2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册《线段的垂直平分线》同步测试题

2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册《11.5线段的垂直平分线》

同步自主达标测试题（附答案）

一、单选题（满分24分）

1.如图，电信部门要在4B,。三个村庄所围成的三角形地块里面修建一座电视信号发射

塔，按照设计要求，发射塔到三个村庄的距离相等，则信号发射塔应建在的8C的（）

A.三条中线的交点处三条角平分线的交点处

C.三条高线的交点处三条垂直平分线的交点处

2.如图，AC=AD,BC=BD,则有（

A.CO垂直平分484B垂直平分CD

C.△4BC是等腰三角形D.48与C。互相垂直平分

3.如图，点。在AABC的边BC上，月.BC=BD+AD,则点。在某一线段的垂直平分线上.这

条线段是（）

A.ABB.ACC.BCD.不确定

4.如图，点。是a/lBC三条边的垂直平分线的交点，连接8。，CO,若乙4=a,则“的度

数为（）

A.90°+;aB.2aC.90°-4aD.900+a

5.如图，△ABC的边AC的垂直平分线交AB于点。，交4c于点E,连接CD,若△BCD为等边

三角形，且周长为12,则4。的长为（）

A.3B.4C.5D.6

6.如图，在AABC中，按以下步骤作图：①分别以8、C为圆心，大于的长为半径作弧,

两弧相交于两点M、N；②作直线MN交4B于点D,连接CD.若CO=4C,N4=45。，BO=2,

A.1B.2C.3D.4

7.如图，在△/IBC中，AB=10cm,BC=15cm,4c的垂直平分线交BC于。，连接力D,

交AB的垂直平分线于点片则△8DF的周长是（）

A.5cmB.10cmC.15cmD.25cm

8.如图，在△ABC中,Z-ABC=60°,AB=12,BC=20,点E在边BC上,且BE=4,BC的

垂直平分线分别交AC,BC于点M,N,点P为直线MN上一动点，点尸为边4B上一动点，

当PE+PF的值最小时，4"的长为（）

二、填空题（满分24分）

9.如图，点。为三边垂直平分线的交点，点。到顶点4的距离为6cm,则力。+8。+

co=cm.

10.如图，小杭在数学实践课上用直尺和圆规作图，设48=a,ZT=/?根据尺规作图痕迹,

.（用含%/?的代数式表示）

11.如图，在Rt2\?18。中，4c=90。，/-B=15°,OE垂直平分力B交8c于点E,BE=6,

则AC=

12.如图，在△48C中,AB,/1C的垂直平分线与5c分别交于0,E,Z-BAC=115°,则

Z.DAE=

以点力为圆心，AC的长为半径作弧交3C于点。，再分别以点4和

点。为圆心，大于：80的长为半径作弧，两弧分别交于点”和点M连接MN交88于点£

若48=18,AC=10,则△力DE的周长为

14.如图，在中，LABC=90°,30°<LACB<45°,8c的垂直平分线交AC于点D,

连接BZ）,在8D上取一点E,使得EC=48.若乙力C8=35。，则乙DEC=

15.如图,OE,OF分别垂直平分AC,BD,垂足分别为凡［，且=CD,LABD=120°,

LCDB=38°,连接08.（的度数为.

16.如图，在△48C中，A3=6,AC=8,EA垂直平分线段3C,P是直线E尸上的任意一点,

则^A8P周长的最小值是.

F

三、解答题（满分72分）

17.（6分）如图，在△ABC中，AB=AC,DE是AB的庭直平分线，垂足为。，交AC于E.

（1）若乙ABE=40%求乙EBC的度数；

⑵若△A8C的周长为41cm,BC=11cm,求△8CE的周长.

18.（6分）如图，在RtKBC中，Z5/1C=9O°,AB=AC,点尸为线段8C上一点，连接4F,

过点。作CEJ.力尸，交4尸的延长线于点，且力E=2CE.

A

⑴尺规作图：过点8作4r的垂线，垂足为点。：（不写作法，保留作图痕迹）

⑵求证：点。为AE的中点.

证明：vBD±AE,CE±AF,

:.Z.BDA=Z.E=90°.

•••Z.BAC=90。，

:.tBAD+_=90°.

在RtA/BD中，Z.BAD+LABD=90°.

在△力8。与△口!£中，

乙BDA=乙E

Z.ABD=Z.CAE

AB=CA

/.△ABD三△C/1E(AAS).

-AE=2CE,

•••AE=2AD,

即点。为4E的中点.

19.（8分）如图，在等腰三角形小8。中，AB=AC,点D,£分别在边力氏力。上，且40=AE,

连接BE,CD,交于点心

（1）求证：乙EBC=LDCB；

⑵求证：过点4"的直线垂直平分线段BC.

20.（8分）如图，已知点。是乙4PB内的一点，M,N分别是点。关于夕力、的对称点，连

接MN,与PA、P8分别相交于点E,F,已知MN=10cm.

MA

⑴求AOE尸的周长;

（2）连接PM,PN,若44PB=45。，判定△PMN的形状，并说明理由.

21.（8分）如图，△48C是等边三角形，。是△48C外一点，连接AD,CD,BD,过点。

作。臼|力8交4。于点尸，交BC于点E,已知4D=CC.

⑴求证：8。垂直平分AC；

（2）若3c=9,DE=5,求EF的长.

22.（8分）如图，在△4BC中，OM,EN分别垂直平分AC和8C,交48于M,N两点.

⑴若△CMN的周长为20cm,求力8的长；

⑵若乙4G?=106°,求4MCN的度数.

23.（8分）如图，已知在等腰直角三角形D8C中，^BDC=90°,BF平分乙DBC,与CD相交

于点F,延长到人使DA=DF,

⑴延长交4c于E,证明：BE垂直平分4C；

⑵在（1）的条件下，若H是8c边的中点，连接DH与8E相交于点G.请猜想CE,GE,BG之

间的数量关系

24.（10分）已知在ABC中，AB=AC,点。在△ABC的外部，R^DAC<90°.

⑴如图1,若AD=AC,设4B=%。，求乙80C；

（2）如图2,取8C中点凡证明：Rt△力8C三边的垂直平分线交于点厂；

⑶如图3,点E在线段4C匕线段。£的垂直平分线交BC的延长线干点P.当线段/C与线段

BO互相平分（两条线段交于一点，两条线段都被交点平分）时，证明：^POE为直角三角

形.

25.（10分）在学习《轴对称》数学活动时，我们利用等腰三角形的轴对称发现等腰三角形

中有许多相等的线段与角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系.

【活动初探】（1）如图1，在△ABC中，=4C,点。为BC中点，DE148于点E,DFLAC

于点凡请直接写出DE与。尸的数量关系：.

【变式再探】（2）如图2,在△ABC中，AB=AC,△CF4和△BEA分别为等边三角形，CF与

8E相交于点G,连接4G并延长，交BC于点、D,求证：点。为8。中点.

【类比深探】（3）如图3,在△力BC中，力B=AC,点。为BC中点，/4夙？=30。，点厂为

直线4D上一动点，点上为C4延长线上一动点，且满足尸8二打心连接BE.补全图形，猜想

并证明4C、AE.OF的数量关系.

参考答案

1.D

【分析】本题,主要考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相

等成为解题的关键.

由发射塔到三个村庄的距离相等，即其在三边的垂直平分线的交点上，据此即可解答.

【详解】解：A.三角形中线的文点为三角形的重心，到顶点的距离是到对边中点的2倍，

不符合题意；

B.三角形角平分线的交点为三角形的内心，到各边距离相等，不符合题意；

C.三角形高的交点为垂心，不符合题意；

D.三角形三边垂直平分线的交点到三角形的各顶点距离相等，符合题意.

故选D.

2.B

【分析】本题考查了垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，根据垂直平分线的判定定理,

逐一分析即可解题.

【详解】解：vAC=AD,BC=BD,

；.4、〃在CD的垂直平分线上，

即AB垂直平分CD（但CD不一定垂直平分48）.

0△ABC不一定是等腰三角形，

0A,C,D错误，B正确，

故选：B.

3.B

【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直

平分线上，熟练掌握该知识点是解题的关键.

由=BC=BD+DC,得到04=DC,根据到线段两端点的距离相等的点在线

段的垂直平分线上即可得到结论.

【详解】解：•••BC=BD+AD,

而BC=BD+DC>

:.DA=DC,

团点。在4c的垂直平分线上.

故选：B.

4.B

【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，由线段垂直平分线的性质推

出。4=0B=0C,得到乙。。4=Z.OAC,乙OBA=/.OAB,由三角形的外角性质推出/BOC=

2Z.BAC,即可求出匕8。。的度数.

【详解】解：如图，点。是力。延长线上一点，

团点。是△A8C各边垂直平分线的交点，

团。力=0B=0C,

0ZOC/1=Z.OAC,Z.OBA=Z.OAB,

0ZCOD=/-OCA+Z.OAC=2Z.0AC,乙BOD=Z.OAB+LOBA=2Z.BA0,

0ZCOD+乙BOD=2(zOZC+NBAO),

OzBOC=2/.BAC,

^Z.BAC=a,

^Z-BOC=2a,

故选：B.

5.B

【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握等边三角形

的三边相等和线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键.

先根据等边三角形的周长求出边长，再利用线段垂直平分线的性质得到线段相等，从而求出

/W的K度.

【详解】解：例△BCD为等边三角形，且周长为12,

0FC=CD==12+3=4,

ME是4c的垂直平分线，

0/4D=CD,

胤4D=4,

故选：B.

6.B

【分析】本题主要考查尺规作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，

熟练掌握线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得MN垂直平

分BC,则有=CD=4C=2,LCDA==45°,然后可得乙力CD=90°,进而问题可

求解.

【详解】解:由作图可知：MN垂直平分8C,

团BO=CD=2,

团CO=AC,Z-A=45°,

0CD=AC=2,Z.CDA=Z.A=45°,

回乙AC。=180°-2^A=90°,

国S^ACD=34。=2;

故选B.

7.C

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得40=CD,AF=

BF,再根据三角形周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关

键.

【详解】解：的垂直平分线交BC于。，连接力D,4B的垂直平分线交AD于R

^AD=CD,AF=BF,

0A8。"的周长是BF+DF+BD=AF+DF+BD=AD+BD=CD+BD=BC=15cm,

故选：C..

8.B

【分析】本题考杳了轴对称的性质、两点之间线段最短、垂线段最短、含30度角的直角三

角形的性质、线段垂直平分线的性质，正确找出PE+PF的值最小时，点尸的位置是解题关

键.

作点E关于直线MN的对称点G,连接PG,FG,得出相等的线段，根据两点之间线段最短和垂

线段最短确定点F的位置，然后利用线段的和差以及含30度角的直角三角形的性质进吁求

解即可.

【详解】解：如图，作点E关于直线MN的对称点G,连接PG,FG,

则EN=GN,PG=PE,

^PE+PF=PG+PF,

由两点之间线段最短可知，当点、F，P,G共线时，PG+PF的值最小，最小值为FG,由垂线

段最短可知，当FG1AB讨，FG的值最小，即PE+PF的值最小，

回MN垂直平分8C,且8c=20,

团

BN=CN=-2BC=10,

WE=4,

团GN=EN=BN—BE=10-4=6,

团BG=BN+GN=10+6=16,

^FG1.ABf^ABC=60°,

回乙BGF=30°,

^BF=-BG=8,

2

回AB=12,

当PE+PF的值最小时，4尸的长为AB-FF=12-8=4,

故选:B.

9.18

【分析】本题考杳了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键；

根据垂直平分线的性质可知4。=BO=C。即可得知三者相加的和.

【详解】解：0点。为△ABC三边垂直平分线的交点

04。=BO=CO=6cm

0/40+BO+CO=3AO=3x6=18cm

故答案为：18.

10.180°-2a-/?

【分析】此题考查了垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理和三角形外角的性

质等知识，熟练掌握等边对等角和垂直平分线的性质是关键.根据垂直平分线的性质和等边

对等角得到=iBAD=a,由三角形外角的性质得到"1DC=+乙BAD=2a,最后根

据三角形内角和定理即可求出答案.

【详解】解：由作图可知，垂直平分

团80=AD,

0zF=4BAD=a,

^Z.ADC=Z.B+Z-BAD=2a,

团NC=£,Z,CAD+Z-ADC+ZC=180°,

团NC力D=180°-2a-/?

故答案为：180°-2a-/?

11.3

【分析】本撅考杳中垂线的性质，含30度角的百角三角形，根据中乖线的性质，得到力E=BE,

等边对等角结合三角形的外角的性质，得到N/1EC=30。，根据含30度角的直角三角形的性

质，即可得出结果.

【详解】解：（3DE垂直平分/B交BC于点E,BE=6,

胤4E=BE=6,

^BAE=Z.B=15%

^AEC=/〃+/.BAE=30。，

0ZC=90°,

^AC=-AE=3；

2

故答案为：3.

12.50°

【分析】本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，先由三

角形内角和定理求出/B+/C的度数，由线段垂直平分线的性质得到。8=D4EA=EC,则

由等边对等角可推出4DAB+4EAC的度数，据此可得答案.

【详解】解：团4B4C=115°,LBAC+Z,B+/.C=180",

团/+Z.C=65°,

团AB,AC的垂直平分线与BC分别交于D,E,

WB=DA,EA=EC,

团乙。48=Z.EAC=LC,

^z.DAB+Z.EAC=Z-B+LC=65°,

^£DAE=Z.BAC-（乙。力6+LEAC）=50°,

故答案为：50°.

13.28

【分析】本题考杳了垂直平分线的性质，解决本题的关键是得到MN为BD的垂直平分线.

根据作法可得4D=4C,再由垂直平分线的画法可得MN为8。的垂直平分线，由此可得EB=

ED,再根据三角形的周长求解即可.

【详解】解：回以点4为圆心，AC的长为半径作弧交8C于点。，

^AD=AC=10,

团以点4和点。为圆心，大于号3。的长为半径作弧，两孤分别交于点M和点M

团MN为8D的垂直平分线，

团E8=ED,

团48=AE+EB=18,

^AE+ED=18,

0A40E的周长为力E+ED+AD=A8+1Q=28.

故答案为：28.

14.55

【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等边对等角、全等三角形的判定与性质等知以

点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键.

如图：连接8尸并延长交CDFG,由垂直平分线的性质可得B。==CF,利用等边对

等角可得乙。8C=N4C8=35°,NG8C=4ECB,易得NB4C=55。、Z-DBG=^ECD,再证

明△/）双；三△DCE（ASA）可得BG=CE,NOEC=4BGD,进而得到8G=48,由等边对等角

可得48GD=々B4C=55。，进而完成解答.

【详解】解：如图：连接BF并延长交CD于G,

06c的垂直平分线交AC于点。，连接80,

团BO=CD,BF=CF,

团乙OBC=Z.ACB=35°,NG8C=乙ECB,

B/.BAC=90°-^ACB=55°；Z-DBC-Z.GBC=Z-ACD-乙ECB,

EUDBG=乙ECD；

团BD=CD/BDG=乙CDE,

0ADBGDCF(ASA),

团BG=CE,LDEC=Z.BGD,

回EC=AB,

团8G=AB,

团NBGD=ABAC=55°,

0zDFC=55°.

故答案为：55.

15.41°

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，角度的和差关系，

掌握线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定是解题的关键.

先连接。力、OC、OD,利用垂直平分线性质得04=OC,OB=OD,再用SSS证明△力B。三

△CDO,得匕力B0=乙CD0,设匕0BD=乙0DB=a,Z-AB0=乙CDO=氏根据乙4BD=120°

和4CD8=38。列方程求解a.

【详解】解：如图，连接。4，OC,OD.

VOF,OF分别垂直平分AC,BD,

•••OA=OC,OB=OD,

乙OBD=乙ODB.

在△AB。和△CDO中，

(OA=OC,

OB=OD,

AB=CD,

ABOCDO(SSS),

:.乙48。=Z-CDO.

设乙OBD=Z.ODB=a,LABO=乙CDO=",

则上4BD=a+p=120°,乙CDB="a=38°,

••・a=41°,即408。=41°.

故答案为：41°.

16.14

【分析】本题考查了轴对称一一最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是

熟练掌握线段的匪直平分线的性质.

如图，连接PC,可得P8=PC,从而可得/M+PB=PA-l-PC>AC,当P在EF与4C的交点，

即A、P、C三点共线时，P4+PB取最小值，由此可得结论.

【详解】解：如图，连接PC.

团EF垂直平分线段

(3P8=PC,

团PAPB=PA+PC>AC=8,

团PA+P8的最小值为8,

0AABP的周长的最小值为6+8=14,

故答案为：14.

17.(1)30°

(2)26cm

【分析】(1)由线段垂直平分线的性质得到AE=BE,则N48E==40。；由48=,4C得

ZABC=〃CB,根据三角形内角和定理求出N4BC的度数，即可求解；

(2)根据三角形的周长公式可得4B+AC=30cm,推出AB=AC=15cm；根据AE=BE可

得^BCE的周长=BC+BE+CE=BC+AC,即可求解.

【详解】(1)解：回OE是AB的垂直平分线，

团4E=BE,

团乙4=Z.ABE=40°

(L4B=AC,

团NABC=Z.ACB,

(3Z.A+乙ABC+Z.ACB=180°,

^Z.ABC=Z.ACB=^x(180°-40°)=70°

^EBC=乙ABC-乙ABE=30°；

(2)解.：团/kABC的周长为41cm,

团力8+BC+AC=41cm,

国BC=11cm,

^AB+AC=30,

乂团4B=4C,

13AB=AC=15cm,

助E=BE,

0ABCE的周长=BC+BE+CE=BC+AC=11+15=26(cm).

18.(1)图见解析

(2)Z.CAD,乙CAD=CARD,CE=AD

【分析】(1)根据高线的作法作图即可；

(2)根据垂直可得直角，再由等量代换可得NC4D=2<BD,根据角角边的证明方法证明

△48D与△&4E全等，由比可得CE=AD,由此可证明.

【详解】(1)解：以点8为圆心，氏为半径画弧与4E交于两点，

分别以这两点为圆心以大于这两点间距离的;为半径在两侧画弧相交，

连接两侧交点，必定经过8点，与AE相交于。点，

此时80_LHE,如图，

A

(2)证明：•••BD14E,CELAF,

•••Z.BDA=Z.E=90°.

•••LBAC=90。，

•••乙BAD+乙CAD=90°.

在Rta/IB。中，/.BAD+LABD=90°.

:.Z.CAD=Z.ABD.

在A/IBC与△G4E中，

(Z.BDA=乙E

\z.ABD=/.CAE

(AB=CA

ABD三△C4E(AAS).

:.CE=AD.

vAE=2CE,

•••AE=2AD,

即点。为4E的中点.

故答案为：/.CAD,^CAD=LABD,CE=AD.

19.⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)根据SAS证明aOBC三△£口?,然后根据全等三角形的性质即可得证：

(2)连接AF,根据全等三角形的性质得出FB=FC,根据线段垂直平分线的判定可得出点

产在线段8c的垂直平分线上，同理得出点4在线段BC的垂直平分线上，即可得证.

【详解】(1)证明：=AD=AE,

BD=CE,Z.DBC=乙ECB,

又BC=CB,

DBC三△ECB(SAS),

•••Z.EBC=乙DCB；

(2)证明：连接/巴

,:Z.FBC=乙FCB,

FB=FC,

・••点/在线段8c的垂直平分线上，

・：AB=AC,

.•.点A在线段8C的垂直平分线上，

••・过点4F的直线垂直平分线段8C.

20.(l)lOcm

(22PMN是等腰直角三角形，理由见解析

【分析】(1)根据轴对称的性质可得EM=E。，FN=F。，再结合三角形的周长公式可得

答案；

(2)根据轴对称的性质可得乙4PM=〃P0,乙BPN=xBPO,再结合角的和差运算可得

乙MPN=2/.APB=90%进而可结论.

【详解】(1)解：•.•”，N分别是点。关于H4、的对称点，

.•.P4垂直平分M。，垂克平分ON,

:.EM=EO,FN=FO,

EO+EF-{■FO=EM+EFFN=MN,

MN=10cm»

•••△0"的周长为10cm：

<2)解：APMN是等腰直角三角形，理由如下:

连接OP，

♦：M,N分别是点。关于PA、PB的对称点,

PA垂直平分M。，P8垂直平分ON,

•••PM=PO,PN=PO,

•••Z-APM=Z.APO,乙BPN=LBPO,

•••Z-APB=45°,

•••乙MPN=44PM+/-APO+乙BPN4-乙BPO,

.*•乙MPN=2（Z.APO+乙BPO）=2乙APB=90%

又PM=PO,PN=PO,

:.PM=PN,

.•.△PMN是等腰直角三角形.

21.（1）证明见解析

（2）EF的长为4

【分析】（1）运用垂直平分线的判定定理证明即可；

（2）证明ACEF是等边三角形得Er=CE,再证明BE=OE可得到解答.

【详解】（1）证明：••・△<8。是等边三角形，

AB=BC.

-AD=CD,

•••点B、点。在47的垂直平分线上，

3。垂直平分AC：

（2）解：•••△力8（?是等边三角形，

Z.ACB=^.ABC=60°.

•••DEWAB,

•••Z-CEF=/.CBA=60°,

•••乙CEF=/-ACB=60°,

是等边二角形,

•••EF=CE.

由(1)可知8。垂直平分AC,

乙CBD=-LABC=30°,

2

•••乙BDE=乙CED-乙CBD=30°,

•••乙BDE=LCBD=30°,

DE=BE=5,

:.CE=BC-BE=4,

:.EF=CE=4.

22.(1)48的长为20cm

(2)4MCN的度数为32。

【分析】(1)由题意易得AA1=CM,BN=CN,则有48=AM+MN+BN=CM+MN+CN,

然后根据4CMN的周长为20cm进仃求解即可；

(2)由题意易得心力+乙E=180°-Z,ACB=74°,然后可得乙M&4+乙NCB=Z,A+=

74。，进而问题可求解.

【详解】(1)解：⑦DM,EN分别垂直平分力。和BC,

AM=CM,BN=CN,

:.AB=AM+MN+BN=CM+MN+CN.

0ACMN的周长为20cm,

•••CM+MN+CN=20cm,

:.AB=20cm；

(2)解：在△48。中，Z.ACB=106°,

•••Z.A+Z,B=180°-Z-ACB=180°-106°=74°,

vAM=CM,BN=CN,

•••/.MCA=Z.A,乙NCB=乙B,

•••LMCA+乙NCB=/A+=74°.

•••乙MCN=乙ACB-QMC4+乙NCB)=106°-74°=32°,

即4MCN的度数为32。.

23.(1)证明见解析

(2)CE2+GE2=BG2

【分析】(1)容易证明4BDF=△CD4(SAS),则N4CD=乙DBF,结合对顶角相等可得乙4CD+

△CFE=乙DBF+乙DFB=90°,即BE1AC.结合BF平分NDBC可证明△ABE三卜CBE(ASA),

^AAE=CE,命题得证；

(2)连接CG,由等腰三角形的性质可得OH垂直平分BC,则8G=CG,由勾股定理可得CE?+

GE2=CG2,因此好+G£2="2.

【详解】(1)证明：田在等腰直角三角形08。中，"DC=90。，

WB=DC,Z.ADC=180°-Z.BDC=90°,

2EABDF^\L中，

(DB=DC

1/LBDC=/-ADC，

(DF=DA

0ABDF三△CO力(SAS),

团乙力CD=4DBF,

^Z.DBF+乙DFB=180°-乙BDC=90°,

乂团NBF。=Z.CFE,

^Z-ACD4-Z.CFE=乙DBF+乙DFB=90°,

^LBEC=180°-乙ACD-乙CFE=90°,即BE1AC,

团48EA=900=48EC,

国SF平分WBC,

0Z/1FE=Z.CBE,

在AABE和△CBE中，

(Z.ABE="BE

BE=BE,

(Z.BEA=Z-BEC

回△力BE三△CBE(ASA),

回AE=CE,

国3£1垂直平分AC：

(2)解：如图，连接CG,

E

WB=DC,，是BC边的中点，

WH1BC,即D”垂直平分8C,

团BG=CG,

由（1）可知，々BEC=90。,

222

在Rt/iCEG中，CE+GE=CGf

0CF2+GE2=BG2.

24.（1）45°

（2）见解析

（3）见解析

【分析】（1）由题意可知：乙B=X。,则乙B=i4。8,进而求得乙BAD=180。-2%。，由等

腰三角形的性质可得“DC=zC=18。。-（；。。-2幻=45。+%,最后求得N8DC=LADC-

^.ADB=45°+%-x=45°；

（2）过点F作产M_L49,FNLAC,由题意可知△4。户和△都为等腰直角三角形，又因

为FMJ.AB,FN_L4C可得到点M和点N分别是/1B和4C的中点，进而得出结论；

（3）过点尸作P，1CD,PGLAC,由中心对称可知力。=CO.BO=0。，可证△力。8三△COD,

可得A8=CD,ABAC=LACD=90°,由/L4S证得△PHC三△PGC,得到P”=PG,由HL证

得PEG三Rt可得乙EPG=N，PD,即可求得结论.

【详解】（1）解：vAB=AC,AD=AC,

AD—AC—AB»

:.乙B=乙ADB,乙ADC=乙C,

vZ.B=x°,

:.乙B=Z.ADB=x0,

Z,BAD=180°-2x°,

•••Z-BAC=90°,

•••Z.DAC=Z.BAD-£.BAC=180"-2x-90°=90°-2x,

•••AD=AC,

...Z/1DC=ZC=180O-(900-2X)=45O+X,

2

Z.BDC=乙ADC-Z-ADB=45°+x-x=45°；

(2)证明：如图所示，连接力入过点F作尸MlAB,FN1.AC,

•••AB=AC,且F为BC的中点,

•••AF1BC,且AAS尸和△ACE都为等腰直角三角形，

又FM1AB,FNLAC.

二点M和点N分别是71B和力。的中点，

:.尸M和rN分别是48和4C的中垂线，

故Rt△48c三边的垂直平分线交于点尸.

(3)证明：如图所示，过点P作P，_LCO,PGLAC,

°,•••线段DE的垂直平分线交8c的延长线于点P,

••EP=DP,

.•点。正好和点B关于线段4c的中点。对称，

••AO=CO,BO=DO,且44。8=乙。。。，

・•^AOB=△COD(SAS),

•.AB=CD,Z.BAC=Z.ACD=90°,

:AB=AC,Z.BAC=90°,

••^ACB=45°,R^ACD=90°,

:Z-PCG=乙PCH=45°,且PC=PC,Z-PG