空间两条直线的位置关系-2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

2026苏教版高中数学必修第二册

13.2.2空间两条直线的位置关系

基础过关练

题组一空间两条直线的位置关系

1.（2025江苏盐城阜宁中学期中）已知空间中的三条直线若1与m异面，且1与n异面,

则m与n（）

A.异面B.相交C.平行D.无法确定

2.（教材习题改编）在正方体ABCD-AiBiCiDi中,E为BC的中点，在该正方体各棱所在的12

条直线中,与直线DiE异面的共有（）

A.5条B.6条C.7条D.8条

3.（多选题）（2025江苏无锡辅仁高级中学期中）一个棱长为2的正方体的平面展开图如图所

示，则下列说法中正确的是（）

A.直线AF与直线CN垂直

B.直线BM与直线CN相交

C.直线ME与直线CN平行

D.直线AB与直线CN异面

题组二基本事实4及等角定理

4.（2024河南洛阳第二高级中学月考）下列命题中，真命题有（）

①如果两条相交直线与另外两条相交直线分别平行,那么这两条相交直线和另外两条相

交直线所成的锐角或直角相等；

②如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；

③分别在两个不同的平面内且没有公共点的两直线互相平行；

④若ZAOB=30°,A,O,//AO,B。，//BO,则/A'OB=30。或150°.

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.（2025广东广州期中）在正方体ABCD-A1BCD］中,EJF分别是侧面AADD,侧面CCDD

的中心,G,H分别是线段AB,BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是（）

A.相交B.异面

C.平行D.无法确定

6.（2025山东济南月考）如图，在四面体ABCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中

点，则下列说法中不正确的是（）

A.M,N,P,Q四点共面B.ZQME=ZDBC

C.ABCD^AMEQD.四边形MNPQ为梯形

题组三异面直线所成的角

7.（2025北京平谷期末）长方体ABCD-AiBiCiD1中,AA】=AD=2,AB=2痘，则异面直线DBi

与AAi所成角的大小为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

8.（2024江苏南通期中）在圆锥PO中,轴截面PAB为笔腰直角三角形,M为底面圆O上一

点,NAOM=30。,则异面直线OM与AP所成角的余弦值为（）

V60述c6c2A/2-x/6

ABTCT

9.（2025江苏镇江大港中学阶段检测）如图,S是正AABC所在平面外的一点,M,N分别是

AB和SC的中点,$人一$口-$。旦/八59-/1^0^^$八-90。,则异面直线SM与BN所成角

的余弦值为.

能力提升练

题组一空间中两条直线的位置关系

1.（2025江苏南通天星湖中学期中,）如图，在正方体ABCD-AIBICIDI中,AB=4,E,F分别是棱

CD,AiD）的中点，则正方体被平面AEF所截得的截面局长是（）

A.4V5+4V2B.5/5+E

C.4V5+2V2+4D.6V5+2

2.（2025上海期中）如图，正方体ABCD-AIBICIDI中，P,Q,R,S,T分别为线段

AA1,AB,BC,BD,BB|的中点，连接A|S,D|T,对空间任意两点M,N,若线段MN与线段AiS不

相交或与线段DiT不相交，则称M,N两点可视，下列选项中与点G不可视的为（）

A.点AB.点PC.点QD.点R

3.（2025江苏常熟中学阶段检测）某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体

ABCD-AIBICIDI的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完1段”.黑“电子狗”

爬行的路线是AAi-ADf..,黄“电子狗”爬行的路线是ABTBBIT…花们都遵循如下

规贝I」：所爬行的第（i+2）段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）.设黑“电子狗”

爬完2028段，黄“电子狗”爬完2029段后各自停在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子

狗''间的距离是多少？

题组二异面直线所成的角及应用

4.（易错题）（2024广东深圳高级中学期中）如图，已知圆柱OQ2的底面半径和母线长均为

1,B,A分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线。BQ2A所成的角为今则AB的长为（）

A.V2B.2V2

C.2或V5D.2或275

5.当动点P在正方体ABCD-AjBiC^1的棱DC上运动时，异面直线DiP与BG所成角的

取值范围是（

C.

6.（2025湖南衡阳月考）在棱长为1的正方体ABCD-AIBIC!DI中,P为底面ABCD内（包括

边界）的动点，满足直线DF与CG所成角的大小为3则线段DP扫过的面积为（）

O

A.SB，7C.7D.；

12632

7.（2025辽宁辽阳模拟）如图,三棱柱ABC-AIBICI的所有棱长都为2,且NAiAC=6（）o,D,E,F

分别为AiCi,A.Bi,BC的中点，则异面直线AD和EF用成角的余弦值为（）

A退

A-TB弓c片

答案与分层梯度式解析

13.2.2空间两条直线的位置关系

基础过关练

1.D若1与m异面，且1与n异面，则m与n可能平行、相交或异面,如图.

2.D如图,与直线DiE异面的直线为AB,AD,AAI,CDBG,BBI,CCI,AIBI,共8条.

方法技巧判定两条直线是异面直线的方法:①与一个平面相交的直线和这个平面内不

经过交点的直线是异面直线;②定义法:不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线;③

排除法:既不平行也不相交的两条直线为异面直线.

3.AD还原正方体，如图所示：

在正方体ABCD-EFMN中.连接BE,贝ijCN〃BE,AF_LBE,故AFJ_CN,故A中说法正确；

若直线BM与CN相交，则B,M,C,N四点共面，即B£平面CMN,显然不成立，故B中说法

错误；

CN〃BE,BE与ME相交,故直线ME与CN不平行，故C中说法错误；

AB〃MN,MN与CN不平行，故AB与CN不平行，

若AB与CN相交，则A,B,C,N四点共面,N£平面ABC、显然不成立,故直线AB与CN异面,

故D中说法止确.

4.B由等角定理知,©©正确；

对于②，如图所示，在正方体ABCD-ABCD中，

对于NABC和NBBC,显然有ABlBiQBCIBiB,

但是NABC=90°,/BBiC=45。,故②错误；

对于③，分别在两个不同的平面内且没有公共点的两直线平行或异面，故③错误.

5.C如图，连接AD】,CDi,AC,则E,F分别为ADi,CDi的中点，

故EF〃AC,由G,H分别是线段AB,BC的中点，得GH〃AC,故EF〃GH.

6.D在ZXABC中，由中位线定理得MN〃AC,且

MN^AC,同理，在4ADC中,QP〃AC,且QP=：AC,

所以MN〃QP,MN=QP,故囚边形MNPQ为平行四边形，所以M,N,P,Q四点共面,A中说法

正确,D中说法不正确；

在aABC中，由中位线定理得ME〃BC,

在4ABD中，由中位线定理得MQ〃BD,

所以由等角定理知NQME=NDBC,B中说法正确；

在Z\ADC中，由中位线定理得QE〃DC,所以由等角定理知ZQEM=ZDCB,又

ZQME=ZDBC,

所以△BCDSZ^MEQ,C中说法正确.

7.C因为AAi〃DDi,所以NDQB］或其补角为异面直线DBi与AAi所成的角.

连接D】Bi（图略），在RtADiDBi中,tanNDQBi=^=^^=g,则NDQBi=60。，

DD\2

故异面直线DBi与AAi所成的角为60°.

8.A如图，过点A作AN〃OM,交圆O于点N,连接ON,PN,

则ZPAN或其补角即为异面直线OM与AP所成的角，设AO=ON=1,易知

NOAN=NONA=NAOM=30。,则AN=6,

因为轴截面PAB为等腰直角三角形，所以PN=PA=V2,

PA2+AN2-PN2_2+3-2_V6

在aAPN中,由余弦定理得cosNPAN=2PAAN-2〃-4

所以异面直线OM与AP所成角的余弦值为生

9.答案

5

解析如图，连接CM,取CM的中点Q,连接QN,QB,

因为N为SC的中点，所以QN〃SM,所以NQNB或其补角是SM与BN所成的角.

设SC=2a,

则BN=V5^+S7V2=V5a,AB=V2SA=2V2a,NQ=；SM=AB=^a,

易知CM_LAB,则CM=V6a,QM=；CM=

则BQ=7^+Q^2=J2a2+酒=泉,

则在ABON中,由余弦定理得cosNQNB与宇=Q苧=¥

28N小。2底争5

所以SM与BN所成角的余弦值为平.

能力提升练

1.B取CiDi的中点G,GDi的中点H,连接AiG,EG,EH,FH,

由E,G分别是CD,CIDI的中点，得EG〃DDI〃AAI,EG=DDI=AAI,则四边形AEGAi为平行

四边形，

故AiGAE,由F,H分别是AiDi,GDi的中点，得FH〃A】G〃AE,FH=AiG=；AE,

则正方体被平面AEF所截得的截面是梯形AFHE,

222222

AE=AF=V4+2=2V5,FH=V2+1=V5?EH=<4+1=Vl7,

所以所求截面的周长是56+JT7.

2.B对于A,如图1,连接ADi,BC,AG,因为D1,A,G£平面DiGBA,T4平面DQBA,且

D停AG,故直线D]与ACi是异面直线,所以点Ci与点A可视，故A错误；

对于B,如图2,连接AiG,PG,AC,则ASPGU平面AQCA,且AiS与PCi相交，连接

DEPT,TG,因为DiCiPT,所以四边形DiCiTP是平行四边形，故DiT与PC）相交,所以点

。与点P不可视，故B正确；

对于C,如图3,连接AQ,AC,GQ,因为A],S,CC平面AiGCA,Q。平面AiGCA,C£AiS,

所以直线A.S与QG是异面直线,所以点G与点Q可视，故C错误；

对于D,如图4,连接RG,TG,因为C],T,D6平面DQT,R在平面DQT,且C停D】T,所以直

线D(T与RC.是异面直线,所以点Ci与点R可视，故D错误.

3.解析由正方体的特点及题意可知，“电子狗”走完前两段后，每走完一段，在每个端点只

有一条路可走，故黑、黄"电子狗''的路线唯一确定.

易知黑“电子狗”爬行的路线为AAITAIDITDQTCICTCBTBATAAI—...,即爬完6段

后回到起点，又2028+6=338,所以黑“电子狗”爬完2028段后停在点A;

黄"电子狗''爬行的路线为AB-BBi—BQ—CD—DQ-DA—即爬完6段后回

到起点，又2029+6=33a,所以黄“电子狗”爬完2029段后到达点B.

此时黑、黄"电子狗''间的距离为1.

4.C如图，过点A作AD垂直于上底面于点D,则AD是圆柱的母线，连接DB,DOi,

易知AD#O1O2,AD=O1O2,

则四边形ADO1O2是平行四边形，所以OID〃O2A,

所以02A与OlB所成的角就是NDOlB或其补角,

所以/口01三或/口0』8=当易错点).

当NDOiB4时,△DChB是等边三角形,BD=1,

在RtAABD中,AB=A/3D2+AQ2=或；

当NDChB*时，在△DChB中,BD=V5,

在RtAABD中,AB=V4£>2+AQ2=2.

综上,AB=2或AB=V2.

5.C设正方体的棱长为1,DP=X,XG[0,1]M^ADI,AP,

由ADi〃BCi可知NADF或其补角即为异面直线DT与BC）所成的角,

在AADiP中,ADi=V5,AP=DiP=m?,

V2

月比+O]P2_Ap2

故cosZAD)P=