高考数学 立体几何 空间角的计算 （学生版）

向量法求空间角与距离

激活思维

1.（教材经典题）在直三棱柱481G—44c中，NBCA=90。,小，Q分别是

4Bi，小G的中点，BC=CA=CCi，则与力力所成角的余弦值是（）

、氏1

A.--B.-

102

\/30\/15

C.--D.--

1510

2.在正方体48CO一小丛。。］中，E是小8］的中点，则直线。G与平面/CE

所成角的正弦侑为（）

A3本

66

CDX

33

3.（教材经典题）如图，△/出。和△O8C所在平面垂直，且48=8C=8Q,

NCB4=NDBC=120。,则直线4。与直线6c所成角的大小为；直

线AD与平面BCD所成角的大小为:平面ABD和平面BDC的夹

角的余弦值为.

4.（教材经典题）在棱长为1的正方体力3C。一小中，E为线段小片

的中点,R为线段48的中点，则点B到直线AC｛的距离为；直线FC

到平面AEC,的距离为.

龙考檄号

聚焦知识

1.两条异面直线所成角的求法

设a，b分别是两条异面直线小，2的方向向量.

乙与，2所成的角。。与b的夹角B

(。，引

范围(0,九)

a•b

求法cos0=-----cos8=----

⑷步1⑷步1

2.直线与平面所成角的求法

设直线/的方向向量为小平面a的法向量为〃，直线/与平面a所成的角

\a•n\

为仇a与〃的夹角为“，则sin9=|cos4|=-----.

同川

3.平面与平面的夹角的求法

如图，平面。与平面夕相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大

于90。的二面角称为平面。与平面口的夹角.若平面a,夕的法向量分别是川和

〃2,则平面a与平面£的夹角即为向量用和〃2的夹角或其补角.设平面。与平

1/)1•/12|

面用的夹角为0,则cos0=|cos(〃],〃2〉1=------

|/11|/12|

4.点尸到直线/的距离

如图，己知直线/的单位方向向量为〃，力是直线/上的定点，P是直线/外

一点，设向量4尸=a，则向量NP在直线/上的投影向量为・〃)〃，点0到

直线I的距离为PQ=.

A

龙考檄等

~~5.点面距的求法

如图，设48为平面。的一条斜线段，〃为平面。的法向量，则点8到平面

\AB•n\

a的距离d=-----

1川

R

说明：线面距和面面距可转化成点面距求解.

第1课时空间角的计算

题型突破思维拓展

▲

目标11线线角

例1(2025•新高考I卷改)如图，在四棱锥产一/3CZ)中，P/_L平面

ABCD,ABX.AD.BC//AD.

(1)求证：平面P/8_L平面P4)；

(2)设产力=48=短，BC=2,/Z)=1+，L。是△BCD的外心，求直线4C

与。。所成角的余弦值.

，总结提炼A

向量法求异面直线所成角的步骤

(1)选好基底或建立空间直角坐标系；

(2)求出两直线的方向向量必，v2；

\V\•V2\

⑶代入公式|cos〈01,%〉1=----------求解.

口1陋|

龙考檄号

变式1(2025•枣庄期末节选)如图，在三棱锥P—44C中，平面44，平

面48C,AB=2、h,BC=2,AC=4fZ\P48是等腰直角三角形，PA=PB.

(1)求证：尸/_!_平面尸BC；

(2)求异面直线PB与力C所成角的余弦值.

目帧同线面角

例2(2026•青岛期初)如图，在四棱锥尸一/8C。中，底面48C。为矩形,

M为4D中点,F为AC,8"的交点，点G在PC上，且8=2讪.直线PB,

尸Q与平面力8C。所成的角分别为/尸84,ZPDA.

(1)求证：产力_L平面月3C。；

(2)若tanNPA4=27G,tanNPD4=、/L求直线MG与平面PCO所成角

的正弦值.

，总结提炼A

向量法求线面角，可利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角刻画，但要

注意此夹角的余弦的绝对值等于线面角的正弦值，线面前不超过90°.

龙考檄号

变式2(2025•萍乡二模)如图，在几何体N8CQE/中，四边形力8CZ)与

BDEF均为菱形,FA=FC,且N£U4=NO8/=60。.

(1)求证：平面18COJ_平面8。斯；

一一A/30

⑵设点尸满足8P=加"1>0),直线4E与平面4PC所成角的正弦值为2^-，

求实数/的值.

目标目二面角

例3(2025•新高考II卷)如图，在四边形/8CQ中，AB//CD,ZDAB=

90°,/为CO的中点，点石在48上，EF//AD,AB=3AD,CD=2AD,将西边

形沿E/翻折至四边形A1,使得平面£7吟'A'与平面EFC8所

成的二面角为60。.

D'

衣——-------

(1)求证：A'4〃平面CD'F；

(2)求平面BCD'与平面A1所成二面角的正弦值.

，总结提炼A

向量法求二面角，可通过两个平面的法向量的夹角来刻画，但要注意结合实

常考撤号

际图形判断所求角是锐角还是钝角.关注建系的合理选择，不同的建系带来的运

算繁简程度不同.

变式3（2025•烟台、东营一模汝I图，点。在以18为直径的半圆的圆周

上，N48C=60。，且B产，平面/8C,AB=2BP=4,CD=X&（0<A<\）.

（1）求证：ACLBD；

A/6

⑵当2为何值时，平面4CP与平面49。夹角的余弦值为二?

8

配套精练

一、单项选择题

1.在三棱锥P—44C中，PA,PB,PC两两垂直，且PA=PB=PC,M,N

分别为力C,45的中点，则异面直线尸N和8M所成角的余弦值为（）

AR小

36

\/67%

C•----D•---

36

2.（2026・福州一测）在正三棱柱48C—481cl中,AB=AA],则直线力与与

平面BCCB所成角的正弦值为（）

A、拓B

42

A/TOVB

C.------D.-----

45

3.如图，已知。为菱形48C。所在平面外一点，且/M_L平面48C。，PA=

AD=AC,/为PC的中点，则二面角。一8/一。的正切值为（）

龙考檄号

BC

AR

64

24

C•D♦-------

33

4.如图，已知43是圆柱底面圆的一条直径,OP是圆柱的一条母线，C为

底面圆上的一点，且幺。/08,OP=AB=^OA,则直线PC与平面4B所成

角的正弦值为（）

由

》义卜号

A--f--B

C

\/7ov'5

A.--B.—

105

13

C.—D.-

104

二、多项选择题

5.如图，已知正方体力8c。一小8C0］的梭长为1,则下列说法正确的是

)

A.直线AD｛与4G所成的角为60°

A/6

B.直线4G与平面/小。。所成角的余弦值为

龙考檄号

C.点4到平面w的距离为］

D.二面角。I—4B—C的大小为60。

6.如图，4E_L平面力8cO,CF//AE,AD//BC,ADVAB.AE=BC=2.AB

8

=AD=\,C?--,贝川)

7

A.BDLEC

B.BF〃平面4DE

C.平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为1

3

D.直线C£与平面BOE所成角的正弦值为3

o

三、填空题

7.如图，己知三棱柱力8C一mSG的侧棱与底面垂直，AAX=AB=AC=\,

ABLAC,N是8C的中点，点。在小巴上，且满足小P=i小S，则当直线7W

与平面/13C所成的角取最大值时，2=.

8.如图，△45C为等腰直角三角形，其中乙4=90。，