2026高考数学高频考点练：不等式

不等式

一、单选题

1.已知（&,乃）是函数丁=2'的图象上两个不同的点，则（）

A.噫七』B.—>詈

C.logz"］"'〈N+M

D.log2，下X>X1+x2

【答案】B

【解析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB：举例判断CD即可.

由题意不妨设因为函数），=2’是增函数，所以0<2%<2、2,即。<）［<%，

对于选项AB：可得2演~+2”*>J/2--"-？-、-2=12至,即）v〜+V>2妇2&>0,

22

根据函数y=k）g2X是增函数，所以Iog2入尹>10g222=土产，故B正确，A错误;

对于选项D：例如X,=（）,x2=1,则y=1,），2=2,

可得log?"左=1。母白€（0,1）,即log?"h<］=x+w，故D错误；

对于选项C:例如X］=-1»2=-2,则>,=l,y2=1,

可得log2“；•"=log2：=log23-3e（-2,-l）,即log?>；">-3=%+,0,故C错误，

2o2

故选：B.

2.已知9"'=10,4=10"'-11/=8"'-9,则（）

A.a>0>bB.a>h>0C.b>a>0D.b>0>a

【答案】A

【解析】法一：根据指对互化以及对■数函数的单调性即可知机=log91（）>l,再利用基本不等式，换底公式可得机

iogx9>m,然后由指数函数的单调性即可解出.

［方法一］：（指对数函数性质）

由9卅=10可得垃=喝1。=瞿>1，Mlg91gll<［lg9+lgll>|=j例］<l=（lgl0）\所以罂>黑，即心Igll,

1g92）\2）''1g9IglO

所以a=l（T71〉10M-ll=0.

又lg81gl0<售誓N等卜㈣2,所以黠翳,即厘2

所以b=8"—9<8*9一9=0.综上，a>0>b.

［方法二］:【最优解】（构造函数）

由9m=10,可得机=log910w(1,1.5).

根据a，b的形式构造函数,f(x)=x"'-x-\(x>1),则f\x)=nLxmi-1,

令/"(x)=。，解得/=,由〃7=1。%10£(1,1.5)知与)£(0,1).

/(X)在(1,+00)上单调递增，所以/(10)>/(8),即a>b,

又因为/⑼=9i°-10=(),所以4〉0)人.

故选：A

【点评】法—：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用,属于通性通法：

法二:利用。力的形式构造函数/*)=/”'-根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解.

3.已知函数〃力的定义域为R,且/(x+1)为奇函数，当“<1时，/(x)=e=e,则关于〃的不等式/(/"。的

解集为()

A.[—1,2]B.[-2,1]

C.(^o,-l]u[2,+<x>)D.(^o,-2]U[h+°o)

【答案】C

【解析】由函数奇偶性与图象变换，可得函数的对称性，根据题意可得函数的单调性，化简不等式，结合一元二次不

等式的解法，可得答案.

依题意，因为“工+1)为奇函数，所以函数/(X)的图像关于(1,。)对称，

又当X<1时，/(x)=eA-e,易知函数f(x)在(-8,1)上单调递增,

所以当xNl时，函数/")在。,内)上些调递增，

又/⑴=0,可知/(力在R上单调递增，

所以/(/一。一1"0可化为/(/“一]”/⑴，

H|Ja2-a-\>\，即"—〃—2之0,角牟得。<一1或。22,

所以不等式的解集为(TO,-1卜[2,行).

故选：C

4.已知。>0,力>0,则,+二+A的最小值为()

a4Z?-

A.4拉B.2夜C.4D.2

【答案】D

【解析】利用基本不等式即得.

因为,

所以工+义+622」工•二+b=b+Lz2」b」=2,

aMrNa4h2bVb

当且仅当1=*,且力=:,即a=2工=1时，取等号,

a4b-b

所以的最小值为2.

a4/7-

故选：D.

5.已知函数f（x）=lnx+x-L若/（〃）+/（〃）=。，则/+好的最小值为（）

X

A.1B.2c.V5D.2夜

【答案】B

【解析】由题意可得/（：）=-/（〃），结合函数的单调性可得〃=[,进而可求/+〃的最小值.

函数/（犬）=11】工+工一’的定义域为（0，+绐），

X

可得函数〃x）=lnx+x-,在（O,+e）上单调递增,

X

]n-+--^=-\nh-b+-=-\\nb+b--

又/=-/(〃)

bb1b-b9

h

由〃a）+/S）=O,得/（。）=一/（〃）=/（£|，

因为函数/（力在（。,y）上单调递增，所以〃=1,所以他=1,

b

所以/+从之2ab=2,当且仅当a=b=1时取等号，

所以/+lr的最小值为2.

故选:B.

6.若不等式（3皿-9）。一）20在xeR上恒成立，且。>0,b>0,则2的最小值为（）

3579

A.-B.-C.-D.一

2222

【答案】D

【解析】根据指数函数的单调性结合题意分析解不等式得2〃+。=2,再利用基本不等式常数代换的方法即可求解.

3v+2fl-9>0_.3v+2fl-9<0

由（3*3_9）（X一3之0,得・u4V彳

x-b>0x-b<0

x>2-2ax<2-2a

由y=3'为增函数，解得《x>b或

x<b

当2-2a>b时，则有或x22-2m

则存在》<x<2-2〃，使得不等式（3皿-9）红-。）<0,不符合;

当2-2〃<b时，则有xW2-24/或不之〃，

则存在2-27cxv。，使得不等式（3皿一9）"-。）<0,不符合;

当2-2。=力时，则不等式解为R即不等式（3皿—9）（x-b）NO在xwR上恒成立,

因此2—%=Z?,BP2a+b=2.

因为。>0,b>0,

…2I1(2I",、I(2a2〃八a〃5c59

所以_+1=彳_+1.(2a+9=T—+—+5=-+-+->2+-=-,

ab2\ab)2、baJba222

当且仅当2=2,即4==]时取等号.

ab3

故选：D

7.已知a,〃eR,〃为a和2的等差中项，则竽十城的最小值为（）

1，

A.—B.2C.~D.一

323

【答案】D

【解析】根据条件得到。=2-2,从而有3"+/=#'+城，再利月基本不等式，即可求解.

由题知2b=。+2,得到a=2/?-2,

所以3"+]=32~+1=91+1='炉+[22，]=2,

炉969〃99"V93

当且仅当上9:3,即〃=；,〃=-1时，取等号.

故选：D.

14

8.在公差不为0的等差数列｛%｝中，若内是七与4的等差中项，则（+]的最小值为（）

A.3B-C.9D.2

2355

【答案】A

IA1（ATAjr

【解析】由已知可得x+y=6,再根据一+—=工5+上+一,利用基本不等式即可求解.

xy6（xy）

因为在公差不为。的等差数列｛q｝中，的是/与%.的等差中项,

所以2田=%+%,所以x+y=6,

「「、J41/641Iayy4x3

所以_+_=Z(x+y)—+—=-5+二+—>-5+n2-------=-,

xy6y)6kx)，J6('xyJ2

当且仅当2=如，即x=2,)，=4时等号成立，

xy

所以一1+一4的最小值为3?.

xy2

故选：A.

9.若不等式x(x+，)ln(x+a)2O恒成立，则〃的取值集合为()

A.{1}B.(0,1]C.-JD.[1,-Ko)

e

【答案】A

【解析】利用换元法，把原不等式转化为之0恒成立问题，再分Ovivl,/-I,讨论即可.

设x+4=1,贝Z>0.

原不等式可化为：(r-4?)/ln/>0.

因为/>0,所以(/一〃)11】/20,/>0.

当0</<1时，lnr<(),所以/-。工0在/£(0,1)恒成立，所以。21；

当/=1时，hw=0,所以("a)lnd0成立；

当/>1时，ln/>0,所以，-々之0在，日：1,E)上恒成立，所以々K1.

综上可得：a=\.

故选：A

10.已知非零实数“〉》，则下列命题中成立的是().

A.a2>bzB.ah>b2C.a2+bz>2\fabD.£>b'

【答案】D

【解析】利用赋值法即可判断A,B,C,根据函数的单调性即可判断D.

由已知当。=2,b=Y,所以故A错误；

因为当力<()时，所以故B错误；

当非零实数〃，〃一正一负时，而无意义，故C错误；

因为y=V在R上单调递增，且

所以故D正确.

故选：D.

二、多选题

11.已知为正实数，ab+a+2b=14,则下列说法正确的是()

〃6

A.a+b<2\B.-——的最小值为-1

b+\

C.。+48的最小值为12D.的最小值为:

a+2b+\2

【答案】ABD

【解析】根据题意，化简得到3+2)(〃+1)=16,令x=a+2,y=>+l,得至|J1+3—3,结合函数/("=x+3单

XX

调性，可判定A正确；由〃+1二」二，得至IJf="-4'-巴结合二次函数的性质，可得判定B正确；化简

a+2。+116

〃+45=x+4y-6,利用基本不等式，可得判定C不正确：由(。+2)3+1)=16,得到」_+_!_2入/」———,可

a+2b+\\a+2b+\

判定D正确.

由ab+a+2/?=14,可得(a+2)(〃+l)=16,

对于A中，令x=〃+2,y=。+1,则a=x-2,/?=y-1且冷，=16,

可得2<x<16,则a+〃=x+y-3=x+—-3,

x

因为函数/(1)=工+3在(2,4］上单调递减，在乩⑹上单调递增，

.I

可得/(入)</(16)=17,所以.十〃=x+)，-3<14,所以A正确；

对于B中，由3+2)S+l)=16,可得力+1=其，

4+2

....a-6,八a+2a2-4a-\2(a-2)2-16

b+\161616

当且仅当。=2时，二取得最小值-1,所以B正确；

b+\

对于C中，由i7+4/?=(x-2)+4(y-l)=x+4y-6>2A/x-4y-6=10,

当且仅当％=4），时，即x=8.），=2时，卬a=6*=1时，等号成立，所以C不正确;

对于D中,由(a+2)S+l)=16,

当且仅当白=击时,即由2斥3时,等号成立,

所以总+£的最小值为?所以口正确・

故选：ABD.

12.已知贝I］（）

aa-Inc

A.c。>小B.b(>ac->-----D.b+—>a+—

hb-\ncb

【答案】ABD

【解析】由指数函数），=c'单调性可判断A项，由第函数y=V单调性可判断B项，运用作差法及对数函数性质可判

断C项，运用作差法及不等式性质可判断D项.

对于A项，因为y=c'（Ovc＜l）是减速数，而〃＞。，所以c"＞d,故A项正确；

对于B项，因为y=/（（）〈cvl）在（0,y）上单调递增，而〃＞。＞0,所以3〉故B项正确;

对于c项aa-,\nc=（人一a）lnc因为…'般＜°'八所以^T°八,即a六a-中Inc,故C项错误;

对于D项，回斗/小（，因为人一。＞0,而一c＞0,而＞0,所以修一"）（办一°）＞0,即〃+：＞“+£,

\b）\a）ababba

故D项正确.

故选：ABD.

13.若正实数〃满足。+。=1,则()

A.&+后的最大值是&B.L+?的最小值是9

ab

93

C.(1+。)(1+〃)的最大值是？D./+抄2的最小值是彳

44

【答案】ABC

【解析】利用基本不等式求积的最大值判断AC；利用“1”的妙用求出最小值判断B；消元利用二次函数求出最小值判

断D.

对Jy/a+4b=\]a+b+2y/ab<y]a-\-b+{a+b)=y/l»当且仅当。=b=5时取等号,A正确；

对于B,—+—=(a+b)(—+—)=5+—+—>5+2./—•—=9,当且仅当〃=2a=]时取等号，B正确：

abababV«b3

对于C,(l+a)(l+()4J+"：i)2=3,当且仅当42时取等号，C正确；

242

I22

对于D,a=\-b,O<b<\,则/+26=(1-⑦2+力2=3〃-26+1=33-一产+一)一,

333

当且仅当。=g时取等号，D错误.

故选：ABC

14.若InoAlM.ctR,则下列说法正确的是()

Ac2c2bb+c

A.—<—B.-<---

abaa+c

C.a3>byD.a\x\a>b\nb

【答案】AC

【解析】先由对数函数的单调性得。>〃>0,利用作差法即可判断AB,构造函数/(x)=d即可判断c,构造函数

g(x)=x\nx,利用导数研究单调性即可判断D.

因为y=lnx在(0,+。)为增函数，由lna>ln〃有4>人>0,b-a<0

对于A：由U-fL强©,因为。220,所以1一/一。)《0一:4力,故A正确；

ababababab

bb+cc(b—ci\bb+cc(b—ci\hbtc

对于B：由-------二=一(，当c、<0,a+c>0时，--------=-)(>0,即把二故B错误；

aa+ca(a+c)aa+ca(a^c)aa+c

对于C：令〃x)=V,可知/(x)在R上单调递增，由a>h>0有/>人故c正确；

对于D：令g(x)=xlnx,则g[x)=l+hix,由g'(x)>0有g")<0有0<x<L

ee

所以g(x)在(o,g上单调递减，在g,+8)上单调递增，

所以当方时，g(a)>g(Z?)=〃lna>Z?ln。，

当0<力<4<，时，^(a)<g(b)^>a\na<b\nb,故D错误.

C

故选：AC.

三、填空题

15.命题〃:“3xe[-l,3],V—2x-机£0”是假命题，则〃?的取值范围是.

【答案】(f,T)

【解析】根据题意，f为直命题，恒成立问题分离参数求解.

由题,r?:Dxw[T3],x2-2x-〃?>0为真命题，

所以〃?<%2-2X,对xw[-1,3],

又y=f-2x在％+1,3]上的最小值为一1,

所以实数机的取值范围为(e,T).

故答案为：(t^L1).

16.在VA3c中，E为AC上一点，且焉=4亚，P为BE上一点、,且满足人户=〃*豆+〃人3(〃〉。，〃>。)，则‘最