高中数学 第六章 周末练4 章末检测试卷一

周末练4章末检测试卷一(第六章)

［时间：120分钟分值：150分］

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)

I.下列说法中正确的是()

A.|而卜与线段BA的长度不相等

B.对任一向量”，⑷>0总是成立的

C.\AB\=\BA\

D.若a〃b,且⑷=1014,|例=1010,则|°+回=2024

答案C

解析|而|,|瓦均与线段BA的长度相等，所以A不正确，C正确；

|0|=0,对任一向量m⑷2。总成立，所以B不正确；

当m力方向相反时，|°+"=4,所以D不正确.

2.设x,向量。=(内，1)»5=(1,y)>c=(2,-4)且a_Lc,b〃c、贝U|a+司等于()

A.5B.2V5C.710D.10

答案C

解析因为向量。=(x,1),b=(l,y)fc=(2,-4)且。_Lc,b//ct

所以2x-4=0=>x=2,1X(-4)-2y=0=>.y=-2,

从而a+力=(2,1)+(1,-2)=(3,-1),

因it\a+b\=y/32+(-l)2=x/10.

3.已知a,力是两个不共线的向量，设而二日(0+5方)，BC=-2a+Sb,诙=3(〃/),则共线的三点是()

A.A,B,DB.A,B,C

C8C,DD.A,C,D

答案A

解析,:而=前+而=a+5b,

・••说二?前，又•・•荏，前有公共点B,

B,。三点共线.

4.在948co中，点E满足反二-2厘，且。是边A8的中点.若交。。于点M,且祠与而+〃而，贝"+"

等于()

A.-B.-C.-D.-

2734

答案B

解析如图，由屁=-2方知E为。C上靠近点C的三等分点，在%8c。中，

D,E

M

AOB

因为△AOMsZkMM,所以簿器嗡宅小

3

所以而二部弓（AD+DE）

=-（AD+-DC）=-AD+-AB.

7k3）17

因为4“=248+〃710,所以A+/z=-.

5.已知△ABC的内角4,B,C的对边分别为小b,c,060。，a+2b=8,sinA=6sinB,则c•等于（）

A.V35B.V31C.6D.5

答案B

解析在△A8C中，sinA=6sinB,

由正弦定理得a=6b,

a+2b=8,

由解得｛a=6,

、a=6b,b=1.

由余弦定理，得。2=。2+〃-2。/木。SC

=36+1-2X6X1xi=31,故c=V5T.

2

6.一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40。的方向直线航行，30分钟后到达B处.在。处

有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔在其南偏东70。方向，在B处观察灯塔在其北偏东65。方向，那么8,C

两点间的距离是（

A.IOV5海里B.IO让■海里

C.20YG海里D.20V2海里

答案B

解析根据已知条件可知，在△ABC中，48=20海里，N84C=30。，NA8G105。，所以C=45。，由正弦定

理得8C_2°

Rsin30°-sin45°，

所以8。=警=10四（海里）.

~2

7.已知△A3C的三边长分别是6，VF,Vc,若/+从=d，则△ABC的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.以上都有可能

答案A

解析由a2+Z?2=c2,可知c>a且c>b,

则在8c中，边，E所对的角为最大角，其余弦值为（历）2；嘤：（©号等,

2yja-yjb27ab

又・・・/+/二寸,：.（a+b）2=c2+2ab>（r,

/.a+b>Cy故边VE对应的角为锐角.

/.△A6C为锐角三角形.

8.如图所示，半圆的直径A8=4,。为圆心，C是半圆上不同于A,3的任意一点，若P为半径0C上的动

点，则（同+而）•定的最小值是（）

A（）B

A.2B.OC.-lD.-2

答案D

解析由平行四边形法则得阴+方=2而，故（可+丽）.玩=2而•正，\PC\=2-\P0\t且对，玩方向相反，设

|而曰（0WW2）,贝《（对+方）定=2丽・正=2（2-。=2（52户2[（/-1尸-1].因为0^^2,所以当/=1时，

（万J+丽）•正取得最小值，最小值为-2.

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错

的得0分）

9.ZXABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是（）

A.若A>B,则sinA>sinB

B.若A=30。,b=4,a=3,则△ABC有两解

C.若△ABC为钝角三角形，则

D.若A=60。，a=2,则△43C面积的最大值为百

答案ABD

解析对于A选项，若A>8,则心6,由正弦定理可得号■二，^,所以sin4>sin从故A正确；

sin/ls\nB

对于B选项，bsinA=4sin30°=2,bsinA<a<b,所以△ABC有两解，故B正确；

对于C选项，当△48。为钝角三隹形，且C为钝角时，cos丁<0,可得〃+加《2,若C不为钝

角，则得不到冉从<已故C错误；

对于D选项，由余弦定理与基本不等式可得4=6*=〃2+。2-2次xos4=〃+（:2-力（?22次>儿=加，即加W4,当且仅

当k*=2时，等号成立，所以S△八£c=；bcsin4二与故D工确.

24

10.下列关于平面向量的说法正确的是（）

A.已知°,力均为非零向量，若。〃儿则存在唯一的实数九使得。二劝

B.己如非零向量。二（1,2）,b=（l,1）,且。与a+曲的夹角为锐角，则实数2的取值范围是（-『+8）

C.若ac=bc旦c#0,则a=b

D.若点G为△A8C的重心，则褊+而+沅=0

答案AD

解析对于选项A,由向量共线定理知选项A正确；

对于选项B,。+劝=（1,2）+2（1,1）=（1+2,2+2）,

若a与a+2b的夹角为锐角，

贝Ua(a+Ab)=1+2+2(2+2)=5+3z>0,

解得A1，

当Q与。+助共线时，2+2=2(1+x),

解得解0,

此时a=(l,2),a+Xb=(1,2),

此时。与。+肪的夹角为0,不符合题意，所以实数;I的取值范围是(一|,0)U(0,+8),选项B错误;

对于选项C,若0C="c,

则c(a-b)=0,

因为cWO,则a二方或c与垂直，选项C错误；

对于选项D,若点G为Z\A3C的重心，延长4G与3C交于点M,则M为〃。的中点，

所^AG=2GM=2X；(GB+GC)=GB+GC,

所以府+而+沅=0,选项D正确.

11.设点例是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是()

A.若而?2•而+二万，则点M是△A8C的重心

33

B.若丽=2而-而，则点M在边8c的延长线上

C.若2而?二工宿十)前，且工十)=1,则6c的面积是4A6c面积的;

D.已知平面向量，满足两.丽二加.祝，祠儡+筏J且点M与点4不重合，则△AEC为等腰三角

形

答案ACD

解析对于A,如图，设BC的中点为O,AB+lAC=^(AB+AC)=^X2^D=|AD,则点M是△ABC

•5«5*5«3

的重心，故A正确；

对于B,^AM=2AB-AC,即有HV-而三通3?,即两二而，则点M在边C8的延长线上，故B错误;

对于C,如图，若2万7f而+yU,且x+y=1,

由图可得M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的《故C正确；

A

对于D,因为福•丽=祝5.就，所以拓?.（拓？+而户碗•（而5+彳?），

即拓i.送拓?.觉，

所以|砺（||万|・cos/朋M

二研国cos/CAM,

因为4M=2（啬+焉），所以点M在N84。的角平分线上，所以N84M=NCAM,

所以cosZBAM=cosZCAM,

所以|而|二|前所以aABC为等腰三角形，

故D正确.

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.己知向量a,b满足步|=5,|a+b|=4,\a-b\=6,则向量。在向量力上的投影向量为.

答案-多

解析由题意可得（。+㈤2=16,（0-加2=36,

即岛斤+2«6=16,a2+b2-2ab=36,

两式相减可得。•力=-5,又向二5,

得同cos〈0,b）=-l,

则向量。在向量力上的投影向量为|a|cos〈a,〃〉亮二・1*，二争.

13.在等腰梯形ABCO中，已知4B〃DC,48=2,BC=1,NABC=60。.点E和f分别在线段8c•和0c上,

且说上前,DF=-DC,则荏•而的值为.

答案15

解析作CO_LAB于点。，建立如图所示的平面直角坐标系，

则A（-.0）,B&0）,C（0,?）,。（一1,f）,

所以Eg专,代号,

所以於G，令格白丹

所以荏.格G，争&今色汽

14.如图，为测塔高PA,在塔底所在的水平面内取一点C,测得塔顶的仰角为0,由。向塔前进30米后到

点，测得塔顶的仰角为2仇再由。向塔前进1。旧米后到点上，测得塔顶的仰角为4仇则族

塔高为米.

答案15

解析由题意，得/CPD=/EDP-/DCP=28-0=9,

NDPE=/AEP-NEDP=40-20=20,

：,PD=CD=30,PE=DE=10a.

在△2/圮中，由余弦定理的推论，得

PD2+DE2-PE2

cos

2g2P»DE

302+JO百A。。回2—立

2x30x10x/3-2

/.26>=-,：・0=上,42,

b123

Vsin4心雅,

二•PA二PEsin4%。百X*15,

故塔高为15米.

四、解答题(本题共5小题，共77分)

15.(13分)已知。，b,。是同一平面内的三个向量，其中。:(1,2).

(1)若c=(2,2),且c〃a,求|c|；(6分)

(2)若b=(l,1),且〃仆力与2as垂直，求实数阳的值.(7分)

解(1)因为c〃a,。=(1,2),c=(2,x),

所以2X2/>0=0,解得)=4,即c=(2,4),

所以|c|二，22+42=26.

(2)因为环(1,2),Ml，1)，

所以ma-b=(m-1,2m-1),2a-b=(1,3).

因为ma-b与2a-b垂直,

所以力)<2。-力)=0,

即(〃z-1)X1+(2〃»1)X3=0,解得〃7=*

16.(15分)某货船在航行中遭海盗袭击，发出求救信号.如图，海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船

在方位角为45。，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105。的方向，以10海里州的速度向前

行驶，海军护航舰立即以108海旦心1■的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的E寸间.

北

105°

解设所需时间为1小时，

则8c=101,止1075f.

在△ABC中，ZACT=45°+(180°-105°)=120°,

根据余弦定理，

得AgAC?+3c2_2AC必ccosNACK,

可得(10V3/)2=102+(10/)2-2XIOXIO/Xcos120°,

整理得2人卜1=0,

解得XI或得(舍去).

故护航舰需1小时靠近货船.

此时A8=10h，6c=10,

又4C=1O,所以NC44=300,

所以护航舰航行的方位角为75。.

17.(15分)如图，在四边形ABC。中，已知N4OC=75。，AD=5,AB=7,ZBDA=60°,ZBC£>=135°.

/)

（1）求〃D的长；（7分）

⑵求CD的长.（8分）

解⑴在△ABO中，AD=5,AB=7f

N804=60。，

由余弦定理可得，AB2=AD2+BD2-2ADBDCOSZBDA,

即49=25+5-2X58。cos600,

贝ijBZ）2-5fiD-24=0,

解得BD=8（BD=-3舍去）.

（2）在中，ZBDC=ZADC-ZBDA=75°-60°=15°,

又NBCD=135。,

则ZCBD=180°-135°-15°=30°.

由（1）碑8。=8,由正弦定理得

CD_BD

sinz.CBDsinz/?CD,

即C"一8

sin30°sinl350,

解得CD=4&.

18.（17分）（2024•新课标全国I）记ZSABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sineScos8,

cr+lr-（r=\f2ab.

⑴求B；（8分）

（2）若ZVIBC的面积为3+V3,求c.（9分）

解⑴由余弦定理有a2+h2-c2=2ahcosC,

222

因为a+b-c=V2abt

所以cosC=y,

因为Ce（0,兀），所以sinOO,

从而sinC=V1-cos2C=J1-（今=y,

又因为sinC=V2cosB,

即cosB=

2

又8£（0,兀），所以

J

⑵由⑴可得cosC=^tce（o.兀）.

从而sinA=sin（B+O=sin（g+：）

_\/3*&*V2_V6+V2

-2222-4

方法一由正弦定理有当二

sin-sin-

34

从而b卷■城c=^c,