初中数学常见的模型方法：相似三角形常见模型

相似三角形常见模型

模型一力字型8字型

【结论1】如图所示，在6c中，点。在上，点E在AC上，DE//BC,则

ADAEDE

△ADECOAABC.~AB~~AC~~BC

【结论2】如图所示，在aA6c中，点。在C4的延长线.匕点E在BA的延长线上,

AEED

DE//BC,则△AEOs&iBC，—

AC~AB~~BC

总结：力字型、8字型的特点是它的对应边、对应角和木•应顶点明显易见，并且具有相同的

顺序性.

模型拓展

反8字型（不平行）

例1

1.如图，在口ABCO中,EF//AB,DE:EA=2:3,EF=4,则CD的长为

().

c

A.—B.8C.10D.16

3

【答案】C

【解析】

【分析】根据平行线的性质和相似三角形的判定证得尸S的B，可得到

EF:AB=DE:DA=2:5,进而求解即可.

【详解】VEF//AB,

：.ZDEF=nAt/DFE7DBA,

:.八DEFs^DAB.

•・,DE:E4=2:3,

:.EF:AB=DE:DA=2:5,

又•・・EF=4,

・・・AB=]0.

・••在oABCO中，CO=A8=10.

故选：C.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质、比例性质、平行四边

形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键.

例2

2.如图，在口ABCD中，E为BC中点，连接AE交对角线BD于F,BF=2,则FD

等于（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【解析】

【分析】先求庄〜△DE4,再根据相似三角形性质求解.

【详解】•・•在QABCD中，E为BC中点，

・・・AD=BC,AD!IBC,2BE=BC=AD,

：・ABFE〜ADFA,

.BEBF

DAFD

即L一2,

2FD

FD=4.

故选C.

【点睛】此题重点考察学生对相似三角形的判定的理解，熟练掌握相似三角形的判

定方法是解题的关键.

变式1

3.如图□匚ABC中匚2£口13(2匚8£与CD交于点OA0与DEDBC交于点NDM口则

下列式子中错误的是

DEDODE「AEAO

A.-----=-----B.----=-----・D.-----------

BMABABBCOCBCECOM

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析:•：DEr\Bcn

2UADNQUABMUUABCDOECOB

-D-N=-A-D---A-D=-D-E-D-O=-D-E

BMABABBCOCBC

所以AUB“正确;

QDEUBC^

□4EAG□力GW

AEAN

□一=——□

ACAM

AEAN

0--=---I.

ECNM

所以D错误.

故选DI

点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质.注意平行于三角形的一边的直线与其

他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边成比例.注意数

形结合思想的应用.

变式2

4.如图，3c中，点E分别在A8,AC上，DE//BC,若4）=1,

BD=2,则AAOE与△ABC的面积之比为（）

A.1:2B.1:3C.1:4D.1:9

【答案】D

【解析】

【分析】由易得MDE〜■BC,利用相似三角形的性质，黑丝二整2

即可.

【详解】•:DEMBC,

;.ZADE=/B,ZAED=ZC,

:.MDE-MBC,

二S[

S^ABC/

\AD=\,BD=2f

\AB=AD+BD=\+2=3f

上缝、L

S.ABC糖9

故选择：D.

【点睛】本题考查相似三角形的面积比问题，关键是掌握相似三角形的判定方法，

会用方法证明两个三角形相似，掌握相似三角形的性质，会利用性质解决对应线段

比，周长比，面积比等句题.

模型二射影定理

【结论】△AO8S4A8CA82=AQ・AC(公共边平方=共线边乘积).

总结：一条线段出现在两个相似(不全等)的三角形内，那么这条线段的平方等于共线的

两条线段的乘积.(公共边的平方等于共线的两条线段的乘积，记住这点，做题将会事半功

倍.)

其他的射影定理模型

(1)在正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在RZAA6E和尸内

均有射影定理模型.

(2)如图，在圆中也会出现射影定理模型.

例3

5.如图，在此△ABC中，NAC8=90。，CD是4△边上的高.

(1)若AC=6,48=9,则AO=；

(2)若人「=4,/?。=6,则CD=_______；

(3)若AC=5,CD=4,则BC=.

on

【答案】口.4□.2石□.y

【解析】

【分析】(1)证明△力DCs△4C8,根据相似三角形的性质求解即可；

(2)证明△/DCs△4C8,根据相似三角形的性质求出力。，再利用勾股定理求解

即可；

（3）先利用勾股定理求得再证明根据相似三角形的性质求

解即可；

【详解】解：（1）•・・在^4ABC中，ZACB=90°,。。是A8边上的高.

AZADC=\JACB=90°t又NA=LA,

:•△ADCS^ACB,

□ACAD即里辿

~AB~~AC96

解得：AD=4,

故答案为：4；

（2）由（I）知△力。。力△力C以

ACAD4AD

n——=——,即niI------=——，

ABACAO+64

解得：32,或4）=-8（舍去），

在放△4QC中，由勾股定理得：CDEAC'AD?="2-22=25

故答案为：26；

（3）在中，AC=5,CD=4,

由勾股定理得：AD="02—⑦=152—42=3,

由（1）中

,丝=空，即一,

ACBC5BC

解得：BC=?20，

20

经检验，BC=y,

20

故答案为：y.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、解分式方程、解一元二次

方程，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键.

变式3

6.如图，在R^ABC中，NC=90o,COJ_ARAO=4,B力=9,则C。的长是

).

A

D

CB

A.—B.6C.-D.迈

544

【答案】B

【解析】

【分析】先证明△ADCsaCDB,从而可得。2=8。〜。，代入求值即可.

【详解】解：•.•如图，在R/A4BC中,ZC=90°,CD1AB,

：.ZA+ZACD=ZACD+ZBCD=90°,

・•・ZA=ZBCD,

又,；NADC=NCDB=90°,

・•・AADCSACDB,

.BDCD

''~CD~~AD，

J5=80•40=9X4=36,

:・CD=6（舍去负值）.

故选：B.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握“母子相似图”模型是解

题的关键.

模型三一线三等角

【结论1】如图所示，点B,C,。在同一条直线上，/B=ZACE=ND,则

△ABCs^CDE,ABDE=BCCD（竖边X竖边=横边X横边）.

【结论2】如图所示，点B,C,D同一条直线上，/B=ZACE=/D,BC=CD,则

△ABCS.CDESAACE,ABDE=BC2=CD2（竖边X竖边=横边x横边）.

E

BCD

模型图解

例4

7.如图，已知在梯形ABC。中，AD/IBC,AD<BC,且AO=5,=OC=2,p

为A力上的一点，/BPC=ZA,求”的长.

【答案】1或4

【解析】

【分析】根据题意可证a4BPs△力P。，得出比例关系式，进而求出彳。的长.

【详解】•・•在梯形A8C。中，AB=DC=2,

：.ZA=ZD.

又•:ZBPC=ZA,ZA+ZABP+ZAPB=180°,ZAPB+/BPC+NCPD=180°,

・•・ZABP=NCPD,

：・AABPS&DPC.

ABAP

9,~DP~'CD'

设=则0P=5—X,

.2_x

••—―,

5-x2

解得x=l或4.

・•・AP=1或4口

【点睛】本题主要考杳相似三角形的判定和性质，掌握“一线三等角”相似三角形

模型，是解题的关键.

总结：一线三等角模型应用的四种情况：

1.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；

2.图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”，利用模型解题；

3图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”，利用模型解题；

4.图形中只有45。角，直角或直角三角形，可构造“一线三等（直）角”，利用模型解

题.

变式4

8.如图，已知^ABC和AADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点

FDAB=9^BD=3,贝iJCF等于（）

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：□匚ABC和DADE均为等边二角形，□□!)=口DAC=60。,

□E=DEAD=60°,

□□B=0E,□BAD=nEAF,□□ABDdlZAEF,DAB：BD=AE：EF.

同理：DCDFaDEAF,DCD：CF=AE：EF,LAB：BD=CD：CF,

即9：3=(9-3)：CF,CCF=2.故选B.

A

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.等边三角形的性质.

变式5

2k

9.如图，菱形480的四个顶点分别在双曲线y=—和尸=一上，且对角线相交于

xx

原点O,BD=2AC.平行于x轴的直线与两双曲线分别交于点E,F,则所的

面积为

【解析】

【分析】作轴于“，DN_Lx轴于N,易证得AAOMs/Xdw,根据系数

三角形的性质即可求得攵的值，然后根据反比例函数系数攵的几何意义即可求得

△OEF的面积.

【详解】解：作轴于M,。％_1_工轴于77,

••・四边形A8CO是菱形.

:,AC1BD,OD=-BD,OA=-AC

22f

:.ZAOM+/DON=/ODN+DON=掰，OD=2OA,

乙\OM=4ODN,

•.•Z4MO=NO/VD=90°,

：2OMsbODN,

.S—QM_/°A\2

一~八SODN―OI，"D，

2

・.・A点在双曲线y=-，BD=2AC

xf

QO点在双曲线y=2(k<0)上，

x

自”4,

/.A:=-8,

•・,平行于工轴的直线与两双曲线分别交于点E,F,

*"•S1soEF=^isOBG+^&OFG=1*2+/乂8=5,

故答案为5.

【点睛】本题考查了反比例函数系数上的几何意义、相似三角形的判定和性质、菱

形的性质，作出辅助线构建相似三角形求出反比例函数的解析式是解题的关键.

模型四旋转相似

【结论1】如图所示，△也汨和AABC都是等腰直角三角形，CE的延长线与AO相交于

点P,则△A8£>s^c庞，且相似比为］：&,A。与CE的夹角为45。.

总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋

转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似.

【结论2】如图所示，RidAOBsRtqjD,则△AOCS/OQ,AC±I3D,且

AD2+BC2=CD2+AB2.

例5

10.如图,将AABC绕点A旋转任意角度得到ZkABC,连接BB\CO,则BB「

CC等于（）

C.AB：BCD.AC：AB

【答案】A

【解析】

【分析】利用旋转的性质得NITAB-NCAC,AB-AB,AC「AC,则可判断

△ABB^AACC,然后利用相似三角形的性质可对各选项进行判断.

【详解】解：:△ABC绕点A旋转任意角度得到△ABCI

.,.ZBrAB=ZCAC,AB'=AB,AC=AC,

.,.△ABB^AACC,

.BB'_AB

•・击一耘•

故选A.

【点睛】本题考查r旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中

心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.

变式6

11.如图1,是等腰直角三角形，Z4C5=90°,D,E分别为AB,AC上

的点，且DE〃8C,把.ADE1绕点力逆时针旋转（如图2）,则丝的值为

CE

AA

【答案】y[2

【解析】

【分析】先证明△D48SZXE4C,进而可得结论.

【详解】解：•・・△ABC是等腰直角三角形，DE//BC,

・•・△/瓦）是等腰直角三角形，

；・AD=j2AE,AB=yj2ACf

•・•把△/1£>£绕点A逆时针旋转，

：・NDAE=NBAC=45°,

・・・NE4C=NDAB,

又・.・*=*=应,

ACAE

/.△DABs^EAC,

・・・奥=这二人，

CEAC

故答案为：0.

【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键

是正确寻找相似三角形.

变式7

12.如图，在正方形A5C3和正方形4EFG中，连接AG,OP,则空的值为

).

A.1B.gC.y/2D.—

22

【答案】C

【解析】

【分析】连接8。，所，先证明“188△力所，进而即可求解.

【详解】解：连接8,BF,

•：在正方形A6CD和正方形BEFG中，

—=>/2,—=V2,UABD=ZGBF=45°,

ABBG

,BDBp

—,UABG=NDBF,

ABBG

••△ABGs^DBF,

,・等需反

故选c.

【点睛】本题主要考查正方形的性质以及相似三角形的判定和性质，添加辅助线,

构造旋转相似模型，是解题的关键.

实践练

13.如图，在△ABC中，DE//BC.BD=3AD,BC=T2,则。£的长是（）

A

【答案】A

【解析】

【分析】由DE〃BC,可以判断△ADEsaABC,根据AD：BD=1：3即可得出结

论.

【详解】解：・・・BD=3AD,

AAD：BD=1：3,

AAD：AB=1：4,

・.・DE〃BC,

/.△ADE^AABC,

.DEAD

••正一花—Z'

,.,BC=12,

/.DE=3,

故选：A.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质

是解题的关键.

14.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1,连接AE交

BD于点F,则DDEF的面积与DBAF的面积之比为（）

A.3：4B.9：16C.9：1I）,3：1

【答案】B

【解析】

【分析】可证明△DFES^BFA,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可

得出答案.

【详解】□四边形ABCD为平行四边形，

rDClAB,

□□DFEnDBFA,

□DE：EC=3：1,

□DE：DC=3：4,

□DE：AB=3：4,

□SDFE：SBFA=9：16.

故选B.

15.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长

FA

线交于点尸，若AE=2ED,则=的值是（□

FB

【答案】D

【解析】

【分析】由边形4AC。是平行四边形，可得AB〃CO,即可证得△AFE'sgEc,

然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案.

【详解】•••四边形ABC。是平行四边形，

AB//CDQ

:4AFES»EC□

AE：DE=AF：CD□

AF:CD=2:1D

/.AF:BF=2:3□

故选DJ

【点睛】此题考查的知识点是相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质.解

题关键是注意掌握数形结合思想的应用.

16.如图，在AAAC中，8c=120,高AO=60,正方形EFGH一边在BC上,

点旦尸分别在A8,AC上，AD交EF于点、N,则4N的长为（）

【答案】B

【解析】

【分析】证明△AEFsaABC,根据相似三角形对应边上的高线的比等于相似比即

可求得.

【详解】解：•・•四边形EFGH是正方形，

・・・EF〃BC,

.,.△AEF^AABC,

.EFAN

设AN=x,贝ijEF=FG=DN=60-x,

.60-x_x

120-60

解得：x=20

所以，AN=20.

故选：B.

【点睛】本题考查了正方形以及相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关

键.

17.如图，在正方形45CD中，E为A3的中点，G,/分别为AO,5c边上的

点.若AG=2,8/=3,NGM=90。，则AE的长为（）.

A.2B.5C.亚D.瓜

【答案】D

【解析】

【分析】由在正方形/18CQ中，NGEF=90。,得MGESABEF,又由石为//的中

点，4G=2,BF=3,根据相似三角形的对应边成比例，由此即可求得答案.

【详解】解：・・•四边形是正方形，

・・・ZJ=ZB=90°,

/.ZAGE+ZAEG=90°t

・・•NGEF=90。,

N4EG+NBEE=90。,

・•・NAGE=/BEF,

：.XAGEsMBEF、

.AGAE

・.,E为48的中点,

:・AE=BE,

VAG=2,BF=3

2AE

/.——=——,

AE3

解得：AE=R,

故选：B

【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理.比题

难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.

18.把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为

()

【答案】A

【解析】

【分析】对图上各边标上字母，山题意可证得匚ADHS^GCH,利用相似三角形对应

IDH

线段成比例可知5=匚而，可求得阴影部分面积的高DH,进而求得阴影部分面

□CHG=LDHA,LHCG=LADH

□□ADH^CGCH

ADDH

□=--------

CGCH

即二DH

2\-DH

解得DH=1

口阴影部分面积=lx?x：=!

326

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求阴影部分的面积，解本题的关键

是求得阴影部分的高进而即可解题.

19.如图，将矩形4BC。沿直线AE折叠，顶点。恰好落在边上的尸处.已知

CE=4,AB=9,则斯=()

A.13B.12C.11D.10

【答案】B

【解析】

【分析】利用折叠的性质得。E=EE=5,从而得CF=3,再证明列

出比例式，即可求解.

【详解】解：,在矩形/WCD中，4B=CD=9,

由折叠的性质知：AD=AF,DE=EF=9—4=5,

•在川△(7£尸中，EF=5,CE=4,

・。=庐下=3，

VZ5=ZC=90°,NAFE=90°,

：.ZBAF+ZAFB=ZAF3+ZEF'C=90°,

・•・NBAF=NEFC,

:.ABAFS^CFE»

.ABBF9BF

即:K解得：

'~FC~~CEBi

故选B.

【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形得的判定和性质，矩形的性质，折叠的

性质，证明△的尸是解题的关键.

20.如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，ZCAB=30°,若点A在反比例函数

y=-（x>0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（）

x

S1

【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出瞪％二4,进而得出S》g=3,即

,AAOD।

可得出答案.

【详解】过点8作8cLx轴于点C,过点4作NOLx轴于点。口

ZBOA=90°n

：.ZBOC+ZAOD=90°：

•・•N/OD+N040=90冶

・•・NBOC=NOADD

又丁ZBCO=ZADO=90°

:•△BCOsAODA

V—=/^?30o=—□

AO3

qI

2^co_L

・♦・§=3n

乙八。。J

VyX^DXZ)0=^-xy=3n

S.\BCO=—XBCXCO=—SMOD=1□

23

•・•经过点8的反比例函数图象在第二象限,

故反比例函数解析式为：产u3

故选CD

【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质二反比例函数数的几何意义，正

确得出S08=2是解题关键.

21.如图所示，。为四边形ABC力的边4B的中点，

ZA=ZDOC=ZB,AZ）=9,BC=8,则A3的长是（）.

A.6&B.6C.12x/2D.17

【答案】C

【解析】

【分析】先证明从而得黑二黑，进而即可求解.

AOAD

【详解】解：VZDOC=ZBfZB+ZBCO=ZAOC=ZDOC+ZAOD,

:.NBCO=NAOD,

又•・•ZA=N3,

；・ABCO^AAOD,

.BCBO8BO

••=9艮nn:=

AOADAO9

•・・。为边AB的中点，

•MOMX9=72,

AO-642（负值舍去），

•\AB=\2y/2.

故选C.

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握“一线三等角“相似三角形模

型，是解题的关键.

22.如图，AABC、ADE,BC,DE交于点O,有下列三个结论：口/1=/2,□

BC=DE,则一定成立的有（）.

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】D

【解析】

【分析】根据全等三角形的性质可判断①和②，再根据相似三角形的判定判断③即

可.

【详解】解：①:△ABC也△AOE,

：・NBAC=NDAE,

・•・/1+口。4。=口2+口。力。，

・・・/1=口2,故①成立；

②：AABC^AADE,

:・BC=DE,故②成立，

③：AABC^AADE,

：.4B=AD,AC=AE,

•・呼=哭，又N1=N2,

ACAc,

/.^ABD-^ACE,故③成立,

综上，一定成立的有①@③共3个,

故选：D.

【点睛】本题考杳全等三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握全等三角形的

性质和相似三角形的判定是解答的关键.

23.如图所示，在中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,在.RQMPN中,

NMPN=90。，点尸在AC上，PM交AB于点E,PN交BC于点、F.当

PE=2勿'时,的值为（）.

C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】过。作PH1BC于",P0EM8于°,证明△气?£□□尸HR得出PQ=2PH=2BQ,

再由尸。〃8。证得△40户口口力8。，得到丝二丝二"，设30=x,则40=3-x,

ABBCAC

PQ=2x,求出x值即可解决问题.

【详解】解：•・•在R/A43C中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,

•二力。xlAB2+BC2—>/32+42=5，

过P作/V/_L8C于〃，匚48于0,

贝ijNPQB=NPHB=_B=90。,

・・・四边形P08”是矩形，

：.PH=BQ,/QPH=90o=NMPN,PQ//BC,

：./EPH+NQPE=NEPH+/HPF=90°,

・•・/QPE=/HPF,

•.△PQEDDPHF,

PQPE„八

A-=——，又PE=2PF,

PHPF

：.PQ=2PH=2BQf

YPQHBC,

：.ABC,

.AQ_PQ_AP

''~AB~~BC~~AC"

igBQ=x,则40=3・x,PQ=2x,

.3-x_2x_AP

••------------.......，

345

解得：x=,力尸=3,

故选：C.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、等角的余角相等、矩形的

判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线是解答的关键.

24.如图，在即AA8C中，NAC8=9()“，点。是边A8上的一点，COJ.A8于

D,AD=2,BD=6,则边AC的长为

【解析】

【分析】根据射影定理列式计算即可.

【详解】由射影定理得，AC2=AD•AB=2X(2+6)，

解得：AC=4,

故答案为4.

【点睛】本题考查的是射影定理，直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜

边上的射影和斜边的比例中项.

25.如图，已知直角中，CO是斜边上的高，AC=4,BC=3,则

【解析】

【分析】根据勾股定理求出根据射影定理列式计算即可.

【详解】解：在RiAABC中，AB=7AC?+BC?=5,

由射影定理得，AC2=AD.AB^

・・・3工3

AB5

故答案为?

【点睛】本题考查的是射影定理、勾股定理，在直角三角形中，每一条直角边是这

条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.

26.如图，正方形ABCD中，A『2,点P在BC上运动（不与B、

C重合），过点P作〃Q_LQ,交CD于点Q,则CQ的最大值为

【解析】

【分析】先证明△BPEsACQP,得到与CQ有关的比例式，设CQ=y，BP=x,则

b=12-x,代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最

值.

【详解】解：/BEP-NBPE=9。。,/QPC+NBPE=90。,

ZBEP=ZCPQ.

又4=NC=90。，

\BPE^\CQP.

.BEBP

"PC-CQ

设C0=y,BP=x,贝ijCP=12-x.

QY1

•--7^=-，化简得—12x),

12-xy9、7

整理得6y+4,

所以当户6时，y有最大值为4.

故答案为4.

【点睛】考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值诃

题，几何最值用二次函数最值求解考查了树形结合思想.

27.如图，正方形ABCD中，E,F分别为BC,CD上的点，且AE_LBF,垂足为

(1)求证：AE=BF；(2)若BE=Q,AG=2,求正方形的边长.

【答案】(1)见解析；12)正方形的边长为6.

【解析】

【分析】(1)由正方形的性质得出AB=BC,匚ABC=DC=90。，匚BAE+DAEB=

90°,由AELBF,得出口CBF+DAEB=90。，推出DBAE=DCBF,由ASA证得

DABEDDBCF即可得出结论；

(2)证出匚BGE=「ABE=90。，CBEG=DAEB,得出口86£口口人8£,得出BE?

=EG・AE,设EG=x,则AE=AG+EG=2+x,代入求出x,求得AE=3,由勾股

定理即可得出结果.

【详解】（1）证明：□四边形ABCD是正方形，

rAB=BC,rABC=DC=90°,

□□BAE+CAEB=90°,

[AEBF,垂足为G,

□□CBF+nAEB=90°,

□EBAE=ECBF,

在DABE与DBCF中，

ZBAE=ZCBF

<AB=BC,

ZABE=ZC=90

门「ABEFTBCF（ASA）,

UAE=BF；

（2）解；□四边形ABCD为正方形，

□CABC=90°,

□AEOBF,

□EBGE=EABE=90°,

□□BEG=DAEB,

□FBGEDDABE,

BE_F.G

---------，

AEBE

即：BE2=EG・AE,

设EG=x,则AE=AG+EG=2+x,

□（V3）2=x・（2+x）,

解得：X1=1,X2=-3（不合题意舍去），

□AE=3,

L\AB=yjAE2-BE2=舟一（44=瓜.

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定

与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等与相似是解题

的关键.

培优练

28.（1）如图1,菱形AEG”的顶点E、”在菱形4BCQ的边上，且

ZB/V）=60°,请直接写出GC:£B的结果（不必写计算过程）

（2）将图1中的菱形力EG"绕点A旋转一定角度，如图2,求HD:GC:EB；

（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3,且4O:A4=A〃：A£=1:2,此时

”O:GC:反的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变

化后的结果（不必写计算过程）：若无变化，请说明理由.

【答案】（1）1:6:1；（2）1：>/3：1（3）有变化，1：6：2

【解析】

【分析】（1）连接AG,由菱形A£G”的顶点E、〃在菱形A8CO的边上，且

ZBA£>=60°,易得A,G,C共线，延长”G交于点延长EG交DC于点

N,连接肠V,交GC于点。，则GMCN也为菱形，利用菱形对角线互相垂直，结

合三角函数可得结论；

（2）连接AG,AC,由A4OC和A4”G都是等腰三角形，易证与

MJAH~\CAG与ADAH二MAE,利用相似三角形的性质及菱形的性质可得结

论；

（3）连接AG,AC,易证ZVUX'〜A/WG和AAP"〜AA8£,利用相似二角形的

性质可得结论.

【详解】（1）连接AG,

・・•菱形4EG”的顶点E、”在菱形ABC力的边上，且N8AO=60。，

ZG4^=ZC4B=30°,AE=AH>AB=AD,

：.A,G,C共线，AB-AE=AD-AHt

.」ID二EB,

延长HG交BC于点M,延长EG交DC于点N,连接MN,交GC于点。，则

GMCN也为菱形，

:.GC工MN,4NGO=NAGE=3G,

OG

=cos30°=—

GN2

•・•GC=2OG,

.GN1

,正二耳’

•・・”GNQ为平行四边形，

:.HD=GN,

:.HD:GC:EB=\:>/3:\.

♦・•A4OC和都是等腰三角形，

?.AD:AC=AH:AG=\：y/3,ZDAC=ZHAG=30°,

.\ZDAH=ZCAGf

:.^DAH-\CAG,

:.HD\GC=AD\AC=\\4i>

・・,ZDAB=ZHAE=60°,

:.ZDAH=ZBAE,

在S4H和石中，

AD=AB

<ADAH=NBAE

AH=AE

\DAH兰kBAE(SAS)

；.HD=EB,

..HD：GC：EB=I：6：I.

(3)有变化.

如图，连接AG,AC,

VAD:AB=AH:AE=\:2fZADC=ZAHG=^,

.•4DC〜AAHG,

:.AD:AC=AH:AG=1:45.

•・•ZDAC=ZHAG,

:.ZDAH=^CAG,

:.^DAH~\CAG,

；.HD：GC=AD：AC=I：5

-ZDAB=ZHAE=90°,

/DAH=/RAE,

-DA:AB=HA:AE=］：2,

.•.AAD"〜AABE,

:.DH:BE=AD:AB=1:2,

:.HD:GC:EB=1:亚：2

【点睛】本题是菱形与相似三角形，全等三角形，三角函数等知识点的综合运用，

难度较大.

29.已知△48C和中，AB=AC,DC=DE,BF=EF,点8,C,E都在同一

直线上，且△48C和在该直线同侧.

图②

(1)如图①，若N历K、=NCQE=90。，请猜想线段力/与。尸之间的数量关系和

位置关系，并证明你的猜想；

(2)如图②，若N〃4C=60。，ZCDE=120°,请直接写出线段力尸与。尸之间的

数量关系和位置关系；

(3)如图③，若NBAC=a,ZCZ)F=180°-a,且BC>CE,请直接写出线段4b

与之间的数量关系和位置关系(用含a的式子表示).

【答案】(1)力尸=。尸，AFLDF,证明见解析；(2)AF=6DF、AF上DF,证明见

解析；(3)AF=DF-tan((90°--a\AFA.DF.

2

【解析】

【分析】(1)如图口中，结论：AF=DF,力"口。£证明△加〃咱(SAS),可得

结论；

(2)如图匚中，结论：AF=y/3DF,AFA.DF.证明△月"/PDE/Q,可得结论；

(3)如图③中，结论：AF=DF.tan((90°-a),AF±DF,证明方法类似

(2).

【详解】解：(1)如图①中，结论：AF=DF,AF1DF.

理由：过点/作/H_L8C于H,过点。作D/_LEC于/

图①

9

：AB=AC,DC=DE,ZBAC=ZCDE=90°f

:・BH=CH,CJ=JE,

:・AH=BH=CH,DJ=CJ=JE,

•:BF=FE,

:・HJ=BF=EF,

:,BH=FJ=AH,FH=JE=DJ,

•・•NAHF=NFJD=90。,

：./\AHF^/\FJD(SAS),

:・AF=FD,/HAF=/DFJ,

•・•NE4/HN4FH=900,

：./AFH+/DFJ=9。。,

AZAFD=90°fHPAF1DF；

(2)如图②中，结论：AF=43DF,AF±DF.

图②

理由：过点/作4〃口比;于〃，过点。作ZVCJEC于/

QAB=AC,□区4C=60。,

□□4?C是等边三角形，

□BH=CH,AH=6BH,

[DC=DE,aCDE=\2()°,

口CJ=JE,口DEC=UDCE=30。,

口JE=6DJ，

□BF=FE,

UHJ=BF=EF,

□BH=FJ,HF=JE,

\JAH=>/3FJ,FH=y/3DJ,

AHHF

□=--------=V3,

FJDJ

\：\AHF=^FJD=W,

ATA/-Il

□—=—=V3,匚HAF=UDFJ,

DFFJ

□□总〃+口4/7/=90。，

□□JF//4-QDE/=90°,

□□JFZ)=90°,HPAF_DF,

r\AF=>/3DF,AFZDF；

(3)如图口中，结论：AF=DF-tan((90°--a\AF±DF

2f

理由：过点4作4"口3。于〃，过点。作DJUEC于/

图③

UAB=AC,[JBAC=a,

□BH=CH,AH=BHtan(90°--a),

2

□DC=DE,□CDE=180°-a,

口CJ=JE,JE=£)Jtan(90°--cr),

2

口BF=FE,

IHJ=BF=EF,

□BH=FJ,HF=JE,

□^/7=FJlan(90°--cr),F/7=DJ-lan(90°--a),

22