高中数学必修第1册第二章知识点总结

必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式

2.1等式性质与不等式性质

1.比较大小的基本事实：比较两实数大小的方法——求差比较法

a=boa-b=0；

a<b<^>a-b<Oo

2.恒成立的不等式：一般地，Ya,beR,有当且仅当。=力时等号

成立。

说明：（1）指出定理适用范围：〃力eR；（2）强调取“二”的条件。=〃。

3.等式的性质：

性质1：若〃=/?,则/>=4；

性质2：若a=b,b=c,则a=c;

性质3：若a=b,则a±c=b±c;

性质4：若a=b,则ac=bc;

性质5：若24，c#0,则3=2

cC

4.不等式的性质：

性质I：若a>b,则/?<。；若〃<。，则。：>人.即。>力=人<。。

说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性。

性质2：若a>b,b>c,则。,C。不等式的传递性。

性质3：若a>b,则a+c>〃+c。

性质4：如果且c〉0,那么〃c〉〃c；如果。〉〃且c<0,那么ac<〃c。

性质5：若。>且c>d,则。+c>b+d。

性质6：如果4>〃>0且c>4>0,那么ac、>为

性质7：如果那么。">人"（〃£"且〃〉1）。

2.2基本不等式

1.如果是正数，那么"23/石（当且仅当a=b时取“二”）

2

说明：（1）这个定理适用的范围：a,beR'；

（2）我们称"2为〃力的算术平均数，称疝为a力的几何平均数。即：两个正数

2

的算术平均数不小于它们的几何平均数。

（3）对于两个正数明方，①若。+〃二例为定值，则。〃0（"2）2=（丝产，当且

22

仅当。=〃时，加?有最大值；

②若c必=〃?为定值，则a寸Z?32>/^=2>/^,当且仅当a=Z?时，“小有最小值

2.3二次函数与一元二次方程、不等式

1.一元二次不等式：一般地，我们把只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不

等式。一般形式：aF+^x+c〉。或成：2+云+（<0,其中均为常数，aW0.

2..一元二次方程根的存在性及实根的个数：对于一元二次方程a/+&+c=0（a#））

（1）A>0,方程有两个不等实根：

（2）△=（）,方程有两个相等实根；

（3）△“，方程无实根

3..从函数观点看一元二次方程和不等式：二次函数与一元二次方程、不等式的解佗对应

关系：

A>©J=OJ<0

.

的帼象1^1r»ThL

fi

GM个不帼»的女教

s仅有文

的射做，”八・，”,一丁

MJT，.Aur•、

(<rl，V>,•或，>，.l</i，・—■

的解■R

nr"4T<C0(・>0)

注：①当〃<0时，转化为〃>0的情况研究。

②加2+bx+c〈0的解集为R,则<；

[A<0

③加+公+Z0的解集为R,则/“<；

A<0

@ar+/?x+c>0的解集为①，则，“<°；

[A<0

⑤以2+Z?x+c20的解集为（D,则，4°.

A<0

第二章测评

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.不等式f-2x-820的解集是（）

A.{.讣2}B.{A|X<-2或x24}

C.{M-4WxW2}D.{xh«或x22}

2.已知心0,/»0,且满足§、，则ab的最大值是（）

A.2B.3

C.4D.6

3.已知不等式cur+bx+c>0的解集是{x|-l<x<4},则不等式仇xM）+a（x+3）+c>0的解集为

（）

<x<1卜卜>1或*7

Abl4B.

x<x<1XX<1X>

clbr]DII^5]

2Hl

4J2024湖北孝感高一月考］不等式7<1的解集为（）

A.{.讣3Wx《2}B.{A|X<-3}

C.{x|-3<x<2}D.{x|xW-3或x>2}

5.（2024山东泰安高一单元检测］在实验课上,小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品.

实验一:小明将5克的祛码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡;实验二:小芳

将20克的诙码放在右盘，取出•些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明

和小芳共秤得的药品（）

A.大于20克B.小于20克

C.大于等于20克D.小于等于20克

6.已知函数）=（产+4匕5）炉-4（1.。丫+3的图象都在x轴的上方,则实数k的取值范闱为（）

A.{川14V19}B.{川0W19）

C.{M1CW19}D.伙|lWkl9}

2+1

7.已知且为+〃=1,若不等式‘吆机恒成立，则加的最大值等于（）

A.10B.9

C.8D.7

8.已知实数X,），满足・4W.DW〕・lW4x・yW54J94y的取直范围是（）

A.{9x-计7W9x-）W26}B.{9x-y|-l<9x-j<20}

C.{9心y|4W9x・〉W15}D.{9A->-|115}

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分.部分选对的得部分分而选错的得0分.

9.设。泌>履<0,下列四个结论正确的有（）

->；

A1-,

AA.B.ac<bc

->-

C.a（b-c）>b（a-c）Df

10」2024河北石家庄高一期末］已知实数〃力满足〃H〃+〃=1,则下列说法正确的是（）

A.a<2B.ab^2

C.ab>b2D-）的最小值为9

1142024湖北孝感高一月考］已知不等式ax^+lbx+c^O的解集为{"tW-1或工23},则下列结

论正确的是（）

A.avOB.a+b+c<0

{x|4<x<l

C.c>0D.cx2-2/?x+«<0的解集为

三、填空题:本题共3小题,每小题5分洪15分.

12.设a,b为实数，比较两式的值的大小3+尻2a2尻2（用符号">"2"<”“经”或

“二”填空）.

13.某汽车运输公司购买•批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润M单位:

卜万元）与营运年数MxWN"）为二次函数关系（二次函数的图象如图所示），则每辆客车营运

年时，年平均利润最大.

14.若关于x的不等式好〃次+加+2>0,对-2&W4恒成立，则"7的取值范围是.

四、解答题:本题共5小题.共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）已知不等式/+&t+c>0的解集为{"i>2或xvl}.

（1）求6和。的值；

（2）求不等式以2+班+1W0的解集.

16.（15分）（1）已知1，求4工+"1的最小值；

（2）解关于x的不等式x2.（a+3）x+3”<0,a£R.

17.（15分）设a为实数，函数）="2+&丫+1.

（1）若方程）=0有实根，求a的取值范围；

（2）若不等式>->0的解集为R求。的取值范围.

18.(17分)某服装厂拟在2024年举行促销活动，经调杳测算，该产品的年销售量(即该厂的年产

量)皿单位:万件)与年促销费用x(O4W10)(单位:万元)满足〃尸3・一.已知2024年生产该产品

的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的促俏价格定

为每件产品年平均成本的2倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费

用).

(I)将2024年该产品的利润)，元表示为年促销器用x万元的函数；

(2)该服装厂2024年的促销费用投入多少万元时，利润最大？

19.(17分)[2024湖南张家界高一期中]已知都是正数.

⑴若2x+3y=3,求0的最大值；

(2)若73=2,且QJ，,求x+.y的最小值.

答案：

1.B不等式/-法用力。可化为(x+2)(x-4)20,解得xW-2或x24.

即不等式的解集为{x|xW-2或工24}.故选B.

2.B因为。＞0力＞0,且满足34=1,

[7~i3

所以+化为MW3,当且仅当T,b=2时，等号成立，则他的最大值是3.故选B.

3.B•・•不等式or?+版+”0的解集为{讣1＜丫＜4},

Ax=-1和x=4是方程ax2^bx+c=O的两根，且«＜0.

卜1+4=・4

lx4=r

I4=炉-4ac>0,

:.不等式力(5-1)+4(工+3)+00可化为T/f-D+aa+BAdaX).

又a<0,・••上式等价于3(Pl)・(x+3)+4>0.

整理，得3A-2-X-2=(A-1)(3X+2)>0,

解彳皿或涓故不等式“-2。的解集为叶＞1或X＜用故选B.

2<+2r+lx-2r+3

4.CZ<1=7J':<Ci=>v2<0,

即。+3)(『2)v0,解得-3<x<2,所以不等式的解集为3-3<x<2}.故选C.

5.C设大平左、右两边臂长分别为。力，小明、小芳放入的药品的克数分别为xj,

则由杠杆原理得5a=bx,ay=20b,

S1201

于是产》,产•,

虫十竺叵竺

故x+y=>0226"7=20,

当且仅当a=2b时，等号成立.故选C.

6.D因为产出+4心5)/+4(1・。计3的图象都在x轴上方，

①当Q+4h5=0时，解得k=-5或k=l,

当k=-5时，函数y=24x+3为一次函数,不满足条件；

当k=T时，函数y=3满足条件;故k=l;

②当炉+4上5却时,函数产出+4匕5)f+4(1-卧+3为二次函数，

(Jr2+4k-5>0,

则I=16(l-k)，12(K+4k-S)<0；

解得\<k<\9.

综上，实数k的取值范围为伙I1W&V19}.

故选D.

7.B由已知得"*。b=4+°^+1=5+2?b)25+2x2(・*=9,

1

当且仅当4=〃二0时，等号成立.

又•’2小恒成立，

・・・mW9,即m的最大值等于9.故选B.

8.B令w=x-y,n=4x-y,则

8S

则z=9x-y=3n-3m.

S£2C

又/―尸一%W3,

e5

.*.-1Wz=9x-)="-'〃?W20.故选B.

9.ABCV«>/?>1,c<0,.,.a*>0,A°',A正确；

*.*a>byc<0,ac<hc,B正确；

,:a>b>l,c<0,:.a(b-c)-b(a-c)=ab-ac-cib+bc=-c(a-b)>O,a(b-c)>b(a-c\C正确;

，又。功>O,cvO,.：0vO抑'\D错误.故选ABC.

21

1O.CD对于A,当a=34=3时，成立，故A错误；

2J2<l

对于B,当a=34J时,"J、故B错误；

对于C,因为根据不等式的性质可知故C正确;

上+!…-+!!正

对于D,',/(«+/?)=5+>0，5+27»W9,

当且仅当‘;〃二2匕,即〃月力口时，等号成立，故D正确.故选CD.

21c

―

11.ACD由题意知,-1和3是方程a^+2bx+c=O的两祗且。<0,所以-1+3=-二(-1»3=°,则

h=-4,c=-3a.因为。<0,所以/?>0,c>()M+/?+c=a-a-3a=-3a>0.故AC正确.B错误；

1

不等式c「-2尿+“<0等价于-3aF+2ai+a<0,即3/-2『1<0,解得?《y].

12.2因为。2+庐(下-2尻2)=(a-l)2+S+l)22O,a=l,b=-l忖，等号成立,

所以a2+b2^2a-2b-2.

13.5二次函数困象的顶点为(6,11).

设y与x的关系式为y=a(x-6)2+11(a#)),

代入点(4,7),解得”-1.所以)=-/+12x-25.

I2S

y_2S

年平均利润为”.=-(x+x)+12<-2^M+12=2.

25

当且仅当％=，即x=5时，筝号成立.

14.{/川2-2、?<〃?<2+2、◎）设y=x2-tjvc+in+2=（x-2）2-4+m+2.

E

①当二W-2,即机号-4时，此时y在x=-2处取最小值，最小值为4+2川+〃?+2=3〃?+6>0,解得，">-2.

又〃忘-4,；・无解;

»巴士

②当-2<2<4,即-4<〃?<8时，此时），在户三处取最小值案小值为J+〃?+2>0,

解得2-2、&〃?<2+2、'3

又-4<m<8,・•・2-2^<w<2-2^;

E

③当-24,即/"28时，此时1y在x=4处取最小值，最小值为16-4m+加+2=18-3〃?>0,

/.m<6.

又〃?28,・••无解.

综上"的取值范围为{w|2-2^<w<2+2^}.

15.解（1）因为不等式j^+bx+oO的解集为{x\x>2或x<1},

则1,2是方程^+bx+c=O的两个根，

[1+2=也

于是得H*2=c.

解得/?=-3,c=2,

所以〃和c的值分别为b=-3,c=2.

⑵由（1）知,不等式c/+/zr+lWO为2A3X+IW0,

1

解得2&xWl,

所以cF+W+lWO的解集为{，-}.

16.解⑴Ql,4x+Z=4a-l)+2+4227'"+4=8,

13

当且仅当4K-4=叫即x=2时等号成立，上式取得最小值&

(2>?・(。+3比+30=(%-3)(%句;

当a<3时，由/・(a+3)x+3a<0,得〃<x<3;

当“3时,不等式/-(〃+3)工+3〃<0无解；

当a>3时，由娉(。+3)4+3。<0,得3<x<a.

综上，当4V3时,不等式解集为｛川〃4<3｝;当。=3时，不等式解集为。;当a>3忖,不等式解集为

｛x|3<x<«).

17.解⑴若方程产0有实根，即方程d+ar+l=O有实根，

当。=0时，方程化为1=0,显然无根,不符合题意；

当启0时，则方程qf+ax+