两条直线平行和垂直的判定（原卷版）

2.2两条直线平行和垂直的判定

模块一：基础知识...................................................2

考点一：两条直线平行............................................2

考点二：两条直线垂直............................................2

模块二：题型分类...................................................3

题型一：两条直线平行的判定......................................3

题型二：两直线垂直的判定........................................4

题型三：两直线平行求参数........................................5

题型四：两直线垂直求参数........................................6

题型五：直线平行垂直在几何中的应用..............................7

模块三：综合巩固...................................................8

2.2两条直线平行和垂直的判定

模块一：基础知识

考点一：两条直线平行

对于两条不重合的直线4，4,其斜率分别为K，&，有41140勺=42.如下1图

对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点

(1乂114=&成立的前提条件是：

①两条直线的斜率都存在；②人与/2不重合.

⑵当两条直线不重合且斜率都不存在时，4与4的倾斜角都是9(r，则4114,如上2图

⑶两条不重合直线平行的判定的一般结论是：41|/2。勺二&或4,4斜率都不存在.

考点二：两条直线垂直

如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之枳等于-1；反之，如果它们的斜率之积等

于一1,那么它们互相垂直，即=勺•&二一1・

对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点

(1乂_1_/2=勺夕=一1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②勺。0且％2工0.

⑵两条直线中，-条直线的斜率不存在，同时另•条直线的斜率等于零，则两条直线垂直.

⑶判定两条直线垂直的一般结论为：

<_L4=勺=T或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零.

模块二：题型分类

题型一：两条直线平行的判定

1.卜.列各对直线互相平行的是()

A.直线人经过点力(0,1),5(1,0),直线右经过点N(2,0)

B.直线丸经过点4(-卜2),5(1,2),直线6经过点加(-2,-1),N(0,-2)

C.直线4经过点4(1,2),5(1,3),直线)经过点C(LT),。(1,4)

D.直线<经过点力(3,2),5(3,-1),直线《经过点"(LT)，N(3,2)

2.根据下列给定的条件，判断直线乙与直线4是否平行.

(1)4经过点4(2,3),5(-4,0),一经过点”(fl),N(-2,2)；

(2乂的斜率为-g,4经过点力(4,2),8(2,3)；

(3乂平行于J轴,(经过点尸(0,-2),0(0,5)；

⑷人经过点E(()J),产(一2,-1),4经过点G(3,4),"(2,3).

3.(多选)已知直线人与。为两条不重合的直线，则下列命题正确的是()

A.若〃〃2,则斜率占="2

B.若斜率左=〃2,则〃〃2

C.若倾斜角%=%，则

D.若“〃2,则倾斜角。1=%

4.(多选)满足下列条件的直线乙与/2,其中"为的是().

A.4的斜率为2,1过点40,2),8(4,8)

B.4经过点尸(3,3),。(-5,3),(平行于》轴，且不经过点P

C.4经过点”(TO),2(-5「2),右经过点R(-4,3),5(0,5)

D.乙的方向向量为(1,1),4的倾斜角为T

5.记平面直角坐标系内的直线4、与X轴正半轴方向所成的角的正切值分别为占、《，则""〃2"是"尤=kj

的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件

6.已知直线4过4(-1,4),8(2,0),且/J%，则直线4的斜率为()

4343

A.—B.—C.——D.—

3434

7.已知经过点力(3,〃)方(5川)的直线4与经过点P(F⑼。回)阳"0)的直线右平行，则:的值为()

A.-1B.-2C.-1或2D.一2或1

8.过4（加.3）.8（-1.小）两点的直线与直线/平行,直线/的倾斜角为45L则〃?=（）

A.1B.2C.-1D.-2

9.张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的

纸折置一次，使点（2,0）与点（-2,4）重合，点（2023,2024）与点（4,6）重合，则〃+/）=（）

A.4046B.4047C.4048D.4049

题型二：两直线垂直的判定

1.判断直线人与是否垂直.

⑴4的斜率为TO,〃经过点4（10,2）,8（20,3）；

⑵4经过点力（3,4）,8（3,10）,《经过点”（70,40）,N（10,40）；

（3乂经过点力（一1,2）,8（5,7）,4经过点。。，0），。（4,6）.

2.判断下列直线4与4是否垂直：

⑴的倾斜角为与，经过M（-4,-万），N（5,26）两点;

⑵4的斜率为4经过玖3,-2）,。（-6,4）两点；

⑶4的斜率为,4的倾斜角为。。为锐角，且tan2a=-：.

34

3.（多选）满足下列条件的直线乙与的其中4U的是（）

A.4的倾斜角为45、，2的斜率为1

B.4的斜率为-弓，/?经过点力（2,0）,网3,劣）

C.［经过点寸点,1）,。（-4,-5）,年经过点“（T，2），N（LO）

D.1的方向向量为（1刈），的方向向量为1

4.已知力（7,-4）,8（-5,6）,若直线机与直线力8垂直，则直线加的斜率为（）

6「6「5

A.-B.-C.-D.——

5566

5.若直线4的倾斜角为45。，直线经过点尸（-2,-1）,Q（3,-6）,则直线4与/2的位置关系是（）

A.垂直B.平行C.重合D.平行或重合

6.已知直线[经过4（-3,2）,8（1,-2）两点,直线4倾斜角为45。，那么J与/2（）

A.平行B.垂直C.重合D.相交但不垂直

7.已知两直线//的斜率分别为｛&，且勺,总是方程V+x-1=0的两根，则4与〃的位置关系为（）

A.平行B.相交且垂直C.重合D.相交且不垂直

8.已知两条直线4和/2,其斜率分别是一元二次方程42+20244=1的两不等实数根，则其位置关系是（）

A.平行B.垂直C.重合D.异面

9.若过点尸（3,2m）和点0（一私2）的直线与方向向量为2=（-5,5）的直线垂直，则实数〃?的值是.

10.直线4过点4（叫1）和点8（-1,加）,直线右过点。（〃?+〃,〃+1）和点。（〃+1,〃-〃?），则直线4与，2的位置关

系是.

题型三：两直线平行求参数

1.在平面直角坐标系中，直线乙经过M（l,，〃）,N（4,-5）两点，4经过〃（-，0）3（-1,3）两点，若414,则

m=；若4〃/?,则机=.

2.已知直线“利，它们的斜率分别记作占，也，若占他是方程f+2八+1=0的两个根,则〃的值（）

A.1B.-I

C.1或-1D.无法确定

3.已知力（一2,m）,B[m,4）,M（〃?+2,3）,N（l,1）,若AB〃MN,则机的值为.

4•已知直线4经过/（肛3）,8（1,加）两点，4经过尸（2J）,0（4,2）两点.

（1）若/]/〃2,求“7的值；

⑵若44的倾斜角互余，求，"的值.

5.已知直线4的倾斜角为60。，直线，2的斜率k=加2+行-4,若4〃4,则〃?的值为,

6.当a为何值时，直线(：=-丫+2〃与直线/2：N=(/-2)丫+2.

⑴平行；

⑵垂直.

题型四：两直线垂直求参数

1.若直线/经过点力(。-2,-1)和川且与斜率为-•的直线垂直，则实数。的值是()

2323

A.--B.-C.±-D.±-

3232

2.已知47,-4),8(-5,6),若直线〃，与直线4?垂直，则直线，〃的斜率为()

665

A.—B.—C.-D.—

5566

3.已知点力(一6一3,2),8(-2/"-4,4),。(一〃?,加),。(3,3〃?+2),若直线44_LCQ,则〃？的值为()

A.1或-1B.-3或-1C.—1或3D.3或-3

4.若直线4与4的斜率或、%是关于我的方程-2公一公二人的两根，若乙1，2,则6=()

A.2B.-2C.0D.-4

5.当。为何值时，直线小y=r+2a与直线ky=(/-2)x+2.

⑴平行：

(2)垂直.

6.已知4的倾斜角为45。，经过点。(-2,-1),。(3,用).若乙_1/2,则实数〃［为()

A.6B.-6C.5D.-5

2

7.若直线/经过点5-2,-1)和(-a-2/)，且与经过点(-2,1),斜率为-:的直线垂直，则实数a的值

为•

8.已知直线《：卜=一工+2。与直线-y=(片一2卜+2垂直，则〃的值为.

9.己知过4(3,1)、4(1,-3)的直线与过。(-3,〃?)、2)的直线互相垂直，则点(〃?,〃)有()

A.1个B.2个C.3个D.无数个

题型五：宜线平行垂宜♦在几何中的应用

1.以4(5,-1),8(1,1),C(2,3)为顶点的三角形是()

A.锐角三角形B,钝角三角形

C.以A为直角顶点的直角三角形D.以〃为直角顶点的直角三角形

2.已知四边形MNP。的顶点用(1』),N(3,-1),尸(4,0),。(2,2),则四边形MNP。的形状为

3.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为

O(O,O),P(l/),0(l-2f,2+/),H(-2/,2),其中＞0.试判断四边形OPQR是否为矩形.

4(多选)已知点P(-4,2),0(6,-4),R(12,6),S(2,12),则下列结论正确的是()

A.PQ/fSRB.PQLPSC.PS/fQRD.PR1QS

5.(多选)直线44的斜率K，&是关于k的方程2F-4左+，〃=0的两个根，则下列说法正确的是(

A.若L上“，则/〃=-2B.若1i工乙，则，〃=2

C.若乙/〃2贝1」〃?=一2D.若/J/，贝I」〃尸2

6.已知4L3),8(5,1),C(3,7),A,B,C,6四点构成的四边形是平行四边形,求点。的坐标.

7.在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次是0(0,0),P0J),0(1-2/,2+0,

R(-2/,2),其中/«0,内)，试判断四边形。尸0底的形状，并给出证明.

模块三：综合巩固

1.经过N(0,4),5(T,3)两点的直线的方向向量(1闺,则左=()

A.-1B.0C.1D.2

2.已知宜线4过4(2,3),3(0,4),且则直线4的斜率为()

11

A.2B.——C.-2D.-

22

3.已知两直线//的斜率分别为配附且配内是方程"+xT=0的两根,则乙与区的位置关系为()

A.平行B.相交且垂直C.重合D.相交且不垂直

4.已知经过点力(-2,0)和点8(1,3。)的直线人与经过点尸(0.-1)和点。(凡-2a)的直线互相垂直，则实数。

的值为()

A.0B.1C.0或ID.-1或1

5.己知直线/的倾斜角为,，直线4经过点力(3,2)和8(。,-1),且直线/与《垂直，〃的值为()

A.1B.6C.0或6D.0

6以5(2,-1),C0,4)为顶点的三角形是()

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.以点A为直角顶点的直角三角形

D.以点8为直角顶点的直角三角形

7.下列说法中正确的有()

①者两条不同直线的斜率相等，则两直线平行；

②若〃〃2,则%=打；

③，所有的直线都有倾斜角；

@若两条直线的垂直，则它们的斜率之积为-L

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.已知点41,1)和4(2,4),点2在＞轴上，且“力尸8为直角，则点P坐标为()

A.(0,2)B.(0,2)或(0,3)C.(0,2)或(0,4)D.(0,3)

9.张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直用坐标系(两坐标轴单位长度相同)的

纸折叠一次，使点(2,0)与点(-2,4)重合，点(2023,2024)与点(a,b)重合，则〃+b=()

A.4046B.4047C.4048D.4049

10.已知点力(-〃♦3,2),8(-2〃?-4,4),。(-也〃?),。(3,3〃?+2),若直线川？_LC£),则机的值为()

A.1或-1B.-3或-1

C.一1或3D.3或一3

11.两直线的斜率分别是方程/+2OI3X-1=0的两根，那么这两直线的位置关系是()

A.垂直B.斜交C.平行D.重合

12.(多选)下列说法中不正确的是()

A.直线倾斜角。的范围是：0。工。＜180。，且当倾斜角增大时，斜率也增大

B.若两直线平行，则两直线的斜率相等

C.若两直线的斜率之积等于-