高一数学：空间点、直线、平面之间的位置关系

8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系

课标要求借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，

抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.

【引入】前面我们认识了空间中点、直线、平面之间的一些位置关系，如点在平

面内、直线在平面内、两个平面相交等等.空间中点、直线、平面之间还有其他位

置关系吗？本节课我们一起探究一下吧！

一、空间中直线与直线的位置关系

探究1我们知道在同一平面内两条直线有相交和平行两种位置，那么在空间中，

两条直线是不是也只有相交和平行呢？

提示观察如图所示的长方体A8C3—9的棱AB与棱CC所在的直线，可

以发现直线48和直线既不相交，又不平行.

【知识梳理】

I.异面直线

(1)定义：不同在任何二公平面内的两条直线.

(2)异面直线的画法

(3)异面直线的判定方法

不同在任何一个平面内的两条

既不平行,也丕相交的两条直线

2.空间两条直线的位置关系

位置关系特点

相交同一平面内，有且只有一个公共点

平行同一平面内，没有公共点

不同在任何一个平面内,没有公共

异面直线

点

温馨提示（1）在不同平面内的两条直线不一定异面：（2）没有公共点的两条直线平

行或异面.

例1（链接教材P131练习T2）（多选）如图，在正方体A3CQ—A向CQ中，M,

N分别为梭CiU,GC的中点，则以下四个结论中，正确的有（）

A.直线AM与CG是相交直线

B.直线BN与MB\是异面直线

C.AM与BN平行

D.直线与BN共面

答案BD

解析根据异面直线的定义可以判断直线AM与CG、直线B/V与MB、直线AM

与8N都是异面直线，因此选项A,C不正确，选项B正确.

因为M,N分别为棱GOi,GC的中点，所以MN〃/）iC,

由正方体的性质可知A\D\=BC,

所以四边形4OC8是平行四边形，

因此。C〃Ai从所以山，

因此M,N,Ai,B四点共面，

所以直线4M与8N共面，因此选项D正确.

思维升华判断空间两条直线位置关系的诀窍

（1）建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异

面直线.

（2）重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关

系.

训练1（链接教材P131练习Tl（2））（多选）若。和力是异面直线，方和c,是异面直

线，则。和c,的位置关系可能是（）

A.平行B.相交C.异面D.重合

答案ABC

解析如图，在长方体ABCO-AECO中，ATT所在直线为所在直线为b,

已知。和是异面直线，匕和c是异面直线,

AT>B

则c可以是长方体ABCD—中的BC,DD',CC,

故。和c•可以平行、相交或异面.

二、空间中直线与平面的位置关系

探究2一支笔所在的直线与桌面所在的平面有哪些位置关系呢？它们的公共点

分别有几个?

提示（1）直线在平面内——有无数个公共点.

⑵直线与平面相交——有且只有一个公共点.

（3）直线与平面平行——没有公共点.

【知识梳理】

空间中直线与平面的位置关系

位置关系定义图形语言符号语言

直线在平面

有无数个公共点巨aua

内

直线与平面有且只有二±公

相交共点

直线与平面

没有公共点a〃a

平行

温馨提示直线。在平面a外包括两种情形：与aCa=A

例2（链接教材PI32T4）⑴若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是（）

A.直线上所有的点都在平面外

B.直线上有无数多个点都在平面外

C.直线上有无数多个点都在平面内

D.直线上至少有一个点在平面内

（2）下列命题中正确的个数是（）

①如果小是两条直线，a//b,那么〃平行于经过人的任何一个平面；

②如果直线a和平面a满足a//a,那么a与平面a内的任何一条直线平行；

③如果直线a,和平面a满足a//a,Mc,那么

A.OB.l

C.2D.3

答案（1）B（2）B

解析（1）直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在

平面外.

⑵可借助正方体来判断.

如图，在正方体ABCD—AbC。中，AAV/BB^AV在过瓦T的平面AB87V内，故

命题①不正确；

4V〃平面BCCb,3Cu平面BCCB,但A4不平行于5C,故命题②不正确；

假设〃与。相交，因为。〃仇所以。与a相交，这与a〃a矛盾，又改。，所以

b//a,即命题③正确.

思维升华在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽

遗漏.另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具

体的空间图形中，以便于作出正确判断，避免凭空臆断.

训练2（多选）若m匕表示直线，。表示平面，则以下命题中假命题是（）

A.若bua,则〃〃a

B.若〃〃a,b//a,则〃〃/?

C.若a〃b,b//at贝Ua〃a

D.若o〃G,bua,则q〃力或〃与人异面

答案ABC

解析可借助正方体来判断.

如图，在正方体ABCO-AiSGOi中，

A\B\//ABtA8u平面平面故A错误；

A山i〃平面ABC。,8cl〃平面48CZ),

但与31G相交，故B错误；

AR//CD,CQ〃平面ARAiAi,AAu平面4/?办4,故C错误；

因为。〃a,所以。与。无公共点，

又/)在a内，所以。与。无公共点，

所以。〃/?或。与Z?异面.

三、空间中平面与平面的位置关系

探究3拿出一本书看作一个平面，随意上下、左右移动和翻转，它和桌面所在平

面的位置关系有儿种？有什么特点？

提示有两种：平行、相交.

特点：两个平面平行时，两者没有公共点；两个平面相交时，两者有一条公共直

线.

【知识梳理】

空间中平面与平面的位置关系

位置关系图形表示符号表小公共点

两个平面没有公

%/g//e

平行A___/共点

两个平面有一条公

aCB=l

相交共直线

温馨提示画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对

应边平行.

例3（多选）以下四个命题中，正确的有（）

A.在平面。内有两条直线和平面夕平行，那么这两个平面平行

B.在平面。内有无数条直线与平面夕平行，那么这两个平面平行

C.平面a内AABC的三个顶点在平面少的同一侧且到平面/?的距离相等且不为0,

那么这两个平面平行

D.平面。内有无数个点到平面£的距离相等且不为0,那么这两个平面平行或相

交

答案CD

解析当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行

另一个平面，所以AB错误，CD正确.

思维升华1.平面与平面的位置关系的判断方法：

（1）平面与平面相交的判断，主要以基本事实3为依据找出一个交点.

（2）平面与平面平行的判断，主要说明两个平面没有公共点.

2.常见平面与平面平行的几何模型

（1）棱柱（台卜圆柱（台）的上下底面；（2）长方体中三组相对的面平行.

训练3如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平

面的位置关系一定是（）

A.平行B.相交

C.平行或相交D.垂直

答案C

解析根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系.

如图所示.

言纷

【课堂达标】

1.若空间两条直线。和〃没有公共点，则a与b的位置关系是（）

A.共面B.平行

C.异面D.平行或异面

答案D

解析若直线。和b共面，则由题意可知”〃b；

若。和力不共面，则由题意可知。与〃是异面直线.

2.若平面。〃平面彼，直线。ua,点。£.，则夕内过点B的所有直线中（）

A.不一定存在与。平行的直线

B.只有两条与。平行的直线

C.存在无数条与。平行的直线

D.存在唯一一条与a平行的直线

答案D

解析在£中存在无数条与。平行的直线，但是过点8且在£内的与。平行的直

线只有一条.

3.分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是（）

A.相交B.异面

C.异面或相交D.平行

答案C

解析分两类进行讨论.

（1）若两条直线与两异直直线的交点有4个，如

图①，直线人6与界面直线a,〃分别相交于点人B,直线8与界面直线a,b

分别相交于点C,D,那么A,B,C,。四点不可能共面，否则与mb异面矛盾，

故直线A8与C。异面.

图①图②

⑵若两条直线与两异面直线的交点有3个，如图②，两条直线相交.

4.如图，在正方体ABCO-4BICIDI中，与A4异面的棱有条，正方体

ABCD-MB\C\D\的六个表面与六个对角面（平面AAiGC,平面ABC\D\,平面

AOGB,平面平面及平面4BCQ）所在的平面中，与棱

平行的平面有个.

答案43

解析与44异面的棱有CD,BC,CIDI,BiCi,共4条；

与AA平行的面有平面BCC阳，平面CGOi。，平面BBiEhO,共3个.

•课时精练，

一、基础巩固

1.若直线/不平行于平面a,且应%则下列结论成立的是()

A.a内的所有直线与/是异面直线

B.a内的所有直线与/都相交

C.a内存在唯一一条直线与/相交

D.a内存在无数条直线与/相交

答案D

解析由直线/不平行于平面a,且应。，故直线/Aa=A,如图所示;

平面内过点A的直线均与直线/相交，

故a内存在无数条直线与/相交，故D正确，C错误；

平面内不过点A的直线均与直线/异面，故A,B错误.

2.棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是

()

A.平行B.相交

C.平行或相交D.不相交

答案B

解析因为棱台的侧棱延长后交于一点，

所以侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是相交.

3.如图，在直三棱柱ABC-Ai^Ci的楼所在的直线中，与直线8G异面的直线有

()

A.1条B.2条

C.3条D.4条

答案C

解析在直三棱柱ABC-AiBiCi的棱所在的直线中，与直线BCi异面的直线有

,AC,AAi,共3条.

4.直线。与直线8相交，直线C也与直线〃相交，则直线Q与直线。的位置关系

是（）

A.相交B.平行C.异面D.以上都有可能

答案D

解析可借助长方体来判断.

如图所示，在长方体ABS—AIBIGDI中,

与A4相交，与A4相交，AB//A\B\；

AO与A4相交，45与相交，A4与45相交；

4出与A4相交,A8与A4相交，A8与4出异面.

5.（多选）以下四个命题中正确的有（）

A.三个平面最多可以把空间分成八部分

B.若直线。u平面原直线bu平面6则“。与〃相交”与“。与夕相交”等价

C.若aA£=/,直线〃u平面a,直线Au平面£,且〃Ab=P,则尸£/

D.若〃条直线中任意两条共面，则它们共面

答案AC

解析对于A,正确;

对于B,逆推“。与夕相交”推不出“〃与人相交“，也可能。〃仇故B错误；

对于C,正确；

对于D,反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故D错

误.

6.若点A£a,阴明分%则平面ABC与平面G的位置关系是.

答案相交

解析,・,点阴口，。建。，

••・平面4BC与平面。有公共点，且不重合，

・・・平面43C与平面a的位置关系是相交.

7.下列命题：

①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；

②若/,"Z是异面直线，/〃a,〃z〃夕，则a〃夕.

其中错误命题的序号为.

答案①②

解析对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；

对于②，借助于正方体八58一人出GOi,八〃〃平面。〃平面A4QQ,

又48与囱Ci异面，而平面。CGOi与平面相交，故②错误.

8.平面a,4相交，在。内任取两点4,B,在4内任取两点C,D,且这四点都不

在交线上，则直线A8与直线CO的位置关系为.

答案相交或平行或异面

解析如图，设aCQ=/,

当AB〃l,CD〃/时，AB//CD.

当A8与/相交，CQ与/相交时，若交点相同，则直线48与CD相交;

若交点不同，则直线AB与C。异面.

9.如图所示，在长方体A8CO-A山iGQi中，直线Bi"与长方体的六个面之间的

位置关系如何？

AC.

解在平面AiCi内，31。］与平面6。，平面AB,平面A。］,平面8|都相

交，与平面AC平行.

10.如图，平面a,B，/满足a〃6，aOy=af/6y=b,判断〃与〃，〃与“的位

置关系并证明你的结论.

解a//b.。〃6.证明如下：

由aGy=a知〃ua且y,

由pC\y=b知Z;u£且方uy,

•・•〃〃£,aua,buS,：.at力无公共点.

又•.•QUy且buy,.\a//b.

*/〃〃尸，，。与£无公共点.

又aua,与p无公共点，

：.a//p.

二、综合运用

11.（多选）下列命题中的真命题是（）

A.若直线a不在平面a内，则a〃a

B.若直线/上有无数个点不在平面a内，则/〃。

C.若/〃a,则直线/与平面a内任何一条直线都没有公共点

D.平行于同一平面的两直线可以相交

答案CD

解析A中，直线。也可能与平面a相交，故A是假命题；

B中，直线/与平面a相交时，/上也有无数个点不在平面。内，故B是假命题；

C中，/〃a时，/与a没有公共点，所以/与。内任何一条直线都没有公共点，故

C是真命题；

D中，长方体A3CO-A1囱CIOI中，4cl与BQi都与平面ABC。平行，且

与田。相交，故D是真命题.

12.已知平面a〃平面从若P,。是a,0之间的两个点，贝ij()

A.过P,Q的平面一定与a,4都相交

B.过户，。有且仅有一个平面与a,4都平行

C.过P,。的平面不一定与a,4都平行

D.过P,。可作无数个平面与a,£都平行

答案C

解析当过P,Q的直线与平面出