2026高考数学高频考点练：空间向量与立体几何

空间向量与立体几何

一、解答题

1.如图，在四棱锥P-43CQ中，BCi/AD,AB=BC=1,力。=3,点£在力。上，且PE/4D,PE=DE=2.

P

⑴若厂为线段尸E中点，求证：BF〃平面PCD.

(2)若力3_1_平面尸力。,求平面尸力〃与平面PC。夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

【解析】(1)取P。的中点为S,接S£SC,可证四边形S/TBC为平行四边形，由线面平行的判定定理可得8尸〃平面PCO.

(2)建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面力P8和平面PC。的法向量后可求夹角的余弦值.

(1)取PO的中点为S,接S£SC,贝IJS产〃EO,S/=,及)=1,

2

而ED〃BC,ED=2BC,故SFHBC,SF=BC,故四边形为平行四边形，

WBFHSC,而即0平面PCD,SCu平面PC。，

所以/平面PCD.

因为EO=2,故AE=\，故AEUBC,AE=BC,

故四边形4EC8为平行四边形，故CE//49,所以CEL平面21。，

而P£,E0u平面。力。，故CEA.PE,CE1.ED,而PEtED,

故建立如图所示的空间直角坐标系，

则/i(0,-l,0),Z?(l,-l,0),C(l,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),

则方=(0,—卜2),方=(1,-1,—2)定=0,-2)而=(),2,-2)

设平面PAB的法向量为万=(x,y,z),

fnPA=0\-y-2z=0/、

则由_可得，，八，取加=0,-2』,

ni-PB=0[x-y-2z=0

设平面产⑦的法向量为万=(d〃,c),

n-PC=0a-2b=()

则由■可得取万=(2』,1),

n~PD=02b—2c=0

故.co-s(m,n1)=—j=-f==-V—30—,

'/75x7630

故平面P/8与平面PC。夹角的余弦值为叵

30

2.如图，在以4B,C,D,E,〃为顶点的五面体中，四边形48。。与四边形力。打均为等腰梯形，EF//AD.BC//AD,

AD=4,AB=BC=EF=2,ED=屈,FB=2C，M为/。的中点.

(1)证明:5M〃平面C0E；

(2)求二面角产-8必-£的正弦值.

【答案】(1)证明见详解；

⑵噜

【解析】(1)结合已知易证四边形8CZ)M为平行四边形，可证进而得证；

(2)作5014力交力。于O,连接OF,易证尸三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解.

(1)因为AC/。。,E尸=2,4。=4,"为力。的中点，所以8C〃MZ),8C=M。，

四边形8CDW为平行四边形，明以8M〃CO,乂因为朋Wa平面

。。＜=平面。。£,所以8M〃平面CQ£；

(2)如图所示，作40_1力。交/。于。，连接0/，

因为四边形48CO为等腰梯形，BC"AD,AD=4,AB=BC=2,所以CQ=2,

结合(1)4aM/为平行四边形，可得创/=。。=2,又4必=2,

所以△力8M为等边三角形，。为40中点，所以04=6，

又因为四边形力。以、为等腰梯形，/为4。中点，所以EF=MD,EF"MD,

四边形EFMQ为平行四边形，FM=ED=AF,

所以△力为等腰三角形，△ABA/与底边上中点。重合，OF_L/A/,OF=yjAF2-AO2=3»

因为。42+。〃2=4尸2,所以06_LO”,所以。伉。2。尸互相垂直，

以08方向为x轴，。。方向为歹轴，。“方向为z轴，建立。一平空间直角坐标系,

尸(0,0,3),B(V3,0,0),il/(0,1,0),£(0,2,3),屈=卜屈1,0),砺=卜),

BE=(-62,3),设平面的法向量为玩=(外,加4),

平面EMB的法向量为n=(x2,y2,z2),

m-BM=0+必=o

则J_,即彳令得必=3,4=1即初=(百,3,1卜

m-BF=0-也x、+3Z]=0

万•BM=0-V3X2+y2=0

则,即《令X[=6，得为=3*2=7,

n-BE=O-V3x,+2y2+3z2=0

即〃=/便r,3,-1)\,cosm_,__”玩万而1后11旃=11s则.而泣万=4看、A,

故二面角尸-8M-E的正弦值为述.

13

3.如图，在四棱柱48CZ)-48cA中，4%_L平面力8C。，AB工AD、AB//DC,AB=AA}=2,AD=DC=\.M、N分

别为。A，8c的中点,

⑴求证：0N〃平面。务必；

(2)求平面。环必与平面88CC夹角余弦值;

(3)求点〃到平面CB眼的距离.

【答案】(I)证明见解析

⑵空

⑶

【解析】（1）取C4中点尸，连接NP,借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得。N//MP,结合线面平行

判定定理即可得证；

（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；

（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.

（1）取C⑸中点"，连接NP,MP,

由N是4G的中点，故NPHCC、,且NP=；C3,

由M是。。的中点，故。附=；皿=,且DM〃cq,

则有QM//NP、D、M=NP,

故四边形AM尸N是平行四边形，故DN/MP,

乂MPu平面。8幽，（Z平面CB.M,

故。W〃平面M:

（2）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系,

有4(0,0,0)、8(2,0,0)、耳(2,0,2)、M(0,l/)、C(l,l,0),C((1,1,2),

则有函=(1,-1,2)、丽=(-1,0,1)、瓯=(0,0,2),

设平面。8附与平面网CC的法向量分别为/〃二（须，必,zj、〃=（々,外,均）,

m-CB.=x,-y,+2z,=0n'CB=x-y+2z=0

则有_2'Zl1{222

m-CM=-xl+zi=0n♦BB、=2Z2=0

分别取再=%=1，则有M=3、4=1、y2=1,z2=0,

即玩=。,3,1）、万=（1,1,0）,

rhlmii1+32历

则8s〈风加丽F+9+E+广IF'

故平面。饵M与平面MCG的夹角余弦值为名区；

11

(3)由西=(0,0,2),平面。坊.”的法向量为历=(1,3,1),

卜川力网•司22后

则有r-：—=—j-------=----，

同J1+9+111

即点8到平面。与必的距离为名叵.

11

L-.2—

4.如图，平面四边形力8CD中，48=8,CD=3,4。=56，ZADC=90°,NB4D=30,，点E,尸满足力£=1力。，

~AF=^AB,将△力石尸沿翻折至WPE产，使得PC=4x/j.

(1)证明：EFJ.PD；

(2)求平面PCD与平面厂所成的二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)必

65

【解析】⑴由题意，根据余弦定理求得£/=2,利用勾股定理的逆定理可证得£7=4。，则EFLPE,皿DE,结合

线面垂直的判定定理与性质即可证明；

(2)由(1),根据线面垂直的判定定理与性质可证明尸E_LEO,建立如图空间直角坐标系E-xyz,利用空间向量法

求解面面角即可.

(1)由,48=8,/。=5收花=2而彳=1•旃，

52

得力£=2后,力产=4,又/BAD=30,在A/iEF中,

2

由余弦定理得EF=yjAE'+AF-2AEAFCOS^BAD=，6+12-2-4.2&号2,

所以月6+后尸=力尸，则力E_LEF,即£7。月。，

所以E/FPE，止_LOE,又PECDE=E,PE、。£u平面尸，

所以EFJ.平面PZM,又PDu平面PDE,

故EF工PD；

(2)连接CE,由ZADC=90\ED=3底CD=3,则CE1=ED2+CD2=36,

在APEC中，PC=4&PE=2S、EC=6,EC1+PE'=PC1»

所以尸E_LEC,由(1)知PE工EF,又ECCEF=E,EC、EFu平面/BCO,

所以P£J_平面力3C。，又EDu平面力BCD,

所以PE_LEQ,则依，“"。两两垂直，建立如图空间直角坐标系七一工尸,

则凤0,0,0),尸(0,0,26),。(0,3&0),(7(3,3式0),广(2,0,0)4(0,-2>5,0),

由户是45的中点，得8(4,26,0),

所以定二(3,3田-2苏)，丽=(0,36-2屿.丽=(4,2S-2⑴,而=(2,0,-2行,

设平面尸CD和平面PBF的一个法向量分别为〃=&,乂,4),m=(x2,y2,z2),

|«PC=3x1+3>/3yl-2^5z1=O=4x,+2x/3y,-2>&,=0

'1万・丽=3岛］-2任］=0'［册•而=Zj-2任2=0

令y,=2,再=0,得七=°，4=3,乃=-l,z2=1,

所以G=(D,2,3),熊=(75,-1,1),

所以即伍万户懦二岛丁普，

设平面PCD和平面P8/所成角为0,贝!sine=V1-COS2^=返，

即平面PC。和平面PBF所成角的正弦值为遏.

65

5.如图，在三棱锥产一48。中，尸4_L平面力AC,PA=AB=BC=\,PC=x/3.

(1)求证：8cl平面以仅

(2)求二面角力—PC—8的大小.

【答案】(1)证明见解析

【解析】（1）先由线面垂直的性质证得再利用勾股定理证得8C_LP8,从而利用线面垂直的判定定理即可

得证；

（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面尸彳C与平面P3C的法向量，再利用空间向量夹角余弦的

坐标表示即可得解.

（1）因为平面/4C,〃Cu平面43C,

所以刃_L8C,同理尸

所以△友8为直角三角形，

又因为==无，BC=1,PC=S，

所以尸公+4。2=叱2,则APBC为直拜三角形，故BC1PB,

又因为4c_LP/,PA（｝PB=P,

所以灰?J.平面214.

（2）由（1）BC1平面P/1B,又力Bu平面P/1B,则8CJL48,

以A为原点，力8为x轴，过A且与BC平行的直线为V轴，力P为z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则4(0,0,0),P(0,0,l),C(l,l,0),8(1,0,0),

所以万=(0,0,1),就=(1,1,0),沅=(0,1,0),正=(1,1,-1),

一，、f/zz•AP=0（z,=0,

设平面P4c的法向量为〃?二（石,必,zj,则《一，叫

[m-AC=01玉+必=0,

令玉=1，则必=T,所以薪=（1,一1,0）,

n-BC=0y=0

设平面，8。的法向量为〃=（工2，%/2）,则_，即2

n-PC=0F+必一马=0，

令再=1,则Z2=l,所以3=(1,0,1),

所以COS何i---〃-\六m丽-n=W1二子1

乂因为二面角力-。。-〃为锐二面角,

所以二面角力-尸C-8的大小为本

6.如图，在三棱锥尸-4BC中，ABLBC,48=2,BC=2&，PB=PC=瓜,8PMp,8。的中点分别为。，瓦。，

(1)求证：痔〃平面力。0；

(2)若/尸。尸=120。，求三棱锥尸-力4。的体积.

【答案】(1)证明见解析

⑵半

【解析】(1)根据给定条件，证明四边形。。工厂为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.

(2)作出并证明尸M为棱锥的高，利用三棱锥的体枳公式直接可求体枳.

(I)连接。瓦。尸，设4/=〃。，贝1)丽=反3+万=(1T)加+/品，Ad=-BA+^BC,BF1A0,

则砺•前=[([_/)成+/而卜(_0+(而)=(/—1)而？+3/赤=4«_1)+4/=0,

解得f=:，则/为AC的中点，由RE,O,尸分别为尸8,048C/C的中点，

于是DE”AB,DE=>AB,OF"ABQF='AB,即DE//OF,DE=OF,

22

则四边形OOE/为平行四边形，

EFWDO、EF=DO,又M仁平面ADO,DOu平面ADO,

所以EG/平面力。0.

(2)过P作月“垂直尸。的延长线交于点V,

因为夕8=尸。,。是8c中点，所以POJ.BC,

在中，PB=R,BO=£BC=&,

所以PONPB^OB，=疝工=2，

因为ABLBCQFNAB,

所以0/_18。，又POcOF=O,尸。，。尸u平面尸O尸，

所以8C_L平面PO斤，又PMu平面尸。尸，

所以4C_LPM,又BCClFM=O,8。,正“匚平面/必。,

所以PM_L平面/

即三棱锥尸-43。的高为PM,

因为NP。尸=120。，所以NPOM=60。，

所以PM=POsin600=2x^=5

2

又S3=-ABBC=-x2x2>/2=2^,

“22

所以喂”=92拒X#=半.

J，J

7.如图，在正四棱柱川?。。一48cA中，力8=2,力4=4.点4，%。2，。2分别在棱力4,阴,CG,D。上,

AA2=1,BB]=DD2=2,CC2=3.

⑴证明:B2C2//A2D2；

（2）点P在棱上，当二面角P-4G-d为150。时，求B』.

【答案】（1）证明见解析：

（2）1

【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明：

（2）设尸（0,2,制（04444）,利用向量法求二面角，建立方程求出义即可得解.

（I）以C为坐标原点，8,C5,C0所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图,

则C(0,0,0)6(0,0,3),与(0,2,2),D2(2,0,2),4(2,2,1),

:.B2C2=(0,-2,l),=(0,-2,l),

又房3,42不在同一条直线上，

/.B,C2//A2D2.

(2)设P(0,2,4)(044W4),

则羽二(一2,-2,2),砥=(0,-2,3-4A^=(-2,0J),

设平面P&C?的法向显n=(x,y,z),

n-4a=-2x-2y+2z=0

PIO/,

n-PCy=-2y+(3-2)z=0

令z=2,得y=3-2,x=2-1,

,?=(2-l,3-2,2)»

设平:面A,C2D2的法向量m=(a,b,c),

m-4C,=-2a-2b+2c=0

则1—1

in•O2C2=-2a+c=0

令a=\,得/?=I,c=2,

/.m=(1,1,2)»

「i6、=恤150。卜—,

\J6\j4+(^.—1)~+(3—A)~2

化简可得，22-42+3=0»

解得4=1或4=3,

.•/(0,2,1)或汽0,2,3),

：.B2P=\.

8.如图，三棱锥4—BCO中，DA=DB=DC,BDLCD,乙4DB=4ADC=60，E为BC的中点.

（1）证明：BC人DA；

（2）点尸满足加=。7,求二面角。-力8-少的正弦值.

【答案】（1）证明见解析：

（2）冬

【解析】（1）根据题意易证8C_L平面NQE,从而证得8CJ_D4；

（2）由题可证/E_L平面8CZ）,所以以点石为原点，石2”,瓦1所在直线分别为xj,z轴，建立空间直角坐标系，再

求出平面力8。,尸的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出.

3）连接力瓦。石，因为月为4C中点，DB=DC,所以。E_L8c①，

因为D4=Q8=QC,ZADB=ZADC=60\所以△/1C。与均为等边三角形，

AC=AB,从而/ElAC②，由①②，AECDE=E，4瓦。£u平面力。£,

所以，8。_1平面力。£,而力Qu平面.4OE,所以8CJ,D4.

（2）不妨设DA=DB=DC=2,•:BDLCD,：.BC=26,DE=AE=6.

：,AE2+DE2=4=JD2»:.AEIDE,又,；AE1BC,DECBC=E,0£,8Cu平面8C。/./E_L平面8C。.

以点E为原点，《。，七民"所在直线分别为x/,z轴］,建立空间直角坐标系，如图所示：

设。（起,0,0）,J（0,0,72）,B（0,V2,0）,E（0,0,0）,

设平面D44与平面的一个法向量分别为〃।=（X”M，ZJ,〃2=（占，%22）,

一面角46-尸平面角为8,而而=（。,也,一五），

因为而=厉=（-及,0,夜），所以川-6,0,&），即有#=卜上,0,0）,

取3=1,所以9=(1,1,1);

所以,IcosM程二最^等从而si“=5|邛.

所以二面角。-力8-产的正弦值为3.

9.在平面四边形44。。中，AD1AC,AC1BC,如图1所示.现将图1中的&/2。沿4C折起，使点8到达点P的

位置，且平面4CJ■平面P4D,如图2所示.

图1图2

(1)求证：AD1PC；

jn

(2)若PC=4C,二面角力-PO-C的大小为60。求下的值.

AC

【答案】(1)证明见解析

(2)1

【解析】(1)由面面垂直的性质定理，由面面垂直得到线面垂直，从而证明线线垂直.

(2)建立空间直角坐标系，将二面角的夹角转化成求平面的法向量的夹角即可求得.

(1)

••,平面O4CJ■平面月4。，

平面4Cn平面ACD=PA,

CEu平面24。，

CE_L平面尸力。,因为力。u平面P4),

/.CE1AD,

•;ADiC,ACcCE=C,力CCEu平面R4C,

.•.4Q_L平面/MC,又因为~Cu平面"C,

...ADIPC.

(2)vBC1AC,

..PCIAC,

又•.•PC_L/W,4。(1力。=力，力CMQu平面AC。,

/.PC_L平面AC。，

设尸C=〃C="，AD=X()

建立如图所示坐标系

则C(0,0,0),J(0,a,0),£>(xo,«,0),F(0,0,a),

CP=(0,0,6/),丽=(X0M，0),万=(0,-％4),而=(x0,0,0),

设平面PCD的法向量1=（N，必,zj,

兀而二0“Z1=0

」_即

x,x0+ay=0，

n}CD=0i

取王=〃，则乂=一-%,Zj=0,«,=(tz,-xo,O)

设平面PAD的法向量〃2=（S,出上）,

〃，-AP=0-ay+az=0

心亦=0即1%2=o2

取必=1，则尤2=0，?2=1,n2=(1,0,1|,

「二面角力-P。-C的大小为60。

Fl1

二.cos600=7F=2

化简得：2.嫣=2/解得：/=。即力。=〃,

我I

10.在四棱锥尸-"C。中，底面力夕CO是边长为2的菱形，ZBAD」,△尸力C为正三角形，PD=PB,H为PC中

3

点，过力，的平面口分别交/力，PD于点、M,N,且60〃平面a.

(1)证明：PCI平面a：

(2)求平面.“力C与平面a夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵噜

【解析】(1)由菱形与正三角形的性质，可得线线垂直，根据线面垂直的性质与判定，可得答案;

(2)由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案.

(1)设则O为4C,4D的中点，连接尸O,

因为为菱形，则4。，

乂因为PD=P8,且O为8。的中点，PO±BD,

AC[}PO=O,AC,尸Ou平面21C,所以8。工平面21。，

且PCu平面H4C,则BQJ.尸C,

又因为平面4WHN,BDu平面PBD,平面力A/HVCl平面280=M/V,

可得BD/7MN,所以MN_LPC.

又因为AP/IC为正三角形，所以4771PC

因为“Nua,AHua,且A/N与力”相交，

所以PCJL平面a；

(2)因为4=尸C,且。为力C的中点,，则P0_L4C,

且PO1BD,ACC\BD=O,AC,BDu平面力BCD,所以P01平面4AC。，

设月〃OPO=G,则Gw力“，GePO,且力〃u平面⑷POu平面P8D,

可得Ge平面4W〃N,Ge平面尸80,

且平面AMHN0平面PBD=MN,

所以GwMN,即4",PO,MN交于一点、G,

因为〃为PC的中点，则G为△21。的重心,

PMPNPG2

且BD〃MN,则方

PD~PO3

由题力8=2,PA=PC=2g，。力=OC=；4C=百，OB=OD=\,OP=3,

如图，以。1,OB,。尸分别为X,y,Z轴，建立空间直角坐标系,

则力(60,0),P(0,0,3),c(-x/3,o,o),

可得而二卜石,|,1),JC=(-2x/3,0,0),

设平面八必C的法向量斤=(N,必,N|),

n-AM=y\+4=0

则」

n-AC=-2^3.\=0,

令弘=3,贝iJZ1=-2,可得月=(0,3,—2),

设平面2的法向量为而=(6,0,3卜

,_冗5nCP-6场

\ii\]cp\gX2613,

所以平面M力。与平面。夹角的余弦值为卫

13

11.如图，一个直三棱柱48C-44G和一个正四棱锥尸组合而成的几何体中，4A_L4GM£=4£=2

(1)证明：平面044,平面ice/：

(2)若4尸//平面BBQ。,求直线AP与平面/选以所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)当

【解析】(I)利用线面垂直的性质得到44,44,结合14G并利用线面垂直的判定定理得到线面垂直，再利用

面面垂直的判定定理证明即可.

(2)建立空间直角坐标系，设正四棱锥尸-4844的高为人，利用4P〃平面求力，再利用线面角的向量公

式求解.

(1)在直三棱柱力AC—44G中，44,平面

又・.•u平面4&G，.，.<4144.

又,:4414cl，44c4Gl=4,44]又Gu平面ACClAl,

/.44JL平面力cc/i.

又•.•44u平面尸4片,

平面「441平面力eq4.

(2)以A为原点，以刀,乱刀的方向分别为x轴，y轴，z轴的正半轴方向,

建立如图所示的空间直角坐标系，则4(2,0,0),4(0,0,2),4(2,0,2),C(O,-2,0).

则故而I=(2。0),瓦=(0,-2,-2)

设平面班CC的一个法向量为1=(飞凹,马).

BB\'a.=2x.=G[x.=0

则_____''，即।,

z

BC-八i=-2yl-2z1=0〔必=~\

取Z=l,则必二一1,，勺=(0,—1,1).

设正四棱锥尸-4叫4的高为A,则尸(LF),则不二(—1也1),

且4P〃平面BB£C则乖_L成

即4?•〃]=一〃+1=0,则a=1,BP=)

设平面P3B,的一个法向量为曜=(x2,必,Z2),

BB.-zz,=2x,=0[x,=0