高一数学 第一课时 向量的数量积（一）

6.2.4向量的数量积

第一课时向量的数量积（一）

课标要求1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力尸的作用下产生位移S所

做的功.2.掌握向量数量积的定义及投影向量.3.会计算平面向量的数量积.

【引入】在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力尸的作用下产生位

移s,那么力户所做的功W=|F||s|cos仇其中。是尸与$的夹角.

L©—©-1

功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定.这给我们一种启示，能否把“功”

看作两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念.

一、向量的夹角

探究1在功的公式卬=|川IMcosO中，。是谁与谁的夹角？

提示。是向量厂与向量S的夹角.

【知识梳理】

1.向量的夹角：已知两个非零向量a,b,。是平面上的任意一点，作宓=〃，08

=b,则/A03=e（owiW7i）叫做向量〃与〃的夹角.

2.当0=0时，a与b同向;当0=兀时，a与b反向.

如果。与力的夹角是看我们说〃与力垂直，记作。，氏

温馨提示（1）两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是［0,利，

而两直线夹角的范围为［o,目.

（2）两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角.

例1己知|。|=向=2,且〃与〃的夹角为60。，则a+b与。的夹角是多少？。一万

与〃的夹角又是多少？

解如图所示，作51=°,OB=bt且NAO8=60。.

以5I,仍为邻边作平行四边形0AC8,

则充=。+〃，BA=a-b.

因为闷=固=2,

所以平行四边形OACB是菱形，

又NAO8=60。，

所以历与公的夹角为30。，

丽与以的夹角为60°.

即。+力与〃的夹角是30。，

a-b与a的夹角是60。.

思维升华1.求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作

两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.

2.特别地,a与〃的夹角为仇Ba与否伙力，乃是非零常数）的夹角为仇，当久以2<0

时，加=180。一"当为22>0时，0o=8.

训练1在△ABC中，ZC=90°,BC=^AB,则协与沈的夹角是（）

A.30°B.60°C.120°D.15O0

答案C

解析如图，作向量崩=反?，则NBA。是公与比的夹角，

在△A8C中，因为NAC8=90o,8C=)B,所以NA8C=60。，所以N8AO=120。,

即油与反•的夹角是120。.

二、向量的数量积

探究2如图所示,一物麻在力尸作用下产生位移s,那么力尸所做的功W=|F||s|cos

Q这个公式有什么特点？请完成下列填空:

⑴川（功）是_______量；

⑵尸（力）是_______量；

（3）s（位移）是________量；

（4）a是量.

提示⑴数⑵向⑶向（4）数

【知识梳理】

I.向量数量积的定义

已知两个非零向量。与儿它们的夹角为0,我们把数量⑷|b|cos〃叫做。与力的

数量积（或内积），记作。仍，即〃仍=|〃|/|cos0.

规定：零向量与任一向量的数量积为Q.

2.向量数量积的性质

设m》是非零向量，它们的夹角是"e是与》方向相同的单位向量，则

①。♦e=e4=l〃lcos8.

@aLbab=Q.

③当Q与方同向时，a-b=\a\\b\i当〃与〃反向时，〃♦）=一㈤画,特别地，a-a=\g^

或尸也

④力|三国他（当且仅当向量〃，力共线时，等号成立）.

a°b

⑤cos。=丽

温馨提示（1）数量积运算中间是“•”，不能写成“X”，也不能省略不写.

（2）向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0.

（3）ab=0不能推出。和b中至少有一个零向量.

例2（链接教材P17例9）已知正三角形A8C的边长为1,求：

（I）ABAC；（2）ABBC；

⑶肥病.

解(1)・二油与公的夹角为60。，

.•.A&AC=|AB||AC|COS60°

=ixix|=1.

(2)•・•筋与比的夹角为120°,

.•.ABBC=|AB||BC|COS120°

=1X1X(—%一；.

⑶・・,反7与危的夹角为6()。，

/.BCAC=|^C||AC|COS60°

=ixix|=1.

思维升华定义法求平面向量的数量积

若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式。/=iamicos夕运用此法计算数量

积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过

平移使两向量符合以上条件.

训练2(1)在等腰中，若NC=90。，AC=®则或•反:的值等于()

A.-2B.2

C.-2吸D.2观

(2)(链接教材P18例1())已知向量a,b均为单位向量，。心=乎，则〃与力的夹角

为.

答案(i)B(2%

解析⑴丽•反：=|函||而|cosZABC

=2xV^cos45。=2.

(2)设〃与力的夹角为仇

由题意知|。|=|4=1,

则C0S0=丽=2，

7T

又,.・owew兀，，。=不

三、投影向量

探究3如图所示，设NAOB=。，过点A作。8的垂线A。，则线段。。就是线段

0A在0B上的投影，试用|。川和夕表示|0。|.

提示\OD\=\OA\cos0.

【知识梳理】

1.如图，设。，。是两个非零向量，AB=a,CD=b,我们考虑如下的变换：过协

的起点A和终点B,分别作诙所在直线的垂线，垂足分别为4,Bi,得到癖|,

我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量〃在向量b上的投影向量.

CA)B)D

2.如图，在平面内任取一点0,作曲=4,0N=b,过点M作直线ON的垂线，

垂足为Mi,则曲।就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向

量为e,a与b的夹角为仇则而］与e,a,。之间的关系为丽I=|G|COS%

温馨提示(1)向量。在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量.

(2)如果向量。与向量b平行或垂直，向量〃在向量力上的投影向量具有特殊性.

(3)由定义可知，投影是一个过程，而投影向量是一个结果.

例3(链接教材P20练习T3)已知同=5,|。|=4,〃与b的夹角0=120。，与〃同

向的单位向量为e.

⑴求ab\

⑵求〃在b上的投影向量.

解(\)ab=\a\\b\cos0

=5X4Xcos120°=-10.

(2)a在b上的投影向量为|a|cos戊=罂《=一学。=—

思维升华任意的非零向量〃在另一非零向量)上的投影向量等于|a|cos%S为向

量。，。的夹角，e为与力同向的单位向量).

训练3已知向量m5满足协|=2,〃与力的夹角为60。，则》在〃上的投影向量

的模是.

答案1

解析已知向量a,b的夹角0=60。,

故b在〃上的投影向量的模为

|Z>|cos6=2cos60°=2Xj=1.

【课堂达标】

1.已知⑷=小，|。|=2#,。与》的夹角是120。，则。力等于()

A.3B.-3C.-3小D.3小

答案B

解析由数量积的定义，得〃仍=|〃|网cos12()。=4X245x(一月=-3.

2.(多选)对于任意向量a,b,c,下列说法中正确的是()

A.若“仍=(),则〃与b中至少有一，个为0

B.向量。与向量力夹角的范围是［(),兀)

C.若〃_1_力，则ab=0

D.|a|=V^

答案CD

解析ab=0a_L力或a=0或〃=0,所以A错误；

向量夹角的范围是［0,网，所以B错误；

由数量积的性质知，C正确；

因为as=|a||a|cos0=|。|\

所以回=，混，所以D2E确.

3.设⑷=1,|。|=2,ab=l,则。与》的夹角为.

套案工

u杀3

解析设。，力的夹角为仇则COSI||11—Z,,；夕£[0,7t],T.

4.已知⑷=2,且。与》的夹角为60。，与力同向的单位向量为e,则向量〃在向量

力上的投影向量为.

答案e

解析因为。与〃的夹角为60。，。在〃上的投影向量为同cos6()。6=2义5=夕

------------------------课时精练------------------------

一、基础巩固

1.若闷=3,田|=4,a,b的夹角为135。,则a力=()

A.-3gB.-6也C.6gD.2

答案B

解析a-b=\a\\b\cos1350=3X4X(—啕=一6也.

2.在四边形ABC。中，.通.病=0,BC=ADf则四边形4?。。是()

A.直角梯形B.菱形

C.矩形D.正方形

答案C

解析由筋•病=0,知A8_LBC.

由就=屈)，知债4D,

所以四边形力8c。是矩形.

3.如图所示，一一力作用在小车上，其中力厂的大小为1()N,方向与水平面成6()。

角.则当小车向前运动1()m时，力尸做的功为()

A.100JB.50JC.5MJD.200J

答案B

解析由题意，根据向量的数量积的定义，可得力产做的功W="S=1OXlOcos60°

=50（J）.

4.已知制=3,〃在力上的投影向量为则0b的值为（）

91

3氏-C2-

A.2D.2

答案B

解析设。与方的夹角为仇

A

血

1

血

3

--

2J

39

•力=|a||b|cos夕=3X彳=不

5.（多选）已知向量〃，力和实数，，则下列选项中正确的是（）

A.若。与》是两个单位向量，则/=好

B.\a-b\=\a\\b\

C.A（a+b）=Za+劝

D.|a创W|a||b|

答案ACD

解析选项B中，|a仍|=||〃W|cos"，其中。为〃与8的夹角，故B错误，其余都

正确.

6.若⑷=3,|力|=2,ab=5,则。与小夹角的余弦值为.

5

答案-

6

解析cos，=而面=荻^=々・

7.已知同=3,回=5,a力=12,则向量。在向量力上的投影向量为.

答案郢12

解析设a与b的夹角为仇

・・・Qb=|a||〃|cos8=12,又协|=5,

....12b__b

・.|a|cos。—5,回一5，

即。在力上的投影向量为1悬2.

8.在边长为1的等边△ABC中，设反?=a,CA=bfAB=c,则〃力+"c+cs等于

3

答案

-2一

解析ab=BCCA=-CBCA

=—|CB|-|CA|cos60。=-

同理bc=­I，ca=­I，

3

.•.Q仍+Zbc+ca=-2*

9.已知|a|=3,回=2,〃与力的夹角0=120。，与。同向的单位向量为e.

(1)求ab；

(2)求〃在8上的投影向量.

解⑴〃仍=同网cos。

=3X2-cos120°=-3.

(2)。在》上的投影向量为

八ab3

|a|cos优=而6=~2e-

10.如图，已知aABC是等边三角形.

(1)求向量前与向量反?的夹角；

(2)若足为BC的中点，求向量恁与比的夹角.

解(口:△ABC为等边三角形，

・・・ZABC=60°.

如图，延长43至点。，使8O=A8,

A

则丽=应）,

.•・NDBC为向量福与前•的夹角.

VZDBC=120°,

・•・向量前与反'的夹角为120°.

（2）：E为3c的中点，：.AE±BC,

：.向量能与反:的夹角为90°.

二、综合运用

11.（多选）下列说法正确的是（）

A.向量a在向量b上的投影向量可表示为瑞,日

B.若烈力<0,则。与b的夹角e的范围是修n

C.若△ABC是等边三角形，则林，比的夹角为60。

D.|a创=|嘛|cos0

答案AB

解析对于A,根据投影向量的定义，知A正确；

对于B,ab=\a\\b\cos0<09则cosevO,又OWOW/・•.=£住,兀，故B正确;

对于C,若△A4C是等边三角形，则崩，流的夹角为120。，故C错误；

对于D,M创=|⑷族|cosO|,故D错误.

12.定义：\aXb\=\a\\h\sm仇其中。为向量〃与力的夹角，若同=2,|例=5,ab

=—6,则|。义"等于（）

A.8B.-8

C.8或一8D.6

答案A

解析3夕=而而=*^=_；,

八4

V6>efO,n],Asin0=^

4

・・.|aX切=2X5X『8.

13.如图，在△OAB中，P为线段A3上一点，且宓=工为+了成.

B

(1)若/=而，求x,y的值；

(2)若办