

；・ab=(6—3b)b=-3b2+6b

=-3(b2-2b+l)+3

=-3(b-l)2+3

V-3(b-l)2<0

A-3(b-l)2+3<3

・•・当b=l时，ab的最大值为3,

故答案为：3.

16.(3分)(24・25七年级下•浙江温州•期中)已知整数a、b、c、d满足aVbVcVd且2a3b4c5d=10000,

则4Q+3b+2c+d的值为.

【答案】2

【分析】根据3不是K)O(X)的公约数，可得力=0,由10000=24x54=42x54=2°x42x54=2-2x43x

54=24x4°x54和aVb<c<d即可得到小b,c,d的值，故可求解.

【详解】V10000=24x54=42x54=2°x42x54=2-2x43x54=24x40x533不是10000的公约

数，

：.3b=1

则b=0

：.2ax4Cx5d=10000

•・•整数a、b.c,d满足aVbVcVd

/.10000=2-2x43x54符合题意

/.a=-2,b=0,c=3,d=4

/.4a+3b+2c+d=-8+0+6+4=2

故答案为：2.

【点睛】此题主要考查幕的运算，解题的关键是熟知哥的运算法则及特点.

第n卷

三.解答题(共8小题，满分72分)

17.(6分)①己知a=：,77m=2,求•(a?n)n的值，

②若=2n=2,求(一3炉八)2一4(-%2)2n的值.

【答案】嗨;②56.

【分析】①根据暴的乘方.、同底数幕的运算法则计算，再代入计算；

②根据哥的乘方及逆运算，把原式化简为含X2n的形式，再代入计算.

【详解】解：①a?・(a111)n=a2*am,,=a2*a2=a4.

3

时，原式二；

216

②(-3x3n)2-4(-X2)2n=9x6n-4x4n=9(x2n)3-4(x2n)2,

当x2n=2时，原式=9x23-4x22=72-16=56.

【点睛】此题主要考查幕的乘方、同底数冢的运算，要熟练且灵活掌握.

18.(6分)(24-25七年级•广西南宁•期中)阅读：在计算(工一1)(严+/-1+/-2+...+%+1)的过程中,

我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一

类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般.如下所示：

(I)【观察】①(X-1)(工+1)=；

②(％-l)(x2+X+1)=；

@-l)(x3+x24-x4-1)=；...

(2)【猜想】由此可得；(4-1)(/卜k吁1Ixn-2+…」x+1)=；

(3)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：52。24+52。23+52。22+52。21+…+5+1的值.

【答案】(1口2-1：X3-l;X4-l

(2)严+1_1

【分析】此题主要考查了平方差公式、多项式乘以多项式以及数字变化规律，正确得出式子之间的变化规律

是解题关键

(I)利用平方差公式和多项式乘以多项式计算即可；

(2)利用(I)中变化规律进而得出答案；

(3)设％=5,"=2024,则(5—1)(52024+52023+52022+…+5+1)=52025-1,即可求解.

【详解】(1)解：(>-1)(X+1)=/-1；

(X-1)(%2+X+1)=x(x2+X+1)-(X2+X+1)=X3+x24-x-x2-x-1=x3-1；

(x-l)(x3+x2+x+1)=x(x34-X2+X+1)-(X34-X24-X+1)=X44-X3+X2+X-X3-X2-X-

1=x4-1,

故答案为：x2—1；x3—1：x4—1；

(2)解：(I)总结得到，(X-l)an+xnT+xn-2+…+x+l)=%n+l-i,

故答案为：xn+1-l；

(3)解：设％=5,n=2024,

根据(X-1)(#+/T+xn~2+…+%+1)=xn+1-1

2025

则(5-1)(52024+52023+52022+-+5+1)=5-1,

・•.52024+52023+2022+2021...+1=

55++54

19.(8分)阅读下面的文字，回答后面的问题：

求5+52+53+・・・+5io°的值.

解：令S=5+5?+53+…+5】°°①，

将等式两边同时乘以5得到:5S=52+53+54+…+5】。1②,

②-①得:4S=5101-5

・・・S=即5+52+53+…+5100=

44

问题：(1)求2+2?+23+…+21。。的值：

(2)求4+12+36+…+4x3的的值.

【答案】(1)2101-2.(2)2x(341-1).

【分析】(1)根据已知材料的方法解答即可(2)先把式子化简成与题干中的式子•致的形式再解答.

【详解】解：(1)令S=2+22+23+・.・+2i。。①,

将等式两边同时乘以2得至lj:2s=22+23+24+…+2】。1②，

②-①得:S=2101-2

・•・即2+22+23+…+2100=2101-2.

(2)4+12+36+-+4x340=4(1+3+32+33+…+340)

令S=4(1+3+32+33+…+3皿)①，

将等式两边同时乘以3得到:3S=4(3+32+33+…+3刃②，

②•①得:2S=4(341-1)

S=2x(341-1).

【点睛】此题重点考查学生对同底数暴的乘法的应用，能根据材料正确找到做题方法足解题关键.

20.(8分)(24-25七年级•河南许昌•期末)如图，有三张边长分别为a,b,c的正方形纸片4,B,C(4>B>C)

将三张纸片按图1,图2两种不同方式放置于同一长方形中.记图1中阴影部分周长为，I，面积为Si；图2

中阴影部分周长为％，面积为

(1)若。=5,b=3,c=2图1中阴影部分周长/】=,图2中阴影部分周长％=:

(2)求图2中阴影部分面积S2与图1中阴影部分面积*的差(用含a,b,c的代数式表示).

(3)若(呼了=3(S2-Si),那么人与c满足下列关系.

A.3b=5cB.b=2cC.3b=7cD.6b=7c

【答案】(1)20:28

2

(2)52-Si=be-c

(3)C

【分析】本题考查了整式混合运算在面积中的应用.正确用含a、氏c的代数式表示出工、与、S2是解题

的关键.

(1)先分别用含a、b、c的代数式表示出图1和图2中阴影部分的周长，再将a=5,匕=3,c=2代入计算,

即可求解：

(2)先分别用含a、b、c的代数式表示出图1和图2中阴影部分的面积，再求求图2中阴影部分面积S?与图

1中阴影部分面积工的差，即可；

(3)先分别用含。、匕、。的代数式表示出"、Si、S?,再代入(呼)2=3(52-1)进行运算，即可求解.

【详解】(1)解：根据图形可知，长方形的边长为Q+b,宽为a+c,

贝=(Q+b—C)+(Q—C)+匕+C+(Q—匕)+(Q+c—b)=4a,

l2=2a+2c+2b+2(a+c-b)=4(a+c),

将a=5,b=3,c=2代入，得出乙=4x5=20,/2=4x(5+2)=28,

故答案为：20；28.

(2)解：根据图形可知，长方形的边长为a+b,宽为a+c,

22222

则&=(a+b)(a+c)—a—b-c=ab+ac-b+be-cf

22

S2=b(a+c-b)+c(b-c)+c(a-c)=ab+ac-b+2bc-2c,

故$2-Si=be-c2.

2

(3)解：由(1)和(2)得出，i=4a,l2=4(a+c),Sz-S、=bc-c,

故，2—h=4c,

2

将52-Si=be-c?,12Tl=4c代入=3(S2-51),得偿)=3(be-c),

整理得：4c2=3bc—3c2,

即3b=7c,

故答案为：C.

21.(10分)(24-25七年级•北京期中)小聪学习多项式研究了多项式值为。的问题，发现当mx+n=0或

px+q=0时，多项式A=(mx+n)(px+q)=mpx2+(mq+np)x+nq的值为0,把此时x的值称为多项

式A的零点.

(I)已知多项式(3x+Z)(x-3),则此多项式的本点为.

(2)已知多项式8=(x-2)。+m)=/+(Q-l)x-3a有一个零点为2,求多项式B的另一个零点；

(3)订正：小聪继续研究(工一4)(%-2),%。一6)及卜一分1一9等，发现在x轴上表示这些多项式零点的

两个点关于直线第=3对称，他把这些多项式称为“3-系多项式”.若多项式M=(2x-b)(c%-7c)=a/-

(8a—4c)x+5b-4是“3-系多项式"，则a=,b=,c=.

【答案】(1)-9或3

(2)-3

(3)2,-2,1

【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，因式分解的应用；

(1)根据题意，令(3%+2)(%-3)=0,解方程得出工的值，即可得出答案；

(2)根据题意，把％=2代入多项式B,得B=4+2(Q—1)—3Q=0,然后解关于a的方程即可得出Q的值,

再把a的值代入B,进而得出答案；

(3)根据题意，由“3-系多项式”定义，进而得出答案.

【详解】(I)解：根据题意，令(3%+2)(%-3)=0,

:.3x4-2=0或无—3=0,

解得：x=一;或％=3,

故答案为：或3；

(2)根据题意，把x=2代入8,得B=4+2(a—l)—3Q=0,

解得：a=2,

把a=2代入得B=x2+x—6=(x—2)(x+3),

令《+3=0,

解得：x=—3,

.••多项式口的另一个零点是-3：

(3),:M=(2x—b)(cx-7c),

・•.M的两个零点分别是g或7,

根据“3-系多项式”的定义，有^+7=6,

：,t=-2

把£=一2代入M,

得M=(2x-b)(cx-7c)

=(2x+2)(ex-7c)

=2cx2-12cx-14c

M=ax2—(8a-4c)x+5匕-4,

•••a=2c,5b—4=-14c,

1,a=2

故答案为：2,—2,1.

22.(10分)(24-25七年级•湖北荆州•期末)如果”=y,那么我们规定一，叫=n.例如:因为4?=16,

所以(4,16]=2.

(1)(-2,16]=；若(2,y]=6,则、=；

(2)已知(4,12]=a,(4,5]=b,(4,y]=c,若a+b=c,求y的值;

(3)若(5,10]=a,(2,10J=b,令《=篝.

①求瑞的值;

②求£的值.

【答案】(1)4,64

(2)y=60

=—•②十=2

i/△匐100'0

【分析】(1)由(一2)4=1,可直接得出(一2,16]=4；由26=64,可得出y=64；

(2)由题意可得出4a=12,48=5,4c=y.根据a+b=c,得出4。+匕=4。，即4a•4》=4。，进而即可求

出)，=12X5=60：

ba24dfc4

(3)①由题意可得出5a=10,2=10,再根据25a=(52)a=(5)=100,16b=(2)=(2)=10000,

即可求出篝=急②根据(5呼=10匕，即得出5ab=谕，结合题意可得出(5,10d]=ab.由①知5a=2》=

10,即得出5。+°=5。=2》x5b=10%进而得出(5,10町=Q+b,即说明ab=Q+b,代入£=瑞中

求值即可.

【详解】(1)解：•••(-2)4=16,

•••(-2,16]=4；

•••(2,川=6,且26=64,

:.y—64.

故答案为：4,64：

(2)解：•••(4,12]=a,(4,5]=b,(4,y]=c,若a+b=c,

.•.40=12,4b=5,4C=y.

•••a+b=c,

...40+6=#,即4a.4b=#,

y=12x5=60：

(3)解:①・・・(5,10]=a,(2,10]=b,

5a=10,2b=10,

.・.25a=(52)a=(5a)2=102=100,16b=(24)匕=(2fe)4=(IO)4=10000,

.竺_100__i_

"16b—10000-100,

②•；(5。尸=1心，

:.5ab=I。％

.%(5,10d]=ab.

由①知：5a=2b=10,

:.5a+b=5。♦5b=2匕x58=10匕，

•••(5,10b]=a+b,

•­ab=a+b,

2abc

At=--=2.

a+b

【点睛】本题考查有理数的乘方，积的乘方与其逆用，塞的乘方与其逆用.熟练掌握各运算法则是解题关键.

23.(12分)(24-25七年级•河囱安阳・期末)拓广探索：

若上满足(9-x)(x-4)=4,求(9-x)2+(%-4产的值.

解：设9—义=Q,x—4=b,

则(9—x)(x-4)=ab-4,a+b=(9—x)+(%—4)=5,

.*.(9-x)2+(x-4)2=a24-bz=(a+b)2-2ab=52—2x4=17.

请仿照上面的方法求解问题：

(1)若x满足(5-工)。-2)=2,求(5—%产+(%—2尸的值.

(2)已知正方形/WCC的边长为％,