高考数学题型分类突破：创新考点02 新定义问题

创新考点二新定义问题

【题型分析】

考情分析：

新定义题型内容新颖，题目中常出现“定义”"规定''等字眼，题目一般都是用

抽象的语言给出新的定义，没有过多的解析说明，要求考生自己仔细揣摩、体会

和理解定义的内涵与外延，在阅读新定义后要求马上运用它解决相关问题，考查

考生的理解能力和信息迁移的能力.

考向1J新定义函数问题

©典例精析

例1若函数於)满足：对任意的实数s,f£(0,+00),仆+。次s)+&)恒成立，则

称函数段)为。增函数”.

(1)求证：函数y=cosx不是"Z增函数”.

思维点拨根据给定的新函数定义一举反例证明.

⑵若函数)=3*力-心〃是W增函数”，求实数。的取值范围.

思维点拨，由新定义得；(3U)(3V)>/。恒成立-根据不等式恒成立的条件及指

数函数的值域一1，，4)一解不等式.

⑶设g(x)=e"-ln(x+l)-l,若曲线产g(x)在x=xo处的切线方程为)=0,求xo的值,

并证明函数以上)是“Z增函数

思维点拨》由导数的几何意义列出方程求解网一构造函数卬G),利用导数研究其

单调性一卬(s)>0一结合单调性证明.

方法总结:

解答该类题的关键是要找到题目所给的新定义函数的特点，依此解决问题.

遨跟踪训练

在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转角a(

0<«<^)Jg,所得曲线仍然是某个函数的图象，则称7U)为气旋转函数

⑴判断函数是否为中旋转函数”，并说明理由.

⑵已知函数7U)=ln(2x+l)(x>0)是％旋转函数"，求tana的最大值.

(3)若函数^(x)=/n(x-l)ev-xln是":旋转函数”，求实数m的取值范围.

2

考向2J新定义数列问题

0典例精析

例2对于有穷正项数列｛4“｝("9力若将每个项依次围成一圈，满足每一项的平

方等于相邻两项平方的乘积，则称该数列可围成一个"HL・Circle”.例如：数列｛1,

1,1｝,｛2,1,351,2)都可围成“HL-Circle”.

(1)设0=4,当〃尸5时，判断是否存在。，使该数列可围成“HL-Circle”，并说明

理由.

(2)设数列｛斯｝的各项不全相等，且可围成“HL-Circle”.

①求正整数m的取值集合.

证：4|+42+—+〃6+谄+忌+3+。布>〃沏心..小”77?>7.

岗跟踪训练

“H数列”的定义:数列｛斯｝的前〃项和为S“，如果对任意的正整数”总存在正

整数加，使得S尸品,那么称数列｛〃〃｝是““数列”.

(1)已知数列｛d｝的前〃项和为刀尸2”，求证：数列｛瓦｝是““数列”.

(2)已知数列｛◎｝是“H数列”,且数列｛6｝是首项为1,公差小于0的等差数列,

求数列｛C〃｝的通项公式.

(3)在(1)(2)的条件下，若数列｛4｝满足“产儿心，求数列｛"〃｝的前〃项和

考向3J解析几何中的新定义问题

⑥典例精析

例3在平面直角坐标系元O.v中，重新定义两点4即，y),8a2,竺)之间的“距

离”为|48|=辰即|十|”・》|,我们把到两定点尸(c,0),&(c,0)(00)的“距离”之和

为常数2aoc)的点的轨迹叫“椭圆”.

⑴求“椭圆”的方程.

(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆''的范围、对称性，并说明理由.

(3)设。=1,々=2,作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为C,C的左顶点

为4,过椭圆的右焦点尸2作直线交。于M,N两点，△AMN的外心为。.求证:

直线0Q与MN的斜率之积为定值.

方法总结：

求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与

变量无关；(2)直接推理、1|•算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

岗跟踪训练

已知椭圆C：**13＞仇＞0)的左、右焦点分别为P,B为上顶点，离心

率为某直线与圆4f+4)，2-3=()相切.

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)设椭圆厂；马十号=139＞())，平面上有一点PQo,)，o).定义直线/；署+^:=1是

椭圆〃在点P（xo,泗）处的极线.

g点p（出,w）在椭iac上，证明：椭圆。在点尸处的极线就是过点尸的切线.

翱过点p（-4,O）分别作椭圆c的两条切线和一条割线，切点为x,匕割线交

椭圆。于M，N两点、,过点M,N分别作椭圆C的切线，且相交于点Q.证明：

Q,x,y三点共线.

创新思维

1.设A3，>1）,8（X2,弹）为平面上的两点，定义运算：d（A,B）=|加-W+lyi-xl.已

知P为抛物线C：f=2〃），（p>0）上的动点，点Q（3,0）,且d（P,。）的最小值为2,

则〃=；若斜率为|的直线/过点Q,M是直线/上的动点，则d（P,M）

的最小值为.

2.曲线的弯曲程度是几何研究的重要内容，曲线的曲率是指曲线上某个点的切线

方向角对弧长的转动率，曲线的曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大.若记

rM=[fM]'f则曲线产处）在点P（xo,泗）处的曲率「二I"（的

口+（户（、。））F

（1）求曲线y=lnx在点（1,0）处的曲率.

（2）已知函数（0,工）.若存在即，也，使得曲线y=g（x）在点

UHg3））和点（式2，以及））处的曲率为0，求证：21n©+ln犬2>*

3.定义：若对任意i,&WN*,1SV2A+1,数列｛仇｝的第（&+1）勺项都等于数列｛知｝

的第F+洲项，则称数列｛乩｝为数列｛〃“｝的"K•分段反序数列”.如：令k=\,当

伏+1）勺=1时，/=3,则/+*=3,所以5=43.已知数列｛«,｝的'庐分段反序数列”

为也｝,数列｛儿｝的前〃项和为7小

（1）若斯二〃，直接写出岳，儿的值.

(2)若斯=2",求底2(A£N)

(3)若4=恤,证明：数列｛m｝为常数列.

参考答案

创新考点二新定义问题

分类突破2题型分析

考向1新定义函数问题

例1

【解析】(1)取则coscosT+cos^=1,因为』V1,所以函数

y=cosx不是“Z增函数”.

⑵因为函数产3山土。是“Z增函数”，

所以对任意的s,七(0,+oo),有3'+"心+力。>3”】・$・。+3"“・/恒成立,

即3s+w-3sL3内>-〃恒成立，所以黑5-1)(3匚1)>卜恒成立,

又s,/£((),+00),所以3$,3ze(l,+oo),则#3$-1)(32)e(0,+oo),所以1把0,

即W

故实数。的取值范围为惇+00).

(3)g(A)=ev-ln(A+1)-I(x>-1),gU)=ev-^-(x>-l),

1

根据题意得^Uo)=ex°---r=0,可得方程的一个解刖二0.

X。十人

1

设4(%)=g'a),则/z,W=ev-»->0,故g。)在(-1,+8)上单调递增,

(X+1)

所以为=0是函数gQ)在(-1,+8)上的唯一零点,

1

即xo=O是方程讲。-7工7=0在(-1，+8)上唯一的解，

X。十L

又g(0)=0,此时曲线产g(xo)在点(向，g(xo))处的切线方程为)=0,所以Xo=0.

设w(s)=g(s+f)-g(s)-g(f),其中5>0,r>0,

"(s)=g'(s+/)-g'(s),由g'(x)在(-1,+oo)上单调递增，且s+/>s>(),

得g'(s+/)>g'(s),即w'(s)=g'(s+/)-g'(s)>0,

所以w(s)=g(s+f)-g(s)・g(。在(0,+8)上单调递增.

因为s>0,则卬(s)>卬(0)=g()g(0)-g⑺=0,所以g〉+f)>g(s)+g(。,得证,

所以函数y招⑴是“Z增函数

跟踪训练

【解析】(1)函数产百工不是q旋转函数”，理由如下：

曲线产绕坐标原点逆时针旋转看后与)，轴重合，当尸0时、有无数个y与之

对应，与函数的概念矛盾，

因此函数y=V5x不是(旋转函数

(2)由题意，令人tan(，〃)，对于任意的〃£R,函数/(x)=ln(2x+l)(*>())的图象与

函数,=履+方的图象最多有1个交点，

所以关于x的方程ln(2x+l)=日+Z?(x>0)最多1tJ一个根，即方程ln(2x+l)-h;=/?(x>0)

最多有一个根，

因此函数产ln(2v+l)-"(x>())的图象与函数产/?的图象最多有1个交点，即函数

y=ln(2r+l)-依在(()，+oo)上单调,

因为)''=线7儿且高£(32)，

4人一「JL4人一TJL

乂a£(0,/,所以攵=tan(/-a)£[0,+oo),所以攵22,即tantan把

即tana的最大值为去

2

(3)由题意可得，对于任意的〃£R,函数g(x)=〃心1)e"-.Hnx-卞的图象与函数y=x+b

的图象最多有1个交点，

2

即函数产"7(x-l)e"ln/彳-x的图象与函数产〃的图象最多有1个交点，

即函数y=m(x-1)ev-xlnx---x在(0,+co)上单调，

2

y-//Lvev-]nx-x-2,当尤—0时，>+oo,所以y(]”无+：+2)口小.

人V

设夕(T)=嗤拦，则呦)q与臀u

设心尸-lnx-x-l,易知，(工)在(0,+8)上单调递减，且，*)>(),/(1)<(),

Xox

所以存在刈£(。，1),使“戈0)=0,WInXO+A,O=-l=>ln(xo-e)=-l=>xo-e°=-,

v47e

所以8(x)在(0,即)上单调递增，在(xo,+8)上单调递减，

所以8(x)mux=9(沏)二反福％二高I再=e，即w>e.

故实数〃2的取值范围为［e,+00）.

考向2新定义数列问题

例2

【解析】（1）由定义可得齿*1，又｛〃〃｝为正项数列，所以0WW+I，

故。2=043，〃3=。2。4,。4=〃3。5，由已知得。5=。1。4，〃1=。5。2，

由最后两式可得。2a4=1，所以43=1，故"1=42=4且上4=的，

结合。5二〃40可得即。=1,故例=1，故。3=。4=。5=1.

故存在4=1,使得数列｛如｝可围成“HL・Circle”,此时数列｛斯｝为｛1,1,1,1,1）.

（2）3若｛斯｝的各项不全相等,且可围成“HL-Circlc”.

贝1」由吗=。3嫌+式1<〃<〃2），am=Clmai=a^（Z2»

-1-i

结合｛〃〃｝为正项数列，可得知=斯/%+1（1<〃</〃），am-am.\a\9a\-amai,

各式相乘后可得a\ai...am-\.

又上述关系式为。“二%.1%+1（1<%"2+1）（若下标大于"?，则取下标除以m的余数）.

故知+|=。〃斯+2（1〈於加+1）,故〃小尸7^—（1<仁加+1）（若下标大于m，则取下标除以

斯+2

m的余数），所以斯-产册+5（1〈於m+1）（若下标大于〃?，则取下标除以m的余数）.

设"7=6〃+〃，0</<5,若片1,贝Ija-i。""，B|ja\=a\am-\y故。川」=1,所以。6二1,

俏二1,

又内=小阀2,所以4|=01〃2,故42=1，故0=1,所以04=45=1，

此时（如｝中的项均为1，与题设矛盾.

若r=2,则小尸0斯7,即。2=。14，小尸。外又。尸。21〃尸a；,

41=02=1，所以的=。4=。5=。6=1，此时｛&｝中的项均为1,与题设矛盾.

若，=3,则4”=ai4“-l,即。3=042，又42=4143，所以。1=1，故44=1,

从而。3=〃2,又a\=sa，”=a2a3,所以。3=。2=1,故。5=。6=1,

此时他〃｝中的项均为1,与题设矛盾.

若，=4,则即二。|0"1，即。4=0。3，因为。3二。2。4，所以0。2=1，

又0=〃2C加=。2出，所以。3=。1，故。4=Q：=4，故卬=1,故。2=。3=1，故。4=1,故

al

。5=。6=1，

此时｛如｝中的项均为1，与题设矛盾.

若r=5,贝ija=a5=a\a.\=ci\a4=a\'x--=\故。尸〃2。〃尸。2，

minait

故。3=*1，故W5〃3=〃3=l，故〃6=1，故。24=1，故。尸1,

此时｛知｝中的项均为1.与题设矛盾.

综上，〃尸6攵，4£N*,即〃7£｛6Z|ZWN'｝.

②Efa均值不等式得4|+。2+。3+…+拆=(〃1+J+(必+2)+(^+~-)>6,

当等号成立时，0=〃2=。3二1，

所以。4=。5=…=。〃尸1，与题设矛盾,故等号不成立,从而。|+。2+。3+…+。6>6,

又m=6k,所以谄+...+Q布=(«7+...+«12)+.•.+(忌k5+•••+a6k)=(%」)(

Q；+1+Q/看+送+看)次(匕1)(当且仅当"IV，6=,。3V时取等号)，而三组

数必有一组不相等，故等号不成立，

因此当m>7时，4|+。2+。3+...+。6+0^+=.+。/>6+6(女-1)=62=帆=松］。2。3...。町，故

原式得证.

跟踪训练

【解析】⑴当〃=1时，bi=Ti=2；

当论2时，历尸。-〃.尸2叫所以为［架=L所以。尸仇+i.

(24,n>2,

故数列｛瓦｝是““数列”

(2)设数列｛。〃｝的公差为"，则尹4,

对V〃£N+,使S尸a“,即v+n(；-l>d=l+(®l)d.

当〃=2时，得l+d=(/7i-l)d,解得加=2+!.

a

因为d<0,所以用<2,又〃PN+,所以6=1,

故d=-l,c,尸2-小S,尸戋声是小于2的整数.

此时对任意的正整数〃，总存在正整数次使S产小,故。尸2-九

f2n=1

(3)由(1)(2)可知，儿二入'c〃=2-〃.

屋4,n>2,

因为dn=b〃c〃,

23Z,,

所以当n>2时，DZ,=2X1+2X0+2X(-1)+2X(-2)+...+2--(2-H),

所以2a=4+22x0+23x(-l)+...+2〃-1.(1力)+2〃.(2-〃),

23

所以-Dn=-2+(-l)(2+2+...+2”")-2〃x(2力),

所以所=2+2(1-2-2)+2〃.(2・〃)=(3-〃>2”-2.

当刀=1时,Di=di=2,满足上式.

综上，D〃=(3-刀2-2.

考向3解析几何中的新定义问题

例3

【解析】⑴设“椭圆”上任意一点的坐标为尸8V)，则|PFi|+|PF2l=2m

即\x+c\+|y|+\x-c\+|y|=2a,即|x+c|+|x-c|+2\y\=2a(a>c>0),

所以“椭圆”的方程为|x+c|+\x-c\+2\y\=2a(a>c>0).

(2)由方程|x+c|+岳c|+21yl=2m得2\y\=2a-\x+c\-\x-c\f

因为I农0,所以2〃-|x+c|-|x-c|K),即2a>\x+c\+\x-c\,

所以仔或卜=:<上v%或7/.yr<?n解得

【x_cx+c<2alx+ex+c<2alx+c+x_c<2a

由方程|x+c|+\x-c\+2\y\=2a,得|x+c|+\x-c\=2a-2|y|,

，2Xx——c

即2a-21yl=2c：cV%Wc所以2a-2\y\>2c,所以c-a<y<a-c,

2x9x>c9

所以“椭圆”的范围为-〃三区4，C-〃£V%-C,

将点(-x,y)代入“椭圆”方程，得卜x+c|*-x-c|+21yl=2小

即|x+c|+岳d+21yl=2a,方程不变，所以“椭圆”关于y轴对称;

将点。，叨代入“椭圆”方程,得|x+c|+|?c|+2川=2〃,

即|x+c|+Md+21yl=2〃,方程不变,所以“椭圆”关于x轴对称;

将点(x-y)代入“椭圆”方程,得点+。|+口-c|+2卜y|=2a,

即|x+c|+Hc|+2|y|=2a,方程不变，所以“椭圆”关于原点对称.

所以“椭圆”关丁口轴、y轴、原点对称.

(3)当c=L。=2时，“椭圆”的图形如图所示.

由题意可设椭圆。的方程为1+4n，将点(1,1)代入，得;+率1,解得公咚

4bQbJ

所以椭圆。的方程为1+孚=1,F2（l,0）,A（-2,0）.

44

由题意可设直线MN的方程为产my+l（*0）,M（x\,yi）,Ng）2），

x=my+1,

由73y2得。"2+3）,2+2〃2），-3=0,/=4〃a+12（〃户+3）=16/”2+36>0恒成立，

—H——=1.

44

则川+”二忌》归•悬5•因为A”的中点为（告2,纱心”急二点手

所以直线AM的中垂线方程为y二-哼口:小，同理可得直线AN的中垂线方程为

y\

y=_^llx_y2t设Q（xo，y0）,则y,J2是方程州=-胃当O-y的两根，

/2y

即巾，”是方程）2+（侬o+yo）y+3xo=O的两根，所以9+丁2=-（〃M+和），>'172=3X0.

又因为巾+以二-含P川及二一岛,所以・（小须+），0）=一扁'3X0二-岛,

两式相比得二雪,所以?二-3"?,所以如N《OQ二工学二-3,

3%omx（）

所以直线。。与MN的斜率之积为定值，定值为-3.

跟踪训练

【解析】（1）由己知得品=；,Fi（-ci，0）,尸2（@,0）,8（0,加）,则跖巳=-"，

alzC]

所以直线B3的方程为），=・舞,1+。1，即b\x+c\y-b\C\=0,

C1

又该直线与圆片+y2弓相切，则击手|=誓哼

22

解得力二通，。尸2,。尸1,故椭圆。的标准方程为3+5=1.

43

22

⑵①由（1）得椭圆C的方程是5+5=1.

43

因为P（项,加）在椭圆。上，所以豆十四=1,即3就+4y和12二0.

43

由定义可知椭圆C在点P（X0,），o）处的极线方程为誓+零二L

当刈=0时，Xo=±2,此时极线方程为不=±2,所以点。处的极线就是过点尸的切

线.

当y#0时，极线方程为华+翠=1,即》=-空上+京，

3x

(v=ox_i_A

由2一产，。借(鬻+3『等+学2二。，

*'4%>yy

“+§=1，QQ

所以/=(若)2一4(浮3)(梁2)=些誓皿0,

所以点产处的极线就是过点尸的切线.

综上所述，当点P在椭圆。上时，椭圆。在点尸处的极线就是过点尸的切线.

②设点。(犬0,泗)，M3，y),ME,»),由①可知，过点M的切线为小牛十缪二1,

rO

(3+缉=1

过点N的切线为/2：等+缘=1.因为八，/2都过点0(X0,)，0),所以%工六「

~5I人2人0I-_4

十~~1

则割线MN的方程为竽+与=1.

同理可得过点尸(-4,0)的两条切线的切点弦XY的方程为手=1,即x=-l,

又因为割线MN过点P(-4,0),代入割线方程得等=1,即&=/,

所以Q,X,丫三点共线，都在直线x=-l上.

创新思堆

【解析】设P(m,第，则d(析Q)=l〃z-3|+恃。卜哈〃z+3*(〃z-p)2+3当当

〃刁〃时，d(p,。)取得最小值，最小值为34，得3与=2,即〃=2.

易知/：y=|x-1,又知f=4y,联立得P6x+18=0,

显然方程无解，所以直线与抛物线无交点，如图所示.

过点产作PN〃x轴，交/于点M过点M作用及LPN,垂足为七，如图,

则d(P,M)=|PE|+|EM|N|PE|+|EN|=|PN|(当M,N重合时取等号).

设p(〃,今,则N(J+3,苧)，所以|PN|=?-〃+3=如-3)2+|N|.

当且仅当〃=3时取“="，所以/P,

2.解析(1))/=［，y"=-J,y*|x=i=1♦y"\x=\=~1»

所以曲线)=lnx在点(1,0)处的曲率K=」"3二0.

(1+/4

(2)由题意可得g(x)=2,Hnx-cur-lx,g"(x)=21nx-2ax.

若曲线产g(x)上有两点处的曲率为0,则方程g"(x)=0,即lnx-ox=0,即〃=住在

X

(0,+8)上有两个解，设9(x)=竽，则,(X尸穿:，令,⑴=。，得产e,所以在

(0,e)上，(p\x)>0,单调递增，且3。)<9亿)=：,在(e,+8)上，，(x)<0,(p(x)

单调递减，且0VQ(X)V,

又〃£((),1),所以方程gV)=0,即。=双幻的两个解分别为XI,如不妨设

e

0<xi<e<X2>

则“西二胆，可设除中乜0(0,1),

所以"1二斗且4二，，，w(O,1),即InT+InX2=〃n及，

in%2in%2

化简可得1。12二譬，则Inx尸警.

o

要证21nxi+lnx2>-,

即证Qt+D^W，

f-l3

只需证In/即证In

。l/IiJLJO\LIJLj

设HQ).八黑并

(2,)20,所以“⑺在(0，1)上单调递增，

£(2计1)t(2±+l)£(2计1)

所以H⑺VH(D