2026年中考数学：图形的相似与相似三角形（知识解读+例题讲义）原卷版

第20讲图形的相似与位似

3"知识导航.‘十才

知识点1:比例线段

知识点2：相似图形

知识点3：位似图形

M知识梳理

知识点1：比例线段

1.比例线段的相关概念

如果选用同一长度单位量得两条线段a,b的长度分别为m,n,那么就说这两条线段的比是

-=或写成a：b=m：n.在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项.

bn

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例

线段，简称比例线段.

若四条a,b,c,d满足或a：b=c：d,那么a,b,c,d叫做组成比例的项，线段a,d叫

做比例外项，线段b,c叫做比例内项.

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即@=2或匕：b=b：c,那么线段b叫做线段a,

bc

c的比例中项.

2.比例的基本性质：①a：b=c：doad=bc②a：b=b：c<=>/?2=ac.

3.黄金分割

把线段AB分成两条线段AC,BC(AOBC),并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段

AB黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,其中AC=XV——5-1AB^O.618AB.

2

知识点2：相似图形

1.相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形.

也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等

是特殊的相似图形).

2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形.

3.相似多边形的性质:

相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等.

相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.

4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.

5.相似三角形的性质：

(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.

(2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线

的比相等，都等于相似比.

(3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.

6.相似三角形的判定：

(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；

(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；

(3)如果两个二角形的两纲对应功的比相等,并口相应的夹角相等，那么这两个二角形

相似；

(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相

似.

(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的

比对应相等，那么这两个三角形相似.

知识点3：位似图形

1.位似图形的定义

两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行,

像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.

2.位似图形的分类

(1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外.

(2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上.

3.位似图形的性质

位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；

位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

4.作位似图形的步骤

第•步：在原图上找若干个去键点，并任取第、作为位似中心:

第二步：作位似中心与各关键点连线；

第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例：

第四步：顺次连接截取点.

【注意】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位

似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

哲题型精讲“十

【题型1：比例的性质】

【典例1】（2025•甘肃张掖•二模）如果2a=5b,那么?=.

【变式1】（2025•四川成都•中考真题）若\3,则一的值为.

b2a

【变式2】（2025•内蒙古赤峰•一模）已知G=?则工工=.

【变式3】（2026・四川成都•一模）已知牌方则瞽的值为一.

【题型2由平行截线求相关线段的长或比值】

【典例2】（2025•黑龙江哈尔滨•中考真题）如图，AB\\CD||EF,若BC=5,CE=8,贝

【变式1](2025•四川乐山•中考真题》如图,11IIl2IIG，AB=2,DE=3,BC=4,则“

的长为（）

A.4B.6C.8D.10

【变式2】（2025•河南•中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1,/\ABC

的三个顶点均在网格线的交点上，点。、E分别是边54、与网格线的交点，连接。£

则DE的长为（）

【变式3】（2024•黑龙江哈尔滨•中考真题）如图，在四边形4BCZ）中，ADII8C,点E在力B

上，EF||力。交CO于点心若4E:8E=1:2,OF=3,则/C的长为（）

A.6B.3C.5D.9

【题型3黄金分割比】

【典例3】（2025•四川乐山•中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一

条线段48分割成长、短两条线段4C、CB,若短段与长段的长度之比等于长段的长度与

全长之比，乜琮=券则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫做线段

48的黄金分割点.

【问题初探】

如图1,已知点C为线段48的黄金分割点（SC>BC）,求黄金比.

解：设为8=1,AC=x,则=

CBAC

••■,

,AC~AB，

请补全以上解题过程；

【问题再探】

如图2,在RtZk/lBC中，ZC=90°,BC=1,AC=2,请作出4C的黄金分割点（要求:

仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

【知识迁移】

如图3,点C为线段4B的黄金分割点（/C>8C）,分别以AC、BC为边在线段4B同侧

作正方形ACDE和矩形CBF。，连结BD、BE.求证：

【延伸拓展】

如图4,在正五边形中，对角线4。与BE交于点M.求证：点M是40的黄金分割

点.

【变式1】（2025•甘肃兰州•中考真题）如图，黄金地形中标=亍，以宽48为边在

其内部作正方形21BFE,得到四边形CDE”是黄金矩形，依此作法，四边形OEG”,四边

形KEGL也是黄金矩形.依次以点七，G,L为圆心作而，而，HK,曲线AFHK叫做“黄

金螺线〃.若40=2,则"黄金螺线ZFHK的长为.（结果用n表示）

【变式2】（2024•山西・中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形

习字格书写的汉字清远的"远〃端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点48分别

在习字格的边MN,PQ上,RAB||NP,"远"字的笔画"、”的位置在AE的黄金分割点C

处，且第=空・若NP=2cm，则8C的长为cm（结果保留根号）♦

【变式3】（2025•陕西西安•模拟预测）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经

常也会产生最具美感的黄金分割比.如图，点8为,4C的黄金分割点（力8>BC）,若

AC=20cm,则48的长为cm.（结果保留根号）

【题型4：相似三角形的相关计算】

【典例4】（2025•江苏南京•中考真题）如图，在内△ABC中，^ACB=90°,CO是边48上

的高,而=5,则正工的值是

【变式1】（2025•江苏盐城•中考真题）如图，在△4BC中，DEWBC.若=1:3,

DE=4,贝i」BC=

【变式2】（2025•西藏•中考真题）如图，点。，E分别是△48。边48,4c上的点，且

若箓则保的值是,

DEIIBC,

【变式3】（2025•江苏常州•中考真题）如图，在口力BCD中，E是力。上一点，OE=24E,

CE、84的延长线相交于点八若48=2,则力尸=

【题型5：相似三角形的实际应用】

【典例5】（2025•河南・中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位,

革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心.某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动,

记录如下.

活动

测量纪念碑的高度

主题

实物

图和

测量

示意

图

如图，纪念碑力B位于有台阶的平台8c上，太阳光下，其顶端A的影子落在点。处,

测量同一时刻，竖直放置的标杆＞顶端后的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼

说明睛所在位置为点N,点N,E,A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线

上.

测量DE=2.1m,DF=2Am,DM=Im,MN=1.2m

数据

备注点吃M,D,C在同一水平线上.

根据以上信息，解决下列问题.

⑴由标杆的影子所的长和标杆DE的长相等，可得CD=a4,请说明理由.

⑵求纪念碑AB的高度.

⑶小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑的高度约为18.5m.查阅资料得

知，纪念碑的实际高度为19.64m.请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？

并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）.

【变式1】（2025•四川内江•中考真题）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地

球.”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬

动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压

杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂。4=150cm,阻力臂OB=50

cm,BD=20cm,则AC的长度是（）

【变式2】（2025•四川绵阳•中考真题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进

行测量.他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的C处，然后沿着大树底

部E和竹竿底部C所在水平直线由C点后退2m至4点时，看大树顶部F视线恰好经过竹竿

的顶端D，测得小明的眼睛距地面的高度4B为1.6m,竹竿CD长3m,则大树的高度EF

【变式3】（2025•陕西渭南•一模）富平陶艺村是国内首家以陶艺为主题，集生态观光、休

闲度假、餐饮住宿、参观购物为一体的陶文化交流中心.小明想利用所学知识测量陶艺

村一个用于烧制陶瓷的旧烟囱顶部到地面的高度48（如图）.小明在点C处竖立一根

高为2米的标杆CD（即CD=2米），此时标杆在阳光下的影子顶端和旧烟囱在阳光下

的影了•顶端重合于地面上的点£处；小明在点尸处放置一面平面镜，随后，小明从点产

处移动3米至点〃处（即FH=3米），眼睛位于点G处，此时恰好从平面镜内看到旧

烟囱顶端力的像.经测量得知：CE=1.6米，GH=1.8米，CF=14.6米，已知

ABA.BH,DC1BH,GH1.BH,点、B、C、E、F.”在一条直线上，图中所有点均在同

・平面内，请你帮助小明计算旧烟囱顶部到地面的高度88.（平面镜的大小忽略不计）

【题型6：位似】

【典例6】（2025•甘肃兰州•中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，△A8C与△4夕小

位似,位似中心是原点。，已知BC:8'C'=1:2,则8（2,0）的对应点B'的坐标是（）

A.(3,0)B.(4,0)D.(8,0)

【变式1】（2025•广东•中考真题）如图，把△力。8放大后得到△COD,则△力。8与△COD

的相似比是.

【变式2】（2025・浙江•中考真题）如图，五边形力BCDEAB'C'D'R是以坐标原点。为位似

中心的位似图形，已知点4T的坐标分别为（2,0）,（3,0）.若DE的长为3,则。七’的长为

()

【变式3】（2025•内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△048的顶点坐标分别

是0（0,0）,4（2,1）,8（1,2）,以原点0为位似中心，在第三象限画△04W与△。工8位

似，若△048'与△048的相似比为2：1,则点A的对应点"的坐标为（）

A.(-2,-1)D.(-2,-4)

二3随堂检测

1.（2025•贵州•中考真题）如图，已知△/4BCsADEJ4B:DE=2:1,若。尸=2,则AC的

长为（）

2.（2025・河北•中考真题）如图，在五边形4BCOE中，AE\\BC,延长84BC,分别交直线

DE于点M,N.若添却下列一个条件后，仍无法判定△M/lE-ZiDQV,则这个条件是

()

M

A.48+44=180。B.CDWABC.Z1=z4D.匕2=43

3.（2025•四川眉山•中考真题）如图，在4x3的方形网格中，每个小正方形的边长均为1,

将△。/18以点O为位似中心放大后得到△OCD,则△OAB与△。。。的周长之比是

（）

A.2:1B.1:2C.4:1D.1:4

4.（2025•河北•中考真题）“这么近，那么美，周末到河北”.嘉嘉周末到弘济桥游览，发现

青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如

图）.回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7cm和4cm,笔的实际长度为14cm,则

该化石的实际长度为（）

A.2cmB.6cmC.8cmD.10cm

5.（2025•陕西•中考真题）如图,正方形48co的边长为4,点E为A8的中点，点F在＜0上,

EF1EC,则的面积为)

BC

A.10B.8C.5D.4

6.（2025•江苏淮安•中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板40B按如图位置摆放，直

角顶点与原点O重合，点力在反比例函数y=：（x>0）的图像匕48=30。.若点B

坐标为（1，-3）,则A的值是（）

1

A.-2B-2C.1D.2

7.（2025•山东东营•中考真题）如图1,在矩形4BCD中，BC=4,E是BC边上的一个动点,

AE1EF,EF交CD于点、F,设BE=X,CF=y,图2是点E从点B运动到点C的过程中,

y关于久的函数图象，则力8的长为（）

A.5

8.（2025•黑龙江绥化•中考真题）在平面直角坐标系中，把△力8c以原点。为位似中心放大,

得到△HB'C’.若点4和它的对应点4’的坐标分别为（3,7）,（-9,-21）,则△ABC与

△TB'C’的相似比为.

9.（2025•甘肃平凉・中考真题）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸莺〃风筝古称纸莺，起源于

春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录为丰富校园生活，某校

开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图

所示，其中对角线AC180.已知大、小风筝的对应边之比为3:1,如果小风筝两条对

角线的长分别为30cm和35cm,那么大风筝两条对角线长的和为cm.

A

BD

10.（2025・四川•中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，AC=BC=Q,Z.C=90°.用

这块材料剪出一个矩形CDE凡其中点D,E,户分别在BC,AB.ACk.则可剪出矩形CDEF

的最大面积为.

11.（2025•安徽•中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立

平面直角坐标系％Oy，△力BC的顶点和公均为格点（网格线的交点）.已知点4和4

的坐标分别为和（2,6）.

⑴在所给的网格图中描出边力8的中点D,并写出点D的坐标；

⑵以点。为位似中心，将放大得到使得点力的对应点为4,请在

所给的网格图中画出

12.(2025・广西•中考真题)【平行六边形】如图1,在凸六边形力8CDE/中，满足力8||。心

BCWEF,CDWFA,我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形〃，其中48与DE,B叫EF,

CO与凡4叫做"主对边"；和NO,和△E,乙C和4尸叫做“主对角"；40,BE,CT叫做“主

对角线〃.

图2图3

⑴类比平行四边形性质,有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确〃或“错误”.